Baixe Analise - Dimensional e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Mecânica, somente na Docsity!
UNIVERSIDADE DE MOGI DAS CRUZES
Disciplina: Física Geral e Experimental I Curso: Engenharia : ( ) Mecânica ( )Eletrica ( ) Civil Turma: 1_____
Nome:______________________________ RGM:_____________
ANÁLISE DIMENSIONAL E UNIDADES DE MEDIAS
A - INTRODUÇÃO
I - Para que serve a Análise Dimensional?
- para verificação da validade de fórmulas - para a previsão de fórmulas
- para o estudo de sistemas de unidades
- para o desenvolvimento da teoria dos modelos
II - Estruturação A Análise Dimensional, sendo um assunto relativamente simples, está estruturada sobre 2 conceitos primitivos e 3 postulados.
a. Conceitos primitivos Grandeza (símbolo: G). São exemplos de grandezas: comprimento, massa, tempo, aceleração, velocidade, força, intensidade sonora, quantidade de calor, temperatura, nível sonoro, carga elétrica, etc. Dimensão de uma grandeza (símbolo: dim G ou [G]) Embora seja um conceito primitivo, podemos apresentar um conceito prático de dimensão: Dimensão é a propriedade que permite diferenciar as grandezas entre si. Por exemplo, as grandezas largura e comprimento são idênticas, então, têm dimensões iguais. Noutro exemplo, sabemos que área e comprimento são grandezas diferentes. Logo, suas dimensões são diferentes.
b. Postulados Postulado I - Dado o conjunto de todas as grandezas conhecidas, é sempre possível se escolher um subconjunto finito de tal modo que todas as grandezas podem ser escritas como produtos de potências dessas grandezas do subconjunto. Estas grandezas são independentes entre si. As grandezas do subconjunto são chamados de grandezas fundamentais. As demais são chamadas de grandezas derivadas. Para a Mecânica as grandezas fundamentais são: Comprimento,massa e tempo ou comprimento, força e tempo. Quando se estuda eletricidade, as grandezas fundamentais geralmente usadas são comprimento, massa, tempo e corrente elétrica. Podemos ter outros subconjuntos de grandezas fundamentais. A condição para a existência deles é que as grandezas sejam independentes entre si, isto é, na definição de uma delas não pode estar presente outra grandeza fundamental. Por exemplo: as grandezas
comprimento e área não podem estar no mesmo subconjunto das fundamentais, pois a área, a menos de uma constante de proporcionalidade, é dada por comprimento ao quadrado.
Postulado II- A mesma relação de produto de potências que existe entre as grandezas existe também entre suas dimensões.
Ex: velocidade = (comprimento)/(tempo) dim(velocidade) = (dim comprimento)^1 .(dim tempo)-
área = (comprimento).(comprimento) dim(área) = dim(comprimento)^2
Quando estamos estudando Mecânica e utilizando as fundamentais comprimento, massa e tempo, todas as demais grandezas são derivadas. Por exemplo, a grandeza derivada velocidade é dada pelo produto das potências (comprimento).(tempo). A grandeza derivada área é dada pelo produto da potência comprimento: (comprimento).(comprimento). As grandezas fundamentais tem dimensões como qualquer outra grandeza, suas dimensões são representadas por símbolos específicos.
dimensão do comprimento = dim(comprimento) = [comprimento] = L dimensão da massa = dim(massa) = [massa] = M dimensão do tempo = dim(tempo) = [tempo] = T Quando aparecer a força como fundamental, sua dimensão será F. Toda vez que escolhermos as dimensões L, M, T como fundamentais, diremos que estamos trabalhando com sistemas tipo LMT. No outro caso, teremos sistemas tipo LFT.
Postulado III - Este postulado dá as propriedades operatórias das dimensões.
- dim G + dim G = dim G => dim (G + G) = dim G
Ex. dim(força de atrito) + dim(força centrípeta) = dim(força)
Se p é um número real:
Ex.. dim(área) = dim(comprimento).dim(comprimento)
= dim(comprimento.comprímento)]
= dim(comprimento)^2
= (dim comprimento)^2
dim F = (M)(LT-2) = LM^0 T-2^ ou(1, 1, -2)
Trabalho trabalho = (força)(deslocamento) ou W = F. d dim W = dim F.dimd = (LMT-2).(L) = L^2 MT-2^ ou (2,1,-2)
Energia Cinética E = 2
m. v 2
dim E = M(LT-1)^2 = ML^2 T-2^ ou L^2 M T-2^ ou (2, 1, -2)
Repare que trabalho e energia cinética deram dimensões iguais. Isso, no entanto, é um resultado esperado, pois Trabalho e Energia são o mesmo tipo de grandeza. Continuemos o treino.
Momento de uma força (ou torque) Momento = (força)(braço do momento)
braço do momento é uma distância M = F. d dim M = dim F. dim d dim M = (LMT^2 )(L) dim M = L^2 M T-2^ ou (2,1,-2)
Repare que momento também deu a mesma dimensão de trabalho e energia. No entanto,
momento e trabalho (ou energia) não são grandezas iguais. A diferença que existe entre essas
grandezas é que momento é vetorial e trabalho escalar.
A partir desse resultado, podemos apresentar um resultado importante:
Se: G1 = G2 => dim G1 = dim G2, Isto é sempre verdade: Grandezas iguais têm dimensões iguais.
Se: dim G1 = dim G2, Dimensões nem sempre iguais são de grandezas iguais. Voltemos ao treino: Rendimento:
Rendimento = Trabalho útil - ou motor
útil W
W
Trabalho motor
Dim = L^2 MT-2^ = 1 ou L^0 M^0 T^0 ou (0,0,0) L^2 MT- Grandezas como essa, que têm dimensões 1 ou (0,0,0) são chamadas adimensionais.
C - DETERMINAÇÃO DE FÓRMULAS DIMENSIONAIS NO SISTEMA LFT
Uso do sistema LFT (comprimento, massa tempo) Muitas vezes, usa-se o sistena LFT, principalmente em Engenharia. Nesse sistema, as grandezas fundamentais são: Comprimento, força, tempo
Com dimensões L, F, T respectivamente.
A substituição da massa pela força introduz modificações nas dimensões de inúmeras
grandezas. Vejamos:
- comprimento: dim l = L (não muda)
- força: dim F = F (mudou, pois era LMT-2)
- tempo: dim t = T (não muda)
- velocidade: dim v = LT'-1^ (não muda)
- aceleração: dim a = LT-2^ (não muda)
- massa: então dim m = dim F/ dim a = L-1FT^2
- Trabalho: dim W = dim F d cos LF (mudou pois era L^2 MT-2)
OBS: Todas as grandezas Físicas que dependem da massa será alterada no sistema LFT.
D – HOMOGENEIDADE
Equação Homogênea
Definição: "Uma equação é homogênea se todos os seus termos têm a mesma dimensão. Caso contrário, ela é heterogênea". Postulado: "Toda equação física válida é homogênea".
Observação: Sendo válida, é homogênea. Nem sempre, porém, sendo homogênea é válida. Existe apenas uma alta probabilidade.
Aplicação: Verificação de homogeneidade de equações:
Exemplo: Verificar se a equação v^2 = 2gh é homogênea dim v^2 = (dim v)^2 = (LT-1)^2 = L^2 T-
Os principais sistemas LMT são MKS(SI), CGS e o Ingles FPS. As unidades fundamentais estão relacionadas na tabela que se segue:
Sistema (^) L Unidades FundamentaisM T MKS(SI) metro (m) quilograma (kg) segundo (s) CGS centímetro (cm) Grama (g) segundo (s) FPS Foot (pé) (ft) Pound(libra) (pd ou lb) segundo (s)
Os principais sistemas LFT são MKS* (técnico) ou FPS* (técnico)
Sistema (^) L Unidades FundamentaisF T
MKS* metro (m) Quilograma força (kgf) segundo (s)
FPS* Foot(pé) (ft) Libra força (lbf) segundo (s)
OBS: a) O quilograma força é definido como a força que, aplicada a um corpo de massa de 1 kg, produz uma aceleração de 9,81 m/s^2. Então: 1 kgf = 9,81 N
b) A unidade de massa no MKS* é chamada utm ( unidade técnica de massa)
c) A unidade de massa no FPS* é slug. O slug se define como a massa que se desloca a uma aceleração de 1 ft/s² quando se exerce uma força de uma Libra força sobre ela.
Tabela de Análise dimensional
Grandeza Símbolo
Dimensões LMT
Dimensões LFT
Unidades (SI)
Comprimento (distância) s L L m ^ metro
Massa m M kg ^ quilograma
Tempo (intervalo) t T s ^ segundo
Área (superfície) A S L^2 L^2 m^2
Volume V L^3 L^3 m^3
Velocidade v LT ^1 LT ^1 m/s Aceleração a LT ^2 LT ^2 m/^ s^2
Velocidade angular (freqüência) T ^1 T ^1 rad/s Aceleração angular T ^2 T ^2 rad/^ s^2 Massa específica (densidade) L ^3 M L ^4 FT^2 kg m^3
Quantidade de movimento p LMT ^1 FT ^ kg^ m ^ s
Elongação (mola) d L L m Raio (círculo, esfera) r L L m Comprimento de onda L L m
Força F LMT ^2 F N^ ^ kg m ^ s ^ newton
^2
Energia total E L^2 MT ^2 LF J^ kg^ m ^ s ^ joule
^22
Energia cinética K L^2 MT ^2 LF ^ ^
J kg m^2 s^2
Energia potencial (interna) U L^2 MT ^2 LF ^ ^
J kg m^2 s^2
Trabalho W L^2 MT ^2 LF ^ ^
J kg m^2 s^2
Potência P L^2 MT ^3 LFT ^1 W^ kg^ m ^ s ^ watt
^23
Pressão p L ^1 MT ^2 L^ F
2
P Nm^2 pascal
P kg m s^2 pascal
Aceleração gravitacional (Campo) g LT ^2 LT ^2 N kg m/ s^2
Calor Q L^2 MT ^2 LF ^ ^
J kg m^2 s^2
Torque (momento de uma força) L^2 MT ^2 LF ^ ^
N m kg m^2 s^2
Freqüência f T ^1 T ^1 ciclos/s
Entropia S L^2 MT ^2 - J^ K ^ kg^ m s^ K
2 2
Potencial gravitacional (^) V L^2 T ^2 - J kg m^2 /s^2
Período (^) T T - s Momento de inércia (^) I L^2 M - kg m^2
Diferença de potencial elétrico V L^2 MT ^2 Q ^1 - V^ kg^ m C^ s ^ volt
^2 ^2
Força eletromotriz L^2 MT ^2 Q ^1 - ^ ^
V kg m^2 C s^2
Carga Elétrica q Q - C ^ coulomb
Temperatura (diferença) q - - K ^ kelvin
Ângulo (deslocamento angular) - - rad ^ radiano
Notação científica
Para facilitar a expressão de medições que sejam múltiplos muito grandes ou frações muito pequenas das grandezas fundamentais do SI, é utilizada a notação científica. Nesta notação, qualquer número é escrito como o produto de um número entre 1 e 10 e uma potência apropriada de 10.
Exemplo l : 25000 = 2,5 x 10^4 onde:
- 2,5 é chamado de coeficiente e deve possuir somente um algarismo à esquerda da vírgula, sendo que este algarismo deve ser diferente de zero.
- 10^4 é chamada de ordem de grandeza, e deve ser uma potência inteira de dez.
Exemplo 2: a massa do elétron é aproximadamente 0, kg, ou, em notação científica, 9,1x10-31^ kg, ou ainda, a velocidade da luz no vácuo é aproximadamente 300.000.000 m/s, ou, em notação científica, 3x 10^8 m/s.
Exemplo 3: A = 30,050 = 3,0050 x 10^1 (5 significativos) B = 0,0070 = 7,0 x 10 -3^ (2 significativos) C = 10204,57 = 1,020457x 10^4 (7 significativos) D = 0,000050 10 = 5,010x 10-5^ (4 significativos) E = 1,540 (4 significativos)
Além das unidades do SI, como o metro, quilograma e segundo, também se pode usar “outras” unidades, como o milímetro e nanosegundo onde o prefixo mili e nano significam várias potências de dez. Alguns prefixos são freqüentemente utilizados para expressarem potências de dez, por exemplo: 10-3^ m, é equivalente a 1 milímetro (mm) e, 10^3 m corresponde a 1 quilômetro (km). Igualmente, 1 kg é 10^3 gramas (g) e 1 megavolt (MV) é 10^6 volts (V).
Tabela de Prefixos do SI (notação de Engenharia) Potência Prefixo Símbolo 1024 iota Y 1021 zeta Z 1018 exa E 1015 peta P 1012 tera T 109 giga G 106 mega M 103 quilo k 102 hecto h 101 deca da 100 = 1 -- -- 10 -^1 deci d 10 -^2 centi c 10 -^3 mili m
10 -^6 micro μ 10 -^9 nano n 10 -^12 pico p 10 -^15 femto f 10 -^18 ato a 10 -^21 zepto z 10 -^24 iocto y
Equivalência das Unidades 1km = 1.000m 1m = 10dm = 10cm = 1.000mm
Transformação de unidades
Quando é necessário transformar uma unidade em outra, deve-se dividir esta pela unidade que deve desaparecer e multiplicar pelo valor correspondente daquela que irá substituir a primeira, ou seja , se uma unidade K vale a uma unidades P , isto é, K aP , e b unidades K devem ser transformados para a unidade P , então procede-se como segue:
b a P ba P
K b K b K aP
^
Exemplo: Um veículo está a 60 kmh , qual é sua velocidade no Sistema Internacional, S.I.?
ms , ms s
m s
h km
m h
km h v km^33102167102 6
1 3600 60 10 3600 60 60 ^10 .
Exercício: Uma caixa com volume de 30 cm^3 , contém uma massa de 120 gr qual é a densidade correspondente no Sistema Internacional, S.I.?
3 3 3 6 3 3
3 3 2 3
3 3 3 10 4 10
4 10
4 10 1
10 10
4 1 30
(^120) kgm kg m m
kg gr
kg m
cm cm
gr cm
gr^
^.
Exercício: Uma roda gira a 1200 rpm qual é a velocidade angular correspondente no Sistema Internacional, S.I.?
rads s
rad s
min rotação
rad min
rpm rotações 40 60
1200 2 60
1 1
1200 1200 2.
Exercício: O submarino ALVIN está mergulhando com velocidade de 36,5 braças por minuto.
a - Sabendo que 1 fath braça 6 ft pés e 1 m 3 , 28 feet ft , expresse esta velocidade no
sistema internacional S.I. solução:
, ms , ft
m braça
ft s
min min
, braça min
, braças 111 328 1
1 1
6 1 60
1 1
36 5 3651
(^)
(a) x C 1 C 2 t (R: C 1 =L e C 2 = LT-1) (b) 12 2
(^) x ^1 Ct (R: C 1 = LT-2)
(b) (c) v^2 2 C 1 x (R: C 1 = LT-2) (d) v^^ C 1^ e^ C^2 t (R: C 1 =LT-1^ e C 2 = T)
- Na análise de determinados movimentos, é bastante razoável supor que a força de atrito com o ar seja proporcional ao quadrado da velocidade da partícula que se move analiticamente. Determine a unidade da constante k no Sistema Internacional (SI). (^) f kv^2. (R: kg/m)
- Determine as dimensões das constantes C existentes nas expressões abaixo para que as mesmas sejam homogêneas. Considere como v-velocidade, x – deslocamento e a – aceleração. a) v = C 1 .x + C 2 .t b) x = C 3. cos(C 4 .t + C 5 ) c) a = C 6. exp(C 7 .t)
- Usando os prefixos, expresse as unidades:
a) 10^6 N = ____________________ b) 10-6^ J = ____________________
c) 10-9^ m = ___________________ d) 10-2^ Pa = ___________________
e) 10^2 erg = __________________ f) 10-3^ W = ______________________
g) 10^3 J = _____________________ h) 10-1^ Pa = _____________________
13.Calcule o número de quilômetros que existem em 20 milhas, usando apenas os seguintes fatores de conversão: 1 milha = 5820pés, 1 pé = 12 polegadas, polegada = 2,54 cm , 1 m= 100 cm e 1 km = 1000m.
- Uma sala mede 20 pés e 2 polegadas de comprimento e 12 pés e 5 polegadas de largura. Qual é a sua área em (a) pés quadrados e (b) em metros quadrados? Se o teto está a 12 pés e 2, polegadas acima do assoalho, qual é o volume desta sala em (c) pés cúbicos e (d) metros cúbicos?
- Uma certa tinta para pintar paredes garante uma cobertura de 460 pés^2 /gal. Expresse esta quantidade em metros quadrados por litro. (b) Expresse esta quantidade em unidades fundamentais do SI.
OBS: Não esqueça de treinar as deduções das fórmulas dimensionais obtidas na sala de aula.
