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Estudar a distribuição de tamanhos de amostras sólidas através de peneiramento; Testar os modelos existentes; Calcular o diâmetro médio de Sauter.
Tipologia: Trabalhos
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Curso: Engenharia Química - Bacharelado Disciplina: Laboratório de Engenharia Química I (EQI 0024) Professor: Daniel José de Oliveira Ferreira ANÁLISE GRANULOMÉTRICA Estudante: Alexssandra Marcanssoni Carnaval Anne Gabriele da Silva Santos Eduardo Torres Luanna Leticia de Oliveira Aquino
O estudo da granulometria consiste em estudar os tamanhos das partículas de uma certa mistura arenosa, e a partir disso separar e classificar as partículas pelo seu diâmetro. Para realizar esse processo utiliza-se várias peneiras, cada peneira terá uma medida diferente, então quando agitada as peneiras os grãos que são maiores ficam por cima e os menores vão caindo, até chegar na última peneira, que tem a menor medida,e assim cada peneira vai ter sua quantidade de partículas retidas. O estudo de granulometria pode ser aplicada em várias ocasiões, sendo para estudar as partículas em sólidos ou também para estudar partículas de alimentos. Para alimentos, principalmente para rações, preferencialmente os grãos têm que possuir tamanhos parecidos, sendo melhor para os animais e influenciando até no modo que os animais comem a sua ração (BELLAVER), sendo tão importante a ponto de ajudar até no crescimento e desenvolvimento dos animais, pois com os grãos tendo tamanhos similares os animais tendem a aumentar seu consumo de ração além de ser mais fácil a digestão. Para o estudo da granulometria podemos utilizar cálculos de distribuição de tamanho que consiste em utilizar artifícios matemáticos para realizar uma curva. Assim os métodos de distribuição mais aplicados são os que possuem menos parâmetros, pois assim é mais fácil para estabelecer uma linearidade. A liberalização das distribuições GGS e RRD, são as distribuição mais fáceis de usar e com uma regressão linear é possível conseguir os parâmetros necessários, e também assim consegue-se montar o gráfico que representa a distribuição das partículas pelos seus diâmetros. Outra distribuição que pode ser utilizada nesse caso e a do log-normal, que tende a realizar uma aproximação polinomial da função inversa da probabilidade integral, esse modelo de distribuição tende a ter mais parâmetros o que nos dá um resultado mais aproximado do real.
2. OBJETIVOS ● Estudar a distribuição de tamanhos de amostras sólidas através de peneiramento; ● Testar os modelos existentes; ● Calcular o diâmetro médio de Sauter.
Figura 2. GGS (Cremasco, 2014) Porém por não ser uma equação linear a modelagem se torna complicada, linearizando-a a equação se torna na equação 1. 𝑙𝑛(𝑥) = 𝑚𝑙𝑛(𝐷𝑖) − 𝑚𝑙𝑛(𝑘) ( Equação 1 ) Se equiparando a uma equação do primeiro grau “ 𝑦 = 𝐴𝑥 + 𝐵” onde: ln(x) é y; m é A; -mln(k) é B. A proposta foi calcular ln(x) e ln(Di), o que pode ser visto na Figura 3. Figura 3. Logaritmo natural de x e Di E após isso, fazer um gráfico de ln(x) por ln(Di) e linearizar a equação, encontrando assim A e B. A linearização pode ser vista através da Figura 4.
Figura 4. Linearização do gráfico de Ln(x) por Ln(Di) Através da linearização é possível conferir a função a Equação 2 𝑦 = 0, 9563𝑥 + 7, 5532 (Equação 2) Dela podemos tirar, comparando com y=Ax + B que, 0,9563 =A e 7,5532=B. Da linearização da equação do GGS, temos que A=m e B=-mln(Di). Então podemos dizer que através da Tabela 1 : M 0, -m.ln(k) (^) 7, m.ln(k) -7, ln(k) -7, k 0, Tabela 1. Coeficientes da regressão linear. O passo a seguir seria aplicar os parâmetros descobertos na fórmula do GGS para a modelagem como descrito na Figura 5. Figura 5. Equação da distribuição GGS.
Peneira n(di) ln(ln(1/1-xi)) 2 8,18868912 #DIV/0! 3 7,4955419 2, 4 6,80239476 0, 5 6,10924758 -1, 6 5,41610040 #NÚM! Tabela 2. Valores de ln(di) e de ln(ln(1/1-xi)) Como o ln(ln(1/1-xi)) não nos apresentou valores para a peneira 2 e 6 eles não serão usados para a regressão. Após isso regredindo linearmente um gráfico de 𝑙𝑛(𝑙𝑛( por ln(Di) para 1 1−𝑋𝑖 )) que uma equação seja gerada, obtemos o gráfico e a equação da Figura 8 : Figura 8. Gráfico de Ln(Di) por Ln(ln(1/1-xi) Através do gráfico podemos analisar que a linearização se deu como “y=2,674x - 16,668”. Comparativamente, em y= Ax+B; 2,674 pode ser comparado com A e 16, pode ser comparado com B. Para nossa Equação 3, A= n e B = -nln(D’). Então temos: -17,668= -n(ln(d')) 17,668= n(ln(d')) 2,674=n
6,60733=ln(d') 735,09=d’ Substituindo na equação 3: 𝐿𝑛[𝑙𝑛(1/(1 − 𝑋𝑖)] = 2, 674𝑙𝑛(𝐷𝑖) − 17, 668 Podemos dizer que é um modelo mais satisfatório pois a regressão linear se dá de forma simples e o comportamento dos dados coincidem com os de uma equação do primeiro grau. 4.4 Distribuição Lognormal Utilizando novamente a Figura 1 como base, temos que no modelo do Lognormal precisamos calcular alguns parâmetros para a sua distribuição. O equacionamento se dá na Figura 9 : Figura 9. Equacionamento da distribuição Lognormal Sendo X a fração mássica acumulada, erf(z) a função erro de Z, sendo Z um parâmetro dependente de Di, D50 e Gama, sendo Gama e D50 os fatores que teremos que encontrar no processo, seja através de um solver, ou graficamente comparando a semelhança das curvas graficadas. Gama é um fator do processo e D50 é o diâmetro máximo da primeira metade das partículas. A princípio Z deverá ser calculado com valores arbitrários de D50 e Gama para que o processo possa ser iniciado. Após calcular Z para cada diâmetro médio através da equação na Figura 9, foi necessário usar uma função do Software Microsoft Excel chamada “funerro” que gerará a função erro de z (erf (Z) ), integrando de 0 a Z para cada peneira; erf(z) será necessária para a modelagem da nossa distribuição. Após isso será necessário calcular o x predito através da Equação 4 para cada peneira. (Equação 4) 1+𝑒𝑟𝑓(𝑍) 2 Após calcular o x predito para cada peneira, é necessário calcular o Erro² através da Equação 5 para cada peneira. (𝑥𝑝𝑟𝑒𝑑𝑖𝑡𝑜 − 𝑥)² (Equação 5)
4.4 Diâmetro de Sauter Baseando-se na Figura 1 uma nova figura foi feita alterando-se o percentual da fração mássica para cada peneira (xi(%)) para números absolutos. Como visto na Figura 12 : Figura 12. Dados necessários para calcular o diâmetro de Sauter. Para o cálculo do diâmetro de Sauter utilizaremos a seguinte equação, na Figura 13. Figura 13. Diâmetro de Sauter. Foi calculado os xi/Di para cada peneira e com a soma deles, substituindo na fórmula do diâmetro de Sauter temos que: =0, 𝑖= 6 ∑ ( 𝑥𝑖 𝐷𝑖 ) 𝐷𝑝𝑠 = 1 𝑖= 6 ∑ ( 𝑥𝑖𝐷𝑖 )
1 0,001285 = 778, 1369 𝑢𝑚 Através das distribuições podemos listar que a GGS não é indicada para modelar o nosso experimento pois o coeficiente m se mostrou menor que 1 inviabilizando o procedimento, para RRB e log normal o procedimento correu bem e deu como resultado boas distribuições para podermos modelar o diâmetro das nossas partículas.
5. CONCLUSÃO Mesmo com sequenciamento de abertura uniformes, obtivemos inconsistências na análise. Visto que, mesmo com a limpeza das redes da peneira, os grãos da área ainda permaneciam presos na superfície, isso ocorre, devido à pequena espessura dos grãos da amostra. Ainda sim, quando comparamos os resultados obtidos por cada peneira, percebemos
que os valores são equivalentes. O que comprova que no processamento de peneiramento a seco as perdas do processo são baixas em relação ao montante.
6. REFERÊNCIAS K-EQ - PROF. KARINA KLOCK. Aula 06 - OP1 - Picnometria e Modelos de Distribuição Granulométrica: GGS, RRB e Log-normal.2020. Disponível em: . Acesso em:14 de junho de 2022. K-EQ - PROF. KARINA KLOCK. Aula 05 - OP1 - Caracterização de partículas sólidas (Peneiramento).2020. Disponível em: . Acesso em:14 de junho de 2022. KESSIA SANTOS UFTM VIRTUAL.Como fazer ajuste não Linear de Modelo de Distribuição Granulométrica Log-Normal no EXCEL.2021. Disponível em: . Acesso em: 14 de junho de 2022. CREMASCO, Marco Aurélio; Operações Unitárias em Sistemas Particulados e Fluidomecânicos,2014. BELLAVER, Claudia. NONES, Katia. A importância da granulometria em rações aviárias. Disponível em < http://www.agencia.cnptia.embrapa.br/Repositorio/importancia_granulometria_mistura_peleti zacao_racao_avicola_000fz2mqbjp02wx5ok0ejlyhdtthcjp9.pdf>. Acesso em 20 de junho de
FRARE, Laercio Mantovani; Linearização do modelo log-normal para distribuição de tamanhos de partículas. Disponível em < file:///C:/Users/aaall/Downloads/3128-Article% 20Text-9094-1-10-20080513.pdf>. Acesso em 20 de junho de 2022.
