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Método de Análise Nodal
1. Introdução
Conforme visto anteriormente, a solução de um circuito elétrico contendo b ramos requer a determinação de 2b incógnitas, as quais são a corrente e a tensão de cada ramo. Também foi mostrado que a aplicação das Leis de Kirchoff e a consideração das relações tensão-corrente de cada ramo permite estabelecer as equações necessárias para a solução do circuito. No entanto, a solução fica mais simples quando se utiliza um conjunto de variáveis distinto das variáveis de ramo. No caso da análise de nós serão utilizadas as tensões dos nós do circuito em relação a um nó de referência, ao invés da tensão de ramo (tensão entre os terminais de cada ramo). Desta forma será obtido um sistema de equações tendo como incógnitas as tensões dos nós do circuito em relação ao nó de referência, o qual pode ser escolhido como qualquer nó do circuito. A aplicação sistemática deste procedimento é denominada Análise Nodal e é descrita resumidamente a seguir. Maiores detalhes são obtidos na bibliografia indicada.
2. Procedimento Básico
A análise nodal envolve sempre os cinco passos descritos a seguir.
2.1 Seleção do Nó de Referência
Inicialmente deve ser selecionado um nó qualquer do circuito como nó de referência, em relação ao qual todas as tensões serão determinadas. O potencial deste nó será assumido como zero, motivo pelo qual ele muitas vezes também é denominado de nó de terra. Em seguida os demais nós são numerados de 1 a (n-1), sendo n o número total de nós do circuito incluindo o nó de referência. As demais tensões dos nós serão designadas como
v 1 , v 2 ,v 3 Kvn− 1.
2.2 Aplicação da LCK aos Nós
Após a escolha do nó de referência e numeração dos nós restantes, deve-se aplicar a Lei de Kirchhoff para os (n-1) nós. A LCK não necessita ser aplicada para o nó de referência, uma vez que resultará numa equação a mais do que o necessário para a solução do circuito. Deve- se adotar uma convenção de sinal de acordo com o sentido das correntes em relação aos nós. Geralmente, são consideradas positivas as correntes que entram no nó, enquanto que correntes que saem são consideradas negativas. Como resultado desta etapa, haverá (n-1) equações que representam os somatórios das correntes que incidem e saem dos (n-1) nós.
2.3 Consideração das Relações Tensão-Corrente dos Ramos
As equações da etapa anterior foram escritas em função das correntes de nós. No entanto, as incógnitas são tensões de nó. Deve-se, portanto, utilizar as relações de tensão-corrente para substituir as correntes de nós por relações envolvendo as tensões de nó. Como resultado desta etapa, obtém-se (n-1) equações envolvendo as tensões de nó. Deve-se atentar que existe uma relação tensão corrente para cada ramo, existindo portanto b relações deste tipo.
2.4 Solução do Sistema de Equações
Após a obtenção das equações de nó, deve-se utilizar algum método de solução de sistemas de equações e determinar as (n-1) incógnitas. Num caso geral, obtém-se um sistema de equações íntegro-diferenciais, cuja solução é assegurada caso o circuito seja composto apenas de elementos lineares e invariáveis no tempo. Caso o circuito seja composto apenas
v (^) x vy
ik
Rk
Figura 1 - Tensão e corrente de ramo
de resistores, obtém-se um sistema de (n-1) equações algébricas onde os coeficientes são obtidos a partir das resistências do circuito, sendo a solução neste caso mais fácil, uma vez que as equações não envolvem integrais e derivadas.
2.5 Obtenção das Correntes e Tensões de Ramos
Deve-se atentar para o fato que, depois de solucionado o sistema de equações, pode-se obter todas as correntes e tensões de ramo do circuito a partir das tensões de nó. Por exemplo, a tensão do ramo k, conectado entre os nós x e y do circuito conforme a Figura 1, pode ser obtida pela seguinte equação:
vk = vxy=vx−vy (1)
Considerando-se os sentidos associados, a corrente no ramo k que circula do nó x para o nó y será dada como:
( (^) x y) (^) k k
x y k (^) R v v G
v v i = − ⋅
k
k (^) R
G = (3)
Rk - resistência do ramo k (ohms, Ω)
G k - condutância do ramo k (siemens, S)
3. Exemplo de Aplicação
O método exposto será ilustrado por meio de um exemplo simples ilustrado na Figura 2, onde todos as etapas citadas serão realizadas.
3.1 Seleção do Nó de Referência
Para o circuito mostrado na Figura 2 existem 3 nós, sendo que o nó inferior será escolhido como nó de referência (nó de terra). As tensões nos outros dois nós serão denominadas v 1 e v 2 , respectivamente. As
correntes nos resistores R , 1 R 2 e R 3 serão denominadas
de i , 1 i 2 e i. 3
3.2 Aplicação da LCK aos Nós
Aplicando-se a LCK para os nós 1 e 2 resulta, respectivamente:
3.3 Consideração das Relações Tensão-Corrente dos Ramos
Considerando os sentidos associados as relações tensão-corrente para os resistores R , 1 R 2 e
R 3 serão:
_
i 1
i 2
i 3
_
_
I a
Ib
v 1 v 2 1 2
0
R 3
R 2
R 1
Figura 2 - Circuito de exemplo
Solucionando-se o sistema para os valores considerados, obtém-se:
v
v
2
(^1) volts (14)
3.5 Obtenção das Correntes e Tensões de Ramos
A partir das tensões de nó v 1 e v 2 obtém-se por meio das equações (6) a (8) correntes de
ramo:
R
v i 1
1 1 =^ = = A^ (15)
i 2 =−
= A (16)
R
v i 3
2 3 =^ = = A^ (17)
As tensões sobre os ramos serão dadas pelas seguintes equações:
v (^) R 1 = v 1 − 0 =v 1 − 0 =v 1 = 6. 857 V (18)
v (^) R 2 = v 1 − 2 =v 1 −v 2 = 6. 857 − 12. 571 =− 5. 714 V (19)
v (^) R 3 = v 2 − 0 =v 2 − 0 = 12. 571 V (20)
O sinal negativo da tensão vR 2 que aparece na solução significa que a tensão que
efetivamente existe sobre este componente possui polaridade contrária ao sentido assumido como positivo. Da mesma forma, a corrente negativa significa que o sentido que efetivamente existe é contrário àquele considerado positivo.
Com a determinação de todos as tensões e correntes do circuito, pode-se também determinar a potência dissipada em cada um dos resistores e nas fontes de corrente.
4. Obtenção das Equações de Nós por Inspeção
Quando o circuito contém somente resistores lineares e fontes independentes de corrente , pode-se escrever diretamente as equações de nós do circuito. Deve-se observar que a matriz de coeficientes do sistema de equações contém valores de condutância, sendo portanto denominada de matriz de condutâncias. Ela possui a seguinte forma geral onde N=n-1:
[ ]
N 1 N 2 NN
12 22 2 N
11 12 1 N
G G G
G G G
G G G
G
M M M M
L
L
A matriz de condutâncias é uma matriz do tipo simétrica com as seguintes propriedades, as quais permitem a sua montagem baseada apenas na topologia do circuito.
Gkk = soma das condutâncias conectadas ao nó k
_
R
R
E
I = v
_
E
i
v
i
( a ) ( b )
_
R
Figura 3 - Equivalência de fontes
Gjk = G kj = soma das condutâncias conectadas entre os nós j e k
Deve-se observar que os elementos fora da diagonal principal serão valores negativos na matriz de condutâncias. O sistema de equações terá a seguinte forma geral:
N
2
1
N
2
1
1 N 2 N NN
12 22 2 N
11 12 1 N
I
I
I
v
v
v
G G G
G G G
G G G
M M M M M M
L
L
[G ] [ ⋅ V ] =[ ]I (23)
[ ]I = [I 1 I 2 L IN]T (24)
[ V] = [ v 1 v 2 L vN]T (25)
Ik - somatório das fontes das fontes de corrente que estão conectadas ao nó, sendo que as fontes entrando no nó são consideradas positivas e as saindo negativas.
Baseado nas propriedades acima, pode-se montar diretamente as equações de nó do circuito, atentando-se para o fato que o circuito contenha apenas fontes de corrente independentes e resistores lineares. Pode-se comprovar esta afirmação para o exemplo anterior obtendo-se diretamente as equações de nó do circuito.
5. Transformação de Fontes
A análise de nós é mais simples quando todas as fontes que existem são fontes de corrente. Quando isto não ocorrer, pode-se transformar fontes de tensão em série com um resistor (Figura 3a) em fontes de corrente com o resistor em paralelo (Figura 3b), de acordo com as relações que seguem.
R
E
E = R⋅I ⇔ I= (26)
Por meio das transformações de fonte pode-se, exceto em casos especiais, obter um circuito onde apenas aparecem fontes de corrente e análise nodal pode ser facilmente realizada. Deve- se também atentar para o fato que nem sempre é possível converter facilmente todas as fontes de tensão do circuito para fontes de corrente.
_
i 1 i 2
i 3
_
_
I a (^) Ib
v 1 v 2
1 2
0
E
R 1 R 2
R 3
If
Figura 5 - Análise nodal com fonte de tensão
2
2 2
2 (^2) R
v R
v 0 i =
= ou i 2 = v 2 ⋅G 2 (32)
3
3 1 2 R
v v i
= ou i 3 = (v 1 −v 2 ) ⋅G 3 (33)
A equação adicional considerando a fonte de tensão é:
E = v 1 −v 2 (34)
substituindo as relações (31) a (34) obtém-se finalmente as equações do circuito. Deve-se notar que a corrente da fonte de tensão aparece como uma incógnita a mais, havendo também uma equação a mais (equação (34)).
+Ia =v 1 ⋅G 1 + ( v 1 −v 2 ) ⋅G 3 −If
- Ia =v 1 ⋅ (G 1 +G 3 ) −v 2 ⋅G 3 −If (35)
+Ib = ( v 1 −v 2 ) ⋅G 3 −v 2 ⋅G 2 −If
- Ib =v 1 ⋅G 3 −v 2 ⋅ (G 2 +G 3 ) −If (36)
Multiplicando-se a última equação por (-1), resulta:
− Ib =−v 1 ⋅G 3 +v 2 ⋅ ( G 2 +G 3 ) +If (37)
As equações (34), (35) e (36) são portanto as equações básicas do circuito, sendo as incógnitas v , 1 v 2 e I .f
De forma matricial , o sistema de equações pode ser escrito como:
( ) ( )
E
I
I
I
v
v
G G G 1
G G G 1
b
a
f
2
1 3 2 3
1 3 3 (38)
Considerando-se os seguintes valores:
Ia = 2 A
Ib = 7 A
R 1 = 2 Ω ⇒ G 1 = 0. 5 S
R 2 = 4 Ω ⇒ G 2 = 0. 25 S
R 3 = 10 Ω ⇒ G 3 = 0. 10 S
E = 2 V
Obtém-se para o sistema:
I
v
v
f
2
1 (39)
Resolvendo-se o sistema, obtém-se, finalmente, a solução:
I
v
v
f
2
1 (40)
7. Exercícios Propostos
Os exercícios abaixo foram selecionados da bibliografia da disciplina. Recomenda-se que todos os exercícios sejam resolvidos.
Charles K. Alexander e Matthew N. O. Sadiku (2003). Fundamentos de Circuitos Elétricos. Bookman (Central 20, Edição 2000) - Capítulo 3. Questões de revisão: 3.1, 3.2, 3.7. Problemas: 3.4, 3.6, 3.7, 3.11, 3.15, 3.23, 3.24, 3.25, 3.33, 3.34, 3.35, 3.40, 3.42, 3.46.,3.47, 3.49, 3.50, 3.56, 3.58.
James W. Nilsson e Susan A. Riedel (2003). Circuitos Elétricos. LTC Editora. 621. N712c (Central 15, Edição 1999): Capítulo 3. Problemas 3.2, 3.9, 3.23, 3.26, 3.31, 3.32, 3.36, 3.38, 3.39, 3.41, 3.64, 3.65.
