Baixe Análise Nodal e de Malhas em Circuitos Elétricos: Conceitos e Aplicações e outras Notas de estudo em PDF para Circuitos Elétricos, somente na Docsity!
EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 3
1
(^) Análise de malha. (^) Análise nodal, Esta aula: Análise Nodal
Consideremos o circuito abaixo:
1 R 3 R^2 R
1 I
2 I
3
(^1) 2
(^31) R 3 R^2 R
1 I
2 I
3
(^1) 2
3
Redesenhando e designando o nó 3 como
(^) nó de
referência , temos: Ref^13 R^ R 2 R
1 v
2 v
21 vv^ −
1 I
2 I
Ref^13 R^ R 2 R
1 v
2 v
21 vv^ −
1 I
2 I
relação ao nó de referência. Designamos uma tensão para cada nó, com
EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 3 Nó 1: Usando agora a Lei de Kirchhoff das correntes:
1
2 21
(^11) I
R vv
R v =−
ou
12 )^
12
11
I vv
Gv
G
Nó 2:
23
2 21
(^2)
vG
I
vv
G
duas incógnitas: Temos, então, um sistema de duas equações e
22
32
12
12
21
21 Iv
GG
vG
Iv
Gv
GG
Para Exemplo numérico: (^1) Ω= (^2)
R
R
e (^3) Ω= (^1)
R
A
1 I 3 =
e
A
I
(^2 2) −= (^) , teremos:
V 1 v (^) 5 = e V
v (^2 5) , 2 =
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Outro exemplo: S^3 S^1 S 2^ S^4
S^5
A^8 −^
A^25 −
S^3 A^3 −
S^1 S 2^ S^4
S^5
A^8 −^
A^25 −
A^3 −
Redesenhando A^8 − S^4
S^3
S^1
S^5^ A^25 −^ S^2
1 v
2 v
3 v
Ref^ A^3 −
A^8 −
S^4
S^3
S^1
S^5^ A^25 −^ S^2
1 v
2 v
3 v
Ref^ A^3 −
EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 3 para os três nós, temos o sistema: Escrevendo a Lei de Kirchhoff das correntes
−=
3
2
1 3
2
1 3
2 1 v
v v v
v v v
vv
chegamos à Resolvendo esse sistema de equações, (^1) Vv (^) 1 = (^) , V 2 v (^) 2 = e V 3 v (^) 3 =
seguinte forma: Note que podemos reescrever o sistema da
=
3
2
1 3
2
1 3
2 1 v
v v v
v v v
v v
ou
3^ v 2 v 1 v
verificação das equações. A matriz é simétrica! Isso pode ser usado na
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de tensão dependente: Consideremos agora a presença de um gerador A^8 − S^4
S^3 S^1 S^5^ A^25 −
1 v
2 v 3 v
Ref x 8 i Super nó
A^3 − xi
A^8 − S^4
S^3 S^1 S^5^ A^25 −
1 v
2 v 3 v
Ref x 8 i Super nó
A^3 − xi
Super-nó:Kirchhoff, temos, como antes,nós como um super-nó. Aplicando a Lei deentre os nós 2 e 3, consideraremos este par de Novamente, como temos um gerador de tensão
3
2
(^1)
v
v
v
Nó 1:
3
2 (^1) −=
v
vv
Entre os nós 2 e 3:
8 )(^4
13
23 vv
vi v x −
Ou
5 ,^0
5 ,^0
3
21
v
vv
Resulta: (^1) Vv (^) 1 = (^) , V 2 v (^) 2 = e V 3 v (^) 3 =
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Procedimento
- (^) Redesenhe (^) o (^) circuito, (^) escolhendo (^) um nó
- (^) Se (^) o relação ao nó de referencia,nós, para indicar a tensão daquele nó com • (^) Atribua uma variável para cada um dos outroscomo referência, (^) circuito (^) contiver (^) apenas (^) fontes (^) de
corrente, (^) escreva (^) a (^) Lei (^) de Kirchhoff (^) das
- (^) Se (^) o equações para obter as tensões nos nós.do nó de referência; resolva o sistema decorrentes para cada um dos nós, com exceção (^) circuito (^) contiver (^) fontes (^) de tensão,
tensõesdisso, relacione as tensões dos geradores àscorrentes para os super-nós formados; alémescreva a Lei de Kirchhoff generalizada das (^) dos (^) nós; (^) resolva (^) o sistema (^) de
equações para obter as tensões nos nós.
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Análise de malhas
Circuito Algumas definições: (^) planar : (^) é aquele (^) que (^) pode (^) ser
Malhas bipolo ou nó.que não passe duas ou mais vezes pelo mesmo Laço : percurso fechado formado por bipolos eExemplo de circuito não planar:cruze outro.desenhado em um plano, sem que um ramo : laços em um circuito plano que não
Corrente de malha contém outros laços em seu interior.
: corrente que circula nos
perímetro de uma malha
EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 3 Exemplos:
Não é laço
Não é laço
Não é laço
Não é laço
É laço, mas não é malha
É malha
É laço, mas não é malhaÉ laço, mas não é malha
É malhaÉ malha
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- (^) As linhas desentido horário, • (^) As correntes de malhas são indicadas noindependentes, • (^) O circuito contiver apenas fontes de tensão Se: (^) R (^) contiverem os coeficientes de
(^21) K, ii^ , (ordenados),
- (^) A (^) i -ésima linha corresponde à
(^) i -ésima malha,
então, (^) R (^) será uma matriz simétrica. Essa
Consideremos agora a presença de umcorreção da matriz.propriedade pode ser um teste para verificar a
(^) gerador
de corrente V (^) no circuito anterior, ou seja:
Ω^1
Ω^1 Ω^2
Ω^2
Ω^3
1 i 3 i 2 i
A^7
31 ii^ −
V^7
Ω^1
Ω^1 Ω^2
Ω^2
Ω^3
1 i 3 i 2 i
A^7
31 ii^ −
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Porém, sabemos querelacionar sua tensão à sua corrente.)tensões para as malhas 1 e 3 (não sabemos Não podemos escrever a Lei de Kirchhoff das
(^1) =−^ i
i .
Da 2 a
. malha, temos
32
(^1) =−
+−^
ii
i
o laço formado pelas malhas 1 e 3:aplicação da Lei de Kirchhoff das tensões para Precisamos de mais uma equação: obtida pela V^7 Ω^1 Ω^1 Ω^2
Ω^2 Ω^3
1 i 3 i 2 i
A^7
V^7 Ω^1 Ω^1 Ω^2
Ω^2 Ω^3
1 i 3 i 2 i
A^7
33
2
21
=−
ii
i
ii
A
iA
iA
i
ii ii
i ii
i
,^5 ,^2
,^9
3
2
1
31 32
1 32
1
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gerador dependente: Consideremos, por fim, a presença de um A^15 Ω^1
Ω^1 Ω^2
Ω^2
Ω^3
1 i 3 i^2 i
(^9) xv xv
A^15
Ω^1
Ω^1 Ω^2
Ω^2
Ω^3
1 i 3 i^2 i
(^9) xv xv
Com antes, (^) precisamos (^) de três equações
pode ser obtida da malha 2:relacionando as correntes de malha. A primeira
(^3
(^1
32
2
12
=−
ii
i
ii
ou
32
(^1) =−
+−^
ii
i
uma equação.com apenas a malha 2, de onde já extraímoscircuito naquele ponto), resulta em um circuitoda presença de gerador de corrente (abrir o Seguindo o procedimento adotado para o caso
EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 3 Porém, por inspeção, temos que
A
1 i (^) 15 = (^30) e
3
2
1
13
=−^
i
i
i
i v i x
necessário, resultando em:completando o conjunto de equações A
1 i (^) 15 = , A
2 i (^) 11 = e A
3 i (^) 17 = .
