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Os N´umeros Reais I (^) M ´ODULO 1 - AULA 4
Aula 4 – Os N´umeros Reais I
Metas da aula: Definir os n´umeros reais tendo por base representa¸c˜oes
decimais. Mostrar que os n´umeros racionais podem ser caracterizados como decimais peri´odicos. Mostrar atrav´es de exemplos que o sistema dos n´umeros racionais possui falhas que motivam a introdu¸c˜ao de decimais n˜ao-peri´odicos que correspondem aos n´umeros irracionais. Definir uma rela¸c˜ao de ordem para os n´umeros reais e mostrar que ela coincide com a ordem dos racionais quando restrita aos decimais peri´odicos. Mostrar que o conjunto dos n´umeros reais n˜ao ´e enumer´avel. Introduzir os conceitos fundamentais de supremo e de ´ınfimo.
Objetivos: Ao final desta aula, vocˆe dever´a ser capaz de:
- Saber o significado e o uso das representa¸c˜oes decimais dos n´umeros reais.
- Saber o significado e o uso da identifica¸c˜ao dos n´umeros racionais com os decimais peri´odicos.
- Demonstrar proposi¸c˜oes simples envolvendo os conceitos de supremo e ´ınfimo.
Introdu¸c˜ao
Nesta aula vamos iniciar nosso estudo sobre os n´umeros reais e suas propriedades. A discuss˜ao aqui conter´a aspectos informais mas procurar´a se manter o mais pr´oximo poss´ıvel da argumenta¸c˜ao matem´atica rigorosa. Assim, apresentaremos, de modo um tanto informal, o conjunto dos n´umeros reais como o conjunto dos decimais. Estes ´ultimos s˜ao express˜oes onde aparecem um inteiro n˜ao-negativo, precedido ou n˜ao por um sinal de menos, seguido por um ponto, `a direita do qual segue uma sucess˜ao infind´avel de d´ıgitos que tomam valores no conjunto dos algarismos { 0 , 1 , 2 ,... , 9 }. No que segue vamos estabelecer essa no¸c˜ao de forma mais precisa.
Essa abordagem tem a vantagem de dar aos n´umeros reais uma forma concreta, pr´oxima da id´eia que fazemos deles, pelo modo como j´a estamos habituados a lidar com express˜oes decimais do tipo mencionado. Por´em tem a desvantagem de ter de trabalhar com express˜oes “pesadas” do ponto de vista notacional. De qualquer modo, logo que concluirmos a apresenta¸c˜ao
AN ´ALISE REAL
Os N´umeros Reais I
dos n´umeros reais na pr´oxima aula, ficar´a claro que esse conjunto fica carac- terizado n˜ao pela forma de seus elementos (de fato, eles poderiam assumir formas completamente distintas), mas pela rela¸c˜ao de ordem entre esses ele- mentos, as opera¸c˜oes que podemos realizar entre eles e a completude do conjunto, que ser´a explicada mais adiante. Assim, poderemos dispensar to- talmente a representa¸c˜ao dos reais como decimais logo ap´os o t´ermino dessa apresenta¸c˜ao. Observe que adotamos aqui a conven¸c˜ao de apresentar os decimais com a parte inteira separada da fracion´aria por um ponto real¸cado “• ” e n˜ao por uma v´ırgula, que ´e a forma mais usual no Brasil. Fazemos isso para dar melhor visibilidade ao mesmo e evitar confus˜oes, uma vez que a v´ırgula “,” assim como o ponto “·” usual s˜ao utilizados freq¨uentemente com outras finalidades.
Os n´umeros reais vistos como decimais
Vocˆe certamente j´a est´a bastante familiarizado com a representa¸c˜ao decimal para os n´umeros racionais. Essa representa¸c˜ao ´e obtida atrav´es do conhecido algoritmo da divis˜ao que aprendemos no ensino fundamental. O algoritmo para obter a representa¸c˜ao decimal de 5/7 est´a descrito na Fig. 4.1.
Seja p/q, p, q ∈ N, um n´umero racional positivo. Podemos, tamb´em supor que p e q sejam primos entre si, isto ´e, n˜ao possuem divisores comuns. A representa¸c˜ao decimal de p/q tem a forma a 0 • a 1 a 2 a 3... , onde a 0 ∈ N∪{ 0 } e a 1 , a 2 , a 3 , · · · ∈ { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 }. Chamamos algarismos os elementos do conjunto
{ 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 }.
De modo geral, ou essa representa¸c˜ao termina em zeros, isto ´e, an = 0, para n ≥ k, para algum k ∈ N, ou apresenta um bloco de m algarismos (per´ıodo), com m ∈ N, repetindo-se indefinidamente a partir da (k + 1)- ´esima casa decimal, para um certo k ∈ N, isto ´e, an = an+m para todo natural n > k. Chamamos tal representa¸c˜ao decimal peri´odica, incluindo nessa denomina¸c˜ao tamb´em o caso em que a representa¸c˜ao decimal termina em zeros, considerando nesse caso m = 1 e 0 como o bloco que se repete periodicamente com per´ıodo 1.
AN ´ALISE REAL
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racional p/q, j´a que, multiplicando-se essa representa¸c˜ao, que chamaremos x, por 10k+1, obter´ıamos 10k+1x = a 0 a 1... (ak − 1)9• 999... e, multiplicando-a por 10k, obter´ıamos 10kx = a 0 a 1... (ak − 1)• 999.... Fazendo a diferen¸ca, temos
9 · 10 kx = a 0 a 1... (ak − 1)9• 000 · · · − a 0 a 1... (ak − 1)• 000... = 10 · a 0 a 1... (ak − 1) + 9 − a 0 a 1... (ak − 1) = 9 · a 0 a 1... (ak − 1) + 9 = 9 · (a 0 a 1... ak − 1 + 1) = 9 · a 0 a 1... ak,
donde se conclui que 10kx = a 0 a 1... ak, isto ´e, x = a 0 • a 1... ak, ou seja, x = p/q. Nos c´alculos anteriores, por abuso de nota¸c˜ao, denotamos por a 0 a 1... ak o inteiro N cuja representa¸c˜ao decimal ´e obtida justapondo-se `a direita de a 0 os algarismos a 1 ,... , ak, sucessivamente, ou seja, N = a 0 · 10 k^ + a 1 · 10 k−^1 + · · · + ak. Por exemplo, 1/2 = 0• 5 ou 1/2 = 0• 49999, 11/50 = 0• 22 ou 11/50 = 0 • 21999.... No que segue, estaremos sempre descartando representa¸c˜oes decimais terminadas em 9’s.
Defini¸c˜ao 4.
- Chamaremos decimal geral n˜ao-nulo qualquer express˜ao da forma ±a 0 • a 1 a 2 a 3... , onde a 0 ∈ N ∪ { 0 },
a 1 , a 2 , a 3 , · · · ∈ { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 }
e para algum k ∈ N∪{ 0 } tem-se ak > 0. Em geral escreve-se a 0 • a 1 a 2 a 3... em vez de +a 0 • a 1 a 2 a 3... , e estes s˜ao chamados positivos ao passo que os decimais da forma −a 0 • a 1 a 2 a 3... s˜ao chamados negativos.
- O decimal nulo ´e definido por 0• 000....
- Decimais gerais n˜ao-nulos da forma ±a 0 • a 1 a 2... ak 999... , onde an = 9 se n ≥ k, ak 6 = 9, ou ±a 0 • 9999... ser˜ao por n´os chamados redun- dantes e identificados com os decimais que lhes s˜ao eq¨uivalentes, isto ´e, ±a 0 • a 1 a 2... (ak + 1)000... e ±(a 0 + 1)• 000... , respectivamente.
- Um decimal ´e um decimal geral positivo, negativo ou nulo que n˜ao ´e redundante.
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- Um decimal peri´odico ´e um decimal que apresenta um bloco de m algarismos (per´ıodo), com m ∈ N, repetindo-se indefinidamente a partir da (k + 1)-´esima casa decimal, para um certo k ∈ N, isto ´e, an = an+m, para todo natural n > k. Em particular, o decimal nulo ´e peri´odico.
Quando a representa¸c˜ao decimal peri´odica termina em 0’s ´e usual omitir os zeros que se repetem indefinidamente. A seguir, damos uma defini¸c˜ao informal para os n´umeros reais.
Defini¸c˜ao 4.2 (Informal) Um n´umero real ´e um objeto que ´e representado por um decimal. O con- junto de todos os n´umeros reais ´e denotado por R. O n´umero real ´e positivo se ´e representado por um decimal positivo, negativo se ´e representado por um decimal negativo e nulo ou zero se ´e representado pelo decimal nulo.
A todo p ∈ Z, associamos o decimal p∗^ = p• 000... que continuar´a sendo denotado, simplesmente, por p. Em particular, 0 := 0• 000... e 1 := 1 • 000....
Dado x ∈ R, se x = +a 0 • a 1 a 2 a 3... , denotamos por −x o n´umero real −x := −a 0 • a 1 a 2 a 3... , se x = −a 0 • a 1 a 2 a 3... ent˜ao pomos −x := a 0 • a 1 a 2 a 3.... Temos tamb´em a identidade − 0 • 000 · · · = 0• 000 · · · = 0.
Dizemos que a defini¸c˜ao anterior ´e informal porque ela apresenta R apenas como um conjunto cujos elementos podem ser representados de uma forma determinada, e n˜ao como uma estrutura alg´ebrica com propriedades que possam caracteriz´a-lo sem que precisemos saber exatamente que forma tˆem seus elementos.
Em particular, ela n˜ao fornece nenhuma indica¸c˜ao do que venha a ser a adi¸c˜ao x + y, a subtra¸c˜ao x − y, o produto x · y e a divis˜ao x/y (quando y 6 = 0) de dois n´umeros reais x e y quaisquer. Vamos definir essas opera¸c˜oes de modo geral e dar uma caracteriza¸c˜ao estrutural para R em breve.
Por enquanto, vamos definir as referidas opera¸c˜oes apenas em alguns casos bastante particulares, que nos ser˜ao ´uteis na discuss˜ao que faremos logo a seguir.
Defini¸c˜ao 4.
(a) Se x e y s˜ao decimais peri´odicos representando n´umeros racionais x = p/q, y = p′/q′, p, p′, q, q′^ ∈ Z, q 6 = 0, q′^6 = 0, ent˜ao x+y, x−y, x·y e x/y
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Defini¸c˜ao 4.
- Dizemos que x ∈ R ´e um decimal n˜ao-peri´odico se x n˜ao ´e um decimal peri´odico.
- O conjunto R \ Q ´e chamado conjunto dos n´umeros irracionais.
O Teorema 4.1 pode ser reescrito da seguinte forma.
Teorema 4. Um n´umero real x ´e irracional se, e somente se, ´e um decimal n˜ao-peri´odico.
Agora vem a pergunta que n˜ao quer calar: Por que precisamos dos irra- cionais? Por que n˜ao nos contentamos com os racionais? Por que introduzir decimais n˜ao-peri´odicos? Ser´a por mero diletantismo?
Os exemplos a seguir servem como primeiras indica¸c˜oes de que os racionais s˜ao insuficientes para os prop´ositos da An´alise Matem´atica.
Exemplo 4. Vamos mostrar que a equa¸c˜ao
x^2 = 2 (4.1)
n˜ao ´e satisfeita por nenhum n´umero racional x. Se existisse um tal racional x, poder´ıamos escrever x = p/q com p e q inteiros primos entre si. Em particular, p e q n˜ao s˜ao ambos pares. Ent˜ao, de (4.1) obtemos
p^2 = 2q^2. (4.2)
Isto mostra que p^2 ´e par. Portanto, p ´e par, pois, se p fosse ´ımpar, p^2 seria ´ımpar (por quˆe?). Assim, p = 2m, para algum inteiro m, e, portanto, p^2 = 4m^2. Segue de (4.2) que q^2 = 2m^2. Logo, q^2 ´e par e, por conseguinte, q ´e par, o que nos d´a uma contradi¸c˜ao! Portanto, ´e imposs´ıvel um racional x satisfazer (4.1).
Exemplo 4. Seja A o conjunto de todos os racionais positivos r tais que r^2 < 2 e seja B o conjunto de todos os racionais positivos r tais que r^2 > 2. Vamos mostrar que A n˜ao cont´em um maior elemento e B n˜ao cont´em um menor elemento.
Mais explicitamente, para todo r ∈ A vamos mostrar que ´e poss´ıvel encontrar um s ∈ A tal que r < s; e, para todo r ∈ B, vamos mostrar que ´e poss´ıvel encontrar um s ∈ B tal que s < r.
AN ´ALISE REAL
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Para isso, associamos a cada racional r > 0 o n´umero (racional)
s = r − r
r + 2 =
2 r + 2 r + 2.^ (4.3) Ent˜ao s^2 − 2 = 2(r
(r + 2)^2 (4.4) Se r ∈ A, ent˜ao r^2 − 2 < 0, (4.3) mostra que s > r e (4.4) mostra que s^2 < 2. Logo, s ∈ A. Se r ∈ B, ent˜ao r^2 − 2 > 0, (4.3) mostra que 0 < s < r e (4.4) mostra que s^2 > 2. Logo, s ∈ B.
Os exemplos acima mostram que o sistema dos n´umeros racionais tem “falhas”, “buracos”. Os n´umeros irracionais s˜ao introduzidos para preencher essas “falhas”, tapar esses “buracos”. Essa ´e a raz˜ao principal do papel fundamental dos n´umeros reais na An´alise. Apesar dos buracos, o sistema dos racionais apresenta uma propriedade not´avel, que ´e a de ser denso. Com esse termo, queremos dizer que entre dois racionais existe sempre um outro racional. De fato, se r < s, ent˜ao r < (r + s)/ 2 < s. Ainda n˜ao nos ´e poss´ıvel afirmar que existe um n´umero real satisfazendo a equa¸c˜ao (4.1), dentre outras raz˜oes, porque ainda n˜ao definimos o que ´e o quadrado de um n´umero real qualquer. No entanto, estamos bastante pr´oximos de poder fazˆe-lo.
A rela¸c˜ao de ordem dos n´umeros reais
Defini¸c˜ao 4. Seja A um conjunto. Uma ordem em A ´e uma rela¸c˜ao, denotada por <, com as duas seguintes propriedades:
- (Tricotomia) Se x ∈ A e y ∈ A, ent˜ao uma, e somente uma, das alternativas abaixo ´e verdadeira:
x < y, x = y, y < x.
- (Transitividade) Se x, y, z ∈ A, se x < y e y < z, ent˜ao x < z.
A express˜ao “x < y” pode ser lida como “x ´e menor que y” ou “x precede y”. Freq¨uentemente ´e conveniente escrever y > x em vez de x < y.
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Prova: Bastar´a analisar o caso em que x e y s˜ao positivos. Suponhamos a = a 0 • a 1 a 2 a 3... e b = b 0 • b 1 b 2 b 3.... Como a < b, ou a 0 < b 0 , ou existe k ∈ N tal que aj = bj , j = 0, 1 ,... , k − 1, e ak < bk. Por concretude, suponhamos que aconte¸ca o segundo caso, isto ´e, existe k ∈ N tal que aj = bj , j = 0, 1 ,... , k − 1, e ak < bk (o primeiro caso ´e tratado de modo semelhante). Obtemos um racional ξ, com a < ξ < b, fazendo
ξ = a 0 • a 1 a 2... ak... am− 1 (am + 1)000... ,
onde m > k ´e tal que am < 9, o qual sabemos existir, pois a n˜ao ´e decimal redundante. Para obter um irracional ξ satisfazendo a < ξ < b, tomamos para ξ o decimal n˜ao-peri´odico
ξ = a 0 • a 1 a 2... ak... am− 1 (am + 1)01 00︸︷︷︸ 2 ×
3 ×
4 ×
5 ×
onde, como antes, m > k ´e tal que am < 9. § Usamos as seguintes nota¸c˜oes que definem os diversos tipos de intervalos de R:
(a, b) := {x ∈ R : a < x < b}, [a, b] := {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}, (a, b] := {x ∈ R : a < x ≤ b}, [a, b) := {x ∈ R : a ≤ x < b}, (−∞, b) := {x ∈ R : x < b}, (−∞, b] := {x ∈ R : x ≤ b}, (a, +∞) := {x ∈ R : x > a}, [a, +∞) := {x ∈ R : x ≥ a}, (−∞, +∞) := R.
Chamamos aten¸c˜ao para o fato de que −∞ e +∞ s˜ao apenas s´ımbolos con- venientes, que se lˆeem “menos infinito” e “mais infinito”; n˜ao representam, em hip´otese alguma, n´umeros reais. Na lista de tipos de intervalos de R que acabamos de dar, os quatro primeiros s˜ao ditos limitados, ao passo que os cinco ´ultimos s˜ao ditos ili- mitados. O primeiro, o quinto e o s´etimo intervalos s˜ao ditos abertos, ao passo que o segundo, o sexto e o oitavo s˜ao ditos fechados.
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A N˜ao-Enumerabilidade dos Reais
A seguir, vamos dar uma prova da n˜ao-enumerabilidade de R devida a G. Cantor. Mais uma vez, assistiremos a um brilhante ataque pela diagonal!
Teorema 4. O intervalo unit´ario aberto (0, 1) := {x ∈ R : 0 < x < 1 } n˜ao ´e enumer´avel.
Prova: A prova ´e por contradi¸c˜ao. Se x ∈ (0, 1) ent˜ao
x = 0• a 1 a 2 a 3....
Suponhamos que exista uma enumera¸c˜ao x 1 , x 2 , x 3 ,... de todos os n´umeros em (0, 1), a qual disporemos na forma:
x 1 = 0• a 11 a 12 a 13... a 1 n... , x 2 = 0• a 21 a 22 a 23... a 2 n... , x 3 = 0• a 31 a 32 a 33... a 3 n... ,
......... xn = 0• an 1 an 2 an 3... ann... , .........
Agora definimos um n´umero real y := 0• b 1 b 2 b 3... bn... , pondo b 1 := 2, se a 11 ≥ 5, e b 1 := 7, se a 11 ≤ 4; em geral, definimos
bn :=
2 se ann ≥ 5 , 7 se ann ≤ 4.
Ent˜ao, y ∈ (0, 1). Como y e xn diferem na n-´esima casa decimal, ent˜ao, y 6 = xn, para todo n ∈ N. Portanto, y n˜ao est´a inclu´ıdo na enumera¸c˜ao de (0, 1), o que nos d´a a contradi¸c˜ao desejada.
§
Supremos e ´Infimos
Defini¸c˜ao 4. Seja C um conjunto ordenado e B ⊂ C. Se existe y ∈ C tal que x ≤ y para todo x ∈ B, ent˜ao dizemos que B ´e limitado superiormente e chamamos y uma cota superior de B. Se existe z ∈ C tal que z ≤ x para todo x ∈ B, ent˜ao dizemos que B ´e limitado inferiormente e chamamos z uma cota inferior de B.
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(b) Se α = sup B existe, ent˜ao α pode ou n˜ao ser membro de B. Por exemplo, seja B 1 o conjunto de todos os r ∈ Q com r < 0, e B 2 o conjunto de todos r ∈ Q com r ≤ 0. Ent˜ao, sup B 1 = sup B 2 = 0, e 0 ∈/ B 1 , 0 ∈ B 2.
(c) Seja B ⊂ Q o conjunto dos n´umeros da forma 1/n, onde n = 1, 2 , 3 ,.... Ent˜ao sup B = 1, o qual pertence a B, e inf B = 0, que n˜ao pertence a B. Defini¸c˜ao 4. Dizemos que um conjunto ordenado C tem a propriedade do supremo se para todo conjunto B ⊂ C, B n˜ao ´e vazio e B ´e limitado superiormente, existe o sup B em C.
O Exemplo 4.1(a) mostra que Q n˜ao tem a propriedade do supremo. O resultado a seguir mostra que n˜ao ´e necess´ario definir o que venha a ser um conjunto ordenado C ter a “propriedade do ´ınfimo”, em analogia `a propriedade do supremo. Ele mostra, em suma, que a propriedade do supremo implica a “propriedade do ´ınfimo”.
Teorema 4. Suponhamos que C seja um conjunto ordenado com a propriedade do supremo, B ⊂ C, B n˜ao ´e vazio e B ´e limitado inferiormente. Seja A o conjunto de todas as cotas inferiores de B. Ent˜ao,
α = sup A
existe em C e α = inf B. Em particular, inf B existe em C.
Prova: Como B ´e limitado inferiormente, A n˜ao ´e vazio. Como A consiste exatamente daqueles y ∈ C que satisfazem y ≤ x para todo x ∈ B, vemos que todo x ∈ B ´e uma cota superior de A. Assim, A ´e limitado superiormente. Como, por hip´otese, C tem a propriedade do supremo, temos que sup A existe em C. Seja α = sup A. Vamos mostrar que α = inf B.
Se γ < α, ent˜ao, pela Defini¸c˜ao 4.9, γ n˜ao ´e uma cota superior de A e, portanto, γ /∈ B. Segue que α ≤ x para todo x ∈ B. Logo, α ∈ A. Se α < β, ent˜ao β /∈ A, j´a que α ´e uma cota superior de A. Em outras palavras, α ´e uma cota inferior de B e, se β > α, ent˜ao β n˜ao ´e cota inferior de B. Isso significa que α = inf B, como quer´ıamos mostrar.
§
AN ´ALISE REAL
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Exerc´ıcios 4.
- Mostre que se ak, bk ∈ { 0 , 1 ,... , 9 } e se a 1 10
= b^1 10
ent˜ao n = m e ak = bk, para k = 1,... , n.
- Ache a representa¸c˜ao decimal de − 1311.
- Expresse 17 e 192 como decimais peri´odicos.
- Que racionais s˜ao representados pelos decimais peri´odicos
1 • 25137137... 137... e 35 • 14653653... 653...?
- Para cada um dos intervalos abaixo, diga quais s˜ao limitados superior- mente, quais s˜ao limitados inferiormente e diga em cada caso, justifi- cando, se existem em R e, caso existam, quem s˜ao o supremo e/ou o ´ınfimo:
(i) (a, b) := {x ∈ R : a < x < b}, (ii) [a, b] := {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}, (iii) (a, b] := {x ∈ R : a < x ≤ b}, (iv) [a, b) := {x ∈ R : a ≤ x < b}, (v) (−∞, b) := {x ∈ R : x < b}, (vi) (−∞, b] := {x ∈ R : x ≤ b}, (vii) (a, +∞) := {x ∈ R : x > a}, (viii) [a, +∞) := {x ∈ R : x ≥ a}.
- Prove que a equa¸c˜ao x^2 = 3 n˜ao possui solu¸c˜ao racional. Defina os subconjuntos de Q,
A := {x ∈ Q : x^2 < 3 } B := {x ∈ Q : x^2 > 3 },
e mostre que A ´e limitado superiormente, mas n˜ao possui supremo em Q, ao passo que B ´e limitado inferiormente, mas n˜ao possui ´ınfimo em Q.
AN ´ALISE REAL
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Se ele for de fato menor na primeira divis˜ao que na segunda, ent˜ao teremos x < y de acordo com a Defini¸c˜ao 4.7. Se for igual, o resto da primeira divis˜ao ter´a sido menor do que o resto da segunda divis˜ao e, portanto, o segundo quociente da divis˜ao pq′^ ÷ qq′^ ser´a no m´aximo igual ao segundo quociente da divis˜ao p′q ÷ qq′. Se ele for menor na primeira divis˜ao que na segunda, ent˜ao teremos x < y de acordo com a Defini¸c˜ao 4.7. Se for igual, o resto da primeira divis˜ao ter´a sido menor do que o resto da segunda divis˜ao e, portanto, o terceiro quociente da divis˜ao pq′^ ÷ qq′^ ser´a no m´aximo igual ao terceiro quociente da divis˜ao p′q ÷ qq′^ etc. Continuando esse processo, em no m´aximo qq′^ passos teremos chegado a um ponto em que o quociente obtido na divis˜ao pq′^ ÷ qq′^ ter´a sido menor que o quociente correspondente na divis˜ao p′q ÷ qq′, ao mesmo tempo em que todos os quocientes anteriores ter˜ao sido iguais para ambas as divis˜oes. Poderemos, ent˜ao, de qualquer modo, concluir que x < y, de acordo com a Defini¸c˜ao 4.7. §
