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Os números racionais também são úteis neste tipo de problema, pois eles
permitem “normalizar” as informações. Por exemplo, considerando quocientes, temos
que a piscina recebe 2
= 3 litros por minutos, enquanto perde 10
litros por minuto.
Assim, a piscina recebe ao todo 2
litros por minuto.
Com esta última informação não é difícil deduzir que a expressão matemática
que dá o volume da piscina, V , em função do tempo, t , é dada por
V =
t.
(Ainda vamos discutir neste curso como deduzir este tipo de fórmula.)
De posse desta expressão matemática, não precisamos perder tempo com
contagens. Basta resolver a equação acima com V = 1000 litros. Faça isto (coloque a
resposta na forma de representação mista e confira a resposta (exata) com a resposta
obtida na atividade 8).
c) Em uma competição, o premio de mil reais é dividido entre os três primeiros
colocados. Mas, a divisão não é proporcional. A organização tinha definido que o
terceiro ficaria com o menor premio, o segundo receberia 100 reais a mais e o primeiro
colocado ficaria com metade do premio. Quanto deve receber o segundo e o terceiro
colocados?
d) A cada minuto que passa, a temperatura da água dentro de uma panela no fogo
aumenta 12ºC. A panela com água, quando foi para o fogo, tinha a temperatura de 15ºC.
Determine quanto tempo levará para a água ferver (ela deve ferver quando atingir
100ºC).
Sistemas de equações do 1º grau
As propriedades operacionais permitem, numa equação com variáveis, isolar
uma determinada variável. Por exemplo, na equação a + bx = 2 a 2, podemos isolar a
variável a ao obter a 2 a = bx 2, donde a = bx 2, donde a = bx + 2. A primeira
transformação foi obtida ao somar-se 2 a nos dois membros da equação; a segunda
transformação foi obtida ao se colocar a em evidência, a 2 a = (1 2) a ; a última
transformação foi obtida pela multiplicação dos 2 membros por 1.
Quando a equação é do primeiro grau e só tem uma variável, podemos
determinar o valor desta variável. Por exemplo, uma equação do tipo 4 x 3 = 7 + 2 x
pode facilmente ser resolvida.
Por outro lado, quando temos uma equação envolvendo mais de uma variável,
pode ser impossível resolvê-la. Ou melhor, pode ser impossível explicitar todos os
valores das variáveis. Por exemplo, na equação 2 x + 3 y = 1, podemos encontrar uma
expressão para x em função de y , x =
2
1 3 y , ou podemos deixar y em função de x , y =
1 2 x
. Mas, nenhuma das transformações permite encontrar valores específicos para x e
y. Isto nem poderia acontecer, pois existem infinitas possibilidades de valores x e y que
satisfazem a equação. Por exemplo, o par x = 2, y = 1 e o par x = 4, y = 3 satisfazem a
mesma equação, 2 x + 3 y = 1. (Verifique! Tente encontrar outras soluções!) Em
situações como esta, a solução da equação é indeterminada.
Uma situação onde pode ser possível determinar uma solução envolvendo mais
variáveis incógnitas ocorre quando temos mais equações.
Exemplo: Vamos determinar a solução do sistema de equações do 1º grau,
x y
x y .
A estratégia é bem simples. Sabemos isolar variáveis. Assim, podemos, na primeira
equação, deixar a variável y em evidência, y = 5
1 2 x
. Não resolvemos nada, mas
podemos usar a segunda equação para melhorar a situação. Para isto, basta substituir y
pela expressão encontrada. Assim, temos a segunda equação transformada em:
3 x + 2. 5
1 2 x = 4.
Agora temos uma equação do primeiro grau apenas com uma variável, a
incógnita x. Só precisamos, então, isolar x. Da última equação, temos 15 x + 2 4 x =
20, donde 11 x = 22, donde x = 2. Encontramos o valor de x!
Com este valor podemos voltar na equação que dava uma expressão para y : y =
1 2 x
. Substituindo x por 2, temos y = 1.
que cada vitória representa 3 pontos e cada empate representa 1 ponto. No caso
afirmativo, determine a porcentagem de aproveitamento total do time.
h) Resolva o sistema de equações
y z
x y
x y z
.
Resposta das Atividades
Atividade 2: Observe que a altura do triângulo traçado é a aproximadamente 4, usando
o lado dos quadrados da malha como unidade
Atividade 3:
a) 24 vezes. 4 dia = 4×24 h = 96 h. b) Unidade hora; 2h.
c) 8h ; dia. d) dia.
e) 48 horas; 2 dias.
Atividade 4:
a)
- u = 100 u’ 2. u = 1000 u’ 3. u = 60 u’
- u = 3600 u’ 5. u = 24 u’ 6. u = 365 u’
- u = 1000 u’ 8. u = 100 u’
b)
- m = 35 cm 2. km = 150 m 3. h = 120 min
- anos = 30 dias 5. kg = 500g 6. Reais = 25 centavos
c)
25 a 4.25 = 100 a a = 1. Logo,
- x = 21
d)
e) Significa que a pizza foi dividida em 6 partes iguais e 4 dessas partes foram
escolhidas.
Atividade 5:
a)
b)
, pois (-1).30=-30=(-6).5, logo são equivalentes.
- , pois (5).299 7.235, logo não são equivalentes.
, pois 2.12=24=8.3, logo são equivalentes.
, pois 5.2700=13500=750.18, logo são equivalentes.
- pois 10584=1512.7 588.6=3528, logo não são equivalentes.
c)
- Irredutível 2. Irredutível 3.
= 5. Irredutível 6. 12
d)
= e mdc(8,15)=1.
- Já é irredutível, pois 97 é primo e 111 não é múltiplo de 97.
- e mdc(23,16) = 1.
- (Dica: nesse caso, calcule mdc(2700,750) = 150 e faça a
simplificação usando esse valor.)
- , onde usamos o mdc(256,384) = 128.
- , note que 421 é primo e 1263 = 3..
c) Por exemplo , ou , ou , ....
d) Vamos usar frações equivalentes, para facilitar. Então, e , assim
, donde nos serve. (Você consegue encontrar outro número
racional entre 5
e 5
e) Não, pois e não existe inteiro entre 1 e 2.
f) 1. ; 2. 3 ; 3. , é a maior.
g) , pois , já que (-8).7=-56=(-7).8.
h) , logo a maior é.
i) ( ) , então < <.
j) Queremos determinar o maior valor de n , tal que. Este é mais um
dos problemas que podem ser resolvidos por contagem, nos moldes da aula 1.
Primeiro, note que. Assim, temos os múltiplos de listados a seguir:
e 8 vezes já ultrapassou a fração. Logo, a resposta
é n = 7.
Agora, se você quiser evitar contagens, podemos trabalhar
algebricamente. Temos se, e só se, 10 n < 75. E o maior valor
de n tal que a desigualdade é válida é 7.
k) Temos.
l) Temos.
Por exemplo, no item (h), para se comparar as frações , ou podemos diretamente
que 11.14 = 154 > 150 = 15.10, donde >.
Atividade 10: Nada podemos dizer sobre a. Por exemplo, se a = 3
2 , a , Se a =
5, a
.
Atividade 11:
a) 8
1 ; b) 6
c) 7
Atividade 12:
a) 4
b)
c) 5
d)
Atividade 13: Na dúvida sobre a veracidade de uma propriedade, o melhor é testá-la
com alguns exemplos numéricos. Temos que:
e
Assim, a relação de associatividade para a operação subtração não vale.
Atividade 14:
a)
2.^ ; 4)^1
3.^ ;
5)^1
b) Resposta: 4
.100 = 3.25 = 75 m
2 .
c) Resposta:^100 5
c) 100
= 60% d) 100
e) 1 = 100
= 100% f) 2 = 100
iii) a) 50% de 20 = 50%.20 =. 20 10 2
b) 150% de 20 = 150%.20 = 15. 2 30 10
c) 25% de 16 = 25%.16 = 4 4
d) 30% de 9
iv) a) 5
10% 28 =^2 ,^24
Observação: As últimas simplificações no item (a) foram apenas por gosto. Não existe
nenhuma obrigação em converter a resposta para alguma notação específica (a menos
que seja pedido). Assim, a resposta poderia ter terminado com 25
, com 100
, com 2,
ou com 224%, tanto faz.
b) 32%10% 12
Observação: A resposta 75
pode ser colocada em notação de decimal ou de
porcentagem, mas não será uma resposta simplificada, com números mais “bonitos”. O
que não pode ser feito em hipótese alguma é escrever a resposta arredondada, ou
aproximada, como 75
≈ 0,133, por exemplo.
c)^0 ,^440 % 10
d) 3
e) 4140
Atividade 17:
a) a) 2,34 + 3,14 = 5,48; b) 5,5 4,2 = 23,1; c) 9,6 0,3 = 32.
b) a) 2,34 + 3,14 = 100
b) 5,5 4,2 = 10
c) 9,6 0,3 = 32 3
Observação: Nos cálculos com multiplicação e divisão, parece ser mais útil trabalhar
com números na forma de fração, pois podem ocorrer simplificações.
c)
i) a) 1,1% = 1000
b) 2,2% = 500
c) 0,1% = 1000
ii) a) 1,1 = 110 % 100
b) 0,001 = 100
iii) a) 10% de 1,1 = 10%×1,1 = 0 , 11 100
b) 0,1% de 1200 = 0,1%×1200 = 10
c) 2,5% de 1,1 = 2,5%×1,1 = 0 , 0275 10000
d)
a) 5
4,2 b) 1,2 + 3
c) 3 , 2 2
d) 32%. 1 , 2
e) 0,5 + 0 , 6 0 , 2
f) 20,13 + 1 g) 1 0 , 3
h)
i) 34 3 0,
a) 5
Podemos realizar a conta usando notação decimal:
n) 5,5 x = 0,01 550
x x
Atividade 19:
i)
a) 10% de x é 15 10
. x = 15 x = 15.10 x = 150
b) 200% de x é 30 2 x = 30 x = 15
c) 60% de x é 5
x = 5
x = 3
d) 12% de x é 2,4 10
x x = 20
e) 1,5% de x é 0,1 1,5% x = 0,1 10
x x = 3
ii) 20
x = 3
x = 75
(note que não tem como simplificar mais esta fração)
iii) não está bem definida quando x = 1 ou quando x = 0. Quando x = 1/3, temos
.
Atividade 20:
a) n = 1 , 63 24 , 6
RT
pV .
Observação: Como este é um problema prático, faz sentido arredondar o valor da
resposta (pois, sendo um problema prático, todas as medidas envolvidas estão sujeitas a
erros e, portanto, não se pode garantir o valor exato da resposta, só aproximações).
b) Quando V = 1000, temos
t t = 29
344 minutos (uma informação bem mais precisa do
que a obtida no gabarito da unidade 1)
c) Como o 1º colocado recebe 500 reais, sobram 500 reais para serem divididos entre o
2º e o 3º colocados. Seja x a quantia recebida pelo 3º colocado, então o 2º receberá x +
100 e sabemos que x + x + 100 = 500. Logo, 2 x + 100 = 500, donde x = 200. Ou seja, o
3º colocado receberá 200 reais e o 2º, 300 reais.
d) A temperatura da água na panela no fogo pode ser representada por T = 15 + 12 t ,
onde t é o tempo dado em minutos. Portanto, atingirá 100º quando 100 = 15 + 12 t , isto
é, quando t = min = 7min 5s.
Atividade 21:
a)
a) Substituindo y = 0,3 x – 1 ,1 na equação 5 5
y
x , temos:
x
x 0,2 x 0,3 x + 1,1 = 5 0,5 x = 5 1,1 0,5 x = 3,
x = = 7,8.
b) y = 0,3 x 1,1 = 0,3.(7,8) 1,1 = 3,44.
b) Se (9, y ) é solução, ao substituirmos os valores x = 9 e y = y , a equação deve tornar-se
uma sentença verdadeira. Logo, o valor de y deve ser:
10 x + 4 y = 78 10.9 + 4 y = 78 4 y = 78 90 = 12 y = 3.
c)
- Para resolvermos, podemos multiplicar a segunda equação por (1) e somar as duas,
assim,
x y x y y y x y x y
^ ^ ^
^ ^ ^ ^
^ ^ ^ ^
Com este valor de y ,
podemos substituir em qualquer das equações e calcular o valor de x. Substituindo na
primeira, teremos:
x 2 y 6 x 2.8 6 x 6 16 x 10.
sistema:
C D
D C
^ ^
^
ou, multiplicando a segunda equação por 10:
C D
C D
^ ^
^
. Multiplicando a primeira equação por (1) e somando com a segunda,
ficamos com a equação: 4 C = 104. Portanto, C = 26. Substituindo na primeira,
concluímos que D = 32. Logo, Mauro possui 26 moedas de R$ 0,50 e 32 moedas de R$
0,10. (confira!)
g) Se x representa o número de vitórias, e y representa o número de empates, temos
Fazendo a 2ª linha menos a 1ª, temos 2 x = 6, donde x = 3. Ou seja, o número de vitórias
é 3.
Deste modo, o time ganhou 3 jogos em 9 partidas disputadas, ou seja, ele teve
3/9 de vitórias com relação aos jogos disputados. Como este número não possui
representação decimal finita, podemos aproximar o resultado para 3/9 ≈ 0,33 = 33%.
Logo, o aproveitamento é de aproximadamente 33%.
h) Podemos tirar o valor de x da segunda equação e o de y da terceira, e substituir na
primeira. Assim, teremos que x = 2 y e y = z, ou seja, x = 2 z e y = z. Substituindo,
ficamos com 2.(2 z ) + 2. z – z = 10. Ou seja, 5 z = 10, logo, z = 2. Assim, y = 2 e x = 4.
