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Unidade 3
Números racionais
Metas Esta unidade é sobre a noção de números racionais, conjunto numérico que amplia o conjunto dos números naturais e dos números inteiros.
Objetivos Ao final desta unidade você deve: conhecer os números racionais, assim como a sua representação em notação decimal e fracionária; conhecer a noção de ordem dos números racionais; conhecer uma representação geométrica dos números racionais; conhecer as duas operações básicas entre números racionais; saber lidar com as representações decimais dos números racionais; entender como se pode aplicar as operações na resolução de problemas práticos.
Uma nova representação numérica de grandezas
A quantificação da grandeza comprimento pela associação aos números naturais a partir de uma unidade estabelecida apresenta limitações. Por exemplo, nos triângulos retângulos a seguir, podemos facilmente medir os dois catetos (no primeiro, temos catetos de medidas 2 e 4, no segundo, temos catetos de medidas 1 e 4).
Mas, sobre cada hipotenusa, só podemos dizer que o comprimento está entre 4 e 5. Com certeza, podemos dizer que uma é maior do que a outra, mas não podemos ser muito mais específico do que isto (as linhas pontilhadas no desenho representam o traço de um compasso, veja como a primeira hipotenusa é claramente maior).
Em situações como esta, além de perdermos a precisão na referência numérica do objeto em foco, corremos o risco de perder toda informação sobre tal objeto. Enquanto tivermos determinado objeto na nossa frente, podemos sempre obter as informações que forem necessárias. O problema é quando ficamos sem o objeto e apenas com informações parciais que não ajudem a falar sobre o objeto sumido.
Por exemplo, a partir do triângulo representado na figura a seguir, podemos medir os seus lados, assim como fazer outras avaliações que forem necessárias. Se for o caso, podemos também medir a área do retângulo ou sua altura, entre outras coisas. Mas, se formos efetivamente medir os lados do triângulo a partir da unidade estabelecida no próprio desenho, vamos encontrar dois lados com medida 4 (o triângulo é isósceles) e um lado com medida entre 3 e 4, este lado não tem uma medida precisa nesta unidade estabelecida.
Atividade 1:
De posse de um compasso, regule sua abertura de acordo com a unidade do desenho e confira os valores de medida dos lados dos triângulos acima.
Atividade 2:
O objetivo é ilustrar como informações numéricas podem ajudar a recuperar um determinado objeto. Sabe-se que um triângulo tem lados de medida 5, 10 e 12.
a) Numa folha quadriculada, com o auxílio de uma régua e um compasso, desenhe um triângulo com essas medidas. (Sugestão de roteiro: Adote o lado dos quadrados da folha quadriculada como unidade de medida. Em cima de uma linha, desenhe dois pontos distando 12 unidades. Usando um dos pontos como centro, com o compasso, desenhe um círculo de raio 10. Usando o outro ponto como centro desenhe um círculo de raio 5. Marque um dos pontos de interseção dos círculos. Verifique que o triângulo formado pelos 3 pontos têm lados de medidas 5, 10 e 12, respectivamente.)
b) Para ilustrar como que as informações dadas sobre as medidas dos lados são significativas, obtenha a medida da altura do triângulo que você desenhou com relação À base de medida 12. (Você deve encontrar 4, aproximadamente.) Este item ilustra como que algumas boas informações numéricas podem ser valiosas para o conhecimento de todo um objeto.
Bom, sabemos que o processo de quantificação por meio dos números naturais, ou mesmo dos números inteiros, pode deixar a desejar, dependendo do tipo de grandeza que está sendo avaliada. Como resolver esta questão?
Uma forma de contornar este problema é admitir novas unidades de medida. Mais precisamente, deve-se admitir submúltiplos da unidade estabelecida inicialmente, ou seja, uma nova unidade segundo a qual a unidade inicial é um múltiplo. Assim, se for preciso obter uma avaliação melhor de um comprimento, pode-se adotar uma nova unidade de medida que seja, por exemplo, um décimo da outra, ou seja, a unidade inicial é 10 vezes a nova unidade. Nesta nova unidade, ou melhor, neste novo processo de quantificação, um comprimento pode ser avaliado com precisão 10 vezes maior.
Por exemplo, a figura a seguir representa dois segmentos acima de uma reta graduada. Na unidade fixada, os dois segmentos não possuem uma representação numérica exata. Nessa graduação da reta só podemos dizer que os dois segmentos têm medida entre 1 e 2. Se quisermos dar mais algum detalhe, podemos dizer que o segmento marrom é maior do que o segmento azul e está mais próximo da marca 2 do que da marca 1, enquanto o segmento azul está mais ou menos entre as duas marcas. Estas são informações um tanto imprecisas. Por exemplo, se guardarmos estas informações e, no futuro, quisermos recuperar os segmentos a partir delas, será um bastante complicado reproduzir os segmentos.
Agora, se escolhermos uma nova unidade de medida, uma mais conveniente, talvez possamos obter uma melhor representação numérica dos segmentos. A próxima figura representa os mesmos segmentos da figura anterior, mas com a reta graduada de modo diferente. A unidade de medida é um décimo da unidade anterior, ou seja, a unidade antiga é 10 vezes maior do que a nova.
Como se pode ver na figura, temos agora, na unidade nova, uma representação numérica mais precisa, e significativa, do comprimento de cada segmento. O segmento marrom tem comprimento 18 e o segmento azul mede 16 unidades novas.
Observação: Na verdade, a troca de unidades é algo bastante comum, e natural, no cotidiano de qualquer pessoa. Por exemplo, leitor, você se lembra de alguma situação onde costuma mudar de unidades? Certamente você já fez referência a distância entre pontos da sua cidade, ou até entre cidades, e certamente escolheu o quilômetro como unidade de medida. Por outro lado, certamente você já precisou medir algum espaço da sua casa, ou algo parecido, e, neste caso, de distâncias bem menores, certamente você adotou o centímetro como unidade de medida (o centímetro é um submúltiplo da
reproduzir o segmento com esta informação? Para responder a estas questões, considere a próxima representação de uma reta com uma unidade u estabelecida.
Para encontrar a , precisamos primeiro encontrar uma unidade de media que seja um quarto da unidade de medida u. Considere, então, o novo desenho a seguir. Veja como u’ é um quarto de u , ou seja, u é igual a 4 vezes u’. Com a nova unidade que é um quarto da unidade inicial, marcamos 7 vezes a unidade nova. O segmento com esta
extensão é o segmento de comprimento dado pela informação 74 u , representado no
desenho em amarelo.
Com esta nova notação fracionária, isto é, com números fornecidos em forma de fração, parece que podemos registrar qualquer objeto por meio de uma representação numérica, o que resolve o problema colocado logo no início desta seção.
Note que esta representação fracionária estende a representação numérica dos números inteiros. Por exemplo, o número 5 pode ser representado em forma de fração,
basta escrever 15. De fato, 15 significa considerar uma nova unidade de modo que
unidade inicial é uma vez a unidade nova. Ou seja, esta notação indica que devemos considerar a mesma unidade. Pegar 5 vezes a unidade inicial significa pegar exatamente
o número 5. Ou seja, 15 e 5 representam o mesmo segmento, isto é, 5 pode ser
representado por 15.
Atividade 3:
A unidade dia é muitas vezes usada para avaliar o tempo. Outras vezes, usamos um submúltiplo desta unidade, a unidade hora.
a) Quantas vezes a unidade dia é maior do que a unidade hora?
b) O valor fracionário na unidade dia, 242 , faz referência a que outra unidade de medida
de tempo? E equivale a quanto tempo nesta unidade?
c) As pessoas dormem ao longo de uma fração do dia. Em média, dormem um terço do dia. Como esta avaliação é representada em horas? Escreva, depois, o resultado na unidade dia.
d) Uma viagem durou 2 dias e 5 horas. Escreva este valor em forma de fração, na unidade dia.
e) Uma viagem durou 2448 dias. Quantas horas a viagem durou? Quantos dias a viagem
durou?
Problemas como os narrados aqui, nesta unidade, deram origem a um novo conceito de conjunto numérico em Matemática. Tal conjunto é chamado de o conjunto dos números racionais , e é denotado por. Os números racionais foram definidos de tal maneira que seus elementos são representados pela forma fracionária que acabamos
de ver. Assim, a representação fracionária dos elementos de é dada por (^) qp , onde p , q
, com q 0. Em resumo, em termos de representação fracionária, temos
= { (^) qp : p , q , q 0}.
Ressaltamos que um número a pode ser representado em forma de fração
fazendo a = 1^ a. Assim, os conjuntos numéricos que conhecemos até agora seguem as
relações de inclusão,. Na representação fracionária, o número embaixo da barra é chamado denominador da fração e o número em cima da barra é chamado numerador da fração.
- u = ano e u’ = dia
- u = quilograma (kg) e u’ = grama (gr)
- u = real e u’ = centavos
b) De acordo com a expressão fracionária e a unidade adotada, dê a expressão numérica na nova unidade (mesmo que esta não tenha sido explicitada, você tem que adivinhar – veja o item anterior)
- 10035 m
- 1000150 km
- 12060 h
- 36530 ano
- 1000500 kg
- 10025 reais
c) Dado o número racional, x , escreva a representação fracionária equivalente a partir do denominador, q , indicado.
- x = 10025 e q = 4
- x = 1000500 e q = 2
- x = 12060 e q = 1
- x = 5 e q = 3
- x =
^2 e q = 21
d) Resolva a equação (^) x^5 ^1 31.
e) Escreva o que você entende da seguinte expressão: “ 64 de uma pizza”.
Leitor, existe uma forma simples de obter frações equivalentes:
qn
pn q
p . . , sempre que n 0.
De fato, esta igualdade entre frações segue da igualdade p ( qn ) = ( pn ) q e da caracterização de frações equivalentes. Se você ainda se atrapalha com argumentos usando letras, veja os exemplos numéricos.
(^1) , pois 1.2.2 = 4 = 1.2.2;
(^2) , pois 2.3.5 = 30 = 2.5.3.
Esta regra também pode ser usada para simplificar frações. De fato, veja o próximo exemplo numérico.
A primeira igualdade decorre de uma simples fatoração de números inteiros. A segunda igualdade decorre justamente da propriedade recém enunciada.
Atividade 5:
a) Você acabou de saber um pouco sobre simplificação de frações. Use este conhecimento para refazer o item (c) da atividade 4.
b) Verifique se as frações dadas são equivalentes.
- 51 e 306 ; 2. 75 e 299235 ; 3. 128 e 23 ;
- 2700750 e 185 ; 5. 1512588 e 76.
c) Uma fração (^) qp é dita irredutível se os mdc entre p e q é 1, ou seja, se não é possível
“simplificá-la”. Verifique se as frações dadas são irredutíveis, ou não.
- 32 ; 2. 32 ; 3. 7045 ;
Atividade 6:
a) Em medidas, a unidade centímetro (cm) representa um centésimo da unidade metro (m). Admitindo o metro como a unidade da sua reta graduada, qual é o número racional
que representa 32 cm? Escreva 257 m em centímetros.
b) A unidade decímetro (dm) é dez vezes a unidade centímetro. Ainda assumindo que o metro representa a unidade da sua reta graduada, determine o número racional que representa o segmento de medida igual a 4 dm e 7 cm.
c) Através da representação geométrica, verifique quem está mais próximo de 0:
- 31 ou 41 ; 2. 31 ou 41 ; 3. 52
ou 52 ;
- 52 ou 31.
Dica: realize esta atividade com uma fita métrica do lado.
Comparando números racionais – relação de ordem
Leitor, acompanhe o próximo exemplo.
Situação-problema: Márcio foi a um rodízio de pizzas. No dia seguinte encontrou um amigo e contou todo orgulhoso que realizou a façanha de comer 18 fatias de pizza. Seu amigo, um sujeito que gostava de contar vantagens, disse que aquilo não era nada, pois já tinha comido 23 fatias. E agora, será que é possível o amigo de Márcio ter comido tanto assim? Vamos admitir que ele esteja falando a verdade.
Como Márcio ficou muito impressionado com a quantidade de fatias comidas pelo seu amigo, ele foi fazer uma verificação. No lugar onde comeu, Márcio notou que
cada pizza era dividida em 6 fatias. Ele nem tinha se dado conta, mas, se ele comeu 18 fatias, isto significa que comeu 3 pizzas sozinho.
Depois de analisar melhor o seu desempenho gastronômico, Márcio foi à pizzaria onde o amigo frequentava. Lá ele verificou que as pizzas eram fatiadas em 8 pedaços. Ou seja, Márcio descobriu que ele e o amigo estavam falando de fatias que representavam unidades de medida diferentes (a unidade fatia). Devemos notar que, quando a pizza é cortada em 8 partes, precisamos de 24 pedaços para chegar a 3 pizzas (24 = 3×8). Assim, 23 fatias de pizzas na pizzaria do amigo de Márcio não alcançam 3 pizzas. Ou seja, Marcio comeu mais pizzas do que seu amigo.
Existe uma questão nesta comparação de valores. Fatias de pizza são uma fração de uma pizza inteira. O que foi feito aqui foi comparar duas quantidades, mas sem saber antes se as unidades eram as mesmas.
Atividade 7: Diga o que representa uma quantidade maior, 1530 ou 129.
A comparação do exemplo anterior ainda foi simples, pois é fácil comparar quantidades inteiras com quantidades fracionárias (você fez a atividade 7?). Mas, será que é tão fácil comparar duas quantidades fracionárias? Você sabe, só olhando para a
expressão, definir qual valor é maior, 127 ou 85 de uma certa quantidade? Se você fez a
Vamos rever esta última discussão de forma simbólica. Sejam (^) qp e sr
representações de dois números racionais. Se q e s são diferentes, para se comparar as duas frações, precisamos de representações fracionárias com denominadores iguais, ou seja, com um único denominador que seja múltiplo de q e s ao mesmo tempo. Que número pode ser múltiplo de q e s ao mesmo tempo? Esta pergunta é fácil de responder, o produto qs é múltiplo de q e é múltiplo de s. Assim, podemos buscar as representações equivalentes,
qs
ps qs
ps q
p (^) .
e
qs
rq sq
rq s
r (^) .
Agora, temos duas frações com mesmo denominador.
Vejamos novamente a mesma discussão, mas com números. Vejamos qual das
duas frações é a maior, 73 ou 94. Temos
e
Com as duas frações sendo representadas por frações equivalentes e de mesmo
denominador fica fácil dizer que 94 é maior do que 73.
Dica: Para ser um bom calculista, uma boa dica é evitar as contas grandes. Por exemplo, no problema de comparar frações, somos levados a fazer multiplicações. Como vimos,
dadas frações (^) qp e (^) sr , temos as representações equivalentes (^) qsps e (^) qsrq. Assim, tivemos
que realizar multiplicações, por q e s. Contudo, leitor, veja que na comparação de 127
com 85 , multiplicamos 7 e 12 por 2 e multiplicamos 5 e 8 por 3. Você sabe dizer por
que isso? Ou melhor, por que não multiplicamos 7 e 12 por 8 e 5 e 8 por 8? Leitor, lembre-se que o objetivo era igualar os denominadores (e isto foi feito na comparação
de 127 com 85 ) e, para isto, basta encontrar um múltiplo comum dos denominadores
dados. Mas, usando o princípio de economizar em contar, é interessante escolher o menor múltiplo comum para igualar denominadores.
Atividade 8: Determine qual fração é maior:
a) 136 e 148 ; b) 65 e 1513 ; c) 137 e 1120 ;
d) 113221 e 23 ; e) 456 e 7; f) 1216 e 67.
Desde os números naturais, incluindo os números inteiros, você deve estar acostumado com uma orientação na reta graduada. Esta orientação está de acordo com a arrumação crescente das representações 0, 1, 2, 3, .... Pela convenção estabelecida, mesmo os números negativos obedecem a uma orientação; temos em ordem crescente: ..., 3, 2, 1. Esta orientação é dada por um sentido “na forma de se deslocar” na reta graduada.
Baseado nesta representação geométrica, dados x , y , dizemos que x é menor do que y (e denotamos por x < y ) quando a representação geométrica dos números tem o seguinte aspecto.
Sentido crescente dos números
0 1 x y
