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Apêndice A
Conceitos Básicos de Álgebra Linear e Notação
As definições e axiomas apresentados a seguir representam uma coletânea de conceitos básicos de álgebra linear, fundamentais para a formulação de boa parte dos resultados apresentados neste estudo. A inclusão destes conceitos na forma de apêndice se justifica pela sua utilização generalizada na apresentação dos resultados principais deste trabalho. Sendo assim, no texto da tese, assume-se familiaridade com os tópicos aqui referenciados. Criam-se, portanto, condições para que o texto se ocupe apenas de tópicos mais avançados. Na apresentação que se segue, os resultados são apenas referenciados, sendo que discussões mais detalhadas podem ser encontradas na literatura (CHEN, 1984; LUENBERGER, 1969; STRANG, 1988; BAZARAA et. al. , 1993).
A.1 Escalar
Uma variável que assume valores no eixo dos números reais é denominada escalar. Os escalares são descritos por letras minúsculas do alfabeto romano expressas em itálico. O conjunto de todos os escalares reais é representado por ℜ.
- O módulo de um escalar real x é dado na forma:
se 0
se 0 x x x x x
A.2 Vetor
Um arranjo ordenado de n escalares xi ∈ ℜ ( i =1,2,..., n ) é denominado vetor de dimensão n. Os vetores são descritos por letras minúsculas do alfabeto romano expressas em negrito, e assumem a forma de coluna ou linha:
x =
x x x (^) n
1 2 M ou^ x^ =^ [^ x^^1 x^^2 L^ x^ n ].
Para coerência de notação, salvo menção contrária, o texto desta dissertação considera os vetores na forma de coluna. O conjunto de todos os vetores de dimensão n com elementos reais é representado por ℜ n.
- Um escalar é um vetor de dimensão 1.
- Vetor (^0) n : é o vetor nulo de dimensão n , com todos os elementos iguais a zero. O subscrito n é suprimido quando não há margem à dúvida.
- Vetor (^1) n : é o vetor de dimensão n com todos os elementos iguais a 1.
- Vetor e i : é o vetor normal unitário de dimensão n (a dimensão deve ser indicada pelo contexto) com todos os elementos iguais a 0, exceto o i -ésimo elemento que é igual a 1. Neste caso, 1 ≤ i ≤ n.
A.3 Matriz
Um arranjo ordenado de m.n escalares xij ( i =1,2,..., m ; j =1,2,..., n ) é denominado matriz de dimensão m × n. As matrizes são descritas por letras maiúsculas do alfabeto romano expressas em negrito, e assumem a forma:
X =
x x x x x x x x x
n n m m mn
11 12 1 21 22 2 1 2
L L M M O M L
O conjunto de todas as matrizes m × n com elementos reais é representado por ℜ m × n.
- As colunas da matriz X são vetores-coluna descritos por x i
i i mi
x x x
1 2 M ,^ i =1,..., n.
• As linhas da matriz X são vetores-linha descritos por x ( ) j = [ x j 1 x j 2 L xjn ],
j =1,..., m.
- Um vetor é uma matriz com número unitário de linhas e/ou colunas.
A.5 Conjuntos especiais de números reais
Se a e b são números reais ( a , b ∈ ℜ), define-se: [ ] {^ } ( ] { } [ )^ {^ }
a b x a x b a b x a x b a b x a x b a b x a x b
Se X é um conjunto de números reais, então o menor limitante superior de X , dado por
x = sup x ∈ X x = sup { x : x ∈ X },
é o supremo de X , e o maior limitante inferior de X , dado por
x = inf x ∈ X x = inf { x : x ∈ X },
é o ínfimo de X. Se (^) x = +∞ então X não é limitado superiormente. De forma análoga, se
x = −∞ então X não é limitado inferiormente.
A.6 Espaço vetorial linear
Um espaço vetorial linear ( X ,ℑ) consiste de um conjunto X de vetores e de um campo
ℑ, sobre os quais estão definidas duas operações:
- Adição (+): mapeamento X × X → X tal que, ∀ x , y ∈ X , ( x , y ) → ( x + y ) produz x + y ∈ X.
- Multiplicação por escalar (⋅): mapeamento ℜ× X → X tal que, ∀ x ∈ X e ∀ a ∈ ℑ, ( a , x ) → ( a ⋅ x ) produz a ⋅ x ∈ X. Uma série de axiomas podem ainda ser deduzidos para o espaço ( X ,ℑ): (1) x + y = y + x (comutatividade na adição) (2) ( x + y )+ z = x +( y + z ) (associatividade na adição) (3) a ⋅( x + y ) = a ⋅ x + a ⋅ y (distributividade na adição) (4) x + 0 = x (elemento nulo) (5) ( ab )⋅ x = a ⋅( b ⋅ x ) (associatividade na multiplicação) (6) ( a + b )⋅ x = a ⋅ x + b ⋅ x (distributividade na multiplição)
(7) 1 ⋅ x = x (elemento neutro)
Exemplos: (ℜ,ℜ),(ℜ n ,ℜ), (ℜ m × n ,ℜ), onde n e m são inteiros positivos.
A.7 Subespaço vetorial linear
Seja ( X ,ℑ) um espaço vetorial linear e S um subconjunto de X. Diz-se então que ( S ,ℑ) é
um subespaço linear de ( X ,ℑ) se S forma um espaço linear sobre ℑ através das mesmas operações definidas sobre ( X ,ℑ).
A.8 Variedade linear
A translação de um subespaço é chamada de variedade linear. Uma variedade linear V pode ser descrita na forma: V = x + S ,
onde ( S ,ℑ) é um subespaço linear de ( X ,ℑ) e x é qualquer elemento de X.
A.9 Conjunto convexo
Diz-se que um conjunto X em um espaço vetorial linear é convexo se dados quaisquer elementos x 1 , x 2 ∈ X , todos os elementos da forma a x 1 + (1− a ) x 2 , com 0 ≤ a ≤ 1 também estão em X. São conjuntos convexos:
- o conjunto vazio, por definição; • subespaços;
- variedades lineares; • interseção de conjuntos convexos. As propriedades de convexidade e não convexidade estão ilustradas na Figura A.1.
(a) (b) Figura A.1: Convexidade. (a) Convexo. (b) Não convexo.
onde b = (^) [ b 1 (^) b (^) 2 L bn ] T é a representação de y na base S (o superscrito T representa a
operação de transposição). A representação de um vetor numa determinada base é única. Se n é finito, diz-se que o espaço vetorial ( X ,ℑ) é de dimensão finita. Para n infinito,
( X ,ℑ) é dito ser de dimensão infinita.
A.13 Produtos entre vetores
Produto interno O produto interno é uma função f (^) PI : ℜ n ×ℜ n^ → ℜ que associa a cada par de vetores
x , y ∈ ℜ n^ um escalar dado por:
〈 x , y 〉 = x T y = x 1 y 1 + x 2 y 2 + ⋅⋅⋅ + xn yn ,
onde x = [ x 1 x 2 ⋅⋅⋅ xn ] T^ e y = [ y 1 y 2 ⋅⋅⋅ yn ] T.
Produto externo O produto externo é uma função f (^) PE : ℜ m ×ℜ n^ → ℜ m × n^ que associa a cada par de vetores x ∈ ℜ m , y ∈ ℜ n^ uma matriz de dimensão m × n definida na forma:
x y , xy T
n
m m n
x y x y x y x y x y x y
1 1 1 2 1 2 1 1
L O M M L
A.14 Norma, semi-norma e quase-norma
A norma é uma função f (^) N : ℜ n^ → ℜ que associa a cada vetor x ∈ ℜ n^ um escalar
representado por x. A norma satisfaz os seguintes axiomas:
- x ≥ 0 , ∀ x ∈ X ; x = 0 ⇔ x = 0 ;
- x + y ≤ x + y , ∀ x y , ∈ X (desigualdade triangular);
- a x = a x , ∀ x ∈ X , ∀ a ∈ℑ.
Dentre as funções f (^) N que atendem a estes axiomas, é possível destacar:
n p = x ∑= 1
1/ (norma p );
- Para p = 1 tem-se x (^) 1 1
∑= x (^) i i
n ;
- Para p = 2 tem-se x (^) 2 x x 1 2^ ( x x )1 2^2 1
1 2 = = = ^
∑=
, /^ /
/ T i i
n x (norma euclidiana);
- Para p = ∞ tem-se x (^) ∞ = max i x (^) i.
A semi-norma é uma função f (^) SN : ℜ n^ → ℜ que satisfaz todas as propriedades de norma,
com exceção do primeiro axioma. O subespaço linear X 0 ⊂ ℜ n^ onde x = 0 é denominado
espaço nulo da semi-norma. A quase-norma é uma função f (^) QN : ℜ n^ → ℜ que satisfaz todas as propriedades de norma, com exceção do segundo axioma (desigualdade triangular), o qual assume a forma:
- x + y ≤ b ( (^) x + y (^) ), ∀ x y , ∈ X , com b ∈ℜ.
Os conceitos de norma, semi-norma e quase-norma são fundamentais para a definição de propriedades topológicas.
A.15 Vetores ortogonais e ortonormais
Dois vetores x , y ∈ ℜ n^ são ortogonais entre si, x ⊥ y , se o seu produto interno se anula: x ⊥ y ⇒ 〈 x , y 〉 = 0.
Além disso, se 〈 x , x 〉 = 〈 y , y 〉 = 1, então os vetores x , y ∈ ℜ n^ são ortonormais entre si.
Um vetor x é ortogonal a um conjunto S ( x ⊥ S ) se 〈 x , s 〉 = 0, ∀ s ∈ S.
A.16 Relação entre produto interno e norma euclidiana
A desigualdade de Cauchy-Schwartz-Buniakowsky
Com isso tem-se u 1 = a 11 x 1 u 2 = a 21 x 1 + a 22 x 2 u 3 = a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 M M M O
com aii > 0 ( i =1,..., m ). Certamente existem outros processos de ortonormalização mais gerais, que não impõem qualquer tipo de restrição aos coeficientes aij ( i ≥ j ; i , j =1,..., m ).
A.19 Algumas propriedades de matrizes
Simetria Uma matriz A = { aij } de dimensão n × n é dita ser simétrica se aij = aji , i , j =1,2,..., n.
Inversão Dada uma matriz A de dimensão n × n , se existe uma matriz B de mesma dimensão tal
que AB = BA = I então B é única e é denominada a matriz inversa de A , ou seja, B = A −^1.
Pseudo-inversão Dada uma matriz A de dimensão m × n , sempre existe uma matriz B satisfazendo as seguintes igualdades:
- ABA = A ; • BAB = B ; • ( AB ) T^ = AB ; • ( BA ) T^ = BA ;
A matriz B , geralmente denominada A +, é única e é conhecida como a inversa de Moore-Penrose ou a pseudo-inversa da matriz A. A matriz A +^ pode ser diretamente determinada através da decomposição de A em valores singulares. Se a matriz A é de posto completo, ou seja, se ρ( A ) = min( m , n ) (veja definição mais adiante), a pseudo-inversa é dada na forma:
- se m < n , ρ( A ) = m e A +^ = A T ( AA T )−^1 ;
- se m > n , ρ( A ) = n e A +^ = ( A T A )−^1 A T ;
- se m = n , ρ( A ) = m = n e A +^ = A −^1.
Portanto, se A é uma matriz inversível (matriz quadrada e de posto completo), a pseudo-inversa é igual à inversa.
Cofator Dada uma matriz A de dimensão n × n , o cofator do elemento a (^) ij ( i , j =1,2,..., n ) é dado na forma:
c ij = ( − 1 ) i^ + jmij ,
onde mij é o determinante da matriz formada eliminando-se a i -ésima linha e a j -ésima coluna da matriz A.
Determinante Dada uma matriz A de dimensão n × n , o determinante de A é dado na forma:
A = ( A )=
=
∑ ∑
det
a c i a c j
in ij^ ij j ij^ ij
n
1 1
para qualquer ou para qualquer
onde cij é o cofator do elemento aij. Seja A = [ a (^) 1 L a (^) j L a n ] (1 ≤ j ≤ n ). O determinante de A possui as seguintes
propriedades:
- Invariância: det (^) ([ a (^) 1 L a (^) j L a n ]) = det (^) ([ a (^) 1 L a (^) j + a (^) k L a n ]), j ≠ k , 1 ≤ j , k ≤ n ;
- Homogeneidade: det (^) ([ a (^) 1 L b a (^) j L a n ])= b .det (^) ([ a (^) 1 L a (^) j L a n ]) Com isso, se B é uma matriz obtida de A pela troca de duas de suas colunas, então det( B ) = −det( A ).
Traço Dada uma matriz A de dimensão n × n , o traço de A , representado por tr( A ), é a soma dos elementos da diagonal de A , ou seja:
tr ( A )=
∑= aii i
n 1
A dimensão de N ( A ) é denominada nulidade da matriz A e é representada por ν( A ). A nulidade e o posto estão relacionados por:
ν( A ) + ρ( A ) = n
São propriedades importantes: N ( A ) ⊥ R ( A T ) no ℜ n^ N ( A T ) ⊥ R ( A ) no ℜ m
Autovalor e autovetor Seja uma matriz A de dimensão n × n. Diz-se que um escalar λ ∈ C (conjunto dos
números complexos) é um autovalor de A se existe um vetor não-nulo x ∈ C n , chamado de
autovetor associado a λ, tal que
Ax = λ x.
- Ax = λ x pode ser reescrito como (λ I − A ) x = 0 ;
- ∃ x ∈ C n^ , x ≠ 0 tal que (^) (λ I − A x ) = 0 se e somente se det( λ I − A )= 0 ;
- ∆ (^) ( )λ =∆ det( λ I − A ) é o polinômio característico de A ;
- Como o grau de ∆(λ) é n , a matriz A possui n autovalores.
Positividade Uma matriz A de dimensão n × n é dita ser definida positiva se e somente se < x , Ax > = x T Ax > 0, ∀ x ∈ ℜ n , x ≠ 0 ,
ou, de forma equivalente, se todos os seus autovalores forem positivos. Uma matriz A de dimensão n × n é dita ser semi-definida positiva se e somente se < x , Ax > = x T Ax ≥ 0, ∀ x ∈ ℜ n ,
ou, de forma equivalente, se todos os seus autovalores forem não-negativos. Uma matriz A de dimensão n × n é dita ser definida negativa (semi-definida negativa) se
− A é definida positiva (semi-definida positiva).
A.20 Teoremas envolvendo propriedades de matrizes
Teorema: Seja A uma matriz de dimensão m × n e considere o sistema de equações lineares Ax = y. É possível afirmar que:
Dados A ∈ ℜ m × n^ e y ∈ ℜ m , existe x ∈ ℜ n^ tal que Ax = y se e somente se y ∈ R ( A ), ou seja, se e somente se y puder ser expresso como uma combinação linear das colunas de A. Nota : y ∈ R ( A ) ⇒ ρ( A ) =ρ( (^) [ A y M (^) ]).
Dado A ∈ ℜ m × n , para todo y ∈ ℜ m^ existe x ∈ ℜ n^ tal que Ax = y se e somente se
R ( A ) ≡ ℜ m.
Nota : R ( A ) ≡ ℜ m ⇒ ρ( A )= m
Teorema: Seja A uma matriz de dimensão m × n tal que ρ( A ) = m. Então a matriz
Q = AA T^ ∈ ℜ m^ é definida positiva.
Teorema: Seja A uma matriz de dimensão n × n. Então os autovetores associados a autovalores distintos são linearmente independentes.
Teorema: Seja A uma matriz simétrica de dimensão n × n. Então os autovalores de A são reais e autovetores associados a autovalores distintos são ortogonais.
Teorema: Toda matriz A de dimensão m × n que tenha posto unitário pode ser fatorada na forma A = uv T , para algum u ∈ ℜ m^ e v ∈ ℜ n.
