Algebra Linear I, Notas de estudo de Física

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Álgebra

Linear I

Clício Freire da Silva

Disney Douglas de Lima Oliveira

Domingos Anselmo Moura da Silva

Manaus 2007

FICHA TÉCNICA

Governador Eduardo Braga Vice-Governador Omar Aziz Reitor Lourenço dos Santos Pereira Braga Vice-Reitor Carlos Eduardo S. Gonçalves Pró-Reitor de Planejamento e Administração Antônio Dias Couto Pró-Reitor de Extensão e Assuntos Comunitários Ademar R. M. Teixeira Pró-Reitor de Ensino de Graduação Carlos Eduardo S. Gonçalves Pró-Reitor de Pós-Graduação e Pesquisa Walmir de Albuquerque Barbosa Coordenador Geral do Curso de Matemática (Sistema Presencial Mediado) Carlos Alberto Farias Jennings Coordenador Pedagógico Luciano Balbino dos Santos NUPROM Núcleo de Produção de Material Coordenador Geral João Batista Gomes Projeto Gráfico Mário Lima Editoração Eletrônica Helcio Ferreira Junior Revisão Técnico-gramatical João Batista Gomes

Silva, Clício Ferreira da.

S586a Álgebra linear / Clício Ferreira da Silva, Disney Douglas de Lima Oliveira, Domingos Anselmo Moura da Silva. - Manaus/AM: UEA, 2007. - (Licenciatura em Matemática. 2. Período)

111 p.: il. ; 29 cm. Inclui bibliografia.

1. Álgebra linear - Estudo e ensino. I. Oliveira, Disney Douglas de Lima. II. Silva, Domingos Anselmo Moura da. III. Série. IV. Título.

CDU (1997): 512. CDD (19.ed.): 512.

Clício Freire da Silva Licenciado em Matemática – UFAM Bacharel em Matemática – UFAM

Pós-graduado em Instrumentação para o Ensino da Matemática – UFF

Disney Douglas de Lima Oliveira Licenciado e Bacharel em Matemática - UFAM Mestre em Matemática - UFAM Doutorando em Computação Gráfica - UFRJ

Domingos Anselmo Moura da Silva Licenciado e Bacharel em Matemática - UFAM Mestre em Matemática - UFAM

PERFIL DOS AUTORES

PALAVRA DO REITOR

A realidade amazônica, por si só, é um desafio à educação tradicional, aquela que teima em ficar arraigada à sala de aula, na dependência única dos métodos triviais de ensino. A Universidade do Estado do Amazonas já nasceu consciente de que o ensino presencial mediado é a única estratégia capaz de respon- der aos anseios de um público que, por estar disperso, tem de ser atendido por projetos escudados em dinamismo técnico−científico.

Assim, a Licenciatura Plena em Matemática, ancorada no Sistema Presencial Mediado, nasceu para ofere- cer aos discentes as habilidades necessárias para que eles venham a construir seus próprios objetivos exis- tenciais, estimulando−lhes a ousadia de aceitar o novo e de criar novas possibilidades de futuro, dando− lhes uma visão multifacetada das maneiras de educar.

Os livros−textos em que o curso se apóia são produzidos com o rigor didático de quem sabe que a história da educação, no nosso Estado, está sendo reescrita. Os agentes desse processo têm visão crítica e apos- tam na formação de novos professores que saberão aliar inteligência e memória, não permitindo que o ensi- no em base tecnológica ganhe a conotação de “um distanciado do outro”.

A autonomia de agir que cada um está aprendendo a conquistar virá, em breve, como resposta aos desafios que se impõem hoje.

Lourenço dos Santos Pereira Braga Reitor da Universidade do Estado do Amazonas

TEMA 01

MATRIZES – DEFINIÇÕES E

CLASSIFICAÇÃO

1.1 Fique por dentro

Surgimento da Teoria das matrizes

• Curiosidades em torno do nome matriz Foi só há pouco mais de 150 anos que as ma- trizes tiveram sua importância detectada e saí- ram da sombra dos determinantes. O primeiro a dar a elas um nome parece ter sido Cauchy, em 1826: tableau (= tabela ). O nome matriz só veio com James Joseph Sylvester, 1850. Seu amigo Cayley, com sua famosa Memoir on the Theory of Matrices , 1858, divulgou esse nome e começou a de- monstrar sua utilidade. Por que Sylvester deu o nome matriz às matrizes? Usou o significado coloquial da palavra matriz: local onde algo se gera ou se cria. Com efeito, via-as como “...um bloco retangular de ter- mos... o que não representa um determinante, mas é como se fosse uma MATRIZ a partir da qual podemos formar varios sistemas de deter- minantes, ao fixar um número p e escolhar à vontade p linhas e p colunas...” (artigo publicado na Philosophical Magazine de 1850, pag. 363-370 ) Observe que Sylvester ainda via as matrizes como mero ingrediente dos determinantes. É só com Cayley que elas passam a ter vida própria e, gradativamente, começam a suplan- tar os determinantes em importância.
• Surgimento dos primeiros resultados da Teoria das Matrizes Costuma-se dizer que um primeiro curso de Teoria das Matrizes – ou de sua versão mais abstrata, a Algebra Linear – deve ir, no mínimo, até o Teorema Espectral. Pois bem, esse teore- ma e toda uma série de resultados auxiliares já eram conhecidos antes de Cayley começar a estudar as matrizes como uma classe notável de objetos matemáticos. Como se explica isso? Esses resultados, bem

como a maioria dos resultados básicos da Teo- ria da Matrizes, foram descobertos quando os matemáticos dos séculos XVIII e XIX passaram a investigar a Teoria das Formas Quadráticas. Hoje, consideramos imprescindível estudar es- sas formas por meio da notacão e da metodo- logia matricial, mas naquela época elas eram tratadas escalarmente. Mostremos aqui a re- presentação de uma forma quadrática de duas variáveis, tanto via notação escalar, como com a mais moderna notação matricial:

O primeiro uso implícito da noção de matriz ocorreu quando Lagrange (1790) reduziu a ca- racterização dos máximos e mínimos, de uma função real de várias variáveis, ao estudo do sinal da forma quadrática associada à matriz das segundas derivadas dessa função. Sempre trabalhando escalarmente, ele chegou a uma conclusão que hoje expressamos em termos de matriz positiva definida. Após Lagrange, já no século XIX, a Teoria das Formas Quadrá- ticas chegou a ser um dos assuntos mais impor- tantes em termos de pesquisas, principalmente no que toca ao estudo de seus invariantes. Es- sas investigações tiveram como subproduto a descoberta de uma grande quantidade de resul- tados e conceitos básicos de matrizes. Assim, podemos dizer que a Teoria das Matri- zes teve como mãe a Teoria das Formas Quadrá- ticas, pois seus métodos e resultados básicos foram lá gerados. Hoje, contudo, o estudo das formas quadráticas é um mero capítulo da Teo- ria das Matrizes. (Fonte de pesquisa: http://www.mat.ufrgs.br/~portosil/passa3)

1.2 Elementos básicos para matrizes Aqui, tomaremos o conjunto N dos números na- turais, como: N = {1,2,3,4,5,6,7,...}. O produto cartesiano N×N indicará o conjunto de todos os pares ordenados da forma (a, b), em que a e b são números naturais, isto é: N × N={(a, b): a e b são números naturais} Uma relação importante em N×N é:

Smn ={(i,j): 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n}

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Álgebra Linear I – Matrizes

1.3 Definição de matriz

Considere um conjunto A de elementos aij , dis- postos em uma tabela com m linhas e n colu- nas, tais que A = (aij )m×n, onde:

1.4 Definições básicas sobre matrizes

• Ordem – Se a matriz A tem m linhas e n colu- nas, dizemos que a ordem da matriz é m×n.
• Posição de um elemento – Na tabela acima, a posição de cada elemento aij = a(i,j) é indicada pelo par ordenado (i,j).
• Notação para a matriz – Indicamos uma matriz A pelos seus elementos, na forma:

A = (aij )m× n ∀. (i,j) ∈ Smn

• Matriz quadrada – É a matriz que tem o número de linhas igual ao número de colu- nas, isto é, m = n. Exemplo: Matriz 4 x 4 de números reais.
• Diagonal principal – A diagonal principal da matriz é indicada pelos elementos da forma a(i,j) onde i = j.
• A diagonal secundária de uma matriz qua- drada de ordem n é indicada pelos n ele- mentos:
• Matriz diagonal – É a que tem elementos nulos fora da diagonal principal. Exemplo: Matriz diagonal com quatro linhas e quatro colunas:
• Matriz real – É aquela que tem números reais como elementos.
• Matriz complexa – É aquela que tem nú- meros complexos como elementos.

Exemplo: Matriz 4 x 4 de números comple- xos.

• Matriz nula – É aquela que possui todos os elementos iguais a zero.
• Matriz identidade – Tem os elementos da diagonal principal iguais a 1 e zero fora da diagonal principal. Exemplo: Matriz identidade de ordem 3.

I 3 =

1.5 Matrizes iguais Duas matrizes A = (ai,j)m×n e B = (bi,j)m× (^) n, de mesma ordem m×n, são iguais se todos os seus correspondentes elementos são iguais, isto é ai,j = bi,j para todo par ordenado (i,j) em Smn.

Determinar os valores de x e y para que sejam iguais as matrizes abaixo, isto é:

Solução:

x – 1 = 1 x = 2 y – 1 = 2 y = 3

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UEA – Licenciatura em Matemática

2.3.1 Propriedades a) Distributividade da soma à direita:

A (B+C) = A B + A C ∀ A = (a ij )mxp , B(b cj)p x n,

C(cij )p xn b) Distributividade da soma à esquerda: (A+B)C = A C + B C A(m,p), B(m,p), C(p,n) c) Associatividade: A (B C) = (A B) C A(m,p), B(p,k), C(k,n) d) Nulidade do produto – Pode acontecer que o produto de duas matrizes seja a ma- triz nula, isto é: AB = 0, embora nem A nem B sejam matrizes nulas, como é o caso do produto:

2.4 Matrizes com propriedades especiais

a) Uma matriz A é nilpotente de índice k natu- ral se A k^ = 0 b) Uma matriz A é periódica de índice k natu- ral se A k+1= A c) Uma matriz A é idempotente se A 2 = A d) As matrizes A e B são anticomutativas se A.B = –B.A e) A matriz identidade Id multiplicada por toda matriz A, fornecerá a própria matriz A, quan- do o produto fizer sentido, ou seja, Id A = A. f) A matriz A será a inversa da matriz B, se A.B = Id e B.A = Id g) Dada uma matriz A = (aij ) de ordem m × n, definimos a transposta da matriz A como a matriz At^ = (aij )nxm.

2.4.1 Propriedades a) A transposta da transposta da matriz é a própria matriz (A t)t^ = A b) A transposta da multiplicação de um esca- lar por uma matriz é igual ao próprio escalar multiplicado pela transposta da matriz (kA) t^ = k (A t) c) A transposta da soma de duas matrizes é a soma das transpostas dessas matrizes. (A + B) t^ = A t^ + B t d) A transposta do produto de duas matrizes é

igual ao produto das transpostas das matri- zes na ordem trocada: (A B) t^ = B t^ A t e) Uma matriz A é simétrica se é uma matriz quadrada tal que A t^ = A f) Uma matriz A é anti-simétrica se é uma ma- triz quadrada tal que A t^ = –A g) Se A é uma matriz simétrica de ordem n, então para todo escalar k, a matriz k.A é simétrica. h) Se A é uma matriz quadrada de ordem n, então a matriz B = A + At^ é simétrica. i) Se A é uma matriz quadrada de ordem n, então a matriz B = A – At^ é anti-simétrica.

2.5 Exemplos

1. Vamos escrever a matriz A = (aij )2 x 3 , sendo ai j = i + j. Uma matriz do tipo 2 x 3 pode ser genericamente representada por

Utilizando a regra de formação de seus ele- mentos, encontramos: a 11 = 1 + 1 = 2 a 12 = 1 + 2 = 3 a 13 = 1 + 3 = 4 a 21 = 2 + 1 = 3 a 22 = 2 + 2 = 4 a 23 = 2 + 3 = 5 Assim, a matriz pedida é.

2. Vamos determinar os valores de a, b, c, d para que se tenha:

Igualando os elementos de mesma posição, segue que: a = 4 b + 1 = –1 b = – c – 4 = 6 c = 10 d + 3 = 8 d = 5

3. Vamos resolver a equação X – A = B, sendo

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UEA – Licenciatura em Matemática

. Vamos ver dois mo-

dos de resolução. Modo 1: A matriz procurada é. Temos:

Igualando os elementos correspondentes, vem: p – 3 = 7 p = 10 q – 1 = 10 q = 11 r – 4 = –1 r = 3 s + 2 = 5 s = 3

Modo 2: Vamos “isolar” a matriz X na equação:

1. Somemos, aos dois membros, a matriz A: (X – A) + A = B + A
2. Usando as propriedades II e III, temos:
3. Usando a propriedade IV, temos:

A seqüência acima mostra-nos que essa equação matricial é resolvida do mesmo modo que a equação x – a = b, sendo x, a, e b números reais. Assim, para adição e subtração de matri- zes, é possível simplesmente fazer:

X – A = B ⇒ X = B + A.

4. Vamos determinar X na equação
   3. X – A = B, sendo.

Modo 1: A matriz procurada é. Temos:

Daí:

Modo 2: Vamos operar como se A, B e X fossem núme- ros reais:

3X= A + B X =. (A + B),

isto é:

5. Sejam as matrizes (^) e

, vamos determinar a matriz A. B.

Vejamos se é possível fazer tal produto:

Façamos. Temos:

• C 11 : (linha 1 de A e coluna 1 de B) c 11 = 5. 1 + 1. (–4) + (-1). 8 = –
• C 12 : (linha 1 de A e coluna 2 de B) c 12 = 5. 5 + 1. 3 + (–1). 1 = 27
• C 21 : (linha 2 de A e coluna 1 de B) c 21 = 3. 1 + 2. (–4) + 7. 8 = 51
• C 22 : (linha 2 de A e coluna 2 de B) c 22 = 3. 5 + 2. 3 + 7. 1 = 28

Assim,

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Álgebra Linear I – Matrizes

5. Resolva o sistema matricial:
6. Efetue:
7. Sabendo que , determine a

matriz 2. X.

8. Resolva o sistema.
9. Sejam A = (ai j )4x3 e B = (bi j )3x4 duas matrizes definidas por a (^) i j = i + j e bi j = 2i + j, respecti- vamente. Se A. B = C, então qual é o elemen- to c 32 da matriz C?
10. Determine x e y a fim de que as matrizes

comutem.

11. Considere. Determine:

Xt^ + (X–1)t.

12. Supondo sen θ ≠ 0 e cos θ ≠ 0, encontre a inver-

sa da matriz T =.

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Álgebra Linear I – Matrizes

UNIDADE II

Determinantes

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UEA – Licenciatura em Matemática

3.2 Introdução

Como já vimos, matriz quadrada é a que tem o mesmo número de linhas e de colunas (ou seja, é do tipo n x n). A toda matriz quadrada está associado um nú- mero ao qual damos o nome de determinante. Dentre as várias aplicações dos determinantes na Matemática, temos:

• resolução de alguns tipos de sistemas de equações lineares;
• cálculo da área de um triângulo situado no plano cartesiano, quando são conhecidas as coordenadas dos seus vértices.

3.3 Determinante de 1.a^ ordem

Dada uma matriz quadrada de 1. a^ ordem M=[a 11 ], o seu determinante é o número real a 11 : det M =Ia 11 I = a 11 Observação: Representamos o determinante de uma matriz entre duas barras verticais, que não têm o sig- nificado de módulo. Por exemplo:

M= [5] ⇒ det M = 5 ou |5| = 5

M = [–3] ⇒ det M = –3 ou |–3| = –

3.4. Determinante de 2.a^ ordem

Dada a matriz (^) , de ordem 2, por

definição o determinante associado a M, deter- minante de 2.a^ ordem, é dado por:

detM = = a 11 a 22 – a 12 a 22

Portanto o determinante de uma matriz de or- dem 2 é dado pela diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produ- to dos elementos da diagonal secundária. Veja o exemplo a seguir.

Sendo , temos:

detM = = 2.5 – 4.3 = 10 – 12 ⇒ detM = –

3.5 Menor complementar Chamamos de menor complementar relativo a um elemento aij de uma matriz M, quadrada e de ordem n > 1, o determinante MCij , de ordem n – 1, associado à matriz obtida de M quando suprimimos a linha e a coluna que pas- sam por a (^) ij. Vejamos como determiná-lo pelos exemplos a seguir:

a) Dada a matriz , de ordem 2,

para determinar o menor complementar re- lativo ao elemento a 11 (MC 11 ), retiramos a linha 1 e a coluna 1:

⇒ MC 11 = |a 22 | = a 22

Da mesma forma, o menor complementar relativo ao elemento a 12 é:

⇒ MC 12 = |a 21 | = a 21

b) Sendo , de ordem 3,

temos:

3.6 Cofator Chamamos de cofator ou complemento algé- brico relativo a um elemento aij de uma matriz quadrada de ordem n o número A (^) ij tal que A (^) ij = (–1)i+j^. MCij. Veja:

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Álgebra Linear I – Determinantes

a) Dada , os cofatores relativos

aos elementos a 11 e a 12 da matriz M são:

b) Sendo , vamos calcular

os cofatores A 22 , A 23 e A 31 :

3.7 Teorema de Laplace

O determinante de uma matriz quadrada M = [aij ]mxn, m = 2, pode ser obtido pela soma dos produtos dos elementos de uma fila qual- quer (linha ou coluna) da matriz M pelos res- pectivos cofatores.

Assim, fixando j ∈ N; 1 = j = m, temos:

em que é o somatório de

todos os termos de índice i, variando de 1 até

m, m ∈ N.

3.8 Regra de Sarrus

O cálculo do determinante de 3.a^ ordem pode ser feito por meio de um dispositivo prático, denominado regra de Sarrus. Acompanhe como aplicamos essa regra para

1. o^ passo – Repetimos as duas primeiras colu- nas ao lado da terceira: 2. o^ passo – Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal principal com os dois produtos obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal (a soma deve ser precedida do sinal positivo):

3.o^ passo – Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal secundária com os dois produtos obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal (a soma deve ser precedida do sinal negativo):

Assim:

= –(a 13 a 22 a 31 +a 11 a 23 a 22 +a 12 a 21 a 33 )+(a 11 a 22 a 33 +a 11 a 23 a 31 +a 13 a 21 a 32 )

Observação: Se desenvolvermos esse determinante de 3.a ordem aplicando o Teorema de Laplace, encontraremos o mesmo número real.

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Álgebra Linear I – Determinantes

b) Quando trocamos as posições de duas filas paralelas, o determinante de uma matriz mu- da de sinal. Exemplo:

Trocando- se as posições de L 1 e L 2 :

c) Se k ∈ R, então det(k.A) = kn.detA

Exemplo:

4.5 Matriz triangular

a) Quando, em uma matriz, os elementos aci- ma ou abaixo da diagonal principal são todos nulos, o determinante é igual ao pro- duto dos elementos dessa diagonal. Exemplos:

a) b)

b) Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal secundária são todos nulos, o determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal mul-

tiplicado por.

Exemplos:

a) b)

4.6 Teorema de Binet Para A e B matrizes quadradas de mesma or- dem n, det (AB) = det A. det B A sendo inversível:

Exemplo:

Se , e , então:

1. Vamos calcular o valor do determinante da

matriz.

Assim: det M = –42 + 0 – 8 – 4 – 35 + 0 = –89.

2. Vamos determinar o valor de x em

Aplicando a regra de Sarrus no primeiro mem- bro, vem:

0 +6 –x^2 0 –12x 4x Daí: –x 2 – 8x + 6 = –3 x^2 + 8x – 9 = 0 x = –9 ou x = 1

3. Sendo , então, eliminando-se

a 1.a^ linha e a 3.a^ coluna, obtemos:

é o cofator do

elemento a 13.

4. Sendo e eliminando-se

a 3.a^ linha e a 2.a^ coluna, obtemos:

é o cofa-

tor do elemento b 32.

5. Vamos calcular.

Escolhemos a linha 3 de D pelo teorema de Laplace vem: D = 7. A 31 + 4. A 32 + (–5). A 33 + 0. A 34 (*) Temos:

Observe que não é necessário calcular A 34. Daí, em (*), temos: D = 7. 9 + 4. 20 + (–5). 7 = 108

6. Qual é o valor de (^).

Embora a escolha seja arbitrária, devemos

optar pela fila com maior número de zeros, a fim de simplificar os cálculos. Escolhemos, dessa forma, desenvolver pelos elementos da 2.a^ coluna. Temos:

Assim, basta calcular A 22.

Como ,^ se-

gue que D = (–2). (–183) = 366.

7. Seja a matriz quadrada , onde

observamos que todos os elementos da 1.a^ e da 2.a^ coluna são iguais. Vamos calcular o determinante da matriz: Det A =

8. Considere as matrizes e sua

transposta . Os seus determinantes valem:

∴ det A = det At

O determinante de uma matriz quadrada A é igual ao determinante de sua transposta At.

9. Resolver a equação.

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