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Aplicações da Derivada
3 - Construção de Gráficos Gráficos como o da função não é fácil de ser construído pelo método convencional (atribuição de valores a x ). Da mesma forma, funções polinomiais de grau maior que 3, funções exponenciais, racionais e outras apresentariam uma dificuldade ainda maior. Para funções desse tipo podemos utilizar a derivada como auxílio para realizar um bom esboço de seus gráficos.
3.1 - Extremos Relativos (máximo e mínimo) Máximo relativo de uma função é um “pico”, ou seja um ponto do gráfico da função mais alto que qualquer outro que lhe seja vizinho. Mínimo relativo é o “fundo do vale”, ou seja um ponto do gráfico da função mais baixo que qualquer outro que lhe seja vizinho. Identifique no gráfico abaixo os extremos relativos.
y
f(x)
x
3.2 - Crescimento e Decrescimento Uma função é crescente quando à medida que x aumenta, f(x) também aumenta. Uma função é decrescente quando à medida que x aumenta temos que f(x) diminui.
y
f(x)
x
3.3 - Sinal da derivada Podemos reconhecer quando uma função é crescente ou decrescente através do sinal de sua primeira derivada. Quanto à concavidade, podemos determiná-la através do sinal da segunda derivada.
3.3.1 - Teste da primeira derivada:
0 em (a,b) é crescente em (a,b).
< 0 em (a,b) é decrescente em (a,b). 3.4 - Pontos Críticos
Chamamos de ponto crítico o ponto pertencente ao domínio da função f tal que = 0 ou não existe. Dentre os pontos críticos podemos identificar os que são pontos de máximo e os que são pontos de mínimo. Alguns pontos críticos podem não ser nem de máximo, nem de mínimo, nesse caso são ditos pontos de inflexão, ou seja um ponto onde a concavidade muda (veja figura abaixo). Esses pontos também são conhecidos como pontos críticos de segunda ordem, pois eles anulam a segunda derivada da função.
x 0 x 0 x 0 x 0 x (^0)
- Realizando os dois testes, o da primeira derivada e o da segunda, simultaneamente, para x no intervalo (a,b), podemos concluir que:
Crescimento de f
Concavidade de f
Formato de f
3.5 - Construção do Gráfico
Os passos seguintes indicam como construir o gráfico de uma função:
Passo 1: Calcular a primeira e segunda derivadas da função ( e ). Passo 2: Determinar os pontos críticos de primeira e segunda ordem (ou indefinida) e suas imagens. Passo 3: Representar graficamente os pontos críticos. Passo 4: Determinar as regiões de crescimento, decrescimento e as concavidades. Passo 5: Construir o gráfico de acordo com as informações anteriores.
Exercícios: Seguindo os passos acima, construa o gráfico das seguintes funções, indicando seus pontos de máximo, mínimo e inflexão, caso existam:
a) f(x) = 2x^3 + 3x 2 - 12x-7 b) y = x 4 + 8x^3 + 18x 2 - 8 c) g(x) = d) y = 3 - (x+ 1) 3 e)
Observe que os extremos delimitam as regiões de crescimento e decrescimento
f cresce f’ > 0 f decresce f’ < 0 f decresce
f’ < 0 f decresce f’ < 0 f cresce f’ > 0
áximo
mínimo
máximo
mínimo
inflexão
b)
