Aplicações do Momento Angular Orbital, Resumos de Física

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APLICAÇÕES PARA O MOMENTO

ANGULAR ORBITAL

Polyanna Oliveira

12 de novembro de 2012

1 Autovalores e autofunções de L^2 e Lz

1.1 Equação de autovalor na representação |r〉

Na representação |r〉 os observáveis R e P correspondem respectivamente a multipli- cação por r e pelo operador diferencial ℏ i 5. As três componentes do momento angular L podem ser escritas como:

Lx =

i

y

∂z − z

∂y

Ly =

i

z

∂x

− x

∂z

Lz =

i

x

∂y − y

∂x

Entretanto, é mais conveniente trabalhar em coordenadas esféricas ou polares, desde que os operadores momento angular atuem apenas sobre as variáveis θ e ϕ. Com as mudanças usuais de coordenadas, temos:

Lx = iℏ

sin ϕ

∂θ

cos ϕ tan θ

∂ϕ

Ly = iℏ

− cos ϕ

∂θ

sin ϕ tan θ

∂ϕ

Lz =

i

∂ϕ e consequentemente:

L^2 = −ℏ^2

∂^2

∂θ^2

tan θ

∂θ

sin^2 θ

∂^2

∂ϕ^2

L+ = ℏeiϕ

∂θ

• i cot θ

∂ϕ

L− = ℏe−iϕ

∂θ

• i cot θ

∂ϕ

De acordo com os resultados da sessão C, m é inteiro ou semi-inteiro. mas o resultado acima mostra que m deve ser inteiro. Mas se m é inteiro, l também é inteiro.

(ii) Todos os valores inteiros de l podem ser encontrados:

Através de uma manipulaçãode identidades trigonométricas na solução da equação L+Y (^) ll (θ, ϕ) = 0, encontra-se uma solução geral do tipo F (^) ll (θ) = cl sin θl. Con- sequentemente, para cada valor inteiro positivo ou nulo de l, existe uma função única da forma:

Y (^) ll (θ, $) = cl sin θleilϕ

As funções Y (^) l m(θ, ϕ) são chamadas harmônicos esféricos.

1.3 Propriedades Fundamentais dos Harmônicos Esféricos

(i) Relações de recorrência:

eiϕ

∂θ − m cot θ

Y (^) lm (θ, ϕ) =

l(l + 1) − m(m + 1)Y (^) lm +1(θ, ϕ)

e−iϕ

∂θ − m cot θ

Y (^) l m(θ, ϕ) =

l(l + 1) − m(m − 1)Y (^) lm −^1 (θ, ϕ)

(ii) Ortonormalização e relações de fechamento:

A escolha do fator constante que determina os esféricos harmônicos se dá pela ortonormalização da função, e a solução pode ser expandida em termos dos esféri- cos harmônicos, que por sua vez, constituem uma base no espaço εΩ de funções de θ e ϕ. Esse fato é expresso pelas relações de fechamento:

∑^ ∞

l=

∑^ l

m=−l

Y (^) lm (θ, ϕ)Y (^) lm ∗(θ′, ϕ′) =

sin θ

δ(θ − θ′)δ(ϕ − ϕ′)

(iii) Paridade e comlexo conjugado:

Os harmônicos esféricos são funções com paridade definida que, independente de m, são par se l for par e ímpar se l for ímpar.

2 Considerações Físicas

2.1 Estudo de um estado |k, l, m〉

Para calcular as projeções do momento angular ao longo dos eixos Ox e Oy, pode- mos expressá-las em termos de L+ e L−:

Lx =

(L+ + L−)

Ly =

2 i

(L+ − L−)

Essas funções aplicadas ao estado |k, l, m〉 são combinações lineares de |k, l, m + 1〉 e |k, l, m − 1 〉 de modo que os valores esperados de Lx e Ly são iguais a 0. Os val- ores esperados das coponentes dos momentos e seus quadrados são como os obtidos classicamente. Entretanto, as diferenças entre a leitura clássica e quântica do momento angular surgem por exemplo, na medida individual de Lx ou Ly de uma partícula no estado |k, l, m〉, que não podem assumir qualquer valor entre −ℏ

l(l + 1) − m^2 e +ℏ

l(l + 1) − m^2. Os únicos valores possíveis para essas medidas são, fixado um l, um dos (2l + 1) valores lℏ, (l − 1)ℏ, ..., −lℏ.

2.2 Cálculo das medições físicas concernentes às medidas de L^2 e

Lz

Considerando o estado de uma partícula cuja função de onda normalizada é: 〈~r|Ψ〉 = Ψ(r, θ, ϕ) Como podemos calcular as probabilidades para diferentes resultados a partr da função de onda?

(i) Fórmulas Gerais:

Ψ(~r) =

k

l

m

ck,l,mRk,lY (^) lm (θ, varphi)

Os coeficientes são calculados pelas condições de normalização e a probabilidade é dada pelo somatório dos módulos quadrados desses coeficientes. Depois de comparar com os cálculos feitos através da função dependente de θ e ϕ e obter os mesmos resultados, as probabilidades podem ser escritas como:

℘L 2 (l) =

∑^ l

m=−l

0

r^2 dr|al,m(r)|^2