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A Interação Spin-Órbita e o Momento Angular Total
Andriele S. Vieira^1
(^1) Centro de Ciências Exatas, Naturais e da Saúde (CCENS)/ Universidade Federal do Espírito Santo (UFES)
[email protected]
Resumo. Este artigo trata de uma análise do efeito Spin-Orbita, que tem como consequências a alteração nos níveis de energia dos átomos em relação aos encontrados ao se resolver a Equação de Schroedinger com a Hamiltoniana apenas com termos de origem cinética e de potencial Coulombiano. Fez-se também uma descrição e análise do momento angular total do átomo de um elétron, com analogia à atomos multieletrônicos.
Abstract. This article deals with an analysis of the Spin-Orbite effect, which has as consequences the change in the energy levels of the atoms in relation to those found when solving the Schroedinger equation with the Hamiltonian only with terms of kinetic origin and Coulomb potential. A description and analysis of the total angular momentum of the atom of an electron was also made, with analogy to the multielectronic atoms.
1. A interação Spin-órbita
1.1. Introdução
Na física quântica, a interação spin-órbita (também chamado efeito spin-órbita ou aco- plamento spin-órbita) é qualquer interação de partículas de spin com seu movimento. O primeiro e mais conhecido exemplo disto é que a interação spin-órbita provoca mudanças nos níveis de energia atômica de elétrons devido a uma interação entre o momento de dipolo magnético do spin e o campo magnético interno do átomo gerado pela órbita do elétron em torno do núcleo. Isto é detectável como uma divisão de linhas espectrais. Um efeito similar, devido à relação entre o momento angular e da força nuclear forte, ocorre por prótons e nêutrons em movimento dentro do núcleo, levando a uma mudança nos seus níveis de energia no modelo de concha do núcleo. No campo da spintrônica, os efeitos spin-órbita de elétrons em semicondutores e outros materiais são explorados para aplicações tecnológicas (CAETANO, 2016).
1.2. Desenvolvimento teórico
O Elétron se movimenta com uma velocidade de v que pode ser escrita em termos do Momentum do elétron como:
v =
p me
Segundo a Relatividade Especial esse movimento gera um campo Magnético B dado por:
B = −
c^2
v × E (2)
Como o elétron possui um momento magnético intrínseco(Spin) dado por:
Ms = (^) mqe S(3)
Em interação com o Campo Magnético B, podemos escrever a energia de interação como:
W = Ms. B(4)
Escrevendo a W de maneira mais explícita, temos que o campo elétrico dado por E:
E = −
q
r
dV (R) dR
r (5)
Como: dV (R) dR
−e^2 r
Assim chegamos a:
B = −
ec^2
r
dV (R) dR
v × r (7)
onde podemos fazer: −L = v × r (8)
Por fim, chegamos a:
W =
meR
dV (R) dr
L. S (9)
O fator 1 / 2 que difere o resultado do valor da Hamiltonina é devido ao fato do movimento do elétron não ser linear e denomina-se Fator de Thomas.
Em termos da energia, a eq. 9 pode ser representada por:
∆E =
2 m^2 c^2
r
dV (R) d(R)
S. L (10)
Essa equação foi deduzida pela primeira vez por Thomas em 1926, que usou uma combinação do modelo de Bohr, mecânica quântica de Schroedinger e cinemática relativística. Ela é importante tanto na teoria dos átomos multieletrônicos como em átomos de um elétron (EISBERG e RESNICK, 1974).
e como os demais números quânticos, os valores possíveis de j diferem por números inteiros, que produzem uma série decrescente:
j = l + 1/ 2 , l − 1 / 2 , l − 3 / 2 , l − 5 / 2 , ... (18)
Para determinar onde termina a série demonstrada na eq. 17, podemos usar a desigualdade vetorial:
|L + S| ≥ ||L| − |S|| ⇒ |J| ≥ ||L| − |S|| (19)
ou (^) √ j(j + 1ℏ ≥
l(l + 1)ℏ −
s(s + 1)ℏ
Essa desigualdade é facilmente observável na figura 1, onde mostra os diagramas vetoriais de um sistema com dois elétrons, como é o caso do H−^ e do He.
Figura 1. Momento angular orbital total L , que corresponde a soma do momento angular orbital de dois eletróns, L 1 e L 2. FONTE: RODRIGUES, pág. 132^2
A partir da eq. 19, podemos mostrar sem dificuldade que como s = 1/ 2 , dois membros da série vão satisfazer a desigualdade:
j = l + 1/ 2 , l − 1 / 2 (21)
Se l = 0, então o único valor possível será j = 1/ 2.
O resultado das equações que fornecem os valores possíveis para os números quân- ticos mj e j pode ser representados em termos das regras de adição vetorial, construindo-se um conjunto de vetores cujos comprimentos são proporcionais aos valores dos números quânticos l, s e j (EISBERG e RESNICK, 1974). Uma representação da adição dos números quânticos l e s para se obter os valores possíveis dos números quânticos mj e j é ilustrada na figura 2 como um diagrama vetorial.
Figura 2. Diagramas vetoriais representando as regras de adição dos números quânticos l = 2 e s = 1/ 2 para se obter os valores possíveis dos números quânticos j e mj. FONTE: EISBERG e RESNICK, pág. 364.
Esses diagramas são utilizados nas discussões sobre estrutura atômica como uma descrição simplificada da adição dos próprios vetores momentos angulares.Essa descrição é uma outra forma de modelo vetorial, mas embora seja útil, é apenas aproximada.
Referências
EISBERG, Robert; RESNICK, Robert. Física Quântica: Átomos, Moléculas, Sólidos, Núcleos e Partículas. 1. ed. Rio de Janeiro: Elsevier, 1979. 928 p.
CAETANO, R. A. Spin-Current and Spin-Splitting in Helicoidal Molecules Due to Spin-Orbit Coupling. Scientific Reports, Online, v. 6, n. 23452, p. 1-11, mar. 2016. Disponível em: . Acesso em: 09 out. 2018.
