Apost Matematica Financeira, Notas de estudo de Administração Empresarial

Baixe Apost Matematica Financeira e outras Notas de estudo em PDF para Administração Empresarial, somente na Docsity!

Instituto de Ensino Superior de Rio Verde

IESRIVER

Faculdades Objetivo

MATEMÁTICA FINANCEIRA

Prof.: Warley Augusto Pereira

SUMÁRIO

1. Introdução

1.1. Importância da Matemática

Financeira 01

1.2. Aplicações

02

1.3. A Matemática Financeira e a

Inflação 03

2. Fundamentos

2.1. Taxas: Percentual e

Unitária 04

2.2. Juro, Capital e

Montante 06

2.3. Regimes de Capitalização 06 2.4. Fluxo de Caixa 07

3. Juros Simples

3.1. Fórmulas do Juro e do Montante 09 3.2. Taxas Equivalentes 11 3.3. Juro Exato e Juro

Comercial 12

3.4. Valor Nominal e Valor

Atual 13

4. Descontos Simples

4.1. Conceitos

Básicos 14

4.2 Desconto Simples Racional ou “Por

Dentro” 14

4.3. Desconto Simples Comercial ou “Por

Fora” 16

1. INTRODUÇÃO

1.1. IMPORTÂNCIA DA MATEMÁTICA FINANCEIRA

A matemática Financeira trata do estudo do valor do dinheiro ao longo do tempo. O seu Objetivo básico é o de efetuar análises e comparações dos vários fluxos de entrada e saída de dinheiro (aplicações e pagamentos de empréstimos) de caixa verificados em diferentes momentos. As operações de aplicação e empréstimos são geralmente realizadas por meio da intermediação de uma instituição financeira, que capta recursos de um lado e os empresta de outro. A captação é feita a uma taxa menor que a de empréstimo e a diferença é a remuneração da instituição. Investidores têm várias opções de aplicação à sua disposição e cada opção tem sua taxa em função do prazo da aplicação e dos riscos envolvidos. Analogamente, os tomadores de empréstimo têm várias opções de financiamento cujas taxas variam em função dos prazos de pagamento e das garantias oferecidas. De um modo geral, quando as taxas sobem, os aplicadores tendem a aumentar a oferta de capitais, mais os tomadores tendem a diminuir a demanda por crédito.

1.2. APLICAÇÕES

A matemática financeira é usada em operações de aplicação e empréstimos em dois regimes básicos de capitalização dos juros: juros simples e juros compostos. O regime de juros simples tem aplicações práticas bastante limitadas, restringindo-se principalmente às operações praticadas no âmbito do curto prazo e em operações de desconto. Além disso, muitas taxas praticadas no mercado financeiro estão referenciadas em juros simples, porém a formação dos montantes das operações processa-se a juros compostos. Por exemplo, a caderneta de poupança paga uma taxa de juros de 6% ao ano para seus depositantes, creditando todo mês o rendimento proporcional de 0,5%. A taxa referenciada para esta operação obedece o regime de juros simples, porém os rendimentos são capitalizados segundo o critério de juros compostos, ocorrendo ao longo dos meses juros sobre juros. Normalmente o regime de capitalização composta é adotado por todo o mercado financeiro e de capitais. Dentro das aplicações do regime de capitalização composta estão as operações de fluxo de caixa, aplicações, empréstimos, cálculos inflacionários, financiamentos, estratégias comerciais de compra e venda, análise de investimentos, títulos, sistemas de amortização de empréstimos e financiamentos, avaliação de ações etc.

1.3. A MATEMÁTICA FINANCEIRA E A INFLAÇÃO

De maneira simplista, o processo inflacionário de uma economia pode ser entendido pela elevação generalizada dos preços dos vários bens e serviços. Em sentido contrário, diante de uma baixa predominante dos preços de mercado dos bens e serviços, tem-se o fenômeno definido por deflação.

- Índices de Preços e Taxas de Inflação: Um índice de preços é resultante de um procedimento estatístico que, entre outras aplicações, permite medir as variações ocorridas nos níveis gerais de preços de um período para outro. Assim, o índice de preços representa uma média global das variações de preços que se verificaram num conjunto de determinados bens, ponderada pelas quantidades respectivas.

Ilustrativamente, abaixo estão relacionados os valores do IGP (Índice Geral de Preços) referentes aos meses de maio a dezembro de determinado ano.

Mês maio junho julho agosto setembro outubro novembro dezembro IGP 649,79 703,38 800,31 903,79 1.009,67 1.152,63 1.353,79 1.576,

Pela evolução desses índices de preços, pode ser constatado como os preços gerais da economia variaram no período. Para tanto, relaciona-se o índice do fim do período que se deseja estudar com o do início. Por exemplo, a taxa de inflação do 2 o^ semestre medida pelo IGP está refletida na evolução apresentada entre o índice de junho (início do semestre) e o de dezembro (fim do semestre). Assim: Inflação do 2 o^ semestre = = 2,2414 – 1 = 124,14% Os preços nesse período cresceram 2,2414 vezes, indicando uma evolução de 96,99%. A inflação verificada no mês de outubro atinge: Inflação de outubro = = 14,16% Dessa maneira, a taxa de inflação, a partir de índices de preços, pode ser medida pela seguinte expressão:

onde: I = taxa de inflação obtida a partir de determinado índice de preços;

P = índice de preços utilizado para o cálculo da taxa de inflação; n , n – t = respectivamente, data de determinação da taxa de inflação e o período anterior considerado.

EXERCÍCIOS

1. Abaixo estão alguns valores divulgados do ITP (Índice Teórico de Preços) e do INTP (Índice Nacional Teórico de Preços).

Dez/02 Jun/03 Nov/03 Dez/ ITP 100,00 708,38 1.353,79 1.576, INTP 5,9341 43,4599 83,9349 100,

Com base nesses resultados, pede-se:

a) A taxa de inflação, medida pelo ITP e INTP, para os seguintes períodos de 2003:

• ano
• 1 o^ semestre
• mês de dezembro; b) um bem que custava $ 5.000,00 no início do ano, quanto deve valer ao final deste ano se for corrigido pela variação do ITP e INTP;

c) admitindo que o proprietário tenha vendido este imóvel ao final do ano por $ 90.000,00, determinar o lucro obtido.

2. Os índices gerais de preços referentes ao primeiro semestre de 1996 são os seguintes:

Data 31-12-95 31-01-96 28-02-96 31-03-96 30-04-96 31-05-96 30-06-

2. FUNDAMENTOS

2.1. TAXAS: PERCENTUAL E UNITÁRIA

A razão cujo denominador é 100 recebe o nome de razão centesimal. São exemplos de razões centesimais: , , e

O símbolo % significa que o valor está dividido por 100. Assim, existem duas formas básicas de notação de valores:

Taxa percentual : exibe o número que deve ser dividido por 100. Não permite operação algébrica imediata. Por exemplo: = 30%; = 4%; = 135% e = 27,9% As expressões 30%, 4%, 135% e 27,9% são chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais.

Taxa unitária : exibe o número puro, permitindo operações algébricas. Por exemplo:

= 0,3; = 0,04; = 1,35 e = 0,

Porcentagem: é o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a um determinado valor.

Exemplos

1. Converta para a forma percentual: a) 0,57 = 57% b) 2,08 = 208% c) 0,02 = 2% 2. Converta para a forma unitária: a) 163% = 1,63 b) 2.107% = 21,07% c) 12% = 0, 3. Num lote de 50 lâmpadas, 13 apresentam defeito; a razão entre o número de lâmpadas defeituosas e o total de lâmpadas é dada por: 4. Um CD é vendido por R$ 25,00. Se seu preço fosse aumentado em 15%. Quanto passaria a custar? Se fosse anunciado um desconto de 15% sobre o preço original, quanto o CD passaria a custar? - Aumento: Preço = 25 + 0,15 x 25 = 25. (1 + 0,15) = 25. 1,15 = R$ 28, - Desconto: Preço = 25 – 0,15 x 25 = 25. (1 – 0,15) = 25. 0,85 = R$ 21,

– FATOR DE MULTIPLICAÇÃO :

a) No caso de haver um acréscimo, o fator de multiplicação será: Fator de Multiplicação = 1 + taxa de acréscimo (na forma decimal)

Veja a tabela abaixo:

Acréscimo ou Lucro Fator de Multiplicação 10% 1, 15% 1, 47% 1, 67% 1,

Exemplo: Aumentando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 1,10 = R$ 11,

No caso de haver um decréscimo, o fator de multiplicação será: Fator de Multiplicação = 1 – taxa de desconto (na forma decimal) Veja a tabela abaixo:

Desconto Fator de Multiplicação 10% 0, 25% 0, 34% 0, 90% 0,

Exemplo: Descontando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 0,90 = R$ 9,

EXERCÍCIOS

1. Calcular os valores de:

a) 10% de 29 + 4,2% de 17 b) 5,3% de 18,45 – 3,4% de 2,

c) 0,4% de 125 + 1,6% de 234,25 d) 4% de 1.439,25 + 3,6% de

2. De uma classe com 40 alunos, 35% são rapazes. Quantos rapazes e quantas moças há na classe? 3. O preço de venda de um CD é de R$ 22,00. Quanto passará a custar o CD se a loja anunciar:

a) Um desconto de 12%? b) Um acréscimo de 5%?

4. De um exame para habilitação de motoristas participaram 380 candidatos; sabe-se que a taxa de reprovação foi de 15%. Quantos candidatos foram aprovados? 5. Em uma liquidação, uma camisa que custava R$ 24,00 foi vendida com 25% de desconto. De quanto foi o desconto? 6. Um automóvel foi adquirido por R$ 5.000,00 e vendido com um lucro de R$ 400,00. Qual a porcentagem de lucro? 7. Um corretor recebe R$ 2.800,00 pela venda de duas casas, tendo sido de 5% a taxa de comissão. Qual o valor da venda das propriedades? 8. Meio representa quantos por cento de cinco oitavos?

• Ao final do 2 o^ período, os juros incidem sobre M 1 e incorporam-se a ele, gerando o 2 o montante (M 2 ).
• Ao final do 3 o^ período, os juros incidem sobre M 2 e incorporam-se a ele, gerando o 3 o montante (M 3 ), e assim por diante.

Exemplo: Um capital de $ 1.000,00 foi aplicado durante 3 anos à taxa de 10% ao ano, em regime de juros compostos. No final do período o montante será?

• 1 o^ ano: 1.000,00 x 0,10 = $ 100,00 F 0 D E Montante = $ 1.100,
  • 2 o^ ano: 1.100,00 x 0,10 = $ 110,00 F 0 D E Montante = $ 1.210,
  • 3 o^ ano: 1.210,00 x 0,10 = $ 121,00 F 0 D E Montante = $ 1.331,

2.4. FLUXO DE CAIXA

O diagrama de fluxo de caixa (DFC) representa graficamente a movimentação de recursos ao longo do tempo (entradas e saídas de caixa). Os principais aspectos do diagrama de fluxo de caixa são:

• a escala horizontal representa o tempo o tempo (dias, semanas, meses, anos etc);
• o ponto 0 representa, normalmente, a data inicial. O ponto n representa o número de períodos passados;
• as entradas de dinheiro correspondem aos recebimentos. Têm sinal positivo e são representadas por setas apontadas para cima.
• as saídas de dinheiro correspondem aos pagamentos. Têm sempre sinal negativo e são representadas por setas apontadas para baixo.

Operação de Empréstimo Operação de Aplicação

Exemplo: O diagrama de fluxo de caixa de um empréstimo contraído por alguém no valor de $ 300,00 que será quitado mediante o pagamento de $ 340,00, daqui a seis meses, pode ser visto a seguir.

Exercícios

1. Represente o diagrama de fluxo de caixa de uma aplicação no valor de $ 500,00 que será resgatado em 3 parcelas iguais, mensais, no valor de $ 200,00. 2. Uma empresa pensa em abrir uma nova instalação industrial com investimento inicial igual a $ 300,00. Os gastos anuais associados aos cinco anos de vida do negócio são estimados em $ 80,00 e as receitas em $ 200,00. Represente o diagrama de fluxo de caixa dessa operação. 3. Construa o diagrama para os fluxos de caixa dados a seguir:

Ano Fluxo de caixa 0 – 700, 1 500, 2 400,

• 3 300,
• 4 200,
• 5 – 300,

M = C + J

No entanto, sabe-se que: J = C. i. n Assim, M = C + C. i. n M = C. (1 + i. n ) O valor de C pode ser obtido por:

O valor de i pode ser obtido por:

O valor de n pode ser obtido por:

EXERCÍCIOS

1. Um capital de $ 80.000,00 é aplicado à taxa de 2,5% ao mês no RCS, durante um trimestre. Pede-se determinar o valor dos juros acumulados neste período. R: J = 6.000, 2. Um negociante tomou um empréstimo pagando uma taxa de juros simples de 6% ao mês durante nove meses. Ao final deste período, calculou em $ 270.000,00 o total dos juros incorridos na operação. Determinar o valor do empréstimo. R: C =500.000, 3. Um capital de $ 40.000,00 foi aplicado num fundo de poupança por 11 meses, produzindo um rendimento financeiro de $ 9.680,00. Pede-se apurar a taxa de juros simples oferecida por esta operação. R: i = 2,2% 4. Uma aplicação de $ 250.000,00 rendendo uma taxa de juros simples de 1,8% ao mês produz, ao final de determinado período, juros no valor de $ 27.000,00. Calcular o prazo da aplicação. R: n = 6 meses 5. Uma empresa tomou $ 3.000,00 emprestados para pagar dentro de 5 meses, a uma taxa de juros simples igual a 6% a.m. Calcule o valor futuro dessa operação. R: M = $ 3.900, 6. Uma aplicação feita no regime de juros simples rendeu um montante igual a $ 750,00 após 5 meses, a uma taxa de 10% a.m. Qual o capital inicial da operação? R: C = 7. O valor de $ 200,00 foi aplicado por cinco meses, permitindo a obtenção de $ 400,00. Sabendo que o regime de capitalização era simples, calcule a taxa de juros mensal praticada durante a operação. R: i =0,20 = 20% 8. A quantia de $ 134,00 foi obtida como montante de uma aplicação de $ 68,00 feita a taxa de 2% a.m. regime de capitalização simples. Qual a duração da operação?

R: i = 48,

3.2. TAXAS EQUIVALENTES

Toda operação financeira envolve dois prazos:

(1) o prazo a que se refere a taxa de juros; (2) o prazo de capitalização (ocorrência) dos juros.

Admita um empréstimo bancário a uma taxa nominal de 24% ao ano. Ao se estabelecer que os encargos incidirão sobre o principal somente ao final de cada ano, os dois prazos considerados são coincidentes. Por outro lado, sabe-se que a caderneta de poupança paga aos seus depositantes uma taxa de juros de 6% ao ano, a qual é agregada ao principal todo mês através de um percentual proporcional de 0,5%. Tem-se aqui, então, dois prazos – prazo da taxa (ano) e prazo de capitalização (mês). É necessário expressar estes prazos diferentes na mesma base de tempo. Ou, ou o período de capitalização passa a ser expresso na unidade de tempo da taxa de juros. No regime de juros simples, transforma-se o prazo da taxa para o de capitalização através da divisão entre a taxa de juros considerada na operação e a quantidade de períodos de capitalização. Esta transformação é processada pela denominada taxa proporcional de juros também denominada de taxa linear ou nominal.

Exemplos

1) Para uma taxa de juros de 18% ao ano, se a capitalização for definida mensalmente, o percentual de juros que incidirá sobre o capital a cada mês será: Taxa Proporcional = = 0,015 = 1,5% ao mês As taxas de juros simples se dizem equivalentes quando, aplicadas a um mesmo capital e pelo mesmo intervalo de tempo, produzem o mesmo volume linear de juros.

2) Um capital de $ 500.000,00, se aplicado a 2,5% a.m. ou 15% a.s. pelo prazo de um ano, produz o mesmo montante linear de juros. Isto é: J (2,5% a.m.) = $ 500.000,00 x 0,025 x 12 = $ 150.000, J (15% a.s.) = $ 500.000,00 x 0,15 x 2 = $ 150.000, No regime de juros simples, taxas proporcionais (nominais ou lineares) e taxas equivalentes são consideradas a mesma coisa. Pelo critério de proporcionalidade de taxas de juros, diz-se que duas taxas de juros ia e ib , referidas a períodos diferentes no regime de capitalização simples, são proporcionais quando:

Ma = C (^) a (1 + i (^) a. na ) e M (^) b = C (^) b (1 + ib. nb ) Como Ma = Mb e C (^) a = C (^) b , tem-se que: (1 + ia. na ) = (1 + ib. nb ) ou i (^) a. na = ib. nb Observa-se que i (^) a e na , da mesma forma que ib e nb devem estar na mesma base. Assim:

Exemplo: Determinar as taxas semestral e anual proporcionais à taxa de juros simples de 3% a.m. = 0,18 = 18% a.s. = 0,36 = 36% a.s. EXERCÍCIOS

3.4. VALOR NOMINAL E VALOR ATUAL

A expressão (1 + i. n ) é definida como fator de capitalização dos juros simples. Ao multiplicar um capital por este fator, corrige-se o seu valor para uma data futura, determinando o montante. O valor de uma dívida, na data de seu vencimento, é chamado de valor nominal. O inverso, ou seja, 1/(1 + i. n) é denominado de fator de atualização. Ao se aplicar o fator sobre um valor expresso em uma data futura, apura-se o seu equivalente numa data atual (valor atual).

Exercícios

1. Uma pessoa aplica $ 18.000,00 à taxa de 1,5% ao mês durante 8 meses. Determinar o valor acumulado ao final deste período. R: M = $ 20.160, 2. Uma dívida de $ 900.000,00 irá vencer em 4 meses. O credor está oferecendo um desconto de 7% ao mês caso o devedor deseje antecipar o pagamento para hoje. Calcular o valor que o devedor pagaria caso antecipasse a liquidação da dívida. R: C = $ 703.125,

4. DESCONTOS SIMPLES

4.1. CONCEITOS BÁSICOS

• Valor Nominal: É o valor definido para um título em sua data de vencimento. Representa, em outras palavras, o próprio montante da operação (valor de resgate).
• Desconto: É a operação de se liquidar um título antes de seu vencimento, o que envolve geralmente uma recompensa pelo pagamento antecipado. Assim, desconto é a diferença entre o valor nominal de um título e o seu valor atualizado apurado n períodos antes de seu vencimento.
• Valor Descontado: É o valor atual de um título na data do desconto, sendo determinado pela diferença entre o valor nominal e o desconto, ou seja: Valor Descontado = Valor Nominal – Desconto

4.2. DESCONTO SIMPLES RACIONAL OU “POR DENTRO”

O desconto racional, também denominado de desconto “por dentro”, incorpora os conceitos e relações básicas de juros simples. Assim, sendo D (^) r o valor do desconto racional, C o capital (ou valor atual), i a taxa periódica de juros e n o prazo do desconto (número de períodos que o título é negociado antes de seu vencimento), tem-se a conhecida expressão de juros simples:

D (^) r = C x i x n Pela própria definição de desconto e introduzindo-se o conceito de valor descontado no lugar de capital no cálculo do desconto, tem-se:

D (^) r = N – Vr

sendo N o valor nominal (ou valor de resgate ou montante) e V (^) r o valor descontado racional (ou valor atual) na data da operação. Como:

tem-se então o valor do desconto racional a juros simples:

O valor descontado é obtido pela seguinte expressão: Vr = N – D (^) r

No desconto racional, o juro incide sobre o capital do título. A taxa de juro (desconte) cobrada representa o custo efetivo de todo o período do desconto.

Exemplo 1: Seja um título de valor de $ 4.000,00 vencível em um ano, que está sendo liquidado 3 meses antes de seu vencimento. Sendo de 42% a.a. a taxa nominal de juros corrente, pede-se calcular o desconto e o valor descontado desta operação. Solução : Graficamente:

Exemplo 1: Seja um título de valor de $ 4.000,00 vencível em um ano, que está sendo liquidado 3 meses antes de seu vencimento. Sendo de 42% a.a. a taxa de desconto adotada, pede-se calcular o desconto e o valor descontado desta operação. Solução : Graficamente:

Desconto: D (^) F = N x d x n D (^) F = 4.000,00 x 0,035 x 3 F 0 D E D (^) F = $ 420,

O maior valor dos juros cobrado pelo título deve-se ao fato de o desconto “por fora” ser aplicado diretamente sobre o valor nominal (valor de resgate) e não sobre o valor atual como é característico das operações de desconto racional. O valor de desconto “por fora” equivale, num mesmo momento do tempo, ao montante do desconto “por dentro”, supondo-se as mesmas condições de prazo e taxa. Isto é:

D (^) F = D (^) r (1 + i x n )

D (^) F = 380,10 x (1 + 0,035 x 3) = 380,10 x 1, D (^) F = $ 420, Valor Descontado: V (^) F = N (1 – d x n ) V (^) F = 4.000,00 x (1 – 0,035 x 3) = 4.000,00 x 0, V (^) F = $ 3.580,

Exemplo 2: Determinar a taxa de desconto “por fora” de um título negociado 60 dias antes de seu vencimento, sendo seu valor de resgate igual a $ 26.000,00 e valor atual na data do desconto de $ 24.436,10. Solução : D (^) F = N – V (^) F D (^) F = 26.000,00 – 24.436,10 F 0 D E D (^) F = $ 1.563, D (^) F = N x d x n 1.563,90 = 26.000,00 x d x 2 1.563,90 = 52.000,00 x d = 0,030 ou 3,0% ao mês

4.4. TAXA DE DESCONTO E TAXA EFETIVA

Suponha um título de valor nominal de $ 50.000,00, descontado num banco um mês antes de seu vencimento à taxa de 5% ao mês. Aplicando-se o critério de desconto “por fora”, tem-se:

Observe que a taxa de juros adotada de 5% a.m. não iguala V (^) F e N em nenhum momento. Ou seja, esta taxa, se aplicada ao valor descontado de $ 47.500,00, não produz, para o período de um mês, o montante de $ 50.000,00 (atinge a: $ 47.500,00 + 5% = $ 49.875,00). Logo a uma taxa implícita de juros na operação, superior aos declarados 5% ao mês, que conduz VF e N a um mesmo resultado no período. Esta taxa é obtida por: D = C x i x n

Assim:

Substituindo os valores, chega-se a: = 5,26% ao mês O resultado indica que há uma taxa implícita de juro de 5,26% numa operação de desconto de 5% a.m. ( d = 5%) pelo período de um mês. Os cálculos de apuração da taxa de juros podem ser substituídos pelo emprego direto da seguinte fórmula:

Aplicando-se esta fórmula ao exemplo anterior: = 5,26% ao mês Para n = 2 meses F 0 D E = 11,11% ao mês

Exemplo: Se a taxa de desconto comercial for de 4% a.m., e o prazo de vencimento de uma duplicata for de 3 meses, qual a taxa mensal de juros simples da operação? Resolução: Temos: d = 4% e n = 3 = 0,0455 = 4,55% a.m.

EXERCÍCIOS

1. Um título é descontado num banco 3 meses antes de seu vencimento. A taxa de desconto definida pelo banco é de 3,3% a.m. Sendo de $ 25.000,00 o valor nominal deste título, e sabendo- se que a instituição financeira trabalha com sistema de desconto “por fora”, pede-se calcular:

a) valor do desconto cobrado pelo banco e o valor descontado do título liberado ao cliente; R: D (^) F = $ 2.475,00 e V (^) F = $ 22.525,

b) taxa implícita simples desta operação; R: i = 10,99% a.t. ou i = 3,66% a.m. c) apuração da taxa implícita pela fórmula direta de cálculo. R: i = 10,99% a.t.

2. Uma instituição financeira publica que sua taxa de desconto é de 3,5% ao mês. Calcular a taxa implícita mensal admitindo um prazo de desconto de dois meses. R: i = 7,53% a.b.