Apostila, Notas de estudo de Informática

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Pesquisa

Operacional

Professor José Arnaldo Barra Montevechi

[email protected]

Universidade Federal de Itajubá

Instituto de Engenharia de Produção e Gestão

1. PESQUISA OPERACIONAL: HISTÓRIA E

CONCEITOS

1.1 Introdução

O objetivo do curso é apresentar alguns MÉTODOS MATEMÁTICOS essenciais à Pesquisa Operacional (PO). Este capítulo pretende dar a origem e as idéias fundamentais da PO. Infelizmente, um curso introdutório de PO não pode responder completamente as perguntas: a) O que deve (o aluno) aprender sobre PO se pretende ser um economista (dirigente, gerente, administrador) mais que um especialista? b) O que deve (o aluno) aprender sobre PO tendo em vista que deseja aplicá-la a problemas reais?

No contexto destas duas perguntas o objetivo principal do curso é:

1. Introduzir as idéias mais importantes em PO, as quais são fundamentais e permanentes.
2. Dar o curso em nível que o aluno possa entender e apreciar a força e as limitações inerentes a PO.
3. Preparar e motivar futuros especialistas em PO.
4. Apresentar e aplicar alguns métodos de PO (METODOLOGIA).

1.2 Notas Históricas

Desde o advento da primeira revolução industrial o mundo tem apresentado um notável desenvolvimento e crescimento em tamanho e complexidade de suas organizações. Os caminhos da PO podem ser traçados a muitas décadas atrás, quando foi aplicada a administração cientifica às organizações. Como a tendência natural é aumentar a complexidade e a especialização das organizações, torna-se mais e mais difícil alocar seus recursos disponíveis pelas suas várias atividades de maneira a obter a melhor eficiência para a organização. Entretanto, o termo PO é geralmente atribuído aos serviços militares durante a Segunda Grande Guerra Mundial (1939). Os dirigentes militares chamaram equipes de cientistas para estudar problemas estratégicos e táticos associados com a defesa aérea e terrestre do país. Seu objetivo era determinar a melhor utilização efetiva dos recursos militares limitados.

racionalmente as soluções mais eficientes (eficazes) ou as mais econômicas, recorrendo a procedimentos estatísticos e/ou matemáticos cuja aplicação exige na maioria das vezes o emprego de computadores. Em resumo, podemos concluir da PO:

1. Pesquisa sobre operações;
2. Aplicação de método cientifico por equipes interdisciplinares;
3. Apresenta novas atitudes, novos conceitos e novas técnicas;
4. Aplicação de analises quantitativas aos problemas gerenciais;
5. Resolver problemas complexos;
6. Tomar decisões importantes (ou escolher as boas decisões);
7. Problemas que dizem respeito ao controle de sistemas organizados;
8. Compensar a incerteza.

2. MÉTODO DA PESQUISA OPERACIONAL

2.1 Introdução

Um estudo de PO consiste em construir um modelo da situação física. Um modelo de PO é definido como uma representação idealizada de um sistema organizacional. Este sistema pode já ser existente ou pode ainda ser uma idéia a espera de execução. No primeiro caso, o objetivo do modelo é analisar as operações do sistema para verificar sua performance. No segundo, o objetivo e identificar a melhor estrutura do futuro sistema. A complexidade de um sistema real resulta do grande número de variáveis que comandam as operações do sistema, embora um sistema real possa envolver um número substancial de variáveis, geralmente uma pequena fração destas variáveis domina as operações do sistema. Então, a simplificação do sistema real em termos de um modelo condensado, identificando apenas as variáveis dominantes e as relações entre elas, é o empregado.

Exemplo 1 : A fabricação de um produto experimenta certo número de operações desde o tempo de sua concepção pelo projetista, até chegar às mãos do consumidor. Após a aprovação do projeto, a ordem de produção é transmitida ao Departamento de Produção (DP), a qual requisita o material necessário do Departamento de Material (DM).

O Departamento de Material satisfaz a requisição do seu estoque ou entra em ligação com o Departamento de Compras para comprar o material necessário para atender à requisição do DP. Após a fabricação do produto, o Departamento de Vendas, em conjunção com o Departamento de Marketing, assume a responsabilidade para distribuí-lo para os consumidores. Suponha que o objetivo é determinar o nível de PRODUÇÃO DA INDÚSTRIA. Observando o sistema vê-se que um grande número de variáveis influi diretamente no nível de produção. Segue alguns exemplos destas variáveis: a) DEPARTAMENTO DE PRODUÇÃO : Avaliar máquinas - horas, homens - hora, especificar a seqüência de operações nas máquinas, números de itens defeituosos, razão de inspeção, etc. b) DEPARTAMENTO DE MATERIAL : Avaliar o estoque de material, taxa média de saída e entrada de material, limitações de armazenagem.

6. Implantação da solução.

2.2 Formulação do Problema

Para se obter a solução de um problema, necessitasse antes formulá-lo de modo a tornar possível a pesquisa. Ao contrario dos exemplos que serão apresentados no decorrer do curso, a maioria dos problemas práticas são trazidos a uma equipe de pesquisa operacional de uma maneira vaga e imprecisa. Em conseqüência, o primeiro passo consiste em estudar o sistema e estabelecer de uma maneira bem definida o problema a ser considerado. Para isto vários elementos devem ser determinados exatamente tais como, os objetivos a atingir, as restrições que devem ser consideradas, o inter-relacionamento entre o setor a ser estudado e outros setores da organização, as possíveis linhas de ação alternativas, etc. Como todas as conclusões serão obtidas a partir desta formulação, esta fase tem importância capital para o estudo e a formulação inicial deve ser continuamente revista à luz dos novos dados obtidos durante as fases posteriores. Para determinação dos objetivos apropriados é necessário identificar a pessoa (ou pessoas) que toma as decisões relativas ao sistema em estudo, investigar seus objetivos e analisá-los a fim de estabelecer precisamente os principais objetivos a atingir a fim de que não sejam eliminadas metas ou alternativas de valor. Por sua natureza a pesquisa operacional preocupa-se em resolver os problemas da organização considerada como um todo e não somente os de alguns de seus setores. Por isto, os objetivos formulados devem ser aqueles de toda a organização, não significando, entretanto, que cada problema deva ser resolvido em um estudo de toda organização. Na realidade os objetivos fixados devem ser tão específicos quanto possíveis, desde que englobem as principais metas de tomada de decisão e mantenham um grau razoável de consistência com os objetivos de nível mais elevado da organização. Os efeitos laterais em outros setores da organização devem, então, ser considerados somente para verificar se estão coerentes com estes objetivos de nível mais elevado. Para formular um problema precisa-se, pois, examinar os seguintes aspectos:

1. Quem toma a decisão?
2. Quais os objetivos? (A partir destas informações e de outros dados estabelecemos uma medida de desempenho, para avaliar as alternativas de ação).

3. Quais aspectos da situação estão sujeitos ao controle de quem toma a decisão (as variáveis controladas) e dentro de que limites essas variáveis podem ser controladas (restrições).
4. Que outros aspectos do meio ambiente envolvam ou não seres humanos, podem afetar os resultados das escolhas disponíveis (as variáveis não controladas)

Portanto, formular um problema para pesquisa consiste em identificar, definir e especificar as medidas dos componentes de um modelo de decisão. A determinação da relação entre estes componentes (a função f ) é o objetivo da fase da pesquisa denominada construção do modelo. Nesta primeira fase do estudo, portanto, requer a definição do problema. Do ponto de vista da PO, isto indica três aspectos principais: a) Uma exata descrição dos objetivos do estudo; b) Uma identificação das variáveis de decisão do sistema; c) Reconhecimento das limitações, restrições, as possíveis linhas de ação alternativas, o inter-relacionamento entre o setor a ser estudado e outros setores da organização.

É impossível extrair respostas certas de um problema errado. Não se devem esquecer as principais partes que afetam os negócios de uma firma: a) O proprietário (acionistas) que deseja lucros (dividendos, ações, bonificações, valorização do capital, etc.). b) Os empregados, que desejam emprego estável com razoável salário. c) Os clientes, que desejam um produto confiável a um preço módico (razoável). d) Os vendedores, que desejam integridade e uma boa remuneração pelas boas qualidades de vendedor. e) O governo e, consequentemente, a nação, que deseja o pagamento de taxas justas e considerações de interesses nacionais.

2.3 Construção do Modelo Matemático

Conforme o exemplo dado, os modelos são representações idealizadas (abstrata) dos problemas; geralmente fazem-se aproximações e hipóteses simplificadoras para que sejam resolvíveis. Nesta fase do estudo faz-se a construção do modelo. Um modelo deve especificar as expressões quantitativas para o objetivo e as restrições do problema em termos de suas variáveis de decisão. Existem vários tipos básicos de modelo. O modelo matemático é o

variáveis de decisão. Em geral, a solução ótima do modelo é obtida quando os melhores valores correspondentes das variáveis de decisão são substituídos na PO, enquanto satisfazem as restrições. Os modelos matemáticos, em PO, podem ser especificados, geralmente, como determinar os valores das variáveis de decisão xj, j= 1, 2,..., n a qual otimiza Z = f (x 1 , x2 ,..., xn ) sujeito a uma série de restrições. Na maioria dos sistemas reais, as restrições de não - negatividade aparece como condição natural.

Antes da construção de um modelo matemático deve-se responder a 4 perguntas:

1. Qual é a medida de efetividade do objetivo? Isto é, como será expressa a solução do problema (em reais economizados, unidades vendidas, itens produzidos, etc.)
2. Quais são os fatores sob controle (variáveis controladas)? Isto é, quais aspectos do problema podem-se fazer alguma coisa?
3. Quais são os fatores não controlados (as variáveis não controladas)? Isto é, quais aspectos do problema têm-se de aceitar como dados?
4. Quais são as relações entre estes fatores e os objetivos? Isto é, pode esta relação ser expressa em forma de relações matemáticas que constituirão um modelo do problema?

Otimização é geralmente tomada para significar a maximização ou minimização da FO. Analistas trabalhando no mesmo problema independentemente podem chegar a modelos diferentes e também a funções objetivo (FO) também diferentes. Por exemplo, o analista A pode preferir maximizar os lucros, enquanto o analista B pode preferir minimizar os custos. Os dois critérios não são equivalentes no sentido que com as mesmas restrições os dois modelos não devem produzir a mesma solução ótima. Isto pode ser mostrado claramente, enquanto o custo deve estar sob o controle imediato da organização no qual o estudo é feito, o lucro deve ser efetuado por fatores incontroláveis, tais como a situação de mercado ditada pelos competidores. Não se deve pensar que a solução ótima do modelo é a melhor solução do problema. Ela é a melhor somente se o critério adotado pode ser justificado como verdadeiro para toda organização. Na prática, torna-se muito difícil incluir todos os objetivos (possibilidades conflitantes) num critério simples (singular), pois isto pode resultar numa função matemática complexa para a qual nenhuma solução técnica pode ser prontamente obtida, porque alguns objetivos são também inatingíveis para serem quantificados.

Por exemplo, na determinação da política do nível ótimo de estoque, o verdadeiro objetivo deve incluir os objetivos (metas) conflitantes dos departamentos de produção, material, vendas e finanças. Quando o critério objetivo do modelo representa algum, mas não todos os aspectos conflitantes, chamam de uma solução sub - ótima, e que pode não ser a melhor para a organização como um todo. Após o modelo matemático ser construído, pode ser necessário simplificá-lo para ser tratado analiticamente. Algumas simplificações comuns incluem: a) Transformar variáveis discretas em contínuas; b) Linearizar funções não lineares; c) Eliminar algumas das restrições.

2.4 Obtenção de uma Solução a partir do Modelo

Em modelos matemáticos, isto e, feito usando técnicas de otimização bem definidas, o modelo é dito de solução ótima. Se modelos de simulação ou heurísticos são usados, o conceito de solução ótima não é bem definido e a solução neste caso é usada para obter soluções aproximadas do sistema. Como um modelo é mais uma representação ideal do que exata, só pode-se afirmar que a solução ótima para o modelo será provavelmente a melhor possível para o problema real, devido aos fatores imponderáveis e as incertezas associadas ao problema.

2.5 Teste do Modelo e avaliação da Solução obtida

Uma das primeiras lições da PO, é que não é geralmente suficiente confiar somente na intuição. Isto se aplica não somente na obtenção da solução de um problema, como também na avaliação do modelo que foi formulado para representar este problema. O critério indicado para julgar a validade de um modelo é verificar se ele prediz ou não os efeitos relativos das linhas de ação alternativas com suficiente precisão de maneira a permitir uma satisfatória decisão. Devido à dificuldade de comunicar e relacionar todos os aspectos e sutilezas de um problema operacional complexo existe a possibilidade que a equipe de pesquisas operacionais ou não tenha considerado todos os aspectos relevantes da situação ou não os tenha interpretado apropriadamente. Antes de aplicar testes mais elaborados é conveniente verificar se o modelo não apresenta erro. Um novo exame na formulação do problema e sua comparação com o modelo podem

O curso baseia-se na aplicação da PO a uma grande variedade de problemas que podem ser representados por um pequeno número de problemas típicos.

2.9 Métodos e Modelos da PO:

Os métodos mais comuns que são usados no âmbito da PO são:

1. Teoria da decisão;
2. Modelos seqüenciais (seqüência e coordenação);
3. Modelos de alocação;
4. Modelos de designação;
5. Modelos de competição;
6. Técnicas clássicas de otimização;
7. Modelos de substituição (reposição);
8. Modelos de estoque (teoria dos estoques);
9. Modelos de filas;
10. Técnicas de simulação;
11. Modelos de programação dinâmica;
12. Modelos de rotas;
13. Métodos – heurísticos.

3. TIPOS BÁSICOS DE MODELO DE PO

3.1 Teoria da Decisão

A característica essencial da Teoria da Decisão é que as conseqüências dos cursos de ação são geralmente desconhecidas. Nestes exemplos (casos), probabilidades são associadas com os vários estados do sistema. Dependendo das informações que se sabe dos estados do sistema, não se pode referir à decisão fazendo-a sob certeza, risco, ou incerteza. A maioria dos problemas de negócios trata com a última condição. Um caminho adicional de predizer o futuro, embora somente um mínimo de informações sejam estimadas é através da estatística Bayesiana.

3.2 Modelo de Sequenciamento

Modelos seqüenciais envolvem a determinação da seqüência ótima para um conjunto de tarefas ou eventos ou a melhor seqüência para atendimento de clientes com o objetivo de minimizar o tempo total e custos. Esta técnica é aplicada à pesquisa e desenvolvimento, construção, planejamento de novos produtos. Por exemplo, o procedimento para uma rede de análise de PERT. Outros problemas seqüenciais tais como programações de máquinas são resolvidas pela aplicação de técnicas de simulação e heurísticas.

3.3 Modelos de Alocação

Quando existe um número de atividades para serem realizadas, caminhos alternativos de fazê- las, e recursos limitados ou meios para executar cada atividade na melhor linha eficaz, há um problema de alocação destes recursos escassos. O problema é combinar as atividades e os recursos de uma maneira ótima para que toda eficiência seja maximizada, isto é, o lucro é máximo e os custos são mínimos. Isto é conhecido como "programação matemática". Quando as restrições são expressas como equações lineares, é chamada "programação linear". Se uma das restrições não é linear é denominada "programação não linear". A Teoria da Dualidade da programação linear estabelece a relação entre duas diferentes formulações do mesmo problema. Em adição aos programas lineares e não lineares, existem outros tipos de programações - inteira, quadrática, convexa, estocástica, decisão, paramétrica e dinâmica. Elas diferem na espécie dos dados e podem ser manipulados de acordo com as suposições feitas.

3.7 Modelos de Reposição

Problemas de reposição são geralmente de dois tipos: aqueles envolvendo itens que degeneram num período de tempo e aqueles que falham após certo tempo de uso. O primeiro grupo refere-se ao ativo fixo das empresas - máquinas, caminhões e equipamentos

• os quais são itens altamente custosos. Aqueles no segundo tipo são relativamente baratos – tubos de vácuo, pneumáticos, válvulas, tubos e itens semelhantes. A programação dinâmica é usada para obtenção das soluções do primeiro tipo. A teoria estatística amostral e probabilidade podem ser empregadas na solução do segundo tipo.

3.8 Modelos de Estoques

Modelos de estoques são os que dizem respeito com duas decisões: quanto ordenar num determinado tempo e quando ordenar esta quantidade para minimizar o custo total. Custo de movimentação, custos de ordens de armazenamento (estocagens), e custo de déficits são determinados assim como uma medida de efetividade dos custos (modelo) podendo ser usados pelos gerentes para selecionar um balanço apropriado entre custos e déficits. À decisão pelo critério do mínimo custo pode também ser obtida pelo cálculo, teoria de probabilidades, programação dinâmica e simulação pelo computador.

3.9 Modelos de Filas

Filas, algumas vezes referida como teoria das linhas de espera, trata (diz respeito) com chegadas uniformes ou aleatórias num serviço ou meios de processamento de capacidade limitada. O objetivo deste modelo é permitir determinar se o número ótimo de pessoas ou meios necessários para servir clientes quando considerando o custo do serviço e o custo de espera. Um problema de estoque pode ser visto como um problema de filas. Itens em estoque podem ser considerados como um meio de serviço ocioso esperando por clientes. À demanda pelo estoque é uma chegada para serviço e a saída do estoque pode ser considerada como uma fila de clientes A teoria das filas faz uso da teoria das probabilidades e cálculo.

3.10 Técnicas de Simulação

Simulação presta-se ao emprego dos computadores, gera fator como potencial de vendas ou atrasos na expedição pelo exame de tabelas de números aleatórios que são essenciais aos programas. O computador mostra a saída de resultados que (poderiam) teriam sido obtidos se o critério de decisão tivesse sido usado. Números aleatórios são usados para simular chegadas e tempo de serviços.

3.11 Modelos de Programação Dinâmica

A maioria dos problemas de programação dinâmica requer o uso de um computador para manipular a grande quantidade de dados (informações). Os modelos de programação dinâmica são extremamente usados para processo que se estende por vários períodos de tempo ou eventos. Ao invés de otimizar cada decisão como ela ocorre à programação dinâmica leva em consideração os efeitos da decisão de hoje nos futuros períodos de tempo.

3.12 Modelos de Rotas

Um dos mais famosos problemas de rota é o do "Caixeiro Viajante". O objetivo é selecionar o caminho (itinerário que parte de sua própria cidade, passa através de cidades apenas uma vez, e retorna para sua cidade, pela menor distância em termos de tempo ou dinheiro. O modelo de rotas tem sido aplicado à produção onde o número de produtos ou itens produzidos (fabricados) é análogo ao de cidades. Trocam-se os custos de produção correspondentes aos custos de viagens entre cidades).

3.13 Métodos heurísticos

Métodos heurísticos indicam aprendizado ou avaliação de sistemas. Os métodos heurísticos usam regras de manusear e avaliar, instruídos para explorar o caminho mais provável para se chegar a uma conclusão. Isto recoloca em check todas as alternativas (também para muitas quantidades aproximadas) para encontrar a melhor solução.

de 30.000 horas para a montagem destes produtos (750 montadores trabalhando 40 horas por semana) e de 20.000 horas para decoração (500 decoradores trabalhando 40 horas por semana). Quanto de cada um dos modelos deve ser produzido durante esta última semana a fim de maximizar o lucro? Admita que todas as unidades possam ser vendidas.

b) Seja o caso de um investidor que, dispondo de $6000 esteja contemplando a possibilidade de compra de dois seguintes tipos de ações: Tipo 1 - preço unitário de compra de $ 5,00 e rentabilidade anual esperada de 30%. Tipo 2 - preço unitário de compra de $ 3,00 e rentabilidade anual estimada em 35%. Supondo que o investidor não deseje adquirir mais do que 1750 ações, e que seu corretor só possa conseguir 1000 ações do tipo 1 e 1500 ações do tipo 2, que quantidades deve comprar de cada tipo de ação, na hipótese de que seja seu objetivo maximizar o total de capital no fim de um ano?

c) Uma empresa esta analisando um conjunto de alternativas de projetos de investimentos disponíveis e apresentados na tabela seguir.

Projeto Investimento no ano 1

Investimento no ano 2

Vida útil Economia anual nos próximos 3 anos 1 12 3 5 anos 9. 2 54 7 5 anos 26. 3 6 6 5 anos 9. 4 6 2 5 anos 7. 5 30 35 5 anos 35. 6 6 6 5 anos 8. 7 48 4 5 anos 22. 8 36 3 5 anos 16. 9 18 2 5 anos 11.

O orçamento para investimento é de 50 para o primeiro ano e 20 para o segundo. Sabendo-se que a TMA da empresa é de 10% a.a., qual a combinação ótima desses projetos.

4.3 Obtendo a função objetivo e as restrições

Antes de discutir as técnicas possíveis para obtenção de resultados, através de um problema será discutido como obter a função objetivo e as restrições.

4.3.1 Exemplo para discutir a obtenção da função objetivo e

as restrições:

Giapetto fabrica dois tipos de brinquedos de madeira: soldados e trens. Um soldado é vendido por $27 e usa $10 de matéria prima. Cada soldado que é fabricado tem um custo adicional de $14 relativo à mão de obra. Um trem é vendido por $21 e gasta $9 de matéria prima. O custo de mão de obra adicional para cada trem é de $10. A fabricação destes brinquedos requer dois tipos de mão de obra: carpintaria e acabamento. Um soldado necessita de 2 horas para acabamento e 1 de carpintaria. Um trem necessita de 1 hora para acabamento e 1 hora de carpintaria. Cada semana, Giapetto pode obter qualquer quantidade de matéria prima, mas tem a disposição até 100 horas de acabamento e 80 de carpintaria. A demanda por trens é ilimitada, mas a venda de soldados é de no máximo 40 por semana. Giapetto quer maximizar seu lucro diário (receitas-custo). Formular o modelo matemático que poderá ser usado por Giapetto para maximizar seu lucro semanal.

Solução:

Definindo o objetivo

9 Sabendo que a matéria prima necessária é obtida sem problemas, Giapetto tem como objetivo maximizar o lucro semanal (receitas - custos). 9 Vamos então formular matematicamente a situação de Giapetto com o objetivo de maximizar o lucro semanal.