apostila-C. Numérico, Notas de estudo de Engenharia Elétrica

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C´alculo Num´erico e Computacional – CNC

Luiza Amalia Pinto Cant˜ao

[email protected]

Sum´ario

CAP´ITULO 1

Introdu¸c˜ao `a Teoria de Erros e Estabilidade

1.1 Representa¸c˜ao de N´umeros

Exemplo 1. Calcule a ´area de uma circunferˆencia de raio igual a 100 m.

Resultados Obtidos:

1. A = 31400 m

2 ;

2. A = 31416 m

2 ;

3. A = 31415. 92654 m

2 .

Como justificar as diferen¸cas entre os resultados apresentados no exemplo 1? ´E poss´ıvel obter exatamente esta

´area?

Os erros ocorridos dependem da representa¸c˜ao do n´umero (neste caso, do n´umero π) na m´aquina utilizada 1 e

do n´umero m´aximo de d´ıgitos usados na sua representa¸c˜ao.

O n´umero π, por exemplo, n˜ao pode ser representado atrav´es de um n´umero finito de d´ıgitos decimais. No

exemplo 1, o n´umero π foi escrito como 3.14, 3.1416 e 3.141592654 respectivamente. Para cada representa¸c˜ao

foi obtido um resultado diferente, e o erro neste caso depende exclusivamente da aproxima¸c˜ao escolhida para π.

Qualquer que seja a circunferˆencia, a sua ´area nunca ser´a obtida exatamente de forma num´erica!

Logo, qualquer c´alculo que envolva n´umeros que n˜ao podem ser representados atrav´es de um n´umero finito de

d´ıgitos n˜ao fornecer´a como resultado um valor exato.

1.2 Aritm´etica de Ponto Flutuante

Um computador ou calculadora representa um n´umero real no sistema denominado aritm´etica de ponto flutu-

ante. Ou seja, um n´umero pode ser representado com ponto fixo, por exemplo, 12.34 ou com ponto flutuante

0. 1234 × 10

4

. Assim, o n´umero r ser´a representado na forma:

± 0 .d 1 d 2 d 3... dt × 10

e

onde:

(^1) Calculadora ou computador.

Cap´ıtulo 1. Introdu¸c˜ao `a Teoria de Erros e Estabilidade CNC

• di , para i = 1, 2 , 3 ,... t, s˜ao os d´ıgitos da parte fracion´aria, tais que 0 ≤ di ≤ 9 e d 1 6 = 0;
• t ´e o n´umero de d´ıgitos na mantissa;
• e ´e um expoente inteiro.

Exemplo 2. Sejam trˆes d´ıgitos na mantissa (t = 3) e um expoente e ∈ [− 5 , 5].

Os n´umeros ser˜ao representados na seguinte forma nesse sistema:

0 .d 1 d 2 d 3 × 10

e , 0 ≤ dj ≤ 9 , d 1 6 = 0, e ∈ [− 5 , 5].

O menor n´umero ser´a m = 0. 100 × 10

− 5 = 10

− 6 , e o maior n´umero, M = 0. 999 × 10

5 = 99900, ambos em

valor absoluto.

Considere o conjunto dos n´umeros reais R e o seguinte conjunto:

G = {x ∈ R / m ≤ |x| ≤ M}.

Dado um n´umero real x, trˆes situa¸c˜oes poder˜ao ocorrer:

Caso (1) x ∈ G:

por exemplo: x = 235.89 = 0. 23589 × 10 3

. Se nesta m´aquina houver precis˜ao de trˆes d´ıgitos significativos

na mantissa, ent˜ao x ser´a representado por 0. 235 × 10 3 ou por 0. 236 × 10 3 ;

Caso (2) |x| < m:

por exemplo: x = 0. 345 × 10 − 7 e e ∈ [− 5 , ∞). Neste caso, a m´aquina acusa a ocorrˆencia de underflow e

geralmente ajusta para zero.

Caso (3) |x| > M:

por exemplo: x = 0. 875 × 10 9 e e ∈ (−∞, 5]. Neste caso, a m´aquina acusa a ocorrˆencia de overflow e leva

a falhas na computa¸c˜ao.

1.3 Erros

O formato de um n´umero em aritm´etica de ponto flutuante limita a mantissa em k d´ıgitos decimais. Existem

duas maneiras de obter essa limita¸c˜ao. Um m´etodo, chamado de truncamento, consiste em simplesmente cortar

os d´ıgitos dk+1dk+.. ..

O outro m´etodo, chamado de arredondamento trunca a mantissa em k d´ıgitos (como no caso acima), por´em

duas situa¸c˜oes podem ocorrer:

1. Se dk+1 ≥ 5, dk = dk + 1;
2. Se dk+1 < 5, dk = dk.

Exemplo 3. Podemos escrever o n´umero π na forma de aritm´etica de ponto flutuante com 5 d´ıgitos usando:

1. O m´etodo de Truncamento: π = 0. 31415 × 10 1 ;
2. O m´etodo de Arredondamento: π = 0. 31416 × 10

1 .

Estes dois processos geram erros nos c´alculos num´ericos e s˜ao conhecidos como erros de truncamento e erros

de arredondamento, respectivamente.

Cap´ıtulo 1. Introdu¸c˜ao `a Teoria de Erros e Estabilidade CNC

5. Os primeiros trˆes termos diferentes de zeros da s´erie de MacLaurin para a fun¸c˜ao arcotangente s˜ao x −

(1/3)x

3

• (1/5)x

5

. Calcule o erro absoluto e o erro relativo para as seguintes aproxima¸c˜oes de π utilizando

o polinˆomio em lugar da fun¸c˜ao arcotangente:

(a) 4

[

arctan

• arctan

)]

(Aprox. 3.14557613, EA = 3. 983 × 10

− 3 e ER = 1. 268 × 10

− 3 )

(b) 16 arctan

− 4 arctan

(Aprox. 3.14162103, EA = 2. 838 × 10

− 5 e ER = 9. 032 × 10

− 6 )

6. Use a aritm´etica com n´umeros de trˆes d´ıgitos para executar os c´alculos a seguir. Calcule os erros absolutos

e relativos comparando-os com o valor exato determinado com pelo menos cinco d´ıgitos.

(a) 133 + 0. 921 (Aprox. 134, EA = 0.079 e ER = 5. 9 × 10

− 4 )

(b) 133 − 0. 499 (Aprox. 133, EA = 0.499 e ER = 3. 77 × 10 − 3 )

(c) (121 − 0 .327) − 119 (Aprox. 2.00, EA = 0.327 e ER = 0.195)

(d) (121 − 119) − 0. 327 (Aprox. 1.67, EA = 0.003 e ER = 1. 79 × 10 − 3 )

(e)

13 14

6 7

2 e − 5. 4

(Aprox. 1.80, EA = 0.154 e ER = 0.0786)

(f) − 10 π + 6 e −

(Aprox. − 15 .1, EA = 0.0546 e ER = 3. 6 × 10

− 3 )

(g)

(Aprox. 0.286, EA = 2. 86 × 10 − 4 e ER = 10 − 3 )

(h)

π −

22 7 1 17

(Aprox. 0.00, EA = 0.0215 e ER = 1.00)

7. A f´ormula quadr´atica estabelece que as ra´ızes da equa¸c˜ao ax

2

• bx + c = 0, quando a 6 = 0, s˜ao:

x 1 =

−b +

b 2 − 4 ac

2 a

e x 2 =

−b −

b 2 − 4 ac

2 a

Considere a equa¸c˜ao x 2

• 62. 1 x + 1 = 0, cujas ra´ızes s˜ao aproximadamente x 1 = − 0 .01610723 e x 2 =

C´alcule a equa¸c˜ao acima utilizando arredondamento para quatro d´ıgitos e posteriormente avalie o erro abso-

luto e relativo para cada raiz.

8. Utilize a aritm´etica com arredondamento para quatro d´ıgitos e as f´ormulas do exerc´ıcio acima para encontar

os valores aproximados mais precisos para as ra´ızes das equa¸c˜oes quadr´aticas a seguir. Calcule os erros

absolutos e relativos.

(a)

x

2 −

x +

(b)

1 3 x

2

123 4 x −

1 6

(c) 1. 002 x

2 − 11. 01 x + 0.01265 = 0

(d) 1. 002 x 2

• 11. 01 x + 0.01265 = 0

Quest˜ao x 1 EA ER x 2 EA ER

7 − 0. 02 2. 4 × 10

− 1 − 62. 1 3. 2 × 10

− 4

8 (a) 92. 26 0. 1542 1. 672 × 10

− 4

1. 005419 6. 273 × 10

− 7

1. 157 × 10

− 4

(b) 0. 005421 1. 264 × 10

− 6

2. 333 × 10

− 4

4. 58 × 10

− 3

4. 58 × 10

− 3

4. 965 × 10

− 5

(c) 10. 98 6. 875 × 10

− 3

6. 257 × 10

− 4

7. 566 × 10

− 8

7. 566 × 10

− 8

6. 584 × 10

− 5

(d) − 0. 001149 7. 566 × 10 − 8

6. 584 × 10 − 5
7. 875 × 10 − 3
8. 875 × 10 − 3
9. 257 × 10 − 4

CAP´ITULO 2

Sistemas de Equa¸c˜oes Lineares

Introdu¸c˜ao

A solu¸c˜ao de um sistema de equa¸c˜oes lineares ´e provavelmente o processo num´erico mais utilizado para simular

situa¸c˜oes do mundo real. ´E uma etapa fundamental na resolu¸c˜ao de v´arios problemas que envolvam, por exemplo,

equa¸c˜oes diferenciais, otimiza¸c˜ao, regress˜ao e sistemas n˜ao-lineares. Portanto, ´e de extrema importˆancia que se

tenha uma implementa¸c˜ao eficiente do m´etodo para solu¸c˜ao do sistema linear, pois geralmente esta ´e a fase que

demanda a maior parte do tempo de processamento para resolver o problema.

Veremos aqui t´ecnicas diretas e iterativas para resolver o sistema linear:

a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1 nxn = b 1

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2 nxn = b 2

. . .

an 1 x 1 + an 2 x 2 +... + annxn = bn

para x 1 , x 2 , · · · , xn, dadas as constantes aij para cada i, j = 1, 2 , · · · , n e bi para cada i = 1, 2 , · · · , n.

As t´ecnicas diretas s˜ao m´etodos que d˜ao uma resposta em um n´umero finito de passos, sujeitos apenas aos

erros de arredondamento. As t´ecnicas iterativas geram, a partir de uma solu¸c˜ao inicial, uma seq¨uˆencia de solu¸c˜oes

que deve convergir para a solu¸c˜ao do sistema.

Uma outra maneira de escrever o sistema (2.1) ´e usando a forma matricial, denotada por Ax = b e generica-

mente apresentada como: 

a 11 a 12 · · · a 1 n

a 21 a 22 · · · a 2 n

. . .

an 1 an 2 · · · ann

x 1

x 2

. . .

xn

b 1

b 2

. . .

bn

Note que An×n denota a matriz de coeficientes, x o vetor das inc´ognitas e b o vetor com os valores do lado direito

do sistema (2.1).

Se admitirmos que A ´e uma matriz invers´ıvel, ou seja, A

− 1 A = AA

− 1 = I, onde I ´e a matriz Identidade,

ent˜ao o sistema (2.1) ou (2.2) tem solu¸c˜ao ´unica x = A − 1 b. Por´em, calcular explicitamente A − 1 e em seguida

A

− 1 b ´e desaconselh´avel, uma vez que o n´umero de opera¸c˜oes envolvidas ´e grande, o que torna este processo n˜ao

competitivo com os m´etodos que estudaremos aqui.

Cap´ıtulo 2. Sistemas de Equa¸c˜oes Lineares CNC

Dado n, An×n (matriz triangular superior), bn× 1 e xn× 1

1: Fa¸ca xn =

bn

ann

2: Para k = n − 1 at´e k = 1 fa¸ca

3: soma = bk

4: Para j = k + 1 at´e j = n fa¸ca

5: soma = soma − akj xj

6: Fim do la¸co

7: xk =

soma

akk

8: Fim do la¸co

Algoritmo 1: Solu¸c˜ao de Sistemas Triangulares Superiores

Dado n, An×n (matriz triangular inferior), bn× 1 e xn× 1.

1: Fa¸ca x 1 =

b 1

a 11

2: Para k = 2 at´e k = n fa¸ca

3: soma = bk

4: Para j = 1 at´e j = n − 1 fa¸ca

5: soma = soma − akj xj

6: Fim do la¸co

7: xk =

soma

akk

8: Fim do la¸co

Algoritmo 2: Solu¸c˜ao de Sistemas Triangulares Inferior

2.1.2 M´etodo de Elimina¸c˜ao de Gauss

Os m´etodos diretos mais comuns tˆem como base as seguintes propriedade elementares de sistemas de equa¸c˜oes

lineares.

Propriedade 1. A solu¸c˜ao do sistema Ax = b n˜ao se altera se o submetermos a uma seq¨uˆencia de opera¸c˜oes do

tipo:

1. Multiplica¸c˜ao de uma equa¸c˜ao por uma constante n˜ao-nula;
2. Soma do m´ultiplo de uma equa¸c˜ao `a outra;
3. Troca da ordem das equa¸c˜oes.

Estas opera¸c˜oes geram um sistema

Ax = ˜b equivalente ao sistema original Ax = b

O m´etodo de Elimina¸c˜ao de Gauss usa esta propriedade para transformar a matriz A numa matriz triangular

superior equivalente. Suponha aqui, que det(A) 6 = 0.

Reescrevemos a matriz A e o vetor b na forma de uma matriz expandida:

Cap´ıtulo 2. Sistemas de Equa¸c˜oes Lineares CNC

a 11 a 12 a 13 · · · a 1 n b 1

a 21 a 22 a 23 · · · a 2 n b 2

. . .

ai 1 ai 2 ai 3 · · · ain bi

. . .

an 1 an 2 an 3 · · · ann bn

l

(1) 1

l

(1) 2 . . .

l

(1) i . . .

l

(1) n

os elementos l

(1) i , para i = 1, 2 ,... , n, representam as equa¸c˜oes do sistema linear (2.1) a ser triangularizado.

Elimina¸c˜ao da Primeira Coluna

Suponha que a 11 6 = 0. Para eliminar a inc´ognita x 1 das n − 1 equa¸c˜oes, subtra´ımos a primeira linha multiplicada

pelo fator

mi 1 =

ai 1

a 11

de todas as outras linhas li , i = 2, 3 ,... , n

Dessa maneira, l

(2) i = l

(1) i − mi 1 l

(1) 1 , para^ i^ = 2,^3 ,... , n, ou ainda,

Para i = 2 : n a

(2) ij = aij − mi 1 a 1 j , j = 2 : n

b

(2) i = bi − mi 1 b 1.

O ´ındice superior

(2) indica que usaremos um segundo valor para aij e bi.

No final deste est´agio, os coeficientes da matriz aumentada foram modificados de modo que a matriz assume

a seguinte configura¸c˜ao:                 

a 11 a 12 a 13 · · · a 1 n b 1

0 a

(2) 22 a

(2) 23 · · ·^ a

(2) 2 n b

(2) 2

0 a

(2) i 2 a

(2) i 3 · · · a

(2) in b

(2) i

0 a

(2) n 2 a

(2) n 3 · · ·^ a

(2) nn b

(2) n

l

(1) 1

l

(2) 2

l

(2) i

l

(2) n

Elimina¸c˜ao da Segunda Coluna

Para eliminar a inc´ognita x 2 das n − 2 ´ultimas equa¸c˜oes repetimos o procedimento anterior tomando agora a

segunda linha como auxiliar no processo de elimina¸c˜ao, isto ´e:

l

(3) i = l

(2) i − mi 2 l

(2) 2 , i = 3 : n, onde mi 2 =

ai 2

a 22

, i = 3 : n,

supondo que a 22 6 = 0.

Os coeficientes ser˜ao modificados segundo as rela¸c˜oes:

Para i = 3 : n a

(3) ij = a

(2) ij − mi 2 a

(2) 2 j , j = 3 : n

b

(3) i = bi − mi 2 b

(2)

Cap´ıtulo 2. Sistemas de Equa¸c˜oes Lineares CNC

Use quatro d´ıgitos na representa¸c˜ao em ponto flutuante e arredondamento ao desprezar o quinto d´ıgito.

Troque a ordem das equa¸c˜oes lineares e resolva novamente o problema usando o mesmo algoritmo.

Solu¸c˜ao 1. Para eliminarmos x 1 , obtemos m = 105. 8 e:

1. 004 x 1 + 15. 73 x 2 = 15. 77

− 1689 x 2 = − 1688

Cuja solu¸c˜ao obtida ´e x 1 = 12. 50 e 0. 9994. A solu¸c˜ao correta do sistema ´e x 1 = 10 e x 2 = 1. 0. Calcule o erro

relativo da solu¸c˜ao obtida.

Resolvendo o mesmo problema com a ordem das equa¸c˜oes trocadas temos m = 0. 9456 × 10

− 2 e:

1. 423 x 1 − 24. 72 x 2 = − 20. 49

2. 96 x 2 = 15. 96

cuja solu¸c˜ao ´e x 1 = 10 e x 2 = 1, que ´e a solu¸c˜ao exata do sistema.

O procedimento usado no exemplo 4 para obter a solu¸c˜ao correta do sistema ´e chamado de estrat´egia de

pivoteamento, que consiste na troca sistem´atica das linhas, de modo que o pivˆo seja o maior elemento, em valor

absoluto, da coluna que estamos eliminando. Assim,

1. no k-´esimo passo procuramos o elemento pivˆo de maior valor absoluto entre os coeficientes:

|ar k | = max i≤k≤n

|aik |;

2. trocamos as linhas k e r se for necess´ario.

O algoritmo (4) ilustra esta estrat´egia.

Existem dois casos nos quais o m´etodo de elimina¸c˜ao pode ser aplicado sem pivoteamento:

1. Uma matriz ´e diagonalmente dominante, ou seja, seus elementos satisfazem a |aii | >

j 6 =i

|aij |, i = 1, 2 ,... , n,

para todo i.

2. Uma matriz ´e sim´etrica A

T = A e positiva definida x

T Ax > 0, para todo vetor x 6 = 0.

2.1.3 Fatora¸c˜ao LU

Os m´etodos de Elimina¸c˜ao de Gauss e Elimina¸c˜ao de Gauss com Pivoteamento podem ser usados economi-

camente quando precisamos resolver v´arios sistemas com a mesma matriz dos coeficientes A e diversos termos

independentes b.

Uma op¸c˜ao seria guardar os coeficientes mij calculados no processo de elimina¸c˜ao e us´a-los na atualiza¸c˜ao dos

termos independentes b. Computacionalmente, esta alternativa ´e conhecida como Fatora¸c˜ao LU da matriz A.

Suponha que seja poss´ıvel fatorar a matriz A num produto de uma matriz triangular inferior (com elementos

da diagonal principal iguais a 1) L, e uma matriz triangular superior U, isto ´e:

A = LU =⇒ Ax = b ⇐⇒ LUx = b.

O sistema LUx = b permite o desmembramento em dois sistemas triangulares:

Ly = b e Ux = y.

Cap´ıtulo 2. Sistemas de Equa¸c˜oes Lineares CNC

Dado n, An×n, bn× 1 e xn× 1.

1: Para k = 1 at´e k = n − 1 fa¸ca

2: w = |akk | e r = k

3: Para j = k at´e j = n fa¸ca

4: Se |akj | > w ent˜ao

5: w = |ajk | e r = j

6: Fim do condicional

7: Fim do la¸co

8: Se w = 0 ent˜ao

9: A n˜ao ´e invers´ıvel. PARE

10: Caso contr´ario

11: Troque a linha k com a linha r

12: Fim do condicional

13: Para i = k + 1 at´e i = n fa¸ca

14: m = mik =

aik

akk

15: bi = bi − mbk

16: Para j = k + 1 at´e j = n fa¸ca

17: aij = aij − makj

18: Fim do la¸co

19: Fim do la¸co

20: Fim do la¸co

21: Execute o algoritmo (1).

Algoritmo 4: Solu¸c˜ao de (2.2) via Elimina¸c˜ao de Gauss com Pivoteamento

Resolvendo o primeiro sistema, calculamos y que, usado no segundo sistema, fornecer´a o vetor procurado x.

Teorema 1. Dada uma matriz An×n, seja Ak a matriz constitu´ıda das primeiras k linhas e colunas de A. Suponha

que det(Ak ) 6 = 0 para k = 1, 2 ,... , (n − 1). Ent˜ao, existe uma ´unica matriz triangular inferior L = (mij ), com

mii = 1, 1 ≤ i ≤ n e uma matriz triangular superior U = (uij ) tais que LU = A. Ainda mais, det(A) =

u 11 u 22 · · · unn.

Exemplo 5. Resolva o sistema linear a seguir usando a fatora¸c˜ao LU:

3 x 1 + 2 x 2 + 4 x 3 = 1

x 1 + x 2 + 2 x 3 = 2

4 x 1 + 3 x 2 + 2 x 3 = 3

Cap´ıtulo 2. Sistemas de Equa¸c˜oes Lineares CNC

2.2 M´etodos Iterativos

Se no sistema Ax = b os elementos da diagonal s˜ao diferentes de zero, aii 6 = 0, i = 1, 2 ,... , n, ent˜ao

podemos explicitar x 1 usando a primeira equa¸c˜ao, x 2 usando a segunda equa¸c˜ao e assim sucessivamente. Ou seja,

reescrevemos o sistema (2.1) numa forma que ´e conveniente para os m´etodos iterativos:

x 1 =

b 1 −

n ∑

j=

a 1 j xj

 (^) /a 11

xi =

b i −

n ∑

j 6 =i

aij xj

 (^) /a ii

xn =

b n −

n− 1 ∑

j=

anj xj

 (^) /a nn

2.2.1 M´etodo de Jacobi

Neste m´etodo, as equa¸c˜oes (2.5) s˜ao usadas para calcular uma seq¨uˆencia de vetores aproxima¸c˜oes x

(1) ,

x

(2) ,.. ., x

(k)

. Dada uma aproxima¸c˜ao inicial x

(0) , usamos o primeiro termo `a direita da i-´esima equa¸c˜ao para

definir uma nova aproxima¸c˜ao para xi :

x

(1) i

b i −

n ∑

j 6 =i

aij x

(0) j

 (^) /a ii ,^ i^ = 1,^2 ,... , n.^ (2.6)

Usamos agora o vetor x (1) nas equa¸c˜oes (2.5) para calcular o novo vetor das aproxima¸c˜oes, x (2) = (x

(2) 1

x

(2) 2 ,.. ., x

(2) n )

T

. Em resumo, o m´etodo de Jacobi consiste em calcularmos as componentes dos vetores x (1) ,

x (2) ,... usando (2.5).

Verificamos se este m´etodo converge fazendo:

max 1 ≤i≤n

∣x

(k+1) i − x

(k) i

∣ <  ou max 1 ≤i≤n

∣x

(k+1) i − x

(k) i

∣x

(k+1) i

onde  ´e uma tolerˆancia suficientemente pequena. Em testes computacionais usamos tamb´em como teste de

parada um n´umero m´aximo de itera¸c˜oes.

Para iniciar o processo iterativo ´e necess´ario fornecer uma aproxima¸c˜ao inicial x (0)

. Na falta de informa¸c˜ao

sobre a solu¸c˜ao, tomamos x

(0) = 0.

2.2.2 M´etodo de Gauss-Seidel

Este m´etodo consiste em uma modifica¸c˜ao do m´etodo de Jacobi. Nele, as itera¸c˜oes ser˜ao calculadas usando as

equa¸c˜oes (2.5), mas aproveitando os c´alculos j´a atualizados de outras componentes, para atualizar a componente

que est´a sendo calculada. Assim, o valor rec´em calculado para x

(k+1) 1 ser´a usado no c´alculo de x

(k+1) 2

Cap´ıtulo 2. Sistemas de Equa¸c˜oes Lineares CNC

Dado n, An×n, bn× 1 e x

(0) n× 1 , max, 

1: Para k = 0 at´e k = max fa¸ca

2: Para i = 1 at´e i = n fa¸ca

3: x

(k+1) i

aii

b i −

n ∑

j=1, j 6 =i

aij x

(k) j

4: Se max 1 ≤i≤n

∣x

(k+1) i − x

(k) i

∣ < ^ ou

∣x

(k+1) i − x

(k) i

∣x

(k+1) i

<  ent˜ao

5: x = x

(k+1)

6: Caso contr´ario

7: Se k = max ent˜ao

8: PARE: n˜ao houve convergˆencia.

9: Fim do condicional

10: Fim do condicional

11: Fim do la¸co

12: Fim do la¸co

Algoritmo 6: M´etodo de Jacobi

Dado n, An×n, bn× 1 e x

(0) n× 1 , max, 

1: Para k = 0 at´e k = max fa¸ca

2: Para i = 1 at´e i = n fa¸ca

3: x

(k+1) i

aii

bi −

i− 1 ∑

j=

aij x

(k+1) j

n ∑

j=i+

aij x

(k) j

4: Se max 1 ≤i≤n

∣x

(k+1) i − x

(k) i

∣ <  ou

∣x

(k+1) i − x

(k) i

∣x

(k+1) i

<  ent˜ao

5: x = x (k+1)

6: Caso contr´ario

7: Se k = max ent˜ao

8: PARE: n˜ao houve convergˆencia.

9: Fim do condicional

10: Fim do condicional

11: Fim do la¸co

12: Fim do la¸co

Algoritmo 7: M´etodo de Gauss-Seidel

Exemplo 6. Resolva o sistema abaixo usando os m´etodos de Jacobi e Gauss-Seidel:

4. 00 x 1 + 0. 24 x 2 − 0. 08 x 3 = 8. 00

5. 09 x 1 + 3. 00 x 2 − 0. 15 x 3 = 9. 00

6. 04 x 1 − 0. 08 x 2 + 4. 00 x 3 = 20. 00

Cap´ıtulo 2. Sistemas de Equa¸c˜oes Lineares CNC

• (ii) Solu¸c˜ao real: (10, 1)

T {

1. 03 x 1 + 58. 9 x 2 = 59. 2

2. 31 x 1 − 6. 10 x 2 = 47. 0

• (iii) Solu¸c˜ao real: (0. 17682530 , 0. 01269269 , − 0. 02065405 , − 1 .18260870) T

1. 19 x 1 + 2. 11 x 2 − 100 x 3 + x 4 = 1. 12

2. 2 x 1 − 0. 122 x 2 + 12. 2 x 3 − x 4 = 3. 44

100 x 2 − 99. 9 x 3 + x 4 = 2. 15

15. 3 x 1 + 0. 110 x 2 − 13. 1 x 3 − x 4 = 4. 16

• (iv) Solu¸c˜ao real: (0. 78839378 , − 3. 12541367 , 10. 16759660 , 4 .55700252)

T

πx 1 − e x 2 +

2 x 3 −

3 x 4 =

π 2 x 1 + e x 2 − e 2 x 3 +

3 7

x 4 = 0 √ 5 x 1 −

6 x 2 + x 3 −

2 x 4 = π

π 3 x 1 + e 2 x 2 −

7 x 3 +

1 9 x 4 =

(a) Resolva os sistemas acima usando o m´etodo de Elimina¸c˜ao de Gauss e opera¸c˜oes aritm´eticas com

aproxima¸c˜ao de trˆes d´ıgitos por truncamento.

(b) Repita o item acima usando o m´etodo de Elimina¸c˜ao de Gauss com Pivoteamento.

(c) Resolva os sistemas acima usando Fatora¸c˜ao LU e opera¸c˜oes aritm´eticas com aproxima¸c˜ao de trˆes

d´ıgitos por truncamento.

(d) Calcule o erro relativo dos itens acima.

(e) Verifique se os sistemas acima s˜ao convergente se aplicarmos os M´etodos Iterativos de Jacobi e Gauss-

Seidel. Justifique sua resposta.

4. Sejam o sistemas lineares:

(a)

x 1 − 0. 5 x 2 + 0. 5 x 3 = 3

x 1 + x 2 + x 3 = 12

− 0. 5 x 1 − 0. 5 x 2 + x 3 = 3

(b)

x 1

x 2

x 3

x 4

Resolva-os usando os m´etodos de Jacobi e Gauss-Seidel e verifique a convergˆencia dos m´etodos. Justifique

os resultados. [ (a) x = (2, 4 , 6)

T , (b) x = (3, − 1 , 5 , 7)

T ]

5. Resolva os sistemas lineares:

(a)

x 1 − 3 x 2 + 5x 3 + 6x 4 = 17

− 8 x 1 + 4x 2 − x 3 = 29

3 x 1 + 2x 2 − 2 x 3 + 7x 4 = − 11

x 1 + 2x 2 + 5x 3 − 4 x 4 = 7

(b)

x 1

x 2

x 3

usando o m´etodo de Elimina¸c˜ao de Gauss com e sem pivoteamento. Compare e verifique os resultados. [

(a) x = (− 4. 6077 , 0. 3757 , 3. 1215 , 1 .1878)

T ]

Cap´ıtulo 2. Sistemas de Equa¸c˜oes Lineares CNC

6. Efetue os c´alculos, utilizando apenas 4 casas decimais:

(a)

x 1

x 2

x 3

 (b)

x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 17

− 5 x 1 − x 2 + 4x 3 = − 2

2 x 1 + 4x 2 + x 3 = 25

usando Fatora¸c˜ao LU. Verifique a unicidade e a exatid˜ao das solu¸c˜oes.

7. Calcule o determinante da matriz A usando Fatora¸c˜ao LU.

A =

8. Resolva os sistemas abaixo usando Fatora¸c˜ao LU:

(a)

1. 012 x 1 − 2. 132 x 2 + 3. 104 x 3 = 1. 984

− 2. 132 x 1 + 4. 096 x 2 − 7. 013 x 3 = − 5. 049

3. 104 x 1 − 7. 013 x 2 + 0. 014 x 3 = − 3. 895

(b)

2. 1756 x 1 + 4. 0231 x 2 − 2. 1732 x 3 + 5. 1967 x 4 = 17. 102

− 4. 0231 x 1 + 6. 0000 x 2 + 1. 1973 x 4 = − 6. 1593

− 1. 0000 x 1 − 5. 2107 x 2 + 1. 1111 x 3 = 3. 0004

6. 0235 x 1 + 7. 0000 x 2 − 4. 1561 x 4 = 0. 0000