Apostila Cáculo Numérico, Notas de estudo de Engenharia Informática

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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL

FACULDADE DE MATEMÁTICA

CÁLCULO NUMÉRICO

Notas de Aula – Aplicações – Exercícios

Eliete Biasotto Hauser

1 –Teoria dos Erros - Sistema de Ponto Flutuante

Um número y na base β ≥ 2 , y = a (^) nan − 1 L a 3 a 2 a 1 a 0 ,b 1 b 2 Lpode ser descrito

na forma

y = an β n + an − 1 β n −^1 +L + a 3 β^3 + a 2 β^2 + a 1 β+ a 0 + b 1 β−^1 + b 2 β−^2 +L.

Por exemplo, 3517 , 26 = 3 × 103 + 5 × 102 + 1 × 10 + 7 + 2 × 10 −^1 + 6 × 10 −^2 Em aritmética de ponto flutuante normalizado de t dígitos, y tem a forma:

y = 0 ,d 1 d 2 dt β e

⎟ ×

⎛ L

i) 0 , d 1 d 2 L dt é a mantissa (uma fração na base β),

ii) 0 ≤ dj ≤β − 1 , d 1 ≠ 0 , j=1,2,...,t

iii) “e” é um expoente inteiro que varia no intervalo [m,M]. M e m dependem da máquina utilizada. Em geral, m = -M∈Z. iv) t define a precisão da máquina, é o número de dígitos da mantissa. Obs: precisão ≠ exatidão(depende da precisão da máquina e do algorítmo utilizado)

A união de todos os números de ponto flutuante normalizados com o zero: m t vezes

0 = 0. 000 1 42 L 43 0 × β

é chamado Sistema de Ponto Flutuante Normalizado e representado por F(β, t, m, M). Alguns exemplos de máquinas com precisão simples: a) HP 48 : F(10, 12, -498, 500) b) IBM 3090 : F(16, 6, -64, 63) c) Cray1 : F(2, 48, -8192, 8191) d) Burroughs B6700: F(8, 13, -63, 64)

Em F valem as propriedades:

1) 0,1 x β m é o menor número em módulo, não nulo, de F.

t vezes

( β − 1 )(β− 1 )...(β− 1 )x β M é o maior número, em módulo, não nulo, de F.

3) # F = 2 ( 1 )^1 ( 1 )⎥+ 1

⎡ β − β t − M − m + é o cardinal de F

4) Para qualquer mantissa, vale β −^1 ≤ mantissa < 1.

1. Se y ∈ F , então − y ∈ F.

2. 0 ∈ F e 1 ∈ F.

Se o expoente da base não pertencer a [m,M], y não pode ser representado em F. São os casos de erro de:

• underflow, se e < m (ultrapassa a capacidade mínima)
  • overflow, se e > M (ultrapassa a capacidade máxima)

E.B.Hauser – Cálculo Numérico

Se a representação do real y em F não é exata, é necessário utilizar um arredondamento. Os tipos de arredondamento mais conhecidos são:

• Arredondamento para número mais próximo de máquina (Oy).
• Arredondamento por falta, ou truncamento ( ∇ y).
• Arredondamento por excesso ( ∆ y) Em F, geralmente, as operações de adição e multiplicação não são comutativas, associativas e nem distributivas, pois numa série de operações aritméticas, o arredondamento é feito após cada operação. Ou seja, nem sempre as operações aritméticas válidas para os números reais são válidas em F. Isto influi na solução obtida através de um método numérico. Assim, métodos numéricos matematicamente equivalentes, podem fornecer resultados diferentes.

Medidas de Exatidão

Quando se aproxima um número real x por x *, o erro que resulta é x-x *. Define-se:

erro absoluto : EA = x − x * e o erro relativo : ER = x

x − x * para x ≠ 0.

A fim de ver o tipo de situação que pode ocorrer um erro relativo de grande magnitude, vamos considerar a diferença entre os números a seguir, por exemplo: x = 0, y = 0, x − y = 0,0001248121=0,1248121 x 10 - Se os cálculos forem feitos em F(10, 5, -499, 499) com arredondamento Ox: x= 0,37215, y= 0,37202 e x-y= 0,00013 = 0,13000 x 10- Assim, o erro relativo entre os dois resultados é grande:

0,1248121x 10 -^3

0,1248121x 10 -^30 , 13000 x 10 -^3 x y

x y (x-y) ≈

Na resolução de um problema o valor exato da solução x pode ser desconhecido. Podemos usar duas aproximações sucessivas de x, definindo:

( , 1 ) 0 , 3 log x k

xk xk

DIGSExk xk μ

o qual expressa o número de dígitos significativos exatos de x (^) k em relação a x (^) k + 1. Aqui

μ representa a unidade de arredondamento da máquina ( μ =^1 t

β se o arredondamen-

to for Ox ).

E.B.Hauser – Cálculo Numérico

Exercícios

1. No sistema MapleV estimar e −^^8_._^3 utilizando

∑

i 0

i!

( x)i e x e

∑

i 0

i!

xi

ex

x^1 e

com 26 termos cada e comparar com e −^^8_._^3 ≈^ 0.2485168271x

• .

1. Em F(10 , 3 , -98 , 98) e arredondamento por truncamento estimar p(2.73) se:

a) p( x) = x^3 − 5 x^2 + 6 x + 0. 55 b) p( x) = ((x − 5 )x + 6 )x + 0. 55

Em ambos os casos estimar o erro absoluto ao comparar com p(2.73) ≈ 0.11917x

• . Obs : Estimar p(x) pelo algoritmo usual

1 0

( ) 1 a x a x a x a xn an xn p x an + + + + +

exige n adições e (n

2 +n)/2 multiplicações enquanto que o algoritmo de Horner { 1 )^2 ) ...^2 )^1 )^0 1

( ) (((...( anx an x an x a x a x a n

p x + − + − + + + −

requer n adições e n multiplicações.

1. Sejam A, B, C e D matrizes genéricas de ordem 10x20, 20x50, 50x1 e 1x respectivamente. Utilizando a propriedade associativa, pode-se determinar o produto matricial AxBxCxD de diversas formas. Qual das duas abaixo é mais eficiente? Porque? a) Ax(Bx(CxD)) b) (Ax(BxC))xD

2. Representar o número real x na base 2 usando 8 algarismos significativos? Essa representação é exata? a) x=0.6 b) x=13.25 c) x= 2.

3. Determinar o cardinal , regiões de underflow e overflow e todos elementos reais de: a) F(2,3,-1,2) b) F(3,2,-1,2) c) F(2,2,-2,2)

4. Representar, se possível, os números abaixo em utilizando arredondamento por truncamento( ∇ x )e arredondamento para número mais próximo de máquina (Ox) em F(10,5,-2,2).

a) 3 b) 3

c) 3

d) e e) 3000

f) 2

1. Considerando: (^) ∑

=

i

i

A

a) Calcular o valor de A utilizando precisão infinita.. b) Utilizando arredondamento por truncamento ( ∇ x ) em F(10,3,-98,98), estimar o valor de A somando da direita para esquerda e após somando da esquerda para a direita. Comparar os resultados.

1 - Teoria dos Erros

Respostas:

1. exp(-8.3); . > f1:=sum(((-x)^i)/i!, i=0..25): > f1a:=unapply(f1,x): > f1a(8.3); -. Obs: Causas desse erro: subtração de grandezas muito próximas e adição de grandezas de diferentes ordens. > > f2:=1/(sum(((x)^i)/i!, i=0..25)): > f2a:=unapply(f2,x): > f2a(8.3); .

2. a)p(2.73)= -0.05 ,erro absoluto = 0. b)p(2.73)=0.032 ,erro absoluto = 0.

3. (Ax(BxC))xD é mais eficiente pois exige 2200 multiplicações enquanto que para calcular o produto Ax(Bx(CxD)) são necessárias 125000 multiplicações. OBS: Se M é de ordem pxq e N de ordem qxr, então MxN, de ordem pxr, é obtida efetuando pqr operações de multiplicações de elementos de M e N.

4-a) ( , )0 6 10 ≈ ( ,0 10011001 ) 2 b) ( 13 , 25 ) 10 ≈ ( 1101 , 01 ) 2 c) ( .2 47 ) 10 ≈( 10 011110 , ) 2

5)-a) 0, 1/4, 1/2, 1, 2, 5/16, 5/8, 5/4, 5/2, 3/8, 3/4, 3/2, 3, 7/16, 7/8, 7/4, 7/2 e simétricos.

F = 33 Região de oferflow: ( −∞ −, 7 / 2 ) ∪ ( 7 / 2 , +∞)

Região de underflow: (-1/4,1/4) - {0}

b) 0, 1/9, 1/3, 1,3, 4/27, 4/9,4/3, 4, 5/27, 5/9, 5/3, 5, 2/9, 2/3, 2, 6, 7/27, 7/9, 7/3, 7, 8/27, 8/9, 8/3, 8 e seus simétricos. # F = 49 Região de oferflow: ( −∞ −, 8 ) ∪ (8, +∞) Região de underflow: (-1/9,1/9) - {0} c) 0, 1/8, 1/4, 1/2, 1, 2, 3/16, 5/16, 3/4, 3/2, 3, e seus simétricos. # F = 21 Região de oferflow: ( −∞ , ) 3 ∪ ( , 3 +∞) Região de underflow: (-1/8,1/8) - {0}

6-a) 0,1732010^1 e 0,17321 10^1 b) 0,6666610^2 e 0,6666710^2 c) overflow (0,6666610 3 ∉ e 0,6666710^3 ∉ F) d) 0.2718210^1 e 0.2718310^2 e) underflow (0.3333310 –3^ ∉ F) f) 0,1414210^1 e 0,14142 *10^1

7-a) 0,9990234375 b) 0,999 e 0,

E.B.Hauser – Cálculo Numérico

4) Se a + bi é raiz de p ( ) x de grau n ≥ 2 , então p ( x )pode ser fatorado:

p ( ) x =( x^2 − 2 ax + a^2 + b^2 )⋅ q ( ) x

onde o grau de q ( ) x é n − 2.

Ex.: a) p ( ) x = x^4 − 2 x^3 + x^2 + 2 x − 2 tem raízes ± 1 , 1 ± i.

p ( ) x =( x^2 − 2 x + 2 ) (⋅ x^2 − 1 )

Ex.: b) p ( ) x = x^3 − 7 x^2 + 16 x − 10 tem raízes 1 , 3 ± i.

p ( ) x =( x^2 − 6 x + 10 )⋅ ( x − 1 )

5) Se p ( ) x é de grau ímpar, então p ( x )possui ao menos uma raiz real.

6) Uma raiz x 0 de p ( ) x tem multiplicidade m se p ( x 0 ) = p '( x 0 ) = p "( x 0 ) = K= pm −^1 ( x 0 ) = 0

e p m ( x 0 ) ≠ 0

Ex.:1) x 0 = 2 é raiz de multiplicidade 2 p ( ) x = 2 x^3 − 6 x^2 + 8

2) x 0 = 2 é raiz de multiplicidade 3 de p ( x ) = x^4 − 5 x^3 + 6 x^2 + 4 x − 8

2 - Resolução de Equações Algébricas e Transcendentes

7) Valor numérico de um polinômio: para calcular, de forma usual, p ( xi )são necessárias n

adições e

n n + 1 multiplicações.

O Método de Horner faz esse cálculo com n adições e n multiplicações:

1 parênteses

p x ((( ( anx an ) x a ) x a ) x a n

−

12 K 3 K^ K

Ex.: p ( ) x = 3 x^5 + 4 x^4 − 2 x^3 − x^2 + 3 x − 4 = (((( 3 x + 4 )x − 2 )x − 1 )x + 3 )x 4

8) Se p ( ) x é de grau n , então existe único polinômio de grau n − 1 , q ( ) x , tal que

p ( ) x = ( x −α ) ⋅ q ( ) x + p (α ).

Se α é raiz de p ( ) x então p ( α ) = 0.

É o algoritmo de Briot-Ruffini utilizado para Deflacionar Raízes. Ex.

3 ( x 3 )( x 10 x 46 ) 148 e p ( 3 ) 148

2 x 2 x 5 x 6 2 e p 2 2

1 x 1 x 6 x 10 e p 1 0

px x 7 x 16 x 10

2 3

2 2

2 1

3 2

α

α

α

2.1.1-Enumeração das Raízes

Enumerar as raízes de p ( ) x é dizer quantas são as raízes e se positivas, negativas ou

complexas.

Regra de Descartes ou Regras de Sinais

“O número de raízes reais positivas de p ( x ) é igual ao número de variações de sinais na

seqüência dos coeficientes ou menor do que este por um número inteiro par, sendo uma raiz de multiplicidade “m” contada como “m” raízes e não sendo considerados os coeficientes nulos”.

O número de raízes reais negativas é obtido aplicando a regra de Descartes a p ( − x )

Regra de Huat

Se p ( ) 0 ≠ 0 e para algum k , a^2 k^ ≤ ak − 1 × ak + 1 então p ( x )possui raízes complexas.

Regra da Lacuna

Se p ( ) 0 ≠ 0 e para algum K, ak = 0 e ak − 1 × ak + 1 > 0 , então p ( x )tem raízes complexas.

2 - Resolução de Equações Algébricas e Transcendentes

2.2- Separação de Raízes Reais de f(x)=

a) Métodos Gráficos: Utiliza-se um dos seguintes processos:

i) esboçar gráfico da função f ( x ) e localizar as abcissas dos pontos onde a curva intercepta o eixo dos x. ii) de f ( ) x = 0 obter uma equação equivalente f (^) 1 ( x ) = f 2 ( ) x. Localizar no mesmo eixo cartesiano os pontos r onde as duas curvas se interceptem: f 1 ( ) r = f 2 ( ) r ⇒ f 1 ( ) r − f 2 ( ) r = 0 ⇒ f ( ) r = 0

b) Método Analítico: Seja f ( x ) continua no intervalo [ a , b ]. Se f ( ) a ⋅ f ( ) b < 0 , então existe pelo menos uma raiz de f em ( a ,b ). (Se o sinal de f 'é constante em ( a ,b )a raiz é única nesse intervalo).

Ex. : p ( ) x = x^3 − 9 x + 3

a) Análise gráfica:

Logo, existem três raízes reais: r 1 ∈( − 4 , − 3 ) r 2 ∈( 0 , 1 ) , r 3 ∈( 2 , 3 )

b) analiticamente:

Obs: Devemos dar uma atenção especial para os casos de: ¾ Raízes muito próximas. ¾ para raízes de multiplicidade par não ocorre troca de sinal.

( ) 25 3 13 , 3923 11 3 5 7 , 3923 7 3

p x

x

E.B.Hauser – Cálculo Numérico

Ex1: p ( ) x = x^4 − 3 x^3 + 3 , 37 x^2 − 1 , 68 x + 0 , 3136

r 1 (^) = 0 , 7 e r 2 ≅ 0 , 8 são raízes de multiplicidade 2.

2.3- Métodos para Resolução de equações algébricas e transcendentes

Qualquer método deve observar um critério de parada, ao qual está associado um estimador

de exatidão. Por exemplo, para onde C , ε 1 , ε 2 , L são dados:

• DIGSE( xk ,xk + 1 ) ≥ C
• f ( xk ) ≤ ε 1

1

k

k k x

x x

• k > L (número máximo de iterações)

2.3.1-Método da Bisseção ou Dicotomia (Algoritmo de quebra)

Seja f : [ a , b ] →ℜcontinua e tal que f ( a ) ⋅ f ( ) b < 0.

1. Calcula-se o ponto médio 2

a b x (^) m

= , dividindo-se [ a , b ]em dois novos intervalos :

[ a , xm ], [ x (^) m , b ]

1. Se f ( xm ) ≠ 0 e: i) f ( ) a ⋅ f ( xm ) < 0 então a raiz está em ( a, xm ). Volta-se para (1) ii) f ( xm ) ⋅ f ( ) b < 0 então a raiz está em ( xm ,b ). Volta-se para (1)
2. Repete-se o processo até obter uma aproximação “razoável” da raiz, isto é, até que um critério de parada seja satisfeito.

Características: É simples a convergência lenta mas garantida. A velocidade de convergência é 0 , 3 ⋅ DIGSE /passo, isto é, a cada 3 ou 4 passos ganha-se um DIGSE.

Ex: p ( ) x = x^4 + 2 x^3 − 7 , 5 x^2 − 20 x − 11 a) Enumeração das raízes de p ( x )

Regras de Huat e Lacuna ℜ^ + ℜ− ⊂^ total não aplicam

E.B.Hauser – Cálculo Numérico

A seqüência de aproximação xi , converge para a solução x*^ da equação f ( ) x = 0 sob certas condições. A construção de G não é única. A escolha de uma G apropriada é dita “problema do ponto fixo. Ex. x^2 + x − 6 = 0.

( ) 1

x

G

x

a G x x b G x c G x G

Embora não seja preciso usar métodos numéricos para encontrar as duas raízes reais

α 1 =− 3 , e α 2 = 2 da presente equação, nota-se que:

i) Tomando G 1 e x 0 (^) = 1 , 5 , a seqüência { xi }não converge para 2. xi (^) + 1 = G 1 ( xi )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) M

5 1 4

4 1 3

2 3 1 2

2 2 1 1

2 1 1 0

x G x

x G x

x G x

x G x

x G x

ii) Tomando G 2 e x 0 (^) = 1 , 5 , a seqüência { xi }converge para 2.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) M

x 2 , 00002980181

x 1 , 99988079186

x 2 , 00047681835

x 1 , 99809249923

x 2 , 00762636454

x 1 , 9694363804

x 6 1 , 5 2 , 12132034356

7 2 6

6 2 5

5 2 4

4 2 3

3 2 2

2 2 1

1 2 0

G x

G x

G x

G x

G x

G x

G x

Teorema da Convergência: Seja α uma raiz isolada de f em [ a , b ]. Se i) G e G’são contínuas em [ a , b ]; ii) G' (x) 〈 1 , ∀ x ∈( a,b ); iii) x 0 ∈Ι e xk + 1 = G(xk) ∈( a,b ) , k = 0 , 1 , 2 ,... , então a seqüência { xk }, gerada por xk (^) + 1 = G ( xk ),converge para α.

2 - Resolução de Equações Algébricas e Transcendentes

Ex: Utilizando o método da iteração linear calcule a raiz de f ( x ) = ex^ + x^3 , com DIGSE ( xk , xk + 1 ) ≥ 5

( )

(^33)

x x

x x

x e e

f x e x x e

Seja

( )

( ) ( )

'( ) 0 0 , 33

3

G

G x e G

Gx e x

x

G e G’ são continuas em [-1,0] e G ' ( ) x < 1 ∀ x ∈[− 1 , 0 ].

Logo , a seqüência gerada por 1 3

x i xi (^) + =− e converge para α ∀ x ∈[− 1 , 0 ]. Seja x 0 =− 0 , 5

M

5 10

4 9

3 8

2 7

1 6

x x

x x

x x

x x

x x

( ) ( , ) 5 , 34

9 10

9 ≅

DIGSEx x

f x e

*G não tem Maximo nem mínimo local em [0,1], testa-se então só os extremos.

Características do Método da Iteração Linear:

¾ Não garante a convergência para toda função continua.

¾ Necessita do calculo de G’(x).

¾ Pode ocorrer dificuldade para encontrar G(x).

¾ A convergência é linear para raízes simples (a cada passo do método o erro é reduzido por

um fato constante). ¾ A velocidade de convergência depende de G ' ( x ), quanto menor este valor, maior será a convergência.

2 - Resolução de Equações Algébricas e Transcendentes

Convergência: (é trabalhoso mostrar que G' (x) < 1 ).

O método de Newton-Raphson converge se: 2 ( '( ))^2 1 ( ) "( ) ( '( ))

' ( ) f x f x f x f x

f x f x G x = < ⇒ <.

Para raízes simples a convergência é quadrática e para raízes duplas ou triplas é linear.

Escolha do ponto inicial: Seja α ∈ (a,b) raiz de f.

Se f b f b x b

f a f a x a ⋅ > ⇒ =

0

0 ( ) "( ) 0

Caso contrário, pode-se considerar 2

0

a b x

Ex.: 1) Estimar o valor da única raiz real de f (x) = 2 x + lnx , utilizando Newton-Raphson.

x (^) k + 1

xk (^) + 1 x k

f (xk + 1 )

f (xk )

f (x) = 2 x + ln x

x

2 x lnx x, x −

E.B.Hauser – Cálculo Numérico

k

k k k 1 k x

2 x lnx x x

4 3

3

2

1

0

x x

x 0 , 426302751

x 0 , 42699599

x 0 , 42

x 0 , 5

Logo a aproximação para a raiz é α = 0 , 426302751 com 9 dígitos significativos corretos.

1. Calcular a raiz r 4 (^) ∈[ 3 , 4 ]do polinômio dado anteriormente: p ( x )= x^4 + 2 x^3 − 7 , 5 x^220 x + 11.

p ( 3 )⋅ p "( 3 )< 0 e p ( 4 )⋅ p "( 4 )> 0 ⇒ x 0 = 4

3 2

4 3 2 1

• − −

k k k

k k k k k k x x x

x x x x x x

6 5

5

4

3

2

1

0

x x

x

x

x

x

x

x

Obs: O Método de Newton pode divergir devido ao uso da tangente, oscilando indefinidamente.

Uma aproximação para a raiz é r 4 = 3 , 03524990 com 9 dígitos significativos e 5 iterações.