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Apostila completa Calculo 1
Tipologia: Notas de estudo
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Não perca as partes importantes!
Profa. Roseli Camargo da Silva de Paula
Responsabilidade é saber que cada um de meus atos vai me construindo, vai me definindo, vai me inventando. Ao escolher o que quero fazer vou me transformando pouco a pouco. (Savater, 1998, p. 111). Programa Funções de uma Variável Real, Limite, Continuidade, Derivada de uma Função. Objetivos
Criar habilidades matemáticas para utilização na vida profissional. Obter conceitos matemáticos e raciocínio lógico para situações do dia a dia. Aprender a usar noções de Cálculo Diferencial como forte ferramenta de trabalho.
Ao final do componente curricular o aluno deve ser capaz de:
Sistema de avaliação O processo de avaliação obedecerá aos critérios estabelecidos pelo Regimento da Universidade. A – se o aluno atingiu todos os objetivos do componente curricular; B – se o aluno atingiu a maioria dos objetivos do componente curricular; R – o aluno não atingiu o mínimo dos objetivos do componente curricular. A avaliação da participação do aluno será feita através de listas de exercícios (em classe ou extraclasse). A entrega de todas as listas de exercícios no prazo determinado é obrigatória para atribuição de um conceito. Esse conceito poderá substituir uma prova. Serão realizadas três provas individuais e escritas, nas quais o aluno, para ser aprovado, deverá obter conceito A ou B. Para o aluno que obtiver conceito R será aplicada uma prova substitutiva ao final do semestre envolvendo o conteúdo da(s) prova(s) em que obteve R; neste caso será aprovado se obter conceito A ou B.
Bibliografia
e-mail e/ou msn: [email protected]
Material de apoioF 0 E 8www.uniso.br/ead
Apoio ao presencial – Graduação Inscrições Entrar Roseli – Cálculo Diferencial e Integral I
ConfigurarF 0 E 8Alterar senhaF 0 E 8Ctrl C e Ctrl V
“Dicas” para aprender a matéria e ser aprovado na disciplina ... Sofia lembrou-se muito bem de situações nas quais sua mãe ou o professor da escola tinha tentado lhe ensinar alguma coisa para a qual ela não estava receptiva. Todas as vezes que ela havia realmente aprendido alguma coisa, isto só tinha acontecido graças a uma ajuda que partira dela mesma. (Gaarder, 1995, p. 74). Bom semestre e Bom curso.
0. REVISÃO BÁSICA
Exemplos:
Os números reais são aqueles que possuem uma representação decimal (que pode ser finita, infinita periódica ou infinita não periódica). Denotamos por |R, o conjunto dos números reais. O conjunto dos números racionais “mais” (união) conjunto dos irracionais formam o conjunto dos números reais. Assim, | R = QF 0 C 8I.
O diagrama abaixo mostra a relação entre os conjuntos numéricos: |NF 0 C CZF 0 C CQF 0 C C|R
Representação geométrica do conjunto |R
Subconjuntos de |R (intervalos)
Dados dois números reais a e b, tais que a < b, chama-se intervalo a todo conjunto de todos números reais compreendidos entre a e b, podendo inclusive incluir a e b. Os números a e b são os limites do intervalo, sendo a diferença b - a , chamada amplitude do intervalo. Se o intervalo incluir a e b, o intervalo é fechado e caso contrário, o intervalo é dito aberto.
A tabela, abaixo, define os diversos tipos de intervalos.
TIPOS REPRESENTAÇÃO OBSERVAÇÃO INTERVALO FECHADO [a;b] = {xF 0 C ER; aF 0 A 3xF 0 A 3b} inclui os limites a e b INTERVALO ABERTO (a;b) = { xF 0 C ER; a < x < b} exclui os limites a e b INTERVALO FECHADO A ESQUERDA
[a;b) = { xF 0 C ER; aF 0 A 3x < b} inclui a e exclui b
(a;b] = {xF 0 C ER; a < xF 0 A 3b} exclui a e inclui b
INTERVALO SEMI-FECHADO [a;+F 0 A 5) = {xF 0 C ER; xF 0 B 3a} Valores maiores ou iguais a a. INTERVALO SEMI-FECHADO (-F 0 A 5; b] = { xF 0 C ER; xF 0 A 3b} Valores menores ou iguais a b.
INTERVALO SEMI-ABERTO (-F 0 A 5; b) = { xF 0 C ER; x < b} Valores menores do que b. INTERVALO SEMI-ABERTO (a; +F 0 A 5) = { xF 0 C ER: x > a } Valores maiores do que a.
Observe que o conjunto dos números reais pode ser representado na forma de intervalo como |R = ( -F 0 A 5; +F 0 A 5).
Geometricamente representamos os intervalos por retas:
[a, b] = {xF 0 C E R F 0 B DaF 0 A 3xF 0 A 3b}
(a, b] = {xF 0 C E R F 0 B Da < xF 0 A 3b}
[a, b) = {xF 0 C E R F 0 B DaF 0 A 3x < b}
(a, b) = {xF 0 C E R F 0 B Da < x < b} [a, +F 0 A 5) = {xF 0 C E R F 0 B DxF 0 B 3a}
(a, +F 0 A 5) = {xF 0 C E R F 0 B Dx > a}
(-F 0 A 5, b] = {xF 0 C E R F 0 B DxF 0 A 3b}
(-F 0 A 5, b)= {xF 0 C E R F 0 B Dx < b}
Exemplos:
Exemplos:
x = x1 = = 3 x 2 = = - Solução: S = {-5,3}
x = = x1 = = 2 x 2 = = 0, Solução: S = {0,5; 2}
Podemos prever a existência ou não de raízes de uma equação examinando oF 0 4 4(delta): SeF 0 4 4> 0 => existem duas raízes reais distintas (x 1 x 2 )
SeF 0 4 4= 0 => existem duas raízes reais iguais. (x 1 = x 2 ) SeF 0 4 4< 0 => não existem raízes reais.
Exemplos:
OBS.: As equações que têm b = 0 ou c = 0 são chamadas incompletas. Para resolvermos equações incompletas do 2º grau não é necessário o uso da fórmula conhecida por Báskara.
(I) Se b = 0F 0 E 0ax^2 + c =0F 0 E 0 ax^2 = - cF 0 E 0 x^2 =F 0 E 0 x =.
( Obs.: Se < 0, a equação em questão não terá solução real.) Exemplos:
(II) Se c = 0F 0 E 0ax^2 + b x = 0F 0 E 0x (ax+b) = 0F 0 E 0x = 0 ou a x + b = 0F 0 E 0x = 0 ou x =. Exemplos:
x =0 ou x = 6/3 =2F 0 E 0x = 0 ou x = 2. EXERCÍCIO Resolva as seguintes equações:
Sejam a e b números reais quaisquer. Então:
Sejam a e b números reais conhecidos, a 0 e x a variável. Chamamos de inequação do primeiro grau as sentenças a x + b < 0, a x + b > 0, a x + b 0, a x + b 0,
A resolução de inequações do 1º grau segue as mesmas regras das equações do 1º grau; com exceção da mudança de sinal. Exemplos:
5x > 20 x > 20 / 5F 0 E 0 x > 4 F 0 E 0 S = { x |R | x > 4 } = ] 4, +F 0 A 5[
-2x > -4. (-1) 2x < 4 (Observe a troca de sinal) x < 4 / 2 x < 2F 0 E 0S = {x |R | x < 2}=]-F 0 A 5, 2[ Note que 3 > 2 (3 é maior que 2) ; mas - 3 < - 2 (-3 é menor que –2).
Como a = 1 > 0 ·
-1 - 7
A solução será a parte hachurada, pois queremos os valores (estritamente) maiores que zero, ou seja positivos. Portanto S = { x |R | x<-1 ou x > 7}.
b) x^2 –6x-7 < 0 Já vimos que as soluções da equação: x^2 –6x-7 = 0, são x 1 =7 e x 2 = - 1.
Como a = 1 > 0F 0 E 0
-1 - 7
A solução será a parte hachurada, pois queremos os valores (estritamente) menores que zero, ou seja negativos. Portanto S = { x |R | -1< x < 7}.
c) -x^2 + 6x + 7 0
Devemos achar a solução da equação -x^2 + 6x + 7= 0: = 6^2 – 4 .(-1).7 = 36 +28 = 64 F 0 E 0x = F 0 E 8 Como a= -1 < 0F 0 E 0
Assim a solução será a parte hachurada, pois queremos os valores maiores ou iguais a zero, ou seja positivos. Logo S = { x |R | -1 x 7}.
d) -x^2 + 6x + 7 0
Novamente, as soluções da equação -x^2 + 6x + 7 = 0, são x 1 = -1 e x 2 = 7.
Como a = -1 < 0F 0 E 0
-1 + 7
Logo S = {x |R | x -1 ou x 7}.
Definimos o valor absoluto ou módulo de um número real x por: |x|=. Observe que o módulo é sempre um número positivo, ou seja, |x| é sempre maior ou igual a zero. Mas, x pode ser negativo, (o que está dentro do módulo pode ser negativo), e o resultado será sempre positivo.
Exemplos:
Propriedades: Sejam a, x ,yF 0 C E|R
Exemplos:
Para x = -1 temos S = (-1)+(-1)^2 = -1+1= 0. Para x = 5 temos S = 5+5 2 = 5+25 = 30. Vemos que o valor da soma S depende do valor de x, sendo assim, escrevemos S = S(x). Logo S(3) = 12 indica o valor da soma para x = 3.
Uma locadora A aluga carro popular nas seguintes condições: uma taxa fixa de R$50,00 e mais R$ 0,30 por quilômetro (km) rodado. Expresse o custo da locação em função dos km rodados. (Considere c = custo da locação e x = n° de km rodados). Analisando o problema, temos que: Para x =2 kmF 0 E 0c = 50 + 0,30. 2 = 50, Para x =3 kmF 0 E 0c = 50 + 0,30. 3= 50, Para x =100 kmF 0 E 0c = 50 + 0,30. 100 = 80, Para x kmF 0 E 0c = c(x) = 50+0,30.x, com xF 0 B 30. Vemos que o custo da locação depende do n° de km rodados, ou seja, o custo c é dado em função de x. Escrevemos c = c(x). Assim, c(100) = 80 indica que o custo da locação para 100km é de R$ 80,00.
A distância percorrida por um móvel é dada por s (^) t =5t 2 +70t (em km), a partir do repouso (t=0 h). Expresse a velocidade média em função do tempo t (em h). vm = ==5t+70 se tF 0 B 90. Ou seja, a velocidade média é dada pela função vm = 5t+70, tF 0 B 90.
Para t = 0 (repouso), a distância percorrida é s 0 = 5.0 2 +70.0 = 0. Para t = 1 h, a distância percorrida é s 1 = 5.1 2 +70.1 = 5+70 = 75 e a velocidade média é v (^) m = 5.1+70 = 75 km/h.Para t = 2 h, a distância percorrida é s 2 = 5.2 2 +70.2 = 20+140 =160 e a velocidade média é vm = 5.2+70 = 80km/h.
Restrições quanto ao DOMÍNIO:
do que ou igual a zero (0).
que ela representa. Exemplos:
f(x) = x-3 ≥ 0 èx ≥ 3 Df= {x∈|R | x ≥3}
f(x) = 4-2x ≠ F 0 E 8 0 -2x ≠ 0-4F 0 E 8-2x ≠ -4 (-1)F 0 E 82x ≠ F 0 E 8 4 x ≠ 2 D = {x∈|R| x ≠ 2}
f(x) = D= |R (pois não há restrições em raízes ímpares)
f(x) = 3x- 7 D= |R (pois não há restrições)
Seja y = f(x) com x em D, uma função. O conjunto de todos os pares ordenados (x, y) com x em D e y = f(x) denomina-se gráfico de f. Graf f ={(x, y)| xF 0 C ED, y = f(x)}.
Para esboçar o gráfico de f, munimos o plano com um sistema de coordenadas cartesianas. O eixo horizontal é o eixo da variável independente x e o eixo vertical é o eixo da variável dependente y.
eixo das ordenadasF 0 E 0 (x 0 , y0 ) (x,y) par ordenado
F 0 A Deixo das abcissas Exemplos:
Função Constante É uma função do tipo y = k , onde k é um número constante. O domínio é o conjunto dos números reais: D =|R e a imagem é o conjunto formado pela constante k: Im f = {k}. O gráfico da função constante é uma reta paralela ao eixo x passando pelo ponto (0,k).
Exemplos:
Função Linear Consideremos agora a função f:R→R dada por f(x)=ax+b, onde aR* e bR. Esta função recebe o nome de função linear, onde a é chamado de coeficiente angular. O domínio e a imagem de uma função linear é o conjunto dos números reais: D = Im = |R. O gráfico dessa função é uma reta. Para esboça-lo basta determinar 2 pontos distintos (A escolha de x é arbitraria).
Exemplos:
Dom=R. Como o gráfico de f é uma reta, para construí-lo basta conhecermos 2 de seus pontos. Im(f)=R
x F(x)=2x+ 0 1
2 5
Observe que quando x=0 temos que f(x)=ax+b assume o valor f(x)=b, ou seja, o gráfico de f intercepta o eixo y no ponto y = b. Por outro lado quando f(x)=0 temos que f(x)=ax+bF 0 E 80=ax+bF 0 E 8 x= ou seja, o gráfico de f intercepta o eixo x no ponto x = (raiz da função).
a) f(x)= -2x+ x= =
Observe que quando a<0 a função é decrescente.
b) f(x)=2x- x= = Observe que quando a>0 a função é crescente.
c) f(x)=-2x- x= =
Como a<0 a função é decrescente
Observamos o exemplo anterior percebemos que: f(-2)=-3 f(-1)=-1 f(0)=1 f(1)=3 f(2)=
De maneira geral f(x+h)–f(x) recebe o nome de variação da função entre x e x+h. Para obtermos informações mais precisas sobre uma função f, definimos a sua taxa de variação entre x e x+h por. No caso da função linear f(x)=ax+b a taxa de variação , é sempre constante e igual a “a”. Isto é, = a. Exercício: Demonstre a afirmação acima
Observando os gráficos das funções acima, vemos que:
Resumindo: a>0 a=0 a< 0
y cresce quando x cresce y é constante y decresce quando x cresce
4º) Concavidade: Quando a>0 a concavidade da parábola está voltada para cima, e quando a<0, para baixo. Obs: Vértice do gráfico é o ponto do gráfico onde a variável x recebe é o ponto médio entre x e x.
Isto é: x= Assim: yv =f(x)==== f(x)=== Logo o vértice da parábola é. Exemplos: Construir o gráfico e determinar a imagem das seguintes funções
X f(x)
2 0
3 0
0 6
2
5 6
Im(f)=[
ii) vérticeF 0 E 8x=0 f(x)=0 vértice (0,0)
iii) intersecção com o eixo f(x) x = 0F 0 E 8f(x) = c = 0 é o ponto (0,0)
iv) a=-1<0 → concavidade para baixo
f(x) 0 0 1 - 1 - 2 -
Im=(-,0]
iii) intersecção com o eixo f(x)F 0 E 0x=0F 0 E 8f(x) = c= 1 é o ponto (0,1)
iv) a=1>0 concavidade para cima
x f(x)=x²+ 0 1 1 2 -1 2 2 5
