Baixe Apostila de matemática: exercicios e exemplos e outras Notas de estudo em PDF para Matemática Aplicada, somente na Docsity!
APOSTILA
DE
MATEMÁTICA
MATEMÁTICA
Temos seis conjuntos numéricos existentes, os naturais, inteiros, racionais, irracionais, reais e complexos. Estudaremos, nesta primeira parte, somente os cinco primeiros. O conjunto dos números naturais são os primeiros a serem estudados. São os inteiros e positivos. O conjunto dos números inteiros são aqueles que envolvem os naturais e os negativos. O conjunto dos racionais são todos aqueles que podem ser escritos na forma de frações , já os irracionais não podem ser escritos na forma de fração.
Os reais vão englobar todos os anteriores.
NÚMEROS NATURAIS
Começando pelo zero e acrescentando uma unidade, vamos escrevendo o conjunto dos números naturais, representados pela letra IN: IN = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} A reticências significa que o conjunto não tem fim, pois um número natural sempre possui um sucessor e a partir do zero um sucessor.
Exemplos: vo sucessor de 10 é 11 e o antecessor de 10 é 9. vo ano que sucede 2003 é 2004 e 2002 antecede 2003. vGeneralizando: o sucessor de n é n + 1 e o antecessor de n é n - 1.
Exercícios Resolvidos
Um número natural e seu sucessor chamam-se consecutivos. Escreva todos os pares de números consecutivos entre esses números: 2 - 10 - 9 - 101 - 0 - 1 - 256 - 702 - 500 - 255 Resolução: 0 e 1; 1 e 2; 9 e 10; 255 e 256
Hudson disse: "Reinivaldo tem 45 anos. Thaís é mais velha que Reinivaldo. As idades de Reinivaldo e Thaís são números consecutivos. A minha idade é um número que é o sucessor do sucessor da idade de Thaís ". Quantos anos Hudson tem?
Resolução: Como Thaís é mais velha que Reinivaldo e as suas idades são números consecutivos, então se Reinivaldo tem 45 anos, Thaís tem 46 anos. Como a idade de Hudson é o sucessor do sucessor de 46, então esta idade será 48 anos.
- Escreva todos os números naturais que são maiores que 3 e menores que 7.
Resolução: Seja o conjunto: A = {x ∈ IN / 3 < x < 7}, por uma propriedade específica o enunciado do exercício ficará escrito desta forma, ilustrando todos os elementos fica assim: A = {4, 5, 6}
ADIÇÃO
Um automóvel segue de João Pessoa com destino a Maceió. Seu condutor deseja passar por Recife, sabendo- se que a distância de João Pessoa até Recife é de 120 km e que Recife está a 285 km de Maceió, quantos quilômetros o automóvel irá percorrer até chegar em Maceió? Esta é uma pergunta relativamente fácil de responder, basta somar as distâncias: 285 + 120 = 405 km. Adição é uma operação que tem por fim reunir em um só número, todas as unidades de dois, ou mais, números dados. O resultado da operação chama-se soma ou total, e os números que se somam, parcelas ou termos.
Propriedades
Fechamento - A soma de dois números naturais é sempre um número natural. Ex: 8 + 6 = 14
Elemento Neutro - Adicionando-se o número 0 (zero) a um número natural, o resultado é o próprio número natural, isto é, o 0 (zero) não influi na adição. Ex: 3 + 0 = 3
Comutativa - A ordem das parcelas não altera a soma.
Ex: 3 + 5 + 8 = 16 ou 5 + 8 + 3 = 16
Associativa - A soma de vários números não se altera se substituirmos algumas de suas parcelas pela soma efetuada. Os sinais empregados para associações são denominados:
( ) parênteses [ ] colchetes { } chaves
Exemplos: 8 + 3 + 5 = (8 + 3) + 5 = 11 + 5 = 16 13 + 5 + 2 + 7 = (13 + 5) + (2 + 7) = 18 + 9 = 27
De um modo geral a + (b + c) = (a + b) + c
Nota: Estudando-se as línguas, verificamos a importância da colocação das vírgulas para entendermos o significado das sentenças.
Exemplo: 1) "Tio Sérgio, André vai ao teatro." 2)"Tio, Sérgio André vai ao teatro."
Podemos verificar que essas duas sentenças apresentam significados diferentes, pelo fato da vírgula ter sido deslocada.
Nas expressões e sentenças matemáticas, os sinais de associação (parênteses, colchetes e chaves) podem funcionar como verdadeiras vírgulas. Resolvem-se os sinais na seqüência:
( ) parênteses [ ] colchetes{ } chaves
Exemplo:
A expressão (10 - 5) + 2 = 5 + 2 = 7 e 10 - (5 + 2) = 10 - 7 = 3, são diferentes, daí a importância da associação.
Dissociativa - Em toda soma pode-se substituir uma parcela por outra cuja soma seja igual a ela. Esta propriedade é de sentido contrário da anterior.
Exemplo:
9 + 3 + 8 = (5 + 4) + 3 + 8 (Neste caso o número 9 foi dissociado em dois outros 5 e 4). De uma maneira geral (a + b) + c = a + b + c. Observe que o zero como parcela não altera a soma e pode ser retirado.
Exemplo: 20 + 7 + 0 + 3 = 20 + 7 + 3
SUBTRAÇÃO
Fabiano fez um depósito de R$ 1 200,00 na sua conta bancária. Quando retirou um extrato, observou que seu
novo saldo era de R$ 2 137,00. Quanto Fabiano tinha em sua conta antes do depósito? Para saber, efetuamos uma subtração:
Denomina-se subtração a diferença entre dois números, dados numa certa ordem, um terceiro número que, somado ao segundo, reproduz o primeiro. A subtração é uma operação inversa da adição. O primeiro número recebe o nome de minuendo e o segundo de subtraendo, e são chamados termos da subtração. A diferença é chamada de resto.
Propriedades
Fechamento:- Não é válida para a subtração, pois no campo dos números naturais, não existe a diferença entre dois números quando o primeiro é menor que o segundo. Ex: 3 - 5 Comutativa: Não é válida para a subtração, pois 9 - 0 ≠ 0 - 9
Associativa: Não é válida para a subtração, pois (15 -
- 3 = 7 - 3 = 4 e 15 - (8 - 3) = 15 - 5 = 10
Somando-se ou subtraindo-se um mesmo número aos termos de uma subtração, a diferença não se altera.
Exemplo: seja a diferença 15 - 8 = 7, somando-se 4 aos seus dois termos, teremos (15 + 4) - (8 + 4) = 19 - 12 = 7
MULTIPLICAÇÃO
Multiplicar é somar parcelas iguais.
Exemplo: 5 + 5 + 5 = 15
Nesta adição a parcela que se repete (5) é denominada multiplicando e o número de vezes que o multiplicamos (3) é chamado multiplicador e o resultado é chamado de produto.
Então:
Multiplicação é a operação que tem por fim dados dois números, um denominado multiplicando e outro multiplicador, formar um terceiro somando o primeiro tantas vezes quando forem as unidades do segundo. O multiplicando e o multiplicador são chamados de fatores.
Propriedades
Fechamento - O produto de dois números naturais é sempre um número natural. Ex: 5 x 2 = 10
Elemento Neutro - O número 1 (um) é denominado de elemento neutro da multiplicação porque não afeta o produto. Ex: 10 x 1 = 10
Comutativa - A ordem dos fatores não altera o produto. Ex: 5 x 4 = 20 ou 4 x 5 = 20
DIVISIBILIDADE
Existem algumas regras que podem nos auxiliar a identificar se um número é ou não divisível por outro. Por exemplo, sabemos que 16 é divisível por 2, ou que 27 é divisível por 3, e no entanto será que 762 é divisível por 2? E por 3?
Todo número que é par é divisível por 2. Exemplos: 762, 1 572, 3 366 etc.
Somam-se os algarismos do número em questão, se o resultado for um número divisível por 3, então o número inicial o será também.
Exemplos: v762, pois 7 + 6 + 2 = 15 v3 573, pois 3 + 5 + 7 + 3 = 18 v53 628, pois 5 + 3 + 6 + 2 + 8 = 24
Observe os dois últimos algarismos se for dois zeros ou se terminar numa dezena divisível por 4 o número será divisível por
Exemplos: v 764, pois 64 é divisível por 4. v1 572, pois 72 é divisível por 4. v3 300, pois o número termina em dois zeros.
Observe o último algarismo se for zero ou cinco o número será divisível por 5.
Exemplos: 760, 1 575, 3 320.
Todo número que é divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo, será também, divisível por 6. Exemplos: 762, 1 572, 33 291.
Seguindo um algoritmo apresentado por um professor, vamos seguir 3 passos: 1 O. Separe a casa das unidades do número;
2 O. Multiplique esse algarismo separado (da direita) por 2; 3 O. Subtraia esse resultado do número à esquerda se esse resultado for divisível por 7, então o número original também o será.
Exemplos:
v378 é divisível por 7, pois
Passo1: 37 ........ 8 Passo 2: 8 × 2 = 16 Passo 3: 37 − 16 = 21
Como 21 é divisível por 7, então 378 também o é.
v4 809 é divisível por 7, pois
Passo1: 480 ........ 9 Passo 2: 9 × 2 = 18 Passo 3: 480 − 18 = 462
Repetindo os passos para o número encontrado:
Passo1: 46 ........ 2 Passo 2: 2 × 2 = 4 Passo 3: 46 − 4 = 42
Como 42 é divisível por 7, então 4 809 também o é.
Observe os três últimos algarismos, se for três zeros ou uma centena divisível por 8 então o número original também será.
Exemplos: 1 416, 33 296, 57 800, 43 000.
Somam-se os algarismos do número em questão, se o resultado for um número divisível por 9, então o número inicial o será também.
Exemplos: v3 573, pois 3 + 5 + 7 + 3 = 18 v53 928, pois 5 + 3 + 9 + 2 + 8 = 27 v945 675, pois 9 + 4 + 5 + 6 + 7 + 5 = 36
Observe o último algarismo se for zero o número será divisível por 10.
Exemplos: 760, 3 320, 13 240.
Um número será divisível por 11, quando a diferença entre a soma dos algarismos de ordem par e a soma dos algarismos de ordem ímpar tiver como resultado um número divisível por 11.
Exemplos: v2 937, pois: soma dos algarismos de ordem par: 9 + 7 = 16 soma dos algarismos de ordem ímpar: 2 + 3 = 5 fazendo a diferença: 16 - 5 = 11
v28 017, pois: soma dos algarismos de ordem par: 8 + 1 = 9 soma dos algarismos de ordem ímpar: 2 + 0 + 7 = 9 fazendo a diferença: 9 - 9 = 0
MÚLTIPLOS E DIVISORES
⇒ Múltiplo: é o resultado da multiplicação de um número natural por outro natural.
Exemplos: v24 é múltiplo de 3, pois 3 x 8 = 24. v20 é múltiplo de 5, pois 5 x 4 = 20 e é múltiplo de 2, pois 2 x 0 = 0
⇒ Divisor: se um número x é divisível por y, então y será um divisor de x.
Exemplos: v8 é divisor de 864, pois 864 é divisível por 8. v21 é divisor de 105, pois 105 é divisível por 21.
NÚMEROS PRIMOS
Todo número que apresenta dois divisores naturais, sendo eles: o próprio número e a unidade; ele será considerado um número primo, são eles:
Reconhecendo um número primo Dividimos o número, de maneira sucessiva, pelos números que formam a série dos números primos, até encontramos um coeficiente igual ou menor ao divisor. Caso nenhuma dessas divisões seja exata, então o número é primo.
Nota: utilizando-se os critérios de divisibilidade, poderemos evitar algumas dessas divisões.
Exemplo: Vamos verificar se o número 193 é primo. Utilizando os critérios da divisibilidade, podemos verificar que 193 não é divisível por 2, 3, 5, 7. Então, dividindo:
Quociente menor que o divisor ⇒ 11 < 17, e não houve divisão exata, então o número 193 é primo.
DECOMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS
Quando um número não é primo, pode ser decomposto num produto de fatores primos. A fatoração consiste, portanto, em encontrar todos os fatores primos divisores de um número natural.
⇒ Regra: dividimos o número pelo seu menor divisor primo, excetuando-se a unidade, a seguir, dividimos o quociente pelo menor divisor comum e assim sucessivamente até encontrarmos o quociente 1. O número dado será igual ao produto de todos os divisores encontrados que serão números primos.
Exemplo:
QUANTIDADE DE DIVISORES DE UM NÚMERO
NATURAL
Podemos determinar o total de divisores de um número, mesmo não se conhecendo todos os divisores.
⇒ Regra: O número total de divisores de um número é igual ao produto dos expoentes dos seus fatores primos aumentados (cada expoente) de uma unidade.
Exemplo: Vamos determinar o total de divisores de 80. Fatorando-se o número 80 encontraremos: 80 = 2 4 × 5 1
Aumentando-se os expoentes em 1 unidade: v 4 + 1 = 5 v 1 + 1 = 2 Efetuando-se o produto dos expoentes aumentados 5 × 2 = 10 Portanto, o número de divisores de 80 é 10.
Nota: Ao determinarmos a quantidade de divisores estamos encontrando apenas os divisores positivos desse número.
MÁXIMO DIVISOR COMUM (M.D.C.)
Denomina-se máximo divisor comum entre dois ou mais números naturais não nulos, ao maior número natural que divide a todos simultaneamente.
Exemplo: O máximo divisor comum entre 6, 18 e 30 é o número 6, pois este divide ao mesmo tempo o 6, o 18 e o 30 e, além disso, é o maior dos divisores simultâneos dos números dados.
Método da Composição em Fatores Primos Decompõe-se os números em fatores primo e em seguida escolhe-se os fatores primos comuns com os menores expoentes e em seguida efetua-se o produto destes expoentes.
Exemplo: 1-) Encontrar o MDC entre os números 60 e 280
Escolhemos agora os fatores primos comuns aos dois números que decompomos, com os menores expoentes. Os fatores comuns aos dois números são 2 e 5, e estes fatores com seus menores expoentes são : 22 × 5 = 4 × 5 = 20
Logo o M.D.C. entre 60 e 280 é 20 e se escreve da seguinte forma: MDC (60, 280) = 20
2-) Determinar o M.D.C. entre 480 e 188
Então temos: 70 = 2 x 5 x 7 140 = 2 2 x 5 x 7 180 = 2 2 x 3^2 x 5
Os fatores primos comuns, isto é, que aparecem nas três fatorações são 2e 5.O número 7 não é fator primo comum porque só aparece na fatoração dos números 70 e 140. O número 3 também não é fator primo comum porque só aparece na fatoração do número 180. Logo:
vfatores primos comuns escolhidos com os maiores expoentes: 22 e 5.
vFatores primos não comuns escolhidos com os maiores expoentes: 3^2 e 7.
mmc (70, 140,180) = 2^2 x 5 x 3^2 x 7 = 1260
Método da Decomposição Simultânea
Então:
mmc (70, 140, 180) = 2^2 x 3^2 x 5 x 7 = 1260
RELAÇÃO ENTRE O MMC E O MDC
O produto de dois números dados é igual ao produto do M.D.C. desses números.
mmc (a, b) × mdc (a, b) = a x b
Exemplo:
Sejam os números 18 e 80 Temos pela regra que: 18 x 80 = mmc (18, 80) × mdc (18, 80) O produto é 18 × 80 = 1440.
Vamos agora determinar o M.M.C. desses dois números.
80, 18 2 40, 9 2 20, 9 2 10, 9 2 5, 9 3 5, 3 3 5, 1 5 1, 1
mmc (80, 18) = 2^4 x 3^2 x 5 = 720
Logo: mdc(80, 18) = 1440 ÷ mmc(18, 80) = 1440 ÷ 720 = 2
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Para identificarmos se um problema deve ser resolvido através do M.M.C. temos algumas indicações importantes. I - Diante de um problema, verificar se trata de fatos repetitivos, significa que estes fatos são múltiplos; II - Os acontecimentos deverão ser simultâneos, isto é, comuns; III - Ao buscarmos a primeira coincidência, estamos buscando o M.M.C.
Exemplo:
Três viajantes passam por determinado local respectivamente a cada 15, 20 e 25 dias. Sabendo-se que hoje os três se encontram, quando acontecerá o novo encontro?
Resolução: vExiste a idéia de repetição: "Sabendo-se que hoje os três se encontraram, quando ocorrerá o novo encontro?" ⇒ Múltiplo v"Encontrar-se-ão num determinado dia" ⇒ Comum v"Quando acontecerá o novo encontro" ⇒ Mínimo
Portanto
Resposta: O primeiro encontro ocorrerá dentro de 300 dias.
NÚMEROS INTEIROS (Z)
Em tempos remotos, com o desenvolvimento do comércio, um comerciante desejando ilustrar a venda de 3 kg de um total de 10 kg de trigo existente num saco, escreve no saco: "- 3", a partir daí um novo conjunto numérico passa a existir, o Conjunto dos Números Inteiros, hoje, representamos pela letra Z.
Z = {..., -3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, ...}
A reticências, no início ou no fim, significa que o conjunto não tem começo nem fim. Concluímos, então, que todos os números inteiros possuem um antecessor e um sucessor. Com a relação às operações que serão possíveis de se efetuar, ilustraremos exemplos da adição e multiplicação.
ADIÇÃO
vSinais Iguais: Somam-se os números prevalecendo o sinal.
Exemplos: (+2) + (+3) = + (-2) + (-3) = - 5
vSinais Diferentes: Subtraem-se os números prevalecendo o sinal do maior número em módulo.
Exemplos: (-2) + (+3) = + (+2) + (-3) = -
Exercícios Resolvidos
- Calcule a soma algébrica:
Resolução:
- Alexandre tinha 20 figurinhas para jogar bafo. Jogou com Marcelo e perdeu 7 figurinhas, jogou com Jorge e ganhou 2, ao jogar com Gregório ganhou 3 e perdeu 8 e com Hudson ganhou 1 e perdeu 11. Com quantas figurinhas ficou Alexandre no final do jogo?
Resolução:
Representando em soma algébrica: 20 - 7 + 2 + 3 - 8 + 1 - 11 = 0
Resposta: Nenhuma.
MULTIPLICAÇÃO
Na multiplicação de números inteiros vamos, sempre, considerar a seguinte regra: (+). (+) = (+) (+). (-) = (-) (-). (+) = (-) (-). (-) = (+) Exemplos: v(+2) × (+3) = (+6) v(+2) × (- 3) = (- 6) v(-2) × (+ 3) = (- 6) v(-2) × (- 3) = (+ 6)
Exercício Resolvido
- Calcule o valor da expressão abaixo: {(16 - 4) + [3.(-2) - 7.1]}.[-12 - (-4).2.2] + (-7).2 - 3. (-1)
Resolução:
{(16 - 4) + [3.(-2) - 7.1]}.[-12 - (-4).2.2] + (-7).2 - 3. (-1)
{12 + [-6 - 7]}. [-12 -(-16)] + (-14) - (-3)
{12 + [-13]}. [-12 + 16] - 14 + 3
NÚMEROS RACIONAIS (Q) - FRAÇÕES
São aqueles constituído pelos números inteiros e pelas frações positivas e negativas. Número racional é todo
número indicado pela expressão b
a
, com b ≠ 0 e é representado pela letra Q.
Atenção:
I) Todo número natural é um racional.
II) Todo número inteiro relativo é racional.
FRAÇÕES
Número fracionário ou fração é o número que representa uma ou mais partes da unidade que foi dividida em partes iguais.
Exemplos:
v 1 hora = 60 minutos v ¼ hora = 15 minutos
v 4
hora = 30 minutos
v 4
hora = 45 minutos
⇒ Representação
Uma fração é representada por meio de dois números inteiros, obedecendo uma certa ordem, sendo o segundo diferente de zero, chamados respectivamente de numerador e denominador, e que constituem os termos da fração.
O denominador indica em quantas partes foi dividida a unidade, e o numerador, quantas partes foram tomadas. As frações podem ser decimais e ordinárias.
FRAÇÕES DECIMAIS
Quando o denominador é representado por uma potência de 10, ou seja, 10, 100, 1000, etc.
Exemplo:
é duas vezes maior que^10
- Multiplicando-se ambos os termos de uma fração por um número diferente de zero, o valor da fração não se altera.
Exemplo:
Logo:
=
10
4
Ilustrações:
NÚMEROS MISTOS
Número misto é aquele formado por um número inteiro e uma fração. Para transformarmos um número misto em uma fração, basta multiplicar o denominador da fração imprópria pelo número inteiro e somamos o resultado obtido com o numerador.
Exemplo:
7
4 6
=
7
42 + 4
= 7
46
COMPARAÇÃO DE FRAÇÕES
Podemos comparar duas ou mais frações para sabermos qual é a maior e qual a menor. Para isto, devemos conhecer os critérios de comparação:
- Quando várias frações têm o mesmo denominador, a maior é a que tem maior numerador.
Exemplo:
10
4
10
3
10
1
- Quando várias frações têm o mesmo numerador, a maior é a que tem menor denominador.
Exemplo:
5
4
7
4
10
4
- Quando as frações têm numeradores e denominadores diferentes a comparação é feita reduzindo-as ao mesmo denominador ou ao mesmo numerador.
Exemplo:
Exercício Resolvido
- Coloque as seguintes frações em ordem crescente, empregando o sinal <.
Resolução:
Vamos reduzir as frações ao mesmo denominador, e paratanto o mmc (2, 3, 5, 10) = 30:
FRAÇÕES EQUIVALENTES
São frações que representam a mesma parte do inteiro, ou seja, são frações de mesmo valor.
Na figura acima temos: 2
=
6
3
= 4
2
logo são frações equivalentes.
SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES
Significa obter uma outra fração equivalente na qual o numerador e o denominador são números primos entre si. Para simplificar uma fração basta dividir o numerador e o denominador pelo mesmo número.
está na sua forma irredutível.
2 O. Modo: Um outro processo para simplificar frações é achar o M.D.C. (máximo divisor comum) entre o mdc (48,36) = 12
Exercício Resolvido
1) Obter 3 frações equivalentes a 5
Resolução:
Basta tomar os termos da fração 5
multiplicá-lo por um mesmo número diferente de zero:
ADIÇÃO DE FRAÇÕES
Temos dois casos à considerar:
vCaso 1: Denominadores Iguais
"Somam-se os numeradores e conserva-se o denominador comum".
Exemplo:
vCaso 2: Denominadores Diferentes
"Reduzem-se as frações ao mesmo denominador comum e aplica-se a regra anterior ".
Exemplo:
Podemos simplificar a resposta, deixando a fração na sua forma irredutível:
Nota: Em caso da adição de frações envolver números mistos, transformamos os números mistos em frações impróprias.
SUBTRAÇÃO DE FRAÇÕES
Para a subtração, irão valer as mesmas regras da adição (Caso 1 e Caso 2).
MULTIPLICAÇÃO DE FRAÇÕES
Ao efetuar o produto entre duas ou mais frações, não importando se os numeradores e denominadores são iguais ou diferentes, vamos sempre:
Multiplicar os numeradores entre si, assim como os denominadores.
Exemplos:
Nota:
Neste último exemplo as simplificações poderiam ter sido feitas durante o produto, observe:
, simplificamos o 4 com o 10 no primeiro membro.
DIVISÃO DE FRAÇÕES
Na divisão de duas frações, vamos sempre:
Conservar a primeira fração e multiplicar pelo inverso da segunda.
Exemplo:
EXPRESSÕES ARITMÉTICAS FRACIONÁRIAS
O cálculo de expressões aritméticas fracionárias, que são conjuntos de frações ligadas por sinais de operações é feito na segunda ordem:
1º) As multiplicações e divisões
2º) As adições e subtrações, respeitadas as ordens dos parênteses, colchetes e chaves.
Exemplo: Vamos resolver a seguinte expressão:
NÚMEROS REAIS (IR)
A união de todos os conjuntos vistos até agora dará origem ao conjunto dos números reais, representado pela letra IR.
Observe o diagrama:
vObservação ⇒ "Números Irracionais"
A parte que está em forma de "telhado", ou seja, IR - Q representa o conjunto dos números irracionais, e estes por sua vez são aqueles que não podem ser escritos na forma de fração:
Exemplos:
(^2) , 3 , π etc.
NÚMEROS DECIMAIS
Os números decimais fazem parte do conjunto dos números racionais, e no entanto, estes números merecem uma atenção especial, que aparecem muito em nosso cotidiano, além de se relacionar com muitas questões de provas de concursos públicos.
ADIÇÃO
Escrevem-se os números decimais uns sobre os outros de modo que as vírgulas se correspondam; somam- se os números como se fossem inteiros, e, coloca-se a vírgula na soma, em correspondência com as parcelas.
Exemplo:
e os comprimentos de cada uma. 9, 8, 6 partes de 18 metros 8, 6, 5 partes de 18 metros 9, 7, 6 partes de 18 metros 10, 8, 4 partes de 18 metros e) e) e)
P 15 ) Quer-se circundar de árvores, plantadas à máxima distância comum, um terreno de forma quadrilátera. Quantas árvores são necessárias, se os lados do terreno tem 3150,1980, 1512 e 1890 metros? a) 562 árvores b) 528 árvores c) 474 árvores d) 436 árvores
P 16 ) Numa república, o Presidente deve permanecer 4 anos em seu cargo, os senadores 6 anos e os deputados 3 anos. Em 1929 houve eleições para os três cargos, em que ano deverão ser realizadas novamente eleições para esses cargos?
P 17 ) Duas rodas de engrenagens tem 14 e 21 dentes respectivamente. Cada roda tem um dente esmagador. Se em um instante estão em contato os dois dentes esmagadores, depois de quantas voltas repete-se novamente o encontro?
P 18 ) Dois ciclistas percorrem uma pista circular no mesmo sentido. O primeiro percorre em 36 segundos, e o segundo em 30 segundos. Tendo os ciclistas partido juntos, pergunta-se; depois de quanto tempo se encontrarão novamente no ponto de partida e quantas voltas darão cada um?
P 19 ) Uma engrenagem com dois discos dentados tem respectivamente 60 e 75 dentes, sendo que os dentes são todos numerados. Se num determinado momento o dento nº 10 de cada roda estão juntos, após quantas voltas da maior, estes dentes estarão juntos novamente?
P 20 ) Sabendo-se que o M.M.C. entre dois números é o produto deles, podemos afirmar que: a) os números são primos b) eles são divisíveis entre si c) os números são primos entre si d) os números são ímpares
P 21 ) Da estação rodoviária de São Paulo partem para Santos, ônibus a cada 8 minutos; para Campinas a cada 20 minutos e para Taubaté a cada 30 minutos. Às 7 horas da manhã partiram três ônibus para essas cidades. Pergunta-se: a que horas do dia, até às 18 horas haverá partidas simultâneas?
P 22 ) No aeroporto de Santos Dumont partem aviões para São Paulo a cada 20 minutos, para o Sul do país a cada 40 minutos e para Brasília a cada 100 minutos; às 8 horas da manhã á um embarque simultâneo para partida. Quais são as outras horas, quando os embarques coincidem até as 18 horas.
P 23 ) Para ladrilhar 5/7 de um pátio empregando-se 46. ladrilhos. Quantos ladrilhos iguais serão necessários para ladrilhar 3/8 do mesmo pátio?
P 24 ) A soma de dois números é 120. O menor é 2/3 do maior. Quais são os números?
P 25 ) Sueli trabalha após as aulas numa loja de fazendas. Uma tarde recebeu uma peça de linho de 45 metros para vender. Nesta mesma tarde vendeu 3/5 da peça, depois 1/3 do que sobrou. Quantos metros restaram por vender?
P 26 ) Uma senhora repartiu R$273,00 entre seus três filhos. O primeiro recebeu 3/4 do que tocou ao segundo e este, 2/3 do que tocou ao terceiro. Quanto recebeu cada um?
P 27 ) Um negociante vendeu uma peça de fazenda a três fregueses. O primeiro comprou 1/3 da peça e mais 10 metros. O segundo comprou 1/5 da peça e mais 12 metros e o terceiro comprou os 20 metros restantes. Quantos metros tinha a peça?
P 28 ) Dois amigos desejam comprar um terreno. Um deles tem 1/5 do valor e outro, 1/7. Juntando ao que possuem R$276.000,00, poderiam comprar o terreno. Qual o preço do terreno?
P 29 ) Paulo gastou 1/3 da quantia que possuía e, em seguida, 3/5 do resto. Ficou com R$80,00. Quanto possuía?
P 30 ) Qual é o número que multiplicado por 1/5 dá 7 3/4?
P 31 ) Um alpinista percorre 2/7 de uma montanha e em seguida mais 3/5 do restante. Quanto falta para atingir o cume?
P 32 ) Qual é o número que aumenta 1/8 de seu valor quando se acrescentam 3 unidades?
P 33 ) Um trem percorre 1/6 do caminho entre duas cidades em 1 hora e 30 minutos. Quanto tempo leva de uma cidade a outra uma viagem de trem?
P 34 ) Lia comeu 21/42 de uma maçã e Léa comeu 37/ dessa mesma maçã. Qual das duas comeu mais e quanto sobrou?
P 35 ) Dividindo os 2/5 de certo número por 2/7 dá para quociente 49. Qual é esse número?
P 36 ) Um pacote com 27 balas é dividido igualmente entre três meninos. Quantas balas couberam a cada um, se o primeiro deu 1/3 do que recebeu ao segundo e o segundo deu ½ do que possuía ao terceiro?
P 37 ) Uma herança de R$70.000,00 é distribuída entre três herdeiros. O primeiro recebe ½, o segundo 1/5 e o terceiro o restante. Qual recebeu a maior quantia?
P 38 ) Uma torneira leva sete horas para encher um tanque. Em quanto tempo enche 3/7 desse tanque?
P 39 ) R$120,00 são distribuídos entre cinco pobres. O primeiro recebe ½, o segundo 1/5 do que recebeu o primeiro e os restantes recebem partes iguais. Quanto recebeu cada pobre?
P 40 ) Em um combate morrem 2/9 de um exército, em novo combate morrem mais 1/7 do que restou e ainda sobram 30.000 homens. Quantos soldados estavam lutando?
P 41 ) 2/5 dos 3/7 de um pomar são laranjeiras; 4/5 dos ¾ são pereiras; há ainda mais 24 árvores diversas. Quantas árvores há no pomar?
P 42 ) Um corredor depois de ter decorrido os 3/7 de uma estrada faz mais cinco quilômetros e assim corre 2/3 do percurso que deve fazer. Quanto percorreu o corredor e qual o total do percurso, em quilômetros?
P 43 ) Efetuar as adições: 1º) 12,1 + 0,0039 + 1, 2º) 432,391 + 0,01 + 8 + 22,
P 44 ) Efetuar as subtrações: 1º) 6,03 - 2, 2º) 1 - 0,
P 45 ) Efetuar as multiplicações 1º) 4,31 x 0, 2º) 1,2 x 0,021 x 4
P 46 ) Calcular os seguintes quocientes aproximados por
falta. 1º) 56 por 17 a menos de 0, 2º) 3,9 por 2,5 a menos de 0, 3º) 5 por 7 a menos de 0,
P 47 ) Em uma prova de 40 questões, Luciana acertou 34. Nestas condições: Escreva a representação decimal do número de acertos; Transformar numa fração decimal; Escreva em % o número de acertos de Luciana. d) d) d) P 48 ) Calcular o valor da seguinte expressão numérica lembrando a ordem das operações: 0,5 + ( 0,05 ¸ 0,005).
P 49 ) Quando o professor pediu a Toninho que escrevesse a fração decimal que representa o número 0,081 na forma
de fração decimal, Toninho escreveu 10
; Ele acertou ou errou a resposta.
P 50 ) Dentre os números 2,3; 2,03; 2,030; 2,003 e 2,0300, quais tem o mesmo valor?
P 51 ) É correto afirmar que dividir 804 por 4 e multiplicar o resultado por 3 dá o mesmo resultado que multiplicar 804 por 0,75?
P 52 ) Um número x é dado por x = 7,344 ¸ 2,4. Calcule o valor de 4 - x.
P 53 ) Uma indústria A, vende suco de laranja em embalagem de 1,5 litro que custa R$ 7,50. Uma indústria B vende o mesmo suco em embalagem de 0,8 litro que custa R$ 5,40. Qual das duas vende o suco mais barato?
P54) Em certo dia, no final do expediente para o público, a fila única de clientes de um banco, tem um comprimento de 9 metros em média, e a distância entre duas pessoas na fila é 0,45m. Responder: a) Quantas pessoas estão na fila?
b) Se cada pessoa, leva em média 4 minutos para ser atendida, em quanto tempo serão atendidas todas as pessoas que estão na fila?
Gabarito - conjuntos numéricos P1) 1,2,3, P2) 2 P3) 2 P4) 45 P5) B P6) 7 P7) 10 P8) B P9) D P10) B P11) 16 P12) a) 4 b) 94 c) 12 d) 5 e) 357 f) 682 P13) A P14) B P15) C P16) 1941 P17) Duas voltas da menor ou três voltas da menor P18) Os ciclistas se encontraram depois de 180 segundos P19) Após 4 voltas P20) C P21) 9h; 11h; 13h; 15h; 17h P22) 11h e 20min; 11h e 40min; 18h P23) 24. P24) 72 e 48 P25) 12 metros P26) R$63,00 ; R$84,00 ; R$126, P27) 90 metros P28) R$420.000, P29) R$300, P30) 155/ P31) 2/ P32) 24 P33) 9 h P34) Cada comeu ½ e não sobrou nada P35) 35 P36) 6,6, P37) R$35.000,
P38) 3horas P39) 1º- R$60,00 , 2º- R$12,00 , 3º 4º e 5º R$16, P40) 45. P41) 105 P42) 14 quilômetros e 21 quilômetros P43) 1º) 14,0839; 2º) 462, P44) 1º) 3,0844; 2º) 0,65219; P45) 1º) 0,05172; 2º) 0,1008; P46) 1º) 3,29; 2º) 1,5; 3º) 0,714;
P47) a) 0,85 b) 100
c) 85% P48) 0, P49) Errou, a resposta é 81/ P50) 2,03; 2,030 e 2, P51) Nos dois casos é correto afirmar, pois o resultado é 603 P52) 13, P53) a indústria A P54) a) 20 pessoas b) 80 minutos.
Medidas
ângulos internos de medida igual a 90 O".
Quadrado ABCD:
vAB // CD e AD // BC vAB = BC = CD = AD v==== 90O
POLÍGONOS DIVERSOS
Além dos triângulos e quadriláteros, temos polígonos de lados maiores que 4, que é o caso do Pentágono ( 5 lados ), Hexágono ( 6 lados ), e assim sucessivamente. Observe a tabela abaixo, referente aos nomes dos polígonos:
Nomenclatura
Número de lados
(^3) Triângulo 4 Quadrilátero 5 Pentágono 6 Hexágono 7 Heptágono 8 Octógono 9 Eneágono 10 Decágono 11 Undecágono 12 Dodecágono 20 Icoságono
Exemplos:
v Pentágono
v Hexágono
Notas:
v "Polígonos Regulares"
Os polígonos são ditos regulares quando seus lados e ângulos são iguais entre si. Por exemplo, um polígono regular de três lados é triângulo eqüilátero, ou de quatro lados, o quadrado.
v Perímetro dos Polígonos
Para a obtenção do perímetro de qualquer figura plana é necessário apenas, soma os lados da figura em questão.
EXERCÍCIOS / FIGURAS PLANAS
P 1 ) Um terreno é retangular. As medidas dos seus lados são 58 m e 22,5 m. Se esse terreno precisa ser murado em todo o seu contorno, determine:
a) Quantos metros de muro devem ser construídos? b) Quantos tijolos serão usados na construção do muro, se para cada m de muro são usados 45 tijolos?
P 2 ) Um jardim é quadrado e cada um de seus lados mede 62,5m nestas condições: a) Se Manoel der 3 voltas completas em torno do jardim, quantos m ele andará? b) Se Helena andar a metade da medida do contorno desse jardim, quantos m ela andará?
P 3 ) Um jardim é retangular. O maior lado desse jardim mede 150 m e o lado menor mede 3/5 do maior. Nestas condições. a) Quanto mede o menor lado do jardim? b) Qual a medida do contorno desse jardim?
P 4 ) Raul tem 100 m de tela de arame para fazer uma cerca. Nessas condições: a) Ele poderia fazer uma cerca de 23 m de lado? b) Ele poderia fazer uma cerca retangular de 32 m de comprimento por 12 m de largura?
P 5 ) Usando um pedaço de barbante, Helena mediu o contorno de uma mesa quadrada e encontrou ao todo 8 pedaços. Se esse pedaço de barbante mede 24 polegadas, calcule: a) Quantas polegadas mede o contorno da mesa? b) Quantos cm mede o contorno dessa mesa, se uma polegada mede 2,5 cm.
P 6 ) Um hexágono regular tem 6 lados, todos com a mesma medida. Se o perímetro desse hexágono é 51 cm, quanto mede cada lado desse hexágono?
Gabarito - perímetros
P1) a) 161 m b) 7245 tijolos
P2) a) 750 m b) 125 m
P3) a) 90 m b) 480 m
P4) a) sim b) sim
P5) a) 192 polegadas b) 480 cm
P6) 8,5 cm
MEDIDAS DE SUPERFÍCIE
"Superfície é a região do plano determinada por segmentos de reta ou por linhas curvas. Medir uma superfície é compará-la com outra tomada como unidade".
Para medirmos as superfícies, utilizamos as unidades da área do sistema métrico internacional, cuja unidade básica é o metro quadrado (m 2 ) e que corresponde a um quadrado de 1 metro de lado.
Neste sistema, cada unidade de área é cem vezes maior que a unidade imediatamente inferior.
O metro quadrado foi criado para medir grandes superfícies, como por exemplo, a superfície de uma fazenda. Para medir grandes superfícies foram criadas unidades maiores que o metro quadrado, bem como, foram criadas unidades menores que o metro quadrado para medir pequenas superfícies.
Múltiplos do Metro Quadrado
Decâmetro Quadrado (dam 2 ) - que corresponde a uma área quadrada de 1 dam de lado, eqüivalendo a 100 m^2.
Hectômetro Quadrado (hm 2 ) - que corresponde a uma
área quadrada de 1 hm de lado, eqüivalendo a 10.000 m^2.
Quilômetro Quadrado (km 2 ) - que corresponde a uma
região quadrada de 1 km de lado, eqüivalendo a 1.000.000 m^2.
Submúltiplos do Metro Quadrado
Decímetro Quadrado (dm 2 ) - que corresponde a uma
região quadrada de 1 dm de lado, equivalendo a 0,01 m 2.
Centímetro Quadrado (cm 2 ) - que corresponde a uma
área quadrada de 1 cm de lado, equivalendo a 0,0001 m 2.
Milímetro Quadrado (mm 2 ) - que corresponde a uma área quadrada de 1 mm de lado, equivalendo a 0,000001 m^2
QUADRO DAS UNIDADES DAS MEDIDAS DE
SUPERFÍCIE
As unidades de superfície variam de 100 em 100, assim, qualquer unidade é sempre 100 vezes maior que a unidade imediatamente inferior e 100 vezes menor que a unidade imediatamente superior.
Mudança de UNIDADE
Para transformar a unidade de uma medida, em geral, utilizaremos a escada de unidades abaixo representada:
Por exemplo, se quisermos passar uma unidade de metros quadrados para centímetros quadrados, vamos multiplicar o número por 10.000, pois estaremos descendo dois degraus. Por outro lado, se fôssemos subir dois degraus desta escada (metros quadrados pra decâmetros quadrados por exemplo), iríamos dividir o número por 10.000. Analogamente, de acordo com a quantidade de degraus é que vamos escolher o fator múltiplo de cem.
MEDIDAS AGRÁRIAS
São medidas utilizadas na agricultura para medir campos, fazendas, etc. As unidades são o hm^2 , o dam^2 e o m^2 que recebem designações especiais. A unidade fundamental de medida é o ARE, cujo símbolo é a, eqüivale a 1 dam 2 ou seja 100 m 2. O are possui apenas um múltiplo e um submúltiplo: vO múltiplo do are é o hectare que vale 100 ares ou 1 hectômetro quadrado. Seu símbolo é ha. vO submúltiplo do are é o centiare, cujo símbolo é ca e cujo valor corresponde a 0,01 are e equivale a 1m 2.
Múltiplo hectare ha Hectômetro quadrado (^) 10.000 m 2 are a Decâmetro quadrado 100 m^2 Sub- múltiplo
centiare ca Metro quadrado (^) 1 m^2
Observação:
Existem unidades não legais que pertencem ao sistema métrico decimal.
v Alqueire Paulista = 24.200 m 2 vAlqueire Mineiro = 48.400 m 2
Exercícios Sobre Medidas Agrárias
P 1 ) Uma fazenda tem 6 há de área. Qual sua área em m 2?
P 2 ) Uma reserva florestal tem 122.800m 2 de área. Qual a área dessa reserva em ha?
P 3 ) Uma plantação de café tem uma área de 406 ha. Qual a área dessa plantação em km 2?
P 4 ) Uma gleba de terra tem uma área de 5/8 ha. 60% da área dessa gleba foi reservada para pasto. Quantos m 2 de pasto foram formados nessa gleba?
P 5 ) Roberto comprou 6 alqueires paulistas de terra, Quantos m 2 ele comprou?
P 6 ) Numa fazenda de criação de gados para engorda, foram formados 50 alqueires (mineiros) de pasto de excelente qualidade. Quantos m 2 de pasto foram formados nessa fazenda?
P 7 ) Uma plantação de cana de açúcar cobre uma extensão de 42 ha. Qual é, em m 2 , a superfície ocupada pela plantação?
Gabarito - medidas agrárias
P1) 60.000 m 2
P2) 12,28 ha
P3) 4,06 km 2
A área da Coroa Circular pode ser calculada pela diferença da área do círculo maior pela área do círculo menor.
SCC = π (R^2 − r 2 )
Observação:
"Comprimento da Circunferência"
O comprimento de uma circunferência é calculado a partir da fórmula:
C = 2.π.R
Não confunda circunferência com o círculo: para você enxergar a diferença basta você imaginar uma pizza, a sua borda será a circunferência e o todo o seu recheio será o círculo.
EXERCÍCIOS SOBRE MEDIDAS DE SUPERFÍCIE
(ÁREAS)
P 1 ) Uma parede tem 27m^2 de área. Sabendo-se que já foram
pintados 15m^2 dessa parede, quantos m 2 de parede ainda resta pintar?
P 2 ) Em um terreno de 5.000m^2 , 42% da área foi reservada ara construções, ficando o restante como área livre. Quantos metros quadrados restaram de área livre?
P 3 ) Uma parede dever ser revestida com azulejos. A parede tem 20m^2 de área e cada azulejo tem 0,04m^2 de área. Quantos azulejos devem ser comprados para revestir totalmente essa parede?
P 4 ) Uma região retangular tem 6 m de comprimento por 4 de largura, uma região quadrada tem 5m de lado. Qual das duas regiões tem a maior área?
P 5 ) Consideremos uma região retangular que tem 27m de comprimento e 8 de largura. Essa região foi dividia em duas outras regiões A e B, de forma que a área da região A corresponde a 1/3 da área da região que foi dividida. Calcule a área de cada região.
P 6 ) Uma região circular tem 5m de raio. Essa região foi dividida em duas outras, A e B, de modo que a área da região B corresponde a 40% da área da região original. Calcule a área de cada uma dessas regiões.
P 7 ) Foram confeccionadas 1.500 flâmulas triangulares. Cada flâmula tem 0,40m de base de 0,15m de altura. Quantos metros quadrados foram usados na confecção dessas flâmulas?
P 8 ) Uma peça de madeira tem a fórmula de losango. A diagonal maior mede 50cm e a diagonal menor 20cm. Qual a área desse losango?
P 9 ) Calcular a base de um paralelogramo cuja a área é de 8,8336dm 2 e a altura 1,52dm.
P 10 ) A área de um losango mede 2,565 dm 2 e uma das suas diagonais tem 2,7dm. Quanto mede a outra diagonal?
P 11 ) A base maior de um trapézio mede 2,4m e a menor é igual a
1/3 da maior. Qual é a sua área em m 2. Sabendo-se que a altura mede 8,5dm?
P 12 ) O comprimento de uma circunferência é 25,12cm. Qual é a área da circunferência?
P 13 ) A medida do raio de uma circunferência é igual a metade da medida do diâmetro dessa circunferência. Esta afirmação é falsa ou verdadeira?
P 14 ) A roda de um automóvel tem 0,6 m de diâmetro. Quando a roda desse automóvel der 5.000 voltas completas, de quantos metros será a distância percorrida pelo automóvel?
P 15 ) Uma circunferência tem 80 cm de raio. Se eu dividi-la por pontos em 4 partes de mesmo comprimento, qual será o comprimento de cada uma dessas 4 partes?
P 16 ) Determinar o valor do raio de uma circunferência cujo comprimento é 12,56 dm.
P 17 ) Cada uma das rodas, de 0,30 m de raio, de um automóvel, deu 4.500 voltas percorrendo um certo trajeto. Quantos quilômetros percorreu este automóvel?
GABARITO - MEDIDAS DE SUPERFÍCIE (ÁREAS)
P1) 12m 2
P2) 2900 m 2
P3) 500 azulejos
P4) A quadrada pois 25 m 2 > 24 m^2
P5) 144 m 2 para B e 72 m^2 para A
P6) A região A = 47,10m 2 e a região B = 31,40m 2.
P7) 45 m 2
P8) 500 cm^2
P9) 5,8116 dm
P10) 1,9 dm
P11) 1,36 m 2
P12) 50,21 cm 2
P13) Verdadeiro
P14) 9425 m
P15) 125,66 cm
P16) 2 dm de raio
P17) 8,478 km
MEDIDAS DE CAPACIDADE
" Capacidade é o volume de líquido que um sólido pode conter em seu interior".
Assim, quando dizemos que no interior de uma garrafa de água mineral cabe meio litro, estamos medindo a quantidade de líquido que a garrafa pode conter.
Como a capacidade é um volume, podemos utilizar as unidades de volume para medir os líquidos. Mas para este fim, utilizamos uma outra unidade de medida chamada litros, que se abrevia por l .O litro corresponde à capacidade de um cubo com 1 dm de aresta, ou seja, corresponde ao volume de um decímetro cúbico.
Exemplo:
O hidrômetro de uma casa registrou no mês que passou, um consumo de 25m 3 de água. Quantos litros de água foram consumidos nessa casa?
25m 3 = (25 x 1000)dm^3 = 25.000dm 3 = 25.000l
MUDANÇA DE UNIDADE
Como os múltiplos e submúltiplos do litro variam de 10 em 10, pode-se concluir que as mudanças de unidades são feitas como nas medidas de comprimento, ou seja, deslocando-se a vírgula de uma em uma casa decimal para a esquerda ou para a direita ou ainda, como foi dito, utilizando a escada de transformações representada abaixo:
Exercícios Sobre Medidas de Capacidade
P 1 ) Expressar 2l em ml.
P 2 ) Sabendo-se que 1dm^3 = 1l, expressar 250 l em cm^3_._
P 3 ) Na leitura de um hidrômetro de uma casa, verificou-se que o consumo do último mês foi de 36m 3 , quantos litros de água foram consumidos?
P 4 ) Uma indústria farmacêutica fabrica 1400 litros de uma
vacina que deve ser colocada em ampolas de 35cm 3 cada uma. Quantas ampolas serão obtidas com esta quantidade de vacina?
P 5 ) O volume interno de uma carreta de caminhão-tanque é de 85m^3_. Quantos litros de combustível essa carreta pode transportar quando totalmente cheia?_
P 6 ) Um reservatório, cujo volume é de 10m^3 , estava totalmente cheio quando deles foram retirados 2.200 l. Numa segunda vez foi retirado 1/3 da quantidade de água que restou. Nessas condições, quantos litros ainda restam no reservatório?
P 7 ) O volume máximo interno de uma ampola de injeção é de 12cm 3. Qual é a capacidade máxima em ml desta ampola?
P 8 ) Qual é a capacidade, em litros, de uma caixa d´água cujo volume interno é de 0,24m 3?
Gabarito - medidas de capacidade
P1) 2000ml
P2) 250000 cm^3
P3) 36.000 litros
P4) 40.000 ampolas
P5) 85.000l de combustível
P6) 5200 litros
VOLUME DOS SÓLIDOS
"As abelhas em virtude de uma certa intuição geométrica sabem, que o hexágono é maior que o quadrado e o triângulo e conterá mais mel com o mesmo gasto de material..."
Papus de Alexandria
As abelhas, na realidade, não fazem hexágonos em suas colméias como disse o Matemático Papus de Alexandria, elas constroem Prismas Hexagonais.
Os prismas são figuras geométricas consideradas sólidos geométricos, assim como as Pirâmides, Cilindros, Cones, Esferas.
Nesta parte de nossos estudos daremos uma atenção especial para os sólidos geométricos. Até agora, quando estudamos quadrados, triângulos; falávamos apenas das áreas ou perímetros dessas figuras, e agora poderemos calcular o volume desses sólidos.
PIRÂMIDES
Para estudarmos as Pirâmides, vamos partir de um prisma:
Observe que a pirâmide se encaixa perfeitamente dentro de um prisma (desde que suas dimensões, como a base, altura e propriedades sejam as mesmas, no nosso caso um prisma quadrangular e uma pirâmide quadrangular). Se pudéssemos completar um prisma com areia, e após completar uma pirâmide concluiríamos que com o volume de areia contido no prisma poderíamos encher três vezes
