Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro
Curso: Engenharia de Agrimensura e Cartográfica
Disciplina: Levantamentos Topográficos Planimétricos
Apostila de Exercícios de Topografia
Seropédica
2020
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Calculo de Distancias e Azimutes em Geodesia, Manuais, Projetos, Pesquisas de Geodésia e Cartografia
Documento contendo cálculos de distâncias e azimutes entre diferentes pontos usando métodos geodésicos, incluindo aplicação da lei dos senos e cálculos de erros.
Tipologia: Manuais, Projetos, Pesquisas
2019
1 / 98
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Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro
Curso: Engenharia de Agrimensura e Cartográfica
Disciplina: Levantamentos Topográficos Planimétricos
Apostila de Exercícios de Topografia
Seropédica
Sumário
- 1 - Apresentação da Apostila
- 2 - Cálculo analítico da Poligonal Fechada
- 2.1- Cálculo das Irradiações
- 3 - Cálculo analítico da Poligonal Enquadrada (Apoiada)
- 4 - Interserção à Ré (Problema de Pothenot)
2 - Cálculo analítico da Poligonal Fechada
Passo 1: Analisar os ângulos e as distâncias da caderneta de campo.
Ângulos horizontais: Caso possua apenas uma leitura para o ponto visado (PD),
basta prosseguir com os cálculos. Se possuir um par de leituras (PD e PI) para
cada ponto visado, basta determinar o ângulo horizontal através da fórmula:
Ângulo Horizontal Ré
Vértice
Vante =
(PDvante − PDré) + (PIvante − PIré)
2
Distâncias Horizontais: Para efeito de cálculo, precisamos das distâncias
horizontais, se houver mais de uma medição para tal alinhamento, basta
determinar a média das distâncias.
Passo 2: Cálculo da tolerância angular (TH).
O cálculo da tolerância angular é dado pela fórmula:
TH = 0 °00ʹ10" ∗ √𝑛
Onde:
0º00’10” = A constante adotada pela disciplina IT 104, podendo variar de acordo
com o estabelecido pelo professor.
n = Números de estações da poligonal.
Passo 3: Cálculo do Erro de Fechamento Angular (EFA).
O cálculo do erro de fechamento angular é determinado pela fórmula:
EFA = ∑ â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝑠 − 180° ∗ (𝑛 ± 2 )
Se os ângulos forem externos = (n + 2)
Se os ângulos forem internos = (n - 2)
n = Números de estações da poligonal.
Passo 4: Análise do erro de fechamento angular.
Se TH>EFA: “O erro máximo aceitável é de (valor da TH) e o erro cometido foi
de (valor do EFA), portanto, se aceita o EFA distribuindo adequadamente o erro
para que se possa prosseguir com os cálculos”.
Se TH<EFA: “O erro máximo aceitável é de (valor da TH) e o erro cometido foi
de (valor do EFA), portanto, não se aceita o EFA calculado, deve-se voltar a
campo para a realização de um novo levantamento”.
Passo 5: Correção por vértice (Cp/V).
O cálculo da correção por vértice (Cp/v) é dado pela fórmula:
Cp/V =
n = Números de estações da poligonal.
Passo 6: Correção dos ângulos horizontais.
A correção dos ângulos horizontais é dada pela seguinte fórmula:
Ângulo horizontal corrigido = Ângulo horizontal medido em campo - Cp/v
Depois de ter realizado a correção, conferir o somatório dos ângulos.
Passo 7: Transporte de Azimute.
Essa etapa possui uma fórmula “geral” que já será apresentada, porém quero
deixar ressaltado que mesmo com a fórmula você deverá analisar cada azimute
a ser calculado, pois alguns, não necessitaram do uso da fórmula de maneira
direta. E é recomendável nesses casos, que você possua um croqui da
poligonal, para que seja fácil a realização dos cálculos do transporte de azimute.
Passo 7.1: Determinando o azimute de partida.
Para o processo de transporte de azimute é necessário primeiro determinar o
azimute de partida, que geralmente é o azimute em relação a 1ª Estação e sua
orientação e com isso, você pode se deparar com duas situações:
Uma das características da poligonal fechada se dá pelo fato de iniciarmos em
um ponto (geralmente, a 1ª estação com coordenadas (E, N)) e através dos
cálculos, chegarmos às mesmas coordenadas dessa 1ª estação, por isso deve
se observar que:
∑∆E = 0
∑∆N = 0
Caso o somatório dos ∆E ou/e ∆N não seja = 0 (o que provavelmente ocorrerá)
usa-se esses valores para determinar o erro de fechamento linear.
Passo 9: Cálculo da tolerância linear (TL).
O cálculo da tolerância linear é dado pela fórmula:
TL =
𝑃𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑎 𝑃𝑜𝑙𝑖𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙
2000 = A constante adotada pela disciplina IT 104, podendo variar de acordo
com o estabelecido pelo professor.
Passo 10: Cálculo do erro de fechamento linear (EFL).
O cálculo do erro de fechamento linear é dado pela fórmula:
EFL = √(∑∆E)
2
+ (∑∆N)
2
Passo 11: Análise do erro de fechamento linear.
Se TL>EFL: “O erro máximo aceitável é de (valor da TL) e o erro cometido foi de
(valor do EFL), portanto, se aceita o EFL distribuindo adequadamente o erro nas
coordenadas relativas para que se possa prosseguir com os cálculos”.
Se TL<EFL: “O erro máximo aceitável é de (valor da TL) e o erro cometido foi de
(valor do EFL), portanto, não se aceita o EFL calculado, deve-se voltar a campo
para a realização de um novo levantamento”.
Passo 12: Calculando os fatores de correção para as coordenadas relativas
O cálculo dos fatores de correção é dado pela fórmula:
FcΔE =
∑∆E
∑
| ∆E
|
FcΔN =
∑∆N
∑|∆N|
Passo 13: Corrigindo as coordenadas relativas.
O cálculo das correções é dado pela fórmula:
∆E (Estação-Ponto visado) Corrigido = ∆E (Calculado) - |∆E (Calculado)| X Fc∆E
∆N (Estação-Ponto visado) Corrigido = ∆N (Calculado) - |∆N (Calculado)| X Fc∆N
Depois da correção, conferir se o ∑∆𝐸 e o ∑∆𝑁 estão resultando = 0, se isso
acontecer, basta prosseguir com os cálculos, caso reste um valor muito pequeno
(resíduo) compense o mesmo em alguma das coordenadas relativas calculadas,
de preferência na(s) maior(es) em valor absoluto. Caso o valor seja muito grande
(continua dando erro), provavelmente houve erro em cálculos anteriores.
Passo 14: Calculando as coordenadas absolutas (E, N).
Os cálculos das coordenadas absolutas são realizados da seguinte forma:
E (Ponto visado) = E (Estação) + ∆E (Estação-Ponto visado) Corrigido
N (Ponto visado) = N (Estação) + ∆N (Estação-Ponto visado) Corrigido
Para conferir se as contas foram validas, o cálculo das coordenadas da 1ª
estação através do passo 14 deve ser igual as coordenadas dadas no início da
questão.
(BCA) =
( 327 °17ʹ18" − 0°) + (147°17ʹ25" − 180 °00ʹ05" + 360 °)
2
Distâncias horizontais:
DHAB =
( 16 , 645 + 16 , 645 + 16 , 644 + 16 , 644 )
4
= 16,645m
DH
BC
( 18 , 472 + 18 , 471 + 18 , 480 + 18 , 484 )
4
= 18,477m
DHCA =
( 28 , 857 + 28 , 859 + 28 , 847 + 28 , 847 )
4
= 28,852m
Passo 2: Cálculo da tolerância angular (TH).
TH = 0 °00ʹ10" ∗ √ 3
TH = 0º00’17,32”
Passo 3: Cálculo do Erro de Fechamento Angular (EFA).
Como de início não dá para saber se os ângulos são internos ou externos, temos
que calcular os dois casos.
Somatório dos ângulos:
(CAB) + (ABC) + (BCA) = 323°04’55” + 249°37’43” + 327°17’19” = 899°59’57”
Supondo que os ângulos medidos foram os externos.
EFA = 899°59’57” - 180° X (3 + 2) = - 0°00’ 0 3”
Supondo que os ângulos medidos foram os internos.
EFA = 899°59’57” - 180°
X
Observa-se que o cálculo do EFA utilizando os ângulos externos deu mais
próximo de 0°, seria praticamente impossível alguém em um trabalho de campo
errar 719°59’57”, portanto, pode se concluir que os ângulos são externos.
Portanto, EFA = 899°59’57” - 180° X
Passo 4: Análise do erro de fechamento angular.
Como TH>EFA: “O erro máximo aceitável é de (0°00’ 17 ,32”) e o erro cometido
foi de (-0°00’ 0 3”), portanto, se aceita o EFA distribuindo adequadamente o erro
para que se possa prosseguir com os cálculos”.
Passo 5: Correção por vértice (Cp/V).
Cp/V =
− 0 °00ʹ03"
3
Passo 6: Correção dos ângulos horizontais.
(CAB)
Corrigido
(ABC) Corrigido = 249°37’43” - (-0°00’1”) = 249°37’44”
(BCA)
Corrigido
Conferindo o somatório:
(CAB) Corrigido + (ABC) Corrigido + (BCA) Corrigido =
323°04’56” + 249°37’44” + 327°17’20” = 900°00’00” ok
Passo 7: Transporte de Azimute.
Passo 7.1: Determinando o azimute de partida.
Nesse caso, estamos na 1ª situação onde o azimute de partida já é conhecido:
Azimute (AB) = 123°55’06”
Passo 10: Cálculo do erro de fechamento linear (EFL).
EFL = √( 0 , 014 )
2
2
= 0,014m
Passo 11: Análise do erro de fechamento linear.
Como TL>EFL: “O erro máximo aceitável é de (0,031m) e o erro cometido foi de
(0,014m), portanto, se aceita o EFL distribuindo adequadamente o erro nas
coordenadas relativas para que se possa prosseguir com os cálculos”.
Passo 12: Calculando o fato de correção para as coordenadas relativas
FcΔE =
∑∆E
∑|∆E|
FcΔE =
0 , 014
13 , 813 + 4 , 328 + 9 , 471
= 0,0005070259308m/m
FcΔN =
∑∆N
∑
| ∆N
|
FcΔN =
0 , 002
9 , 288 + 17 , 963 + 27 , 253
= 0,00003669 455453 m/m
Passo 13: Corrigindo as coordenadas relativas.
∆E
(Estação-Ponto visado) Corrigido
= ∆E
(Calculado)
- |∆E
(Calculado)
X
Fc∆E
∆N
(Estação-Ponto visado) Corrigido
= ∆N
(Calculado)
- |∆N
(Calculado)
X
Fc∆N
∆E (AB) Corrigido = 13,813 - |13,813| X 0 , 0005070259308 = 13,806m
∆N (AB) Corrigido = - 9,288 - |-9,288| X 0,00003669455453 = - 9,288m
∆E (BC) Corrigido = - 4,328 - |-4,328| X 0 , 0005070259308 = - 4,330m
∆N (BC) Corrigido = - 17,963 - |-17,963| X 0,00003669455453 = - 17,964m
∆E
(CA) Corrigido
X
0 , 0005070259308 = - 9,476m
∆N
(CA) Corrigido
X
0,00003669455453 = 27,252m
Depois da correção, conferir o ∑∆𝐸 e ∑∆𝑁
∑∆E = 13,806 + (-4,330) + (-9,476) = 0 ok
∑∆N = (-9,288) + (-17,964) + 27,252 = 0 ok
Passo 14: Calculando as coordenadas absolutas (E, N).
E (Ponto visado) = E (Estação) + ∆E (Estação-Ponto visado) Corrigido
N (Ponto visado) = N (Estação) + ∆N (Estação-Ponto visado) Corrigido
E
(B)
= 500 + 13,806 = 513,806m
N
(B)
= 1000 + (-9,288) = 990,712m
E
(C)
= 513,806 + (-4,330) = 509,476m
N
(C)
= 990,712 + (-17,964) = 972,748m
Para conferir se as contas foram validas, o cálculo das coordenadas da 1ª
estação através do passo 14 deve ser igual às coordenadas dadas no início da
questão.
E
(A)
= 509,476 + (-9,476) = 500,000m ok
N
(A)
= 972,748 + (27.252) = 1000,000m ok
Observações:
1 - A poligonal em questão teve sua orientação fora do percurso do
caminhamento, ou seja, da estação A foi viasado o ponto P e o mesmo não
se situa dentro da poligonal. Porém os calculos se darão de forma bem similar
ao exercício 1.
2 - Atente-se que devemos começar os cálculos do vértice A, pois é a partir dele
que temos a informação das coordenadas absolutas e também foi a partir
dessa estação que foi visado o ponto de orientação.
3 - As distâncias grifadas de vermelho e marcadas por um * são distâncias
inclinadas e deverão ser convertidas em distâncias horizontais.
4 - No enunciado da prova é solicitado apenas o cálculo das coordenadas
absolutas do ponto 2, porém, para efeito da prática desse tipo de exercício,
irémos calcular as coordenadas absolutas do ponto 1 também.
Aplicando os passos listados anteriormente:
Passo 1: Analisar os ângulos e as distâncias da caderneta de campo.
Ângulos horizontais:
(EAB) =
( 273 °14ʹ50" − 154 °47ʹ05") + (93°14ʹ46" − 334 °47ʹ07" + 360 °)
2
(ABC) =
( 196 °34ʹ44" − 113 °55ʹ40") + (16°34ʹ40" − 293 °55ʹ36" + 360 °)
2
(BCD) =
( 277 °19ʹ18" − 154 °47ʹ05") + (97°19ʹ14" − 334 °47ʹ07" + 360 °)
2
(CDE) =
( 125 °54ʹ23" − 18 °10ʹ15") + (305°54ʹ19" − 198 °10ʹ15")
2
(DEA) =
( 309 °28ʹ15" − 200 °51ʹ25") + (129°28ʹ11" − 20 °51ʹ25")
2
Distâncias horizontais:
DH
AB
( 294 , 593 + 294 , 623 )
2
= 294,608m
DHBC =
( 391 , 223 + 391 , 263 )
2
= 391,243m
DH
CD
( 226 , 100 + 226 , 120 )
2
= 226 , 110 m
DHDE =
( 280 , 579 + 280 , 611 )
2
= 280 , 595 m
DHEA =
( 317 , 109 + 317 , 149 )
2
= 317 , 129 m
Passo 2: Cálculo da tolerância angular (TH).
TH = 0 °00ʹ10" ∗
TH = 0º00’ 22 , 36 ”
Passo 3: Cálculo do Erro de Fechamento Angular (EFA).
Como de início não dá para saber se os ângulos são internos ou externos, temos
que calcular os dois casos.
Somatório dos ângulos:
(EAB) + (ABC) + (BCD) + (CDE) + (DEA) =
Supondo que os ângulos medidos foram os externos.
EFA = 539°59’50” - 180° X ( 5 + 2) = - 72 0°00’ 10 ”
Passo 7: Transporte de Azimute.
Passo 7.1: Determinando o azimute de partida.
Nesse caso estamos na 2ª situação onde o azimute de partida terá que ser
calculado pela fórmula:
Az (Estação-Orientação)
= Rumo (Que vai depender da análise do quadrante)
= 𝑎𝑟𝑐𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 [
∆𝐸
∆𝑁
]
Rumo (AP)
= 𝑎𝑟𝑐𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 [
∆𝐸
∆𝑁
]
Rumo (AP) = 𝑎𝑟𝑐𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 [
630158 , 226 − 630237 , 869
7486148 , 970 − 7485999 , 349
]
Rumo (AP) = 𝑎𝑟𝑐𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 [
− 79 , 643
149 , 621
]
Rumo (AP) = 𝑎𝑟𝑐𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒
[
]
Rumo (AP) = 28º01’35” NW
Azimute (AP) = 360º - 28º01’35” = 331º58’25”
Passo 7.2: Transportando o azimute de partida.
Az (Estação-Ponto visado) = Az (Orientação-Estação) + 180º + Ângulo (Orientação-Estação-Ponto visado)
Azimute (AB) = Azimute (AP) + Ângulo horizontal (PAB) - 360º
Porém ainda não calculamos esse ângulo horizontal (PAB)
(PAB) =
( 273 °14ʹ50" − 42 °17ʹ27") + (93°14ʹ46" − 222 °17ʹ27" + 360 °)
2
Azimute (AB)
Azimute (BC) = 202º55’46” + 180° + 8 2° 39 ’ 06 ” - 360º = 105 º 34 ’ 52 ”
Azimute (CD)
Azimute (DE) = 48 º 07 ’ 04 ” + 180° + 107 ° 44 ’ 08 ” = 3 35 º5 1 ’1 2 ”
Azimute (EA)
Azimute (AB) transportado = 264 º 28 ’ 02 ” + 180° + 118 ° 27 ’ 44 ” - 360 ° = 202 º55’ 46 ”
Azimute (AB)
= Azimute (AB) transportado
ok
Passo 8: Cálculo das coordenadas relativas (∆𝐸 𝑒 ∆𝑁).
∆E
(Estação-Ponto visado)
= sen(Azimute (Estação-Ponto visado)
) X DH
(Estação
- Ponto visado)
∆N
(Estação-Ponto visado)
= cos(Azimute (Estação-Ponto visado)
) X DH
(Estação
- Ponto visado)
∆E (AB) = seno(202º55’46”) x 294,608 = - 114,778m
∆N
(AB)
= cosseno(202º55’46”) x 294,608 = - 271,330m
∆E
(BC)
= seno(105º34’52”) x 391,243 = 376,865m
∆N (BC) = cosseno(105º34’52”) x 391,243 = - 105,089m
∆E (CD) = seno(48º07’04”) x 226,110 = 168,343m
∆N
(CD)
= cosseno(48º07’04”) x 226,110 = 150,951m
∆E
(DE)
= seno(335º51’12”) x 280,595 = - 114,784m
∆N (DE) = cosseno(335º51’12”) x 280,595 = 256,043m
∆E
(EA)
= seno(264º28’02”) x 317,129 = - 315,651m
∆N (EA) = cosseno(264º28’02”) x 317,129 = - 30,576m
∑∆E = (-114,778) + 376,865 + 168,343 + (-114,784) + (-315,651) = - 0,005m
∑∆N = (-271,330) + (-105,089) + 150,951 + 256,043 + (-30,576) = - 0,00 1 m