Apostila Elementos da Geodésia, Notas de estudo de Agronomia

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DEPARTAMENTO DE GEOFÍSICA

INSTITUTO DE ASTRONOMIA, GEOFÍSICA E CIÊNCIA ATMOSFÉRICAS

UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO

ELEMENTOS DE GEODÉSIA

NELSI COGÔ DE SÁ

SUMÁRIO

1. ESBOÇO HISTÓRICO

A curiosidade do homem primitivo levou-o a se interessar pelo planeta em que vivia. Fenômenos que observava em torno de si, com temor ou medo, originaram várias superstições, ritos e cultos. Essa observações motivaram-no a uma melhor compreensão dos eventos e delas resultaram diversas culturas e civilizações, que por sua vez adquiriram profundidade admirável na compreensão de fenômenos naturais , esta deixada na forma de monumentos, templos e cidades. Esses fenômenos naturais estão freqüentemente relacionados com a forma, as dimensões, o campo de gravidade da terra e suas variações temporais e, para entendê-los eram evocados alguns conhecimentos geodésicos.

Durante muitos séculos , os únicos meios disponíveis para o estudo da geometria da Terra foram observações ao Sol, à Lua, às estrelas e aos planetas, ou seja, observações astronômicas. Assim, as primeiras descobertas geodésicas basearam-se em conhecimentos astronômicos. Embora haja poucos registros históricos sobre as realizações geodésicas das civilizações antigas atualmente, há várias indicações de que elas realizaram observações muito precisas dos movimentos básicos da Terra.

1.1 AS PRIMEIRAS IDÉIAS SOBRE A FORMA DA TERRA

A história da geodésia começa realmente pelos primeiros relatos documentados na era grega. Naquela época a Geodésia era uma ciência que desafiava os intelectuais, fazendo com que alguns dos maiores nomes da história dedicassem a ela parte das suas energias.

As primeiras idéias sobre a forma da Terra surgiram na época de Tales de Mileto” (625 – 547 a.C.), reconhecido como o fundador da trigonometria. Para ele a Terra tinha a forma de um disco e flutuava num oceano infinito. Já para seu contemporâneo, Anaximander de Mileto (611 – 545 a.C.) a terra tinha o formato de um cilindro orientado na direção este- oeste. Este foi o primeiro a utilizar o conceito de Esfera Celeste, idéia que

atravessou os séculos e ainda hoje utilizada em Astronomia de Posição. Anaximenes (601 – 532 a.C.), discípulo de Anaximander discordava de tales dizendo que a terra flutuava num oceano finito, mantido no espaço por ar comprido.

A ERA DA FORMA ESFÉRICA

A escola de Pitágoras (580 – 500 a.C.) foi a primeira a acreditar na esfericidade da terra, idéia que prevaleceu por dois milênios e meio. As primeiras alusões sobre a atração gravitacional provavelmente são de Aristóteles (384 – 322 a.C.), que também apresentou os primeiros argumentos plausíveis da esfericidade terrestre, que são:

™ Contorno circular da sombra da Terra projetada durante os eclipses lunares.

™ Diferença de horário na observação do mesmo eclipse entre observadores em dois meridianos diferentes.

™ Variação do aspecto do céu estrelado com a latitude.

Com a aceitação da esfericidade terrestre, surgiram as coordenas esféricas, usadas pela primeira vez por Dicaerchus (353 – 285 a.C.) no final do século III numa compilação atualizada do mapa-múndi que continha informações sobre o sul da Ásia conquistada por uma expedição militar de Alexandre Magnus. Os progressos em Astronomia nessa época estavam relacionados aos trabalhos de Aristarco (310 – 250 a.C.) sobre a determinação das distâncias e dimensões da Lua e do Sol. Cerca de meio século mais tarde, Eratóstenes (276 – 194 a.C.), considerado o precursor da Geodésia, realizou o primeiro trabalho realmente científico na determinação das dimensões da Terra. O método utilizado por Eratóstenes, exemplificado na figura 1.1, consistiu em medir o arco de meridiano “s” por observações geométricas e medir o ângulo “α” nas extremidades desse arco através de observações astronômicas. O cálculo do raio “R” terrestre a partir desses dados é obtido através de relações fundamentais da Geometria.

medida ou resultou da agrimensura realizada no Vale do Nilo. A distância zenital do Sol em Alexandria foi obtida por Eratóstenes com o auxílio de um gnômon e representa 1/50 da circunferência. Admitindo-se para a estádia o comprimento de 157,5m, como lhe atribuem alguns autores (Fischer, 1975), obtêm-se para o comprimento da circunferência 39.375.000m e para o raio 6.266.726m. Considerando que Alexandria e Siena não estão no mesmo meridiano, que o sol naquela época não poderia iluminar exatamente o fundo de um poço na direção vertical em Siena e que o comprimento do arco foi medido por processos rudimentares, é surpreendente que o valor encontrado por Eratóstenes para o comprimento da circunferência seja muito próximo do que se conhece atualmente. O mérito de Eratóstenes está sobretudo na metodologia utilizada, combinando observações astronômicas e geométricas para medir o raio terrestre. Hoje em dia os geodesistas continuam utilizando o princípio idealizado por Eratóstenes, obviamente com instrumentos modernos para as medições de ângulos e distâncias, no posicionamento de alta precisão através da triangulação geodésica.

A triangulação foi utilizada pela primeira vez pelo astrônomo dinamarquês Tycho Brhae (1546 – 1601) para estabelecer a ligação geodésica entre a ilha de Vem e as principais ilhas da Dinamarca. Como método de posicionamento, entretanto, a triangulação foi desenvolvida por Snélius (1591 – 1626), que também a usou na determinação do raio terrestre. Snélius desenvolveu uma cadeia formada por 33 triângulos com a qual obteve o comprimento de 9.660km para o comprimento de meridiano de um quadrante. Em 1660, surgiu a Academia de Ciências de Paris, tendo como um de seu objetivos principais a determinação do raio terrestre. A tarefa foi confiada a Picard (1620 – 1682) que, com base na triangulação desenvolvida entre paris e Amiens, utilizando pela primeira vez lunetas munidas de retículos, encontrou 10.009km para o comprimento de meridiano num quadrante. Este é o primeiro resultado realmente comparável com as medidas atuais tanto pela metodologia quanto pela precisão.

A ERA DA FORMA ELIPSOIDAL

O período decorrido entre Eratóstenes e Picard constitui a era esférica da geodésia, pois a Terra era considerada uma esfera e a determinação de suas dimensões consistia na determinação do raio a partir das observações.

A nova era se iniciou com as investigações teóricas de Newton (

• 1727. e de seu contemporâneo Huygens (1629 – 1695) sobre a forma de equilíbrio hidrostático de um fluído em rotação. Ambos estavam convictos do achatamento polar da terra devido a sua rotação. Um dos argumentos experimentais de Newton, em favor de suas conclusões teóricas, foi o aumento do período nos relógios pendulares com o decréscimo da latitude, observado por Richter (1630 – 1696) e outros astrônomos na época. O achatamento polar, preconizado na teoria por Newtow, estava em contradição com os trabalhos de Cassini (1625 – 1712) na medição de um arco de meridiano, que indicavam alongamento polar. Nesse trabalho Cassini prosseguiu com a triangulação de picar ao norte, até Dunquerque, e ao sul, até os Pirineus. Os resultados mostravam que o comprimento de um arco de meridiano decrescia junto com o aumento da latitude, o que indicava uma Terra alongada nos pólos. A contradição entre a teoria de Newton e as conclusões de Cassini originou a histórica polêmica entre as escolas que se formaram na Europa: os adeptos de uma Terra achatada e os adeptos de uma Terra alongada, vide figura 1.2. Para esclarecer essa contradição a Academia patrocinou a medição de dois arcos de meridianos: um próximo do equador, outro próximo ao ártico.

elipsoidal. Inicialmente, surgiu a noção de superfícies equipotenciais e nos trabalhos de Clairaut e Laplace, depois surgiu a superfície equipotencial de nível zero (origem das altitudes) denominada superfície geoidal, proposta por Listing (1872). Os fundamentos teóricos para a apresentação do geóide foram desenvolvidos por Stokes (1819 – 1903) no seu famoso trabalho “On the Variation of Gravity and the Surface of the Earth”, no qual apresenta a fórmula para o cálculo da alturas geoidais a partir de anomalias gravimétricas, figura 1.3.

Figura 1.

O trabalho de Bruns (1878) denominado “The Earth’s Figure” representa o primeiro esforço direcionado na integração de medidas geodésicas visando o posicionamento e a representação do campo de gravidade. Nessa época, Helmert (1843 - 1917) ocupava-se com a representação formal dos fundamentos matemáticos e físicos da Geodésia publicadas em seu livro “Mathematical and Physical Theory of Geodesy”. Em 1927, Vening Meinesz publicou as fórmulas para o cálculo das componentes

do desvio vertical a partir de anomalias gravimétricas. Em 1945, surgiu o trabalho notável do geodesista soviético Molodenskii denominado “Basic Problems of Geodetic Gravimetry”, estabelecendo um novo meio de referência denominado quase-geóide.

Com o advento da era espacial em 1957 a geodésia passou a explorar as observações resultantes do rastreio de satélites artificiais colocados em órbita da Terra tanto para o posicionamento quanto para o representação do campo de gravidade. A Geodésia por satélite, originada nessa época, pode ser dividida em três fases:

1. Desenvolvimento dos métodos Básicos: caracterizou-se basicamente pelo rastreio ótico dos satélite e observação de direções através de câmaras fotográficas. Os resultados principais obtidos nessa fase foram a determinação dos coeficientes de baixo grau do geopotencial e os modelos terrestres obtidos pelo Smithsonian Astrophysical Observatory (SAO SE I e SAO SE II), e pelo Goddard Space Flight Center da NASA (Goddard Earth Models GEM). A Única rede global puramente geométrica foi implantada a partir de observações do satélite PAGEOS com câmara BC4.

2. Fase dos Projetos Científicos (1970 – 1980): várias técnicas de observação foram desenvolvidas e refinadas, particularmente no rastreio de satélites através de raio laser e na altimetria por satélite. O sistema TRANSIT foi utlizado no posicionamento por geodesistas explorando o efeito Doppler. Essa fase melhorou o posicionamento e proporcionou novos modelos terrestres (GEM10 e GRIM) mais precisos que os da fase anterior. A precisão das observações nessa fase possibilitaram a monitoração para estudos geodinâmica (rotação da Terra, movimentos dos pólos, deformação crustal). O posicionamento através do rastreio de satélites explorando o efeito Doppler foi intensamente utlizado em todo o mundo para a implantação e manutenção de redes geodésicas.

3. Fase Operacional (1980 em diante): as técnicas de posicionamento por satélite tornaram-se operacionais em Geodésia, Geodinâmica e nas aplicações rotineiras como levantamento de apoio básico

2. INTRODUÇÃO

Na segunda metade do século XX, a definição de geodésia passou por três alterações que refletem a evolução científica e tecnológica do mundo moderno. Até a década de 1950, ela manteve-se na terminologia de Helmert (1880), que definiu a Geodésia como a ciência que estuda a forma e as dimensões da Terra. Mas, com o advento da era espacial, que se iniciou com o lançamento do primeiro satélite artificial em 1957, proporcionando informações globais do campo de gravidade até então desconhecidas dos geodesistas, marcou uma nova fase da Geodésia que inclui na sua definição o estudo do campo de gravidade. Assim, na década de sessenta a Geodésia passou a ser definida como a ciência que estuda a forma, as dimensões e o campo de gravidade da Terra. Mas essa definição ainda não mensurava as variações temporais do posicionamento e do campo de gravidade que a instrumentação moderna podia detectar e a metodologia geodésica poderia estudar a partir da década de 1970. Isso levou os geodesistas a uma nova modificação na qual a Geodésia recebeu a definição atual:

Geodésia é a ciência que estuda a forma, as dimensões, o campo de gravidade da Terra e sua variações temporais.

Tal como ocorre com outras ciências, a geodésia tem algumas subdivisões. A Geodésia clássica, por exemplo pode, pode ser dividida em: Geodésia geométrica, Geodésia física, Geodésia matemática e geodésia dinâmica. Mas , nos últimos tempos, surgiram novas aplicações e novas metodologias,, originando várias especificações de Geodésias como, por exemplo, Geodésia Satélite, Geodésia inercial, Geodésia marinha, Geodésia espacial e até mesmo geodésia vertical e Geodésia horizontal. Ainda que algumas designações pareçam razoáveis, a especificidade excessiva pode tornar-se inconveniente. Poderíamos chamar, por exemplo, o levantamento geodésico feito com teodolito de Geodésia teodolito? Por outro lado, se aceitar- mos a denominação Geodésia vertical, por que não a Geodésia oblíqua? Nessa

diversidade de Geodésias, não é surpreendente que muito usuários e até mesmo geodesistas estejam perdidos e confusos.

Para alguns geodesistas (Vanícek & Krakiwsky, 1986), a síndrome de tantas Geodésias tem reflexos na falta de interesse pela própria ciência. Além disso, não se pode negar que são os geodesistas os maiores responsáveis por este estado de confusão conceitual. Seja como for, o fato é que em algumas partes do mundo a Geodésia está sendo mistificada, enquanto que em outras partes ela vem sendo considerada irrelevante. Nenhum destes extremos é salutar para uma ciência.

A solução para esses problemas pode ser alcançada atribuindo-se à Geodésia as suas funções primordiais. Isso pode ser feito ao mesmo tempo através de uma definição de Geodésia que seja ao mesmo tempo geral e concisa. Essa idéia (Vanícek & Krakiwsky, 1986) conduz a uma subdivisão em três disciplinas fundamentais, contidas na própria definição de Geodésia:

™ O posicionamento;

™ O campo de gravidade;

™ As variações temporais de ambos.

Com essa divisão conceitual da Geodésia evita-se o aparecimento de subdivisões artificiais inúteis no contexto primordial da Geodésia como ciência.

O posicionamento de pontos na superfície terrestre constitui o objetivo principal da Geodésia, tal como a entende uma grande parte da comunidade. Os pontos podem ser posicionados individualmente ou como parte de redes constituídas por grandes quantidades de pontos. Estas alternativas conduzem ao posicionamento absoluto (onde a posição é definida a partir de um sistema de coordenadas) ou ao posicionamento relativo (onde a posição é definida a partir de outros pontos da rede). Mas, o posicionamento pressupõe o conhecimento da geometria do campo de gravidade para a redução das observações geodésicas, obtidas na superfície física da Terra (espaço físico),

PROJETOS DE ENGENHARIA

A construção de grandes estruturas tais como barragens, pontes e fábricas envolvem o assentamento de componentes estruturais em locais pré- determinados. Para isso, são utilizadas as coordenadas vinculadas a pontos de controle. Muitas vezes são necessários estudos do movimento do solo e do nível da água antes e durante os trabalhos. A construção de barragens, túneis de água, projetos, entre outros envolve o conhecimento da forma das superfícies equipotenciais do campo de gravidade. A monitoração de estruturas e a determinação de superfícies são também trabalhos geodésicos.

ADMINISTRACÃO URBANA

Nas áreas urbanas, as obras realizadas pelo homem tais como serviços de utilidade pública devem ser definidos e documentados através de pontos de controle para futuras referências.

DEMARCACÃO DE FRONTEIRAS

A definição de fronteiras internacionais e nacionais é realizada através do posicionamento geodésico. Atualmente, tornou-se importante a rapidez e a precisão com que esses trabalhos são realizados nas demarcações de áreas para arrendamento mesmo nas regiões remotas e inóspitas como, por exemplo: na Região Ártica, no Mar do Norte e selvas continentais. O posicionamento e a demarcação dessas fronteiras são mais econômicas através das redes de pontos, que constituem redes geodésicas

ECOLOGIA

Nas últimas décadas, vem sendo reconhecida a necessidade de estudos sobre os efeitos da ação do homem no meio em que vivemos. Um desses

efeitos é a movimentação do solo causada pela remoção de recursos minerais (água, óleo, minério) ou depósitos subterrâneos de lixo. A monitoração desses movimentos de matéria também é uma aplicação geodésica importante.

ADMINISTRAÇÃO AMBIENTAL

A implantação de bancos de dados ambientais, visando um sistema integrado de informações para transporte, uso da Terra, serviços comunitários e sociais, cobranças de impostos, estatística populacional, entre outros, devem ter suas posições vinculadas a redes geodésicas.

GEOGRAFIA

Todas as informações posicionais usadas em Geografia são fornecidas pela Geodésia. Ainda que não seja necessário a alta precisão nas informações geométricas e posicionais, elas têm escalas global e por isso são fornecidas pela Geodésia.

2.2 RELACÃO DA GEODÉSIA COM OUTRAS CIÊNCIAS

As aplicações geodésicas atualmente transcendem o posicionamento de pontos para o apoio cartográfico e diversificam-se através de novas metodologias. A Geodésia se entrelaça com outras ciências na troca recíproca de informações. Por exemplo:

GEOFÍSICA

Historicamente, é a ciência que tem maior afinidade com a Geodésia. Em muitos temas, não há uma linha divisória perfeitamente nítida que separa uma da outra. Os estudos geofísicos relacionados com a deformação terrestre

ASTRONOMIA

É a ciência com a qual a Geodésia interage desde o seu nascimento. Ainda que a independência tenha diminuído nos últimos tempos ,a Astronomia de posição ainda é uma aliada importante da Geodésia. No futuro certamente haverá maior interação através da Radio-Astronomia e da monitoração da rotação da Terra.

OCEONOGRAFIA

É outra ciência com a qual a Geodésia compartilha interesses. Ambas estando envolvidas com o movimento da linha costeira. A Geodésia fornece aos oceanógrafos a altitude relativa nos marégrafos e seus movimentos verticais, o posicionamento de objetos marinhos incluindo navios e blocos de gelo. Entre os dados oceanográficos de interesse geodésico estão a dinâmica da superfície oceânica, as variações do nível médio do mar em relação à equipotencial do campo de gravidade, necessária na definição do DATUM vertical.

GEOLOGIA

O mapeamento geológico envolve tanto o apoio horizontal como o vertical, fornecidos pela geodésia. Entre as informações de interesse para os geodesistas, fornecidas pela Geologia, estão a morfologia e a estabilidade locais de diferentes formações geológicas. A estabilidade é um requisito imprescindível tanto na monumentacão do apoio geodésico básico para o mapeamento como na instalação de observatórios.

3. CONCEITOS E DEFINICÕES

A Geodésia tem como objetivos principais o posicionamento de pontos e a representação do campo de gravidade da Terra, incluindo as suas variações temporais. A complexidade da geometria e da distribuição da massa terrestre conduzem a utilização de dois modelos: o elipsoidal e o geoidal, vide figura 3.1.

Figura 3.

Isto significa que a determinação das coordenadas de pontos na superfície terrestre e a descrição do campo de gravidade externo envolvem três superfícies: a superfície física da Terra, a superfície geoidal e a superfície elipsoidal, exemplificadas na figura 3.2.