apostila de geodésia, Notas de estudo de Agronomia

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ

GEODÉSIA

MARIA APARECIDA ZEHNPFENNIG ZANETTI

CURITIBA

i

1. FUNDAMENTOS DE GEODÉSIA: INTRODUÇÃO

O que é Geodésia? Muito simplificadamente Geodésia é o estudo da forma e dimensões da Terra. Observando-se fotos da Terra tiradas do espaço, a Terra parece redonda (esférica), como mostra a figura 1.1.

Figura 1.1- A Terra vista do espaço

Fonte: http://www.fourmilab.ch/cgi-bin/uncgi/Earth?imgsize=1024&opt=

Então, o que estudar? A forma da Terra é aproximadamente esférica. E por não ser perfeitamente esférica, é necessário conhecê-la exatamente para construir mapas acurados. E para que são necessários mapas? Existe um velho ditado que diz: “Você não pode contar onde você está indo se você não souber onde você está”. Os mapas são como fotos.

Quem nunca ouviu a frase: “Uma figura vale por mil palavras”? Pois um bom mapa pode ajudar na compreensão de uma série de informações. Por exemplo, quando se convida um amigo pela primeira vez para ir a sua casa, pode-se explicar como se chega descrevendo o caminho, quais as ruas que a serem utilizadas, pontos de referência importantes, como praças, supermercados, etc, ou se faz um croqui indicando o caminho. Toda informação georreferenciada é indispensável no planejamento e execução de projetos nos setores público e privado. Georreferenciada significa que todas as informações representadas que dizem respeito à Terra (geo) estão atreladas a um sistema coordenado (referenciado) que sirva como referência para diferentes informações garantindo a concordância de suas posições. Define-se sistema coordenado no espaço (bi ou tridimensional) como uma relação de regras que especifica univocamente a posição de cada ponto neste espaço através de um conjunto ordenado de números reais denominados coordenadas. A fim de construir mapas detalhados e melhores são necessários os sistemas de referência espacial. E para se ter um bom sistema de referência espacial é necessário conhecer a forma da Terra.

1.1 GEODÉSIA: DEFINIÇÃO, OBJETIVOS, O PROBLEMA BÁSICO DA GEODÉSIA

De acordo com a definição clássica de Friedrich Robert Helmert (1880) Geodésia é a ciência de medida e mapeamento da superfície da Terra. A superfície da Terra é formada pelo seu campo da gravidade e a maioria das observações geodésicas está a ele referida. Conseqüentemente, a definição de Geodésia inclui a determinação do campo da gravidade da Terra. Mais modernamente, o objetivo original da Geodésia se expandiu e inclui aplicações no oceano e no espaço. Por exemplo, em colaboração com outras ciências, agora compreende a determinação do fundo oceânico e da superfície e campo da gravidade de outros corpos celestes, como a Lua (Geodésia lunar) e planetas (Geodésia planetária). Finalmente, na definição clássica deve-se incluir ainda “variações temporais da superfície da Terra e seu campo da gravidade”. Para atingir seus objetivos a Geodésia utiliza operações de diferentes tipos, de onde surgiu a divisão:

foi enclausurado em uma prisão em Atenas. Também Aristarco, o “Copérnico da antiguidade”, ao sugerir que a Terra girava em torno do Sol, foi acusado de sacrilégio por “perturbar o descanso dos deuses”. Pitágoras, Tales e Aristóteles reprovavam as idéias de uma Terra chata e defendiam sua esfericidade. Pitágoras acreditava que a Terra girava em torno do Sol, teoria categoricamente combatida por Aristóteles. Como Aristóteles era considerado um mestre infalível, pela sua genialidade e importantes contribuições, suas doutrinas não foram contestadas durante séculos, o que constituiu uma barreira a qualquer conceito contraditório. Aristóteles no século IV AC. apresentou os seguintes argumentos para provar a teoria sobre a esfericidade da Terra:

• o contorno circular da sombra projetada pela Terra nos eclipses da Lua;
• a variação do aspecto do céu estrelado com a latitude;
• a diferença de horário na observação de um mesmo eclipse para observadores situados em meridianos diferentes.

Eratóstenes (276 – 175 A.C.) foi o primeiro a determinar as dimensões do planeta, suposto esférico (figura 1.3). Observou que em Syene (atual Assuan, na margem direita do Nilo) no solstício de verão, o Sol cruzava o meridiano no zênite e concluiu que sua localização era o trópico de Câncer, pois no “dia solsticial de verão o Sol iluminava o fundo de um poço”. Em Alexandria, também no solstício de verão, determinou que a distância zenital da passagem meridiana do Sol era de 1/50 da circunferência, ou seja, 7º 12’. Admitindo, que as duas cidades situavam-se sobre o mesmo meridiano e conhecendo a distância entre elas, obteve para o raio terrestre 6.285,825 km e para a circunferência equatorial 39.375,0 km.

Figura 1.3 – Primeira determinação do raio da Terra

Fonte: National Geographic Picture “Atlas of the World” National Geographic Society

Cerca de um século e meio mais tarde, Posidônio utilizou o método de Eratóstenes, observando a estrela Canopus, ao invés do Sol, nas cidades de Rodes e Alexandria e chegou ao valor de 37.800,0 km para a circunferência equatorial. Cláudio Ptolomeu (100-178 DC) viveu no Egito e foi o autor do sistema geocêntrico que atravessou intacto 14 séculos até ser desmentido por Copérnico. Concluiu pela esfericidade da Terra apresentando entre outros argumentos que o nascer e ocultar do Sol, Lua e estrelas não se dão ao mesmo tempo para todos os observadores e que “quanto mais se avança em direção ao norte, mais estrelas do hemisfério sul se tornam invisíveis”. Em 1619, na França, Picard, após introduzir várias melhorias no instrumental de mensuração angular, utilizando pela primeira vez uma luneta com retículos, estabeleceu uma rede de triangulação e mediu o arco de meridiano, de Paris a Amiens, em função do qual calculou o raio da Terra. Obteve o valor de 6.372,0 km. Newton utilizou o resultado obtido por Picard, na sua teoria da gravitação universal. Newton, nos seus estudos sobre a gravitação, percebeu que a Terra não era perfeitamente esférica, mas achatada nos pólos, devendo a força da gravidade decrescer dos pólos para o equador. Essas suposições teóricas, foram confirmadas pelas experiências de Richter sobre observações pendulares em Paris e Cayena, nas quais revelou o aumento do período do pêndulo com a diminuição da latitude. O polonês Copérnico destruiu o mito da imobilidade da Terra, que remontava a Aristóteles, conferindo-lhe além do movimento de rotação o movimento de translação em torno do Sol. Cassini, prosseguiu as triangulações iniciadas por Picard e concluiu que um arco de meridiano diminuía com o aumento da latitude, o que, se fosse verdadeiro, provaria que a Terra seria alongada segundo o eixo de rotação. Assim, surgiu uma controvérsia, segundo Cassini a Terra seria alongada segundo o eixo de rotação e segundo Newton a Terra seria achatada (figura 1.4).

Figura 1.5 - Forma da Terra

Em uma primeira aproximação, as irregularidades da superfície terrestre podem ser negligenciadas, reduzindo-se o problema à determinação das dimensões do modelo geométrico mais adequado. Devido a essas irregularidades da superfície terrestre, adotam-se modelos ou superfícies de referência, mais simples, regulares e com características geométricas conhecidas que permitam a realização de reduções e sirvam de base para cálculos e representações. As superfícies de referência utilizadas em levantamentos são o plano topográfico, o elipsóide de revolução, a esfera e o Geóide.

1.2.1 Plano Topográfico

Em Topografia adota-se a hipótese simplificada do plano topográfico (figura 1.6) como superfície de referência, caso em que não se considera a influência de erros sistemáticos devidos à curvatura da Terra e ao desvio da vertical. Face aos erros decorrentes destas simplificações, este plano tem suas dimensões limitadas. A NBR 14166, Rede de Referência Cadastral Municipal – Procedimento (ABNT, 1998, p.7) define plano topográfico por “superfície definida pelas tangentes, no ponto origem do Sistema Topográfico, ao meridiano deste ponto e à geodésica normal a este meridiano.” De acordo esta NBR , o plano topográfico deve ter a área máxima de 100 km x 100 km.

Figura 1.6 – Plano Topográfico

1.2.2 Elipsóide de Revolução

O elipsóide de revolução foi proposto como figura geométrica da Terra (TORGE, 2001, p. 8) por Isaac Newton (1643-1727), e é a figura gerada pela rotação de uma elipse sobre um de seus eixos (eixo de revolução); se este eixo for o menor tem-se um elipsóide achatado. Um elipsóide de revolução fica perfeitamente definido por meio de dois parâmetros, o semi-eixo maior a e o semi-eixo menor b (figura 1.7). Em Geodésia, o elipsóide de revolução é tradicionalmente definido através dos parâmetros semi-eixo maior a e achatamento f.

Figura 1.7 – Elipsóide de Revolução

W E

N

Q Q’

W S

E

N

P (^) S

P (^) N

S

50 km

50 km

a

b equador

PN

PS

'

2 ' 2 e e f e e = (^) + (1.9)

Seja um sistema de coordenadas cartesianas tridimensionais dextrógiro cuja origem coincide com o centro do elipsóide de revolução, conforme ilustra a figura 1.8.

Figura 1.8 – Sistema de coordenadas cartesianas tridimensionais associado ao elipsóide de revolução

Fazendo X = 0, obtém-se no plano YZ uma elipse com semi-eixo maior a e semi-eixo- menor b (figura 1.9).

Figura 1.9 – Elipse no plano YZ

Z

X

Y

Y

Z

a

b

Fazendo Z = 0, obtém-se no plano XY uma circunferência com raio igual ao semi-eixo maior a (figura 1.10). Os planos paralelos ao plano XY também serão circunferências cujos raios r φ (equação 1.18) irão variar conforme a latitude.

Figura 1.10 – Circunferência no plano XY

E fazendo Y = 0, obtém-se no plano XZ uma elipse com semi-eixo maior a e semi- eixo-menor b (figura 1.11).

Figura 1.11 – Elipse no plano XZ

Y

a X

a

X

Z

a

b

perpendicular ao plano do meridiano, cuja curvatura é mínima. Os raios de curvatura correspondentes a estas seções principais são M e N (equações 1.14 e 1.12 respectivamente).

Figura 1.13 – Planos que passam pela normal no ponto A

Fonte: adaptado de ASÍN(1990, p.168)

O raio de curvatura da seção primeiro vertical N ou grande normal e a pequena normal N’ são dados por:

( 1 e^2 sen^2 φ)^1 /^2

N a −

N ' = N ( 1 − e^2 ) (1.13)

onde φ é a latitude geodésica de P. Na figura 1.14, seja uma reta que passa por um ponto P na superfície física da Terra perpendicular à superfície do elipsóide de revolução. Esta reta é denominada normal de P. A distância entre os pontos P’ e P’’’ é a grande normal N e a distância entre os pontos P’ e P’’ é a pequena normal N’.

N M

Normal a superfície

superfície

Figura 1.14 – Grande normal N e pequena normal N’

O raio de curvatura da seção meridiana M é calculado por:

2 2 3 / 2

2 ( 1 )

e sen φ

M a e −

Conhecidos os raios de curvatura principais em um ponto define-se como curvatura média a expressão:

R (^) m NM

E o raio médio de curvatura é dado por:

R M = NM (1.16)

Conhecendo-se o azimute A de uma seção normal em um ponto do elipsóide, o raio de curvatura correspondente a essa seção é proporcionado pelo Teorema de Euler, que fornece o raio de curvatura R de uma seção genérica com azimute A:

P

b

Superfície física

Normal de P

P’”

P’

a P’’

1.2.2.2 Seções normais no elipsóide

Por um ponto P’ sobre a superfície do elipsóide de revolução é possível conduzir infinitos planos que contém a normal à superfície. Qualquer plano que contém a normal e portanto seja perpendicular ao plano tangente ao elipsóide nesse ponto é chamado de plano normal. A curva resultante da interseção de um plano normal com a superfície elipsóidica chama-se seção normal. Em cada ponto existem duas seções normais principais que são mutuamente perpendiculares e cujas curvaturas nesse ponto são, uma máxima e uma mínima. Um ponto P’ sobre a superfície de um elipsóide de revolução possui as seções normais principais chamadas de seção normal meridiana e seção normal primeiro vertical. A seção normal do primeiro vertical é gerada pelo plano Ω perpendicular seção meridiana no ponto P’ (figura 1.16). O raio de curvatura da seção meridiana é representado por M e o raio de curvatura da seção primeiro vertical é representado por N.

Figura 1.16 – Seção normal primeiro vertical

X

Y

Z

P’

P’’^ φ^ π/2 +^ φ

P’’’ Ω

1.2.2.3 Seções normais recíprocas

As normais relativas a dois pontos de uma superfície esférica convergem no centro da esfera, sendo portanto co-planares (figura 1.17). O mesmo não acontece com dois pontos quaisquer da superfície elipsoidal.

Figura 1.17 – Normais a uma superfície esférica

Sejam dois pontos P 1 e P 2 sobre a superfície de um elipsóide de revolução, com latitudes φ 1 e φ 2 tal que ⎜φ 1 ⎜< ⎜φ 2 ⎜e as longitudes λ 1 e λ 2 sejam diferentes, conforme a figura 1.18. As normais à superfície elipsóidica de cada ponto interceptam o eixo Z em dois pontos diferentes n 1 e n 2. Os segmentos de reta definidos por P 1 n 1 = N 1 e P 2 n 2 = N 2 são as grandes normais (ou raios de curvatura da seção primeiro vertical) dos pontos P 1 e P 2 , calculados pela equação (1.12). Observa-se na figura 1.18 que quanto maior for a latitude do ponto, maior a grande normal.

X

Y

Z

A B

O