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MÓDULO III – UNIDADE CURRICULAR GEODÉSIA
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13 GEODÉSIA
O termo Geodésia, em grego Geo = terra, désia = 'divisões' ou 'eu divido', foi usado, pela primeira vez, por Aristóteles (384-322 a.C.), e pode significar tanto 'divisões (geográficas) da terra' como também o ato de 'dividir a terra' (por exemplo entre proprietários). A Geodésia é uma Engenharia e, ao mesmo tempo, um ramo das Geociências. Ela trata, global e parcialmente, do levantamento e da representação da forma e da superfície da terra com as suas feições naturais e artificiais. A Geodésia é a ciência da medição e representação da superfície da Terra. Helmert (1880)
Na visão de Torge (1991), a Geodésia pode ser dividida em três grupos: Geodésia Global, Geodésia Local e Levantamentos Topográfico. A Geodésia Global é responsável pela determinação da figura da Terra e do seu campo gravitacional externo. A Geodésia local estabelece as bases para determinação da superfície e campo gravitacional de uma região da terra, um país por exemplo. Neste caso implanta-se um grande número de pontos de controle formando as redes geodésicas e gravimétricas que servirão de base para os Levantamentos Topográficos. Alguns autores classificam a Topografia como Geodésia Inferior. Não se tem dúvida que a Topografia é parte da Geodésia, inclusive quando a topografia projeta tudo sobre um plano horizontal, tendo desta forma muita simplificação que por vezes é mais interessante, como ocorre em caso de obras de engenharia civil.
13.1 REDES DE REFERÊNCIA
Uma Rede de Referência Geodésica consiste em um conjunto de pontos materializados através de marcos, com coordenadas planimétricas e/ou altimétricas, referenciadas a uma única origem, o Sistema Geodésico Brasileiro – SGB, implementado, administrado e mantido pelo Instituto Brasileiro de Geografia e estatística (IBGE), possibilitando a amarração de plantas e mapas e suas atualizações a uma mesma referência. É como ter pontos distribuídos sob a forma de malha, em rede, formando um sistema de coordenadas. É a materialização de uma rede de coordenadas.
O IBGE disponibiliza a consulta a rede oficial homologada através da Internet. O site do IBGE é www.ibge.gov.br.
Para acessar, leve o cursor sobre o menu Geociências e em seguida clique em Geodésia.
Clique em Banco de Dados da seção SGB
Existem 2 formas de acesso ao banco de dados geodésico: Mapas Interativos e Textual. Clique em Banco de dados Geodésicos para acesso à forma textual.
No Banco de dados Textual, Existem 3 opções de consulta:
1ª Opção: número da estação
Digite no campo Estação(ões) o número da Estação.
Para consultar mais de uma, digite os números separados por vírgula. Exemplo: 91851,91852. Clique em OK (não tecle enter). No final da página você verá uma tabela com todos os vértices localizados.
Para consultar a monografia do vértice, clique no link que é a estação.
2ª Opção: pelo município Nesta opção, escolha o tipo de estação e o estado. Em seguida abre uma lista com municípios que possuem as estações do tipo que você escolheu. Selecione o município de interesse.
No final da página aparecerá a lista das estações encontradas no município selecionado
3ª Opção: pela imagem do Google Earth
Localize na imagem a área de interesse. Você pode dar PAN (click esquerdo+arrastar), aumentar e diminuir o zoom no canto superior da imagem.
Escolha o tipo de estação a ser consultada e faça um retângulo através de 2 cliques na imagem
13.3 ELEMENTOS GEODÉSICOS
13.3.1 Superfície Topográfica – superfície do terreno com seus vales, fundo do mar e montanhas sobre a qual as medidas são executadas
13.3.2 Geoide – vocábulo que significa o formato geométrico da Terra. Considerado como a superfície de nível de altitude igual a zero e coincidente com o nível médio dos mares; referência para as altitudes. Como os movimentos e composição da terra são muito variáveis, ocorrem deformações no geoide impedindo que o geoide seja determinado matematicamente. As ondulações da figura ao lado estão exageradas, pois o raio da terra é próximo de 6370km e as ondulações do geoide são de apenas algumas dezenas de metros. Globalmente falando, as ondulações são muito pequenas, mas para o posicionamento de um ponto é muito grande.
13.3.3 Gravimetria – é um método da geodésia física para determinar os níveis do campo gravitacional da Terra e, com isto, determinar o geoide. O Geoide pode ser determinado com precisão de poucos centímetros, através de medições gravimétricas de pontos bem distribuídos sobre a Terra. A densidade de pontos é muitíssimo importante para a determinação do geoide.
13.3.4 Elipsoide de revolução – superfície matemática 3D adotada como referência para o cálculo de posições, distâncias, direções e outros elementos geométricos da mensuração. É formada a partir da rotação de uma elipse, usando como eixo de rotação o seu semi-eixo menor.
a = semi-eixo maior; b = semi-eixo menor; f = a/(a-b) = achatamento
O Elipsoide pode ser definido por 2 dos 3 parâmetros. A forma mais comum é utilizar o “a” e o “f”. Se ajusta ao Geoide com uma aproximação de primeira ordem, ou seja não existe forma matemática que se aproxime tanto quanto o elipsoide. O elipsoide de revolução no Brasil difere do geoide em até ± 35 metros.
13.3.5 Datum Horizontal
Para um bom ajuste, cada país ou região adotou um elipsoide de referência diferente e que melhor ajustou às suas dimensões. Ao utilizar um elipsoide numa determinada posição, cria-se uma nova superfície, ou seja, um novo Datum. Para a Definição de um Datum é necessário conter 3 elementos:
- Contém a forma e tamanho de um Elipsoide
- Contém a posição do elipsoide relativa ao geoide Topocêntrico : vértice na superfície terrestre que serve para a amarração do elipsoide ao geoide Geocêntrico : amarrado ao centro de massa da terra
- Contém os parâmetros de conversão para o Datum Internacional WGS-84 (World Geodetic System of
- Delta X, Delta Y, Delta Z
- Rotação e escala O referencial planimétrico ou Datum Horizontal Oficial no Brasil é o SIRGAS-2000 (Sistema de Referência Geocêntrico para as Américas de 2000) desde 25/02/2005 e até 25/02/2015 poderá ser utilizado o SAD-69 (South American Datum of 1969).
Datum Elipsoide Tipo
Raio Equatorial semi-eixo maior a
Raio Polar semi-eixo menor b
f ΔX ΔY ΔZ
Córrego Alegre Hayford Topocêntrico 6378388 6356912,00000 1/297 - 205,57 +168,77 - 4, SAD69/1996 UGGI- 67 Topocêntrico 6378160 6356774,71920 1/298,25 - 66,87 +4,37 - 38, SAD69/2005 UGGI- 67 Topocêntrico 6378160 6356774,71920 1/298,25 - 67,35 + 3 , 88 - 38, 22 WGS84(G1150) WGS84 Geocêntrico 6378137 6356752,31425 1/298,257223563 0,00 0,00 0, SIRGAS2000 GRS80 Geocêntrico 6378137 6356752,31414 1/298,257222101 0,00 0,00 0.0 0 Astro Chuá Hayford Topocêntrico 6378388 6356912,00000 1/297 - 143,87 243,37 - 33,
b
a
b
a
a
Sup. Terrestre
Elipsoide
Geoide
Geoide Elipsoide 1 Elipsoide 2
São as coordenadas Geodésicas que o GPS irá nos informar. Como podemos perceber, os ângulos são a partir de um datum. Portanto SE MUDARMOS O DATUM , MUDAREMOS AS COORDENADAS do mesmo ponto.
O IBGE disponibiliza o software ProGRID para efetuar as Transformações entre coordenadas geodésicas e geocêntricas, assim como a conversão entre os Data SIRGAS2000, SAD69-Rede Clássica, SAD69-96 e SAD69/2005. A limitação do programa é de não permitir inclusão de novo Datum e efetuar cálculos somente dentro da fronteira do Brasil. Anteriormente o IBGE disponibilizava o TCGeo, que faz somente as transformações entre os Data Sirgas2000 e SAD69/2005. Temos o TCGeo disponível no site do Curso.
No Progrid, temos designações diferentes para os Data utilizados no Brasil:
NOME USUAL NOME PROGRID Adotado a partir de SAD69 (original) SAD69 Rede Clássica SAD69/1996 SAD69/96 Rede Clássica julho de 1996 SAD69/2005 SAD69 Técnica Doppler ou GPS 25/02/
Vários softwares fazem estas transformações, porém deve-se observar se os parâmetros são fielmente os informados pelo IBGE, que constam na tabela do item 13.3.5.
13.4.1.3 Geográficas ou Astronômicas
A superfície de referência para as Coordenadas Geográficas é o Geoide. É um sistema de projeção esférico, definindo um ponto a partir de 2 ângulos de referência: Latitude (F) e Longitude (l).
A Latitude é um ângulo medido a partir do equador até a vertical do ponto (direção que passa pelo ponto perpendicular ao geoide). Além da dimensão angular, deve ser especificado o hemisfério, se N ou S, ou ainda através dos sinais positivo e negativo, respectivamente.
As coordenadas Geográficas são determinadas Astronomicamente, não sendo possível determinar com precisão através de métodos de medição com equipamentos topográficos.
Como o geoide não é matematicamente definido, não podemos Transformar coordenadas geodésicas em geográficas e nem coordenadas cartesianas em geográficas.
Sup. Topog.
Geoide
Elipsoide
P
Desvio de Vertical
Vertical Normal
do lugar
Exercício 1 Transforme as coordenadas para Geodésicas em SIRGAS a) f=32º21’45,02861”S l=52º50’11,52973”W Datum=SAD-69/
b) f=2º46’52,66219”N l=62º11’47,00271”W Datum=SAD-69/
c) X= 5102280, Y= -3773284, Z= -637935, Datum=SIRGAS d) f=17º01’21,00521”S l=61º43’07,50541”W Datum=SAD- Data do lev.=set/
e) f=21º33’07,67299”S l=57º11’12,29051”W Datum=SAD- Data do lev.=jan/
Exercício 2 Transforme as coordenadas para Cartesianas em SIRGAS a) f=16°49'51,83526"S l= 42°05'38,9220 "W Datum=SAD-69/
b) X= 3958357, Y= -4987441, Z= 369911, Datum=SAD-69/
13.4.2 Redução de distâncias
As Distâncias na Topografia são medidas de forma inclinada (DI) com um Medidor Eletrônico de Distância (Estação Total ou Distanciômetro) e calculada na Horizontal (DH) com o ângulo vertical lido da
Elipsoide
Sistema Plano-retangular
Geoide Plano Topográfico
visada. Pode também ser medido diretamente sobre o plano Topográfico (DH) utilizando uma trena. Após se obter a Distância Horizontal (DH), temos que rebatê-la sobre o Geoide (Dn) e em seguida sobre o Elipsoide (De) para que todas as distâncias fiquem num mesmo referencial.
Dn DH. fr
Rm
H
Fr 1
3 15 1 , 027.. 10 De Dn Dn
Sendo,
Fr= Fator de Redução da Distância Horizontal H= altitude em que a distância foi medida Rm= raio médio da terra (6370000m)
Quando o ponto for apenas irradiado, a altitude (H) deve ser da estação, pois a DH estará no plano definido da estação. Se for uma poligonal, a DH será a média entre as visadas a vante e a ré, portanto a altitude deve ser a média entre os 2 vértices, pois a DH média estará na altitude média. Neste caso a DH medida ascendente é menor que a medida descendente, por isso a importância de fazermos a média das distâncias numa poligonal.
Para distâncias menores que 5km, poderemos fazer De=Dn, pois a mudança é desprezível (0,1mm). Somente com 10km medido é que teremos 1mm na transformação de Dn para De.
A projeção das distâncias sobre o elipsoide é necessária para cálculos geodésicos. Devemos utilizar os cálculos geodésicos em 2 situações:
- Georreferenciamento : quando necessitarmos de pontos georreferenciados.
- Grandes desníveis : mesmo quando não houver a necessidade do georreferenciamento, mas na extensão do levantamento tivermos grandes desníveis, devemos fazer uso da geodésia. Quando a área possuir grandes desníveis, estaremos utilizando vários planos topográficos locais em altitudes diferentes e portanto estaremos utilizando várias superfícies de referência. Com isso, as poligonais não possuem bom fechamento, em virtude de estarem em projeções diferentes. O que caracterizará os grandes desníveis será a precisão desejada para os pontos, pois a diferença de projeção, não pode ser maior que a precisão requerida para o levantamento.
Desnível 50 100 200 300 400 500 1000 Erro Relativo 1: 127400 1: 63700 1: 31850 1: 21233 1: 15925 1: 12740 1: 6370
Exercício 3 a) Calcule a distância elipsoidal do ponto irradiado 327 a partir da estação M9: DHM9-327=628,029 HM9=428,
b) Calcule a distância elipsoidal do alinhamento R-T, com os dados abaixo: DHRT=745,092 (média de ré e vante) HR=395,032 HT=632,
De acordo com o tipo de projeção, classificamos elas em:
- Eqüidistante : sem deformações lineares em uma ou algumas direções
- Equivalente (eqüiárea): sem deformações de área (dentro de certos limites)
- Conforme (ortomórfica): sem deformações de ângulos (dentro de certos limites)
- Afilática : não conserva propriedades, mas minimiza as deformações em conjunto
13.4.3.2 Sistemas de Projeção TM (Transversa de Mercator)
13.4.3.2.1 Generalidades Gerhard Kremer Mercátor (1512-1594) matemático e cartógrafo belga, é o autor das projeções TM, atualmente considerado o pai da Cartografia Moderna. Foi o introdutor do uso de projeção cilíndrica e também da confecção de mapas para navegação. Somente em 1950 foi adotado a formatação do sistema como é hoje. Vários sistemas de projeções, como o Gauss (1822), Gauss Krüger (1920) e Gauss Tardi foram desenvolvidos com base em estudos de Mercator. Recomendado pela União Geodésica e Geofísica Internacional.
13.4.3.2.2 Características Ocorre deformação apenas nas distâncias (projeção Conforme) e conseqüentemente nas áreas. Os ângulos se deformam tão pouco que cartograficamente são desprezíveis.
Projeção Transversa (^) Fuso utilizado na projeção
13.4.3.2.3 Fator de Escala
Para fazer a projeção das distâncias elipsoidais sobre o cilindro, utilizamos um fator de escala denominado K.
O Fator K pode ser calculado pela seguinte equação: Sendo, fm: a latitude média entre os pontos lm: a longitude média entre os pontos
Uma possibilidade também é calcular o fator K dos dois pontos e calcular o K médio do alinhamento.
Portanto, para projetarmos a DH para o Plano TM, teremos que executar os seguintes passos:
Fr De=Dn (5km) K DH Dn De DTM
Para facilitar os cálculos, podemos calcular um Fator que junta o Fr e o K. Chamaremos de Kr.
Kr=K.Fr
e
TM D
D K
Cilindro Secante
DTM De. K
Elipsoide
K 0 K=1 K=
K>1 K<1 K>
De
DTM
DTM
De
A f= 10ºS l=175ºW
MC 177ºW
FUSO 1
EQUADOR
B f= 10ºS l=169ºW
MC 171ºW
FUSO 2
EQUADOR
NA= NB EA =EB KA =KB
2 1 cosφ .senλ MC
K K m m
0
O ângulo formado a partir do Norte Verdadeiro até o Norte de Quadrícula chama-se Convergência Meridiana (c).
Para o cálculo da Convergência Meridiana, podemos utilizar a fórmula abaixo. É uma aproximação que normalmente fica na ordem do segundo.
c =Δλ sen ϕ Δλ=λ-MC
No site http://agrimensura.florianopolis.ifsc.edu.br tem disponível uma planilha eletrônica para o cálculo da convergência.
onde: c= convergência meridiana ϕ= latitude do ponto λ= longitude do ponto Sabendo a Convergência Meridiana (c) e a Declinação Magnética (d), podemos aplicar as fórmulas abaixo para calcular os azimutes:
AZV=AZQ+c AZM=AZV-d A declinação magnética pode ser calculada usando o software gratuito DMAG 2010 desenvolvido por Luiz Ricardo Mattos. Este software pode ser baixado do site http://agrimensura.florianopolis.ifsc.edu.br.
Sabemos que uma boa bússola, nos dá uma precisão de alguns graus. Portanto o cálculo do AZV nunca deve ser feito partindo-se do AZM medido com bússola.
13.4.3.3 UTM (Universal Transversa de Mercator)
O sistema de projeção UTM é o sistema mais utilizado para a confecção de mapas. É o recomendado pela UGGI (União de Geodésia e Geofísica Internacional). Sua amplitude é de 6º de longitude, formando um conjunto de 60 fusos UTM no recobrimento terrestre total. Os Fusos são numerados a partir do Anti-meridiano de Greenwich (longitude -180º) e de oeste para leste.
A f= 10ºS l=175ºW
MC 177ºW
FUSO 1
EQUADOR
B f= 10ºS l=169ºW
MC 171ºW
FUSO 2
EQUADOR
NA= NB EA =EB cA =cB
Exercício 4 Calcule o Fuso e o MC do sistema de projeção UTM, dos pontos abaixo: a) F= 8º31’45,09274”S e l= 72º05’40,93481”W b) F= 3º04’03,12840”N e l= 62º29’30,45621”W c) F= 27º06’51,32663”S e l= 49º59’55,10003”E
Exercício 5 Calcule a distância UTM com os dados abaixo. a) DHR-J=1000, HR=734, HJ=784, K=0,
b) DHA-N=367, Hm=634, Fm= 8º31’45,09274”S lm= 72º05’40,93481”W
c) DHB1-B2=639, HB1=87, H B2=95, Fm= 4º42’00,71103”S lm= 38º44’17,68972”W Exercício 6 Converta as coordenadas abaixo para a projeção UTM no datum SIRGAS2000. a) F= 29º41’33,09517”S l= 52º03’57,31990”W datum SIRGAS
b) F= 1º28’12,43812”N l= 61º47’30,08819”W datum SAD69/
c) F= 17º53’05,11587”S l= 39º35’54,18233”W datum SAD69/
d) N= 8734128, E= 323248, MC= 51°W datum SAD69/
Converta as coordenadas UTM abaixo para geodésicas no datum SAD69/2005. e) N= 9097240, E= 274614, MC= 45°W Hemisfério= sul datum SIRGAS
f) N= 390598, E= 523948, Fuso= 20 Hemisfério= norte datum SAD69/
Exercício 7
a) Calcule a distância UTM e a distância horizontal do alinhamento A-B. Sistema de Projeção UTM Datum SIRGAS Hemisfério Sul Fuso 20
b) Num Relatório de rastreamento GPS, as coordenadas informadas foram as seguintes: Sistema de Projeção UTM Datum SAD69/ Hemisfério Sul Fuso 21 Com a estação total, o topógrafo mediu DH=182,108. Ele afirma que a diferença foi de 6cm e considera muito grande. Calcule a diferença entre a medição da Estação Total X GPS.
c) Calcule a distância UTM e a distância horizontal do alinhamento 5-6.
DATUM SAD69/
Exercício 8 a) Calcule o Azimute Verdadeiro e o Magnético para a data de 22/09/2008, com os dados abaixo: AZQ= 26°11’38” c= -0°37’21” d= +4°56’23” (para 22/09/2008)
b) Calcule o Azimute Verdadeiro, Azimute Magnético para o dia 23/07/2007 e Azimute de Quadrícula, de A-B e de B-A.
PONTO N UTM E UTM Sirgas2000, Fuso 20, Hemisfério Sul A 7.094.879,8723 385.197, B 7.095.041,2367 384.545,
c) Calcule o Azimute Verdadeiro, Azimute Magnético para o dia 10/03/2009 e Azimute de Quadrícula, de 11-13 e de 13-11. F 11 = 27º35’42,56115”S F 13 = 27º35’52,65978”S Datum: Sirgas l 11 = 49º05’31,44016”W l 13 = 49º04’54,76176”W
d) Calcule as coordenadas UTM do ponto 108, utilizando os dados do exercício anterior.
H 11 =56,
DICA: como a distância é pequena, para fins práticos, utilize o K da estação, pois a variação em relação ao K médio será desprezível.
e) Calcule o Azimute Verdadeiro, Azimute Magnético para o dia 27/12/2008 e Azimute de Quadrícula, de MJ e de JM. FM= 30º21’03,47718”S FJ= 30º26’48,40450”S Datum: Sirgas lM= 54º04’51,00915”W lJ= 54º13’22,88019”W
Ponto N E H A 8870075 ,6209 411525, 4881 672, B 8869497,24 66 412407, 2217 803,
Ponto N E H 1 7099655,1440^ 746208,8812^ 297, 2 7099811,5336 746302,3029 310,
Ponto F^ l^ H 5 29º53’15,56001”S^ 56º45’29,72331”W^ 109, 6 29º5^2 ’^16 ,^88230 ”S^ 56º4^6 ’^00 ,^63207 ”W^17 0,
DH=277,
