Apostila Estatistica eng, Notas de estudo de Engenharia Civil

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Estatística

Básica para

Engenharia

Silvio Alves de Souza

ÍNDICE

Introdução

Esta apostila é uma tentativa de compor todo o conteúdo da disciplina Estatística do CEFET – MG. Esta disciplina é ministrada nos vários cursos de Engenharia e Bacharelados. Seu conteúdo é de acordo com o plano de ensino dos cursos citados acima. Na verdade é um material complementar para os alunos. Ele não os isenta da necessidade de consultar outras bibliografias. A disciplina de Estatística é abordada com o auxílio de vários softwares para tratamento de dados, entre eles o R e o SPSS. Em anexo estão todas as tabelas utilizadas no decorrer do curso. Os exemplos e exercícios foram montados com o objetivo de contextualizar o conteúdo dentro dos vários cursos. Não buscamos priorizar nenhum desses cursos para que o aluno possa perceber a utilização da Estatística em cada área do conhecimento. A construção do conhecimento foi elaborada de acordo com os passos de uma pesquisa, salvo casos em que o conteúdo requer outros elementos essenciais para seu entendimento.

Software R

O software R é um software livre utilizado para análise de dados, cálculo e construão de gráficos. Sua construção foi feita utilizando vários colaboradores. Para sua utilização é necessário conhecimento de sua linguagem própria, ou seja, seus comandos. Algumas tarefas podem facilmente serem realizadas apenas utilizando seus comandos e outras são necessárias a construção de algoritmos. O R tem um help que os ajuda na execução das tarefas. No decorrer do curso iremos utilizá-lo para análise de vários dados e para a construção de alguns gráficos específicos. Os comandos necessários bem como a utilização do software serão apresentados no decorrer das aulas. A utilização deste software é uma tentativa de demonstrar como utilizar a tecnologia computacional na análise de dados.

Comandos básicos

1. Criar vetor: para construir um vetor basta digitar a letra c e, entre parênteses separados por vírgula, digitar os valores do vetor. Para visualisar o vetor basta digitar seu nome na linha de comando. Exemplo: Criar um vetor de nome x com os valores 2, 3, 6 e 13. Solução: x<- c(2,3,6,13) No anexo 2 encontra-se alguns comandos úteis.

Conceitos Básicos de Estatística

Estatísticas Uma coleção de dados numéricos ou qualitativos.

Estatística

Ramo da ciência que se dedica a desenvolver metodologias para a coleta, classificação, apresentação, análise e interpretação de dados quantitativos e qualitativos e a utilização desses dados para a tomada de decisões.

A Estatística pode ser dividida em três grandes áreas:

Estatística Descritiva
Probabilidade
Inferência Estatística

Estatística Descritiva

Utiliza técnicas com o objetivo de descrever, analisar e interpretar o conjunto de dados. É utilizada na etapa inicial da análise.

Probabilidade

Trabalha com a idéia de incerteza. Desenvolve e utiliza técnicas capazes de calcular as chances de que algum fenômeno aconteça.

Inferência Estatística

Desenvolve e utiliza técnicas capazes de fazer uma extrapolação dos resultados, estimação de quantidades desconhecidas e testar hipóteses a partir de uma amostra. Baseando-se na amostra podemos assim chegar a conclusões sobre a população. A figura a seguir nos dá uma noção de como podemos trabalhar com os dados:

Natureza dos dados

• Dados Nominais: Trata-se de dados qualitativos ou descritivos, ou seja, que descrevem uma qualidade ou uma descrição. Exemplos: solteiro ou casado, certo ou errado, peça boa ou peça defeituosa, etc. Podem ser transformados em dados numéricos, como por exemplo: 1 – solteiro e 2 – casado.
• Dados ordinais: Trata-se de dados numéricos os quais podemos estabelecer desigualdades. Como exemplo considere 1- alumínio e 2 – diamante. Temos que 2>1 (significa que o diamante é mais resistente do que o alumínio).
• Dados intervalares: Trata-se de dados numéricos os quais podemos estabelecer desigualdades e formar diferenças. Exemplo: Temperaturas.
• Dados de razão: trata-se de dados numéricos que podemos estabelecer desigualdades, diferenças, formar multiplicação e divisão. Exemplos: peso, altura, dinheiro, volume, diâmetro, etc.

População Amostra

Estatística Descritiva

Inferência

Amostra

Um subconjunto, uma parte selecionada da totalidade de observações abrangidas pela população, através da qual se faz um juízo ou inferência sobre as características da população.

Exemplo: Avaliação da qualidade das peças produzidas por uma determinada empresa. Seleciona-se, dentre as peças produzidas em determinado dia, uma porcentagem destas peças. Avalia-se as peças selecionadas. A partir da amostra estabelecemos o que é conveniente para a população, ou seja, fazemos uma inferência sobre a população.

Arredondamento de números

Arredondamento por falta Quando o primeiro dígito, aquele situado mais à esquerda entre os que irão ser eliminados, for igual ou menor que quatro, não deverá ser alterado o dígito anterior.

Número a arredondar Arredondamento para Número arredondado

12,489 Inteiros 12 20,733 Décimos 20, 35,992 Centésimos 35,

Arredondamento por excesso

Quando o primeiro dígito, aquele situado mais à esquerda entre os que irão ser eliminados, for maior ou igual a cinco seguido por dígitos maiores que zero, o dígito anterior será acrescido de uma unidade.

Número a arredondar Arredondamento para Número arredondado

15,504 Inteiros 16 16,561 Décimos 16, 17,578 Centésimos 17,

Arredondamento centrais

Quando o primeiro dígito, aquele situado mais à esquerda dos que serão eliminados for um cinco ou um cinco seguido somente de zeros, o último dígito anterior, se for par, não se altera, e se for ímpar será aumentado uma unidade.

Número a arredondar Arredondamento para Número arredondado

15,500 Inteiros 16 16,500 Inteiros 16 17,750 Décimos 17, 17,705 Centésimos 17,

Arredondamento de Soma

Quando se trata de soma, deve-se arredondar primeiro o total, e posteriormente as parcelas. Há aqui dois casos a considerar:

a) Se a soma das parcelas da série arredondada for superior ao total, deve-se retornar à série original, arredondando-se, por falta, tantas parcelas quantas forem as unidades excedentes. Serão escolhidas as parcelas anteriormente arredondadas por excesso e cujas frações desprezadas representem o menor erro relativo.

ER =^25 − 2524 ,^73 = 0 , 011

ER =^28 − 2827 ,^52 = 0 , 017

b) Se a soma das parcelas da série arredondada for inferior ao total, deve-se retornar à série original, arredondando-se, por excesso, tantas parcelas quantas forem as unidades em falta. Serão escolhidas as parcelas anteriormente arredondadas por falta e cujas frações desprezadas representem o menor erro relativo.

Exemplo: O quadro abaixo apresenta um modelo de arredondamento, para centésimo, da soma total de uma série.

Série original Erro relativo Série arredondada Série corrigida 2,514 0,0016 2,51 2, 12,502 0,0002 12,50 12, 4,6355 4,64 4, 11,1028 0,0002 11,10 11, 35,733 0,0001 35,73 35,74 * 7,524 0,0005 7,52 7, Total : 74,0113 74,00 74,

Observação: (*) série corrigida

Proporção

Um certo número de pessoas foi classificado em quatro categorias. Essas categorias são, naturalmente, mutuamente exclusivas e exaustivas. Em outras palavras: uma pessoa só poderá estar incluída em uma única categoria, e todas elas deverão estar classificadas. Em termos simbólicos, pode-se escrever:

N 1 = número de pessoas incluídas na categoria 1. N 2 = número de pessoas incluídas na categoria 2. N 3 = número de pessoas incluídas na categoria 3. N 4 = número de pessoas incluídas na categoria 4. N = N 1 + N 2 + N 3 + N 4 = número total de pessoas consideradas.

Neste caso, a proporção de pessoas pertencentes à primeira categoria é determinada mediante o cálculo do seguinte quociente

N

N 1

A proporção de pessoas pertencentes à segunda categoria é determinada mediante o cálculo do seguinte quociente

N

N 2

Sucessivamente temos

N

N (^3) e N

N 4

o cálculo da proporção das pessoas pertencentes à terceira e quarta categoria.

Observe que

Exercícios

1. Considere as situações a seguir e identifique a população e a amostra em cada caso.

a. Para a análise de desempenho dos alunos da 8.ª série de uma determinada escola municipal foram escolhidas as notas de português de 35 alunos. b. Uma amostra de sangue foi retirada de um paciente com suspeita de alto colesterol. c. Uma maternidade entrevista 20 mães de recém nascidos dos 218 partos, no mês de janeiro, para avaliar a satisfação na prestação de serviço. d. A fim de avaliar a intenção de voto dos eleitores para deputado estadual, um candidato entrevista 2.120 eleitores em Minas Gerais.

2. Use os critérios de arredondamento para arredondar cada valor a seguir para décimos.

a) 21,24 d) 0,75 g) 3, b) 1,088 e) 5,819 h) 9, c) 125,5555 f) 0,3333 i) 235,

3. Aplique os critérios de arredondamento para completar o quadro abaixo:

Número a arredondar Arredondamento para Número arredondado 25,458 Centésimo 123,99 Décimo 205,7056 Milésimo 17,561 Inteiro

4. Aplique os critérios de arredondamento para completar o quadro abaixo:

Número a arredondar Arredondamento para Número arredondado 1,23 Décimo 5,488 Centésimo 0,126 Centésimo 35,4 Inteiro 13,99 Décimo 25,7056 Milésimo 7,561 Inteiro 690,1555 Centésimo 0,115588 Milésimo

5. A tabela abaixo representa a produção, em unidades, da fábrica X de determinada peça no segundo semestre de 2005.

Mês Produção Julho 35. Agosto 34. Setembro 36. Outubro 35. Novembro 32. Dezembro 31.

Calcule: (Use arredondamento para centésimos)

a) a proporção de peças produzidas no mês de outubro. b) a proporção de peças produzidas até setembro. c) a porcentagem de peças produzidas em dezembro.

11. Calcule:

a) 15 % de R$ 2 800,00?

b) 42 % de R$ 18 300,00?

12. Resolva os problemas abaixo:

a) Numa classe foram reprovados 15 % dos alunos, isto é, 9 alunos. Quantos alunos haviam nesta classe?

b) Em uma cidade haviam 5600 eleitores do candidato A e 7800 eleitores do candidato B.

1. Qual a proporção dos eleitores do candidato A?

2. Qual a proporção dos eleitores do candidato B?

3. Em um colégio existem 1 200 alunos, dos quais 720 são meninos. Determine:

a) Qual a proporção do número de meninos?

b) Qual a proporção do número de meninas?

14. Num livro de 200 páginas, há 30 linhas em cada página. Se houvesse 25 linhas, quantas páginas teria o livro?

Fases do Método Estatístico

Quando se pretende empreender um estudo estatístico completo existem diversas fases do trabalho que devem ser desenvolvidas para se chegar aos resultados finais do estudo.

Definição do Problema

A primeira fase do trabalho estatístico consiste em uma definição ou formulação correta do problema a ser estudado. O problema deve ser preciso, bem determinado e específico. Além de considerar detidamente o problema objeto do estudo, o analista deverá examinar outros levantamentos realizados no mesmo campo e análogos, uma vez que parte da informação de que necessita pode, muitas vezes, ser encontrada nesses últimos. Saber exatamente aquilo que se pretende pesquisar é o mesmo que definir corretamente o problema.

Planejamento

Consiste em se determinar o procedimento necessário para resolver o problema e, em especial, como levantar informações sobre o assunto objeto do estudo. Mais especialmente, na fase do planejamento a preocupação maior reside na escolha das perguntas. É nessa fase que será escolhido o tipo de levantamento a ser utilizado. Sob esse aspecto, pode haver dois tipos de levantamento: a) Levantamento censitário, quando a contagem abranger todo o universo. b) Levantamento por amostragem, quando a contagem for parcial.

Nesta fase temos outros elementos importantes que devem ser tratados.