Apostila Estatística PRO2208, Notas de estudo de Engenharia Mecânica

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ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO

ESTATÍSTICA

Prof. Alberto W. Ramos

SÃO PAULO, 2006

ESTATÍSTICA

É a ciência que trata da coleta, organização, descrição, análise e interpretação de dados experimentais

Dados (^) ESTATÍSTICA Informações

.

Para que precisamos de informações?

Cálculo de

Probabilidades

PROBABILIDADE

FENÔMENOS

DETERMINÍSTICOS

PROBABILÍSTICOS

Definições:

a) Espaço Amostral (S): conjunto de todos os resultados possíveis de um fenômeno probabilístico. Ex.: lançamento de dado ‡ S = {1,2,3,4,5,6}

b) Evento (A,B,C,...): qualquer subconjunto de S.

Ex.: P = ponto par = {2,4,6} I = ponto ímpar = {1,3,5} T = ponto maior que três = {4,5,6}

Obs.: S = evento certo Ø = evento impossível

DEFINIÇÃO DE PROBABILIDADE

É um número real, associado a um evento, que mede sua chance de ocorrência:

n

m P( A)=

onde:

• m é o número de resultados favoráveis a A
• n é o número de resultados possíveis, desde que igual- mente prováveis

Observações:

a) 0 ≤ P(E) ≤ 1

b) P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)

c) P( A ) = 1 - P(A)

EXEMPLO

Seja o lançamento de dois dados: um preto e outro banco. Qual a probabilidade de se obter ponto no dado preto menor que o branco?

P( A)=

PRETO BRANCO

S =

EXEMPLO

Seja o lançamento de dois dados, com A: dar ponto 1, 2 ou 3 no primeiro dado e B: dar soma ≤ 6. Calcular P(A/B) e P(B/A).

P( A)= 18 =

P( B)= 15 =

P( A∩B)=^12 =

P(A/B) =

P(B)

P(A B)

12

5

3

1 = = =

P(B/A) =

P(A)

P(A B)

2

1

3

1 = =

B

A

S =

A∩B

EVENTOS INDEPENDENTES

Se P(A/B) = P(A/ B ) = P(A) ⇒ o evento A é estatisticamente

independente de B ⇒ P(B/A) = P(B/ A ) = P(B)

Neste Caso:

P(A∩B) = P(A). P(B)

TEOREMA DE BAYES

Nas mesmas condições do Teorema da Probabilidade Total.

P(B)

P(A B)

P( Aj/B) j

P(A).P(B/A )

P(A ).P(B/A ) P(A /B) i

n

i 1

i

j j j ∑ =

= (TB)

Variáveis

Aleatórias

TIPOS DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS (VA)

Discreta ‡ S finito

Contínua ‡S infinito

VA Discretas:

A distribuição de probabilidade é representada pela função probabilidade, tal que:

a) P(X=xi) ≥ 0, ∀xi

b) ∑ = =

i i^

P(X x) 1

c) ∑

b x a

i i

P(X x) P(a X b )

VA

EXEMPLO

Seja X o número de caras (K) obtidas no lançamento de três moedas.

KKK

CKK

KCK

KKC

CCK

CKC

CCC KCC

S

xi 0 1 2 3 P(X=xi) 1/8 3/8 3/8 1/

1 xi

P(X=xi)

EXEMPLO

Seja uma função densidade de probabilidade definida como:

a) determinar o valor de K.

b) equacionar esta fdp.

1 2 x

fX(x)

K

PARÂMETROS DE POSIÇÃO

Indicam onde se localiza o centro da distribuição.

1. Média ou Valor Esperado: μ(X)

• VA Discreta: μ ( X)=∑ xi.P(X=xi)
• VA Contínua: μ( X )=∫x.fX(x)dx

Propriedades:

a) μ(K) = K, K = constante

b) μ(K.X) = K. μ(X)

c) μ(X+Y) = μ(X) + μ(Y)

d) μ(X-Y) = μ(X) - μ(Y)

e) μ(X±K) = μ(X) ± K

f) Se X e Y são independentes ⇒ μ(X.Y) = μ(X). μ(Y)

2. Mediana: MD

É o ponto tal que: P(X<MD) = P(X>MD) = ½.

3. Moda: MO

É o ponto de máxima probabilidade ou densidade de probabilidade.