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Apostila de Calculo Vetorial
Tipologia: Notas de estudo
1 / 155
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Prof Pro
f. Jorge fa. Mar
e Costa ria Silvia
Duarte a C. Fav
e Filho vareto
Neste capítulo, lembraremos-nos dos conceitos básicos sobre matrizes e resolução de sistemas lineares, conceitos estes que serão utilizados no decorrer deste curso, tanto na parte de Cálculo Vetorial como em sua aplicação à Geometria Analítica. Estudaremos, também, o escalonamento de matrizes, que será utilizado na resolução de sistemas de equações lineares.
1.1 - MATRIZES - INTRODUÇÃO
dispostos em m sequencias horizontais, chamadas de linhas e n sequencias verticais chamadas de colunas:
m 1 m 2 mn
21 22 2 n
11 12 1 n
a a a
a a a
a a a A .......... ......
e j, a coluna em que ele se situa. Usaremos também a notação A = (aij )m×nou Am (^) ×n para indicar
a mesma matriz. Os elementos de uma matriz podem ser números reais ou complexos, polinômios, funções, outras matrizes, etc.
Exemplo: A matriz (^) ⎥ ⎦
A 1 0 2 é uma matriz de ordem 2 x 3, isto é, 2 linhas e 3
colunas. Seus elementos são a 11 = 1, a 12 = 0, a 13 = 2, a 21 = 6, a 22 = -5, a 23 =5. Duas matrizes A = ( aij)m×n e B = (b (^) ij)r×s são iguais se elas têm a mesma ordem e seus
Exemplo: (^) ⎥ ⎦
π 0 5
sen
sen
Matriz quadrada é uma matriz cujo número de linhas é igual ao de colunas. Usaremos a
Exemplos: (^) ⎥ ⎦
n 1 n 2 nn
21 22 2 n
11 12 1 n
b b b
b b b
b b b B L
Chamaremos de diagonal principal de uma matriz quadrada An = (aii)n, aos elementos a ij com i = j. A diagonal principal, algumas vezes chamada apenas de diagonal, da matriz A é
A matriz identidade é uma matriz quadrada em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e o restante dos elementos da matriz são todos nulos. Notação: I = ( aij)n, onde aii = 1, para i = j, aij = 0 para i ≠ j.
Exemplos: (^) ⎥ ⎦
2 - matriz identidade de ordem 2.
I 3 - matriz identidade de ordem 3
Matriz nula é aquela que todos os elementos são nulos, cuja notação é (^0) mxn.
Exemplos: (^) ; D [ ] 0 0 0 0 0 0
Matriz linha é a matriz formada por uma única linha e será denotada por A1n. Exemplos: A (^1) × 1 =[ 2 − 3 5 ]; B1x1 = [ − 4 ] Matriz coluna é a matriz formada por uma única coluna.
Exemplos: C2x1 = ⎥⎥⎦
0
0 cos 60
sen (^45) D3x1 = ⎥⎥
Matriz diagonal é uma matriz quadrada em que os únicos elementos não nulos estão na
Exemplos: A 1 = (^) ⎢⎣⎡− 01 40 ⎥⎦⎤ ; ⎥⎥
Matriz simétrica é uma matriz quadrada em que os elementos situados simetricamente
Exemplos: ⎥
1.3.2 - Propriedades da adição de matrizes
P1) A + (B + C) = (A + B) + C (associativa) P2) A + B = B + A (comutativa)
Se k é um número real, o produto de uma matriz (^) A = ( aij) (^) m×n por k (também chamado de
escalar) é a matriz k. A = (b (^) ij) (^) m×n, onde bij = k.aij, 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n.
Exemplo: Se A = (^) ⎢⎣⎡ 41 ⎥⎦⎤ então − 3 A= ⎢⎣⎡−− 123 ⎥⎦⎤ 1.3.4 - Propriedades da multiplicação por escalar
M1) k 1. (A + B) = k 1 A + k 1 B M2) (k 1 + k 2 ) A = k 1 A + k 2 A M3) 0.A = O , onde O é matriz nula de ordem m x n M4) k 1 (k 2 A) = (k 1 k 2 ) A 1.3.5 - Multiplicação de Matrizes Sejam A = (a (^) ij) (^) m×n e B = (b (^) ij)n (^) ×p matrizes. O produto de das matrizes A e B é uma
matriz C = (c (^) ij) (^) m×p, onde.. ∑= 1 = n ij (^) k ik kj c a b Observações: 1) Só podemos efetuar o produto de duas matrizes Am (^) ×n e B (^) n× p , nessa ordem, se o
número de linhas da segunda matriz for igual o número de colunas da primeira. Neste caso, a
2) Cada elemento cij da matriz produto é a soma dos produtos dos elementos da i-ésima
linha da primeira matriz pelos elementos correspondentes da j-ésima coluna da segunda matriz. Abreviadamente, diz-se que o produto de matrizes é feito “linha por coluna”.
Exemplos: 1. Se (^13123)
x
A = (^) ⎢⎣⎡− − ⎥⎦⎤ e (^031)
x
= , então
( 1 )( 1 ) ( 3 )( 1 ) ( 1 )( 0 ) 2 x 1
Observe que o produto BA não poderá ser efetuado, pois o número de linhas da segunda matriz é diferente do número de colunas da primeira.
A e (^) ⎥⎥ ⎦
B , note que os produtos AB e BA não poderão ser
efetuados, pela mesma razão apresentada no Exemplo 1.
1.3.6 - Propriedades da multiplicação: Dadas as matrizes Am (^) ×n , B (^) n× p e C (^) p× q de ordens compatíveis com as multiplicações e
adições indicadas, são válidas: M5) A(BC) = (AB)C ( associativa ) ; M6) A(B + C) = AB + AC ( distributiva à esquerda ) ; M7) (A + B)C = AC + BC ( distributiva à direita );. M8) Am (^) × n⋅ In=Am×n; I (^) n ⋅ An×m =An×m, onde I (^) né uma matriz identidade de ordem n. Observações:
2.1. O produto (^303) x 2
(^022) x 2
(^333) x 2
, mas (^022) x 2
(^303) x 2
não está definido.
2.2. Se (^43) x 1
= e B = [ 213 ] 1 x 3 , temos que AB e BA estão definidos, mas AB é
diferente BA, pois AB = (^84123) x 3
e BA = [ 10 ].
2.3. Se (^012) x 2
(^012) x 2
= − então ⎢⎣⎡ −⎥⎦⎤
e B = (^) ⎢⎣⎡ 10 10 ⎥⎦⎤, então AB = (^) ⎢⎣⎡ 00 00 ⎥⎦⎤.
onde
m 1 m 2 mn mxn
21 22 2 n
11 12 1 n
a a a
a a a
a a a A ⎥
n nx 1
2
1
x
x
x X ⎥⎥
= (^) M - é a matriz das incógnitas
e
m mx 1
2
1
b
b
b B ⎥
= (^) M - é a matriz dos termos independentes
Podemos também associar ao sistema (1) a matriz ampliada
m 1 m 2 mn m
21 22 2 n 2
11 12 1 n 1
a a a b
a a a b
a a a b
L
obtida acrescentando-se à matriz dos coeficientes uma coluna formada pelos termos independentes. Dessa maneira a matriz ampliada representa o sistema de forma abreviada. Dois sistemas de equações lineares são equivalentes se admitem as mesmas soluções. Assim, os sistemas
⎩⎨
x 2 y 3 e ( 3 )^3 x y^1 2 x 3 y 4 ( 2 ) x^2 y^5
são equivalentes, pois ambos admitem a única solução x = 1 e y = 2. Observe que essa solução é também solução do sistema (4)
(4) ⎧⎨⎩ 0 x x^ ++^0 yy ==^12 Logo, (4) é equivalente a (2) e (3).
1.5 - RESOLUÇÕES DE SISTEMAS LINEARES Para resolver um sistema de equações lineares devemos exibir um outro sistema equivalente a ele no qual a solução está evidente. Assim, por exemplo, para resolver o sistema (2) acima devemos obter o sistema equivalente (4), onde os valores das incógnitas são facilmente obtidos. O sistema (3) é equivalente ao sistema (2), mas o seu conhecimento não fornece, de modo evidente, como no caso de (4), a solução comum.
Vejamos então, como proceder para obter o sistema equivalente conveniente, através do processo eliminação de variáveis em cada equação. Para tornar mais claro o processo, ao lado de cada sistema vamos escrever sua matriz ampliada.
(2) (^) ⎩⎨⎧^2 xx −+ 32 yy ==−^54 ⎢⎣⎡ 21 −^23 −^54 ⎥⎦⎤
1ª) Eliminemos x da 2 a^ equação. Substituímos a 2 a^ equação por outra, obtida somando-se a 2 a equação com a 1 a^ multiplicada por -2:
(2´) (^) ⎩⎨⎧ 0 xx−+ 72 yy ==−^514 ⎢⎣⎡ 01 −^27 − 145 ⎥⎦⎤
2ª) Vamos tornar unitário o coeficiente de y na 2 a^ equação. Para isso, substituímos a 2 a^ equação por outra, obtida multiplicando-se a 2 a^ equação por − 17 :
(2’’) (^) ⎩⎨⎧ 0 xx++ 2 yy == (^25) ⎢⎣⎡ (^01 1225) ⎥⎦⎤
3ª) Eliminemos y da 1 a^ equação. Substituímos a 1 a^ equação por outra, obtida somando-se a 1 a
(2’’’) (^) ⎩⎨⎧ 0 xx++ 0 yy == 21 ⎢⎣⎡ 01 01 21 ⎥⎦⎤ O sistema (2´´´) é equivalente ao sistema (2), e assim obtivemos a solução procurada de (2) : x = 1, y = 2. De modo análogo se resolve o sistema (3):
(3) (^) ⎩⎨⎧^3 xx−− 2 yy ==^1 − 3 ⎢⎣⎡ 13 −− 21 −^13 ⎥⎦⎤ A 1ª etapa é obter um coeficiente unitário para a variável x na 1 a^ equação, o que pode ser obtido multiplicando a 1 a^ equação por 1/3. Com isso, obtemos os outros coeficientes fracionários, o que dificultará os cálculos posteriores. Para evitar dificuldades e proceder da mesma maneira anterior, vamos aplicar, inicialmente, a 1ª etapa.
1ª) Vamos permutar a 1 a^ com a 2 a^ equação:
⎥⎦
3 x y 1
x 2 y 3
2ª) Vamos eliminar x da 2 a^ equação. Substituímos a 2 a^ equação pela soma da 2 a^ equação com a
0 x 5 y 10
x 2 y 3
3ª) Vamos tornar unitário o coeficiente de y na 2 a^ equação. Substituímos a 2 a^ equação por ela mesma multiplicada por 1/5:
⎥⎦
0 x y 2
x 2 y 3
Lembramos que uma linha é nula se todos os seus elementos forem nulos. Uma linha não nula é aquela que possui pelo menos um elemento não nulo. A condição 4) significa que os primeiros elementos não nulos unitários de cada linha devem ocorrer em colunas seqüenciadas.
Exemplos: Consideremos as matrizes abaixo e verifiquemos quais são linha reduzida à forma escada:
As matrizes A e B são linha reduzida à forma escada, pois todas as condições estão satisfeitas. A matriz C não é linha reduzida à forma escada, pois não satisfaz à 1 a^ condição. A matriz D não é linha reduzida à forma escada, pois não satisfaz a 2 a^ e 4 a^ condições. A matriz E também não é linha reduzida à forma escada, pois não satisfaz a 3 a^ condição. Dadas duas matrizes m x n, A e B, dizemos que B é linha-equivalente a A se B foi obtida de A após um número finito de operações elementares sobre as linhas de A. Neste caso, indicamos
Teorema 1 : Dois sistemas de equações lineares que possuem matrizes ampliadas equivalentes são equivalentes.
Teorema 2 : Toda matriz Amxn é linha-equivalente a uma única matriz linha reduzida à forma escada.
Dada uma matriz Amxn , chamamos de posto (ou característica) de A, indicado por p, ao número de linhas não nulas de sua matriz equivalente linha reduzida à forma escada.
Exemplo :
Para obter o posto da matriz (^) ⎥⎥ ⎦
A precisamos, em primeiro lugar, obter a
sua matriz equivalente B linha reduzida à forma escada. Isso é conseguido aplicando-se operações elementares convenientes às linhas da matriz A :
3 3 1
2 2 1
3 3 2
1 1 2 2 2
2 2 3
1 1 3 (^3 3) ⎥⎥= ⎦
Portanto, o posto de A é igual a 3 , que é o número de linhas não nulas da matriz B.
Observação: Podemos considerar a matriz A acima como a matriz ampliada de um sistema de equações lineares, a saber:
⎪⎩
x 3 y 2 z 4
2 x y z 3
x y 2 z 0
A matriz B acima é linha-equivalente à matriz A, e pode ser considerada como a matriz ampliada de um sistema de equações lineares equivalente ao anterior, a saber:
⎪⎩
z 0
y 1
x 1
Os dois sistemas possuem a mesma solução: x = 1, y = -1, z = 0. 1.8 - RESOLUÇÃO DE SISTEMAS POR ESCALONAMENTO Para resolver um sistema de equações lineares de m equações a n incógnitas procedemos da seguinte maneira: 1 o^ ) Escrevemos a matriz ampliada do sistema. 2 o^ ) Através da aplicação de operações elementares convenientes chegamos à matriz linha reduzida à forma escada equivalente. 3 o^ ) Escrevemos o sistema associado à matriz obtida, chegando-se assim à solução do sistema dado.
Exemplo: Resolva os sistemas abaixo:
⎪⎩
2 x y z 0
x 4 y z 1
x 2 y 3 z 0
Vamos escalonar a matriz ampliada do sistema:
2 2 3
1 1 3 3 3
Tendo escalonado a matriz ampliada, escrevemos o sistema associado à matriz escada:
⎪⎩
y z 0
x 0
Em vista da última igualdade desse sistema ser absurda, o sistema é impossível, isto é, não existe uma solução que satisfaça simultaneamente às três equações do sistema. Vamos agora analisar três sistemas bem simples, de duas equações e duas incógnitas, bastantes esclarecedores.
⎥⎦
Portanto o sistema terá como solução x = 3, y = 2 ou o ponto P = (3, 2).
⎥⎦
x + 2y = 7 y x − 3y = − 3 (^7 ) 2 -3 0 3 7 x fig.
y 2x + 4y = 14 (^7 )
0 7 x fig.02 x + 2y = 7
⎥⎦
y x + 2y = 7
O x
2x + 4y = - Sistema associado: (^) ⎩⎨⎧^ x +^20 y ==−^720
A segunda equação expressa um absurdo, o que nos informa ser o sistema impossível. Assim, não existe solução satisfazendo simultaneamente as duas equações. Em cada um destes três últimos sistemas acima resolvidos vamos analisar a forma escada de suas matrizes dos coeficientes e ampliadas:
⎥⎦
Os três sistemas envolvem duas incógnitas. No Exemplo 4), tanto a matriz dos coeficientes como a matriz ampliada tem duas linhas não nulas, em número igual ao de incógnitas, e obtivemos uma solução bem determinada: P = (3, 2). No Exemplo 5), tanto a matriz dos coeficientes como a ampliada tem uma linha não nula, em número inferior ao de incógnitas, e obtivemos solução indeterminada. No Exemplo 6), as matrizes dos coeficientes e a ampliada não apresentam aspectos compatíveis: na matriz dos coeficientes existe apenas uma linha não nula, enquanto na matriz ampliada tem duas linhas não nulas e observe que o sistema não tem solução. O sistema foi impossível. Adotando a seguinte notação, pc = posto da matriz dos coeficientes, pa = posto da matriz ampliada e n = número de incógnitas do sistema , os três exemplos 4), 5) e 6) fornecem seguintes resultados: No exemplo 4), temos pc = 2, pa = 2, n = 2
sistema tem solução, mas é uma solução indeterminada. Para cada valor atribuído a uma das variáveis, obtém-se um valor para a outra, havendo, portanto, infinitas soluções. Já no exemplo 6), temos: pc = 1, pa = 2 e n = 2. Neste caso, o sistema não tem solução.
Um sistema de m equações a n incógnitas pode ter:
1.9.1 - Exercícios Resolvidos
x y 0
3 x y 2
mx 2 y 6
Solução: Se x ≠ 0, a matriz ampliada fica :
3 3 1
0 2 m 6
L L mL
m 2 6
m 2 6
− 10 + 2 m
21
21 3 3 2
1 1 2 0 0
L L ( 2 m)L
0 2 m 6
Se m = -10, temos pa = pc = n = 2. Assim o sistema é compatível e determinado, com
sistema tem posto 3 , enquanto que a matriz dos coeficientes tem posto 2. Portanto o sistema é incompatível.
4 x 16 y 8
2 x y 3
x 5 y 1
x 4 y 2
Solução: Usando o método de escalonamento, temos:
91
(^149)
3 3 2
3 2 1 1 2 4 4 1
3 3 1
2 2 1
Temos, pc = pa = n = 2. Logo o sistema é compatível e determinado, com solução
x = 149 e y =^19 ..
x 7 y 3
2 x y 3 z 0
x 2 y z 1
Solução: Novamente, usaremos o método do escalonamento. Temos:
3 3 1
51 52
(^7551)
3 3 2
1 1 2 51 52
Temos pa = pc = 2. Logo o sistema é compatível. Como o grau de liberdade do sistema é
variável livre. Portanto, temos o sistema associado:
z^2 5 y^15
z^1 5 x^7
cuja solução geral é: x = 51 +^75 z e y=− 52 + 51 z, z∈ℜ.
1.9.2 - Exercícios propostos
e b c 0
2 0 a sejam
linha-equivalentes.
x 3 x 2
2 x 3 x 2 x 1
2 x x 4 x 3 b) x 4 y 5 z 4
2 x y 2 z 5
x y z 3 a) 2 3
1 2 3
1 2 3
⎪⎩
⎪⎨⎧
+− ++ ==
− + = ⎪⎩
⎪⎨⎧ −− ==
(^4) xx (^3) yy 2 zz (^06) 2 x y 3 z 11 23 xx 34 xx 12 d)
x x 3 c) 1 2
11 22
⎪⎩
2 x 3 y 5 z 0
x 3 y 7 z 0
x y z 0 b) x 4 y z 0
x 2 y 3 z 0
2 x y z 0 a)
x y z 3
x y k z 2
x y 2 z 5 não tenha solução.
a) ⎪⎩
x y z 0
x my z 0
mx 2 y z 0 b) ⎪⎩
2 x y n
5 x 4 y 0
4 x 3 y 2
c) ⎪⎩
x ny 3 z 2
2 x 3 y nz 3
x y z 1 d) ⎪⎩
3 y m
2 x y 2
x y 1
