Apostila Matemática, Notas de estudo de Matemática

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MATEMÁTICA

ÍNDICE

1 – CONJUNTOS NUMÉRICOS

Os números naturais nasceram da necessidade do homem de contar. O conjunto de todos esses números é representado por IN e é infinito. Por isso o representamos por IN = {0, 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, …..}

A operação 7 – 14 não pode ser efetuada no conjunto IN. para resolver esse tipo de problema e também para sanar algumas atividades práticas criou-se os números inteiros negativos. Os números naturais e os inteiros negativos formam o conjunto dos números inteiros, representado por Z Z = {…-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …}

O conjunto dos números racionais, representado por Q é formado por todos os números que resultam da divisão de dois números inteiros.

Eles podem ser números inteiros (por exemplo – 3 = (-3) : 1), frações ^ − 35 , números

decimais finitos ( 1,25) e dízimas periódicas ( 2, 14333…) O que importante notar é que tanto em IN como em Z entre dois números consecutivos não há nenhum número, por exemplo, não há nenhum número inteiro entre 2 e 3. Já em Q , entre 2 e 3 existem infinitos números como 2,001 ; 2,83 entre outros.

Existem números decimais que são infinitos e não periódicos, isto é existem números decimais infinitos, mas não há um mesmo padrão que se repete após a vírgula. Por exemplo, 1, 10100100010000….. Esses números são chamados números irracionais. Alguns deles são até bem conhecidos, com o π que aproximadamente 3, 1416. O conjunto dos números irracionais é representado por I. Não existe um número que seja racional e irracional, como acontece com um número inteiro que é inteiro e racional.

1.1 - CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS (N)

Sucessor - Todo número natural tem um sucessor. Por exemplo, o sucessor de 0 é 1. O sucessor de 2 354 é 2 355.

Antecessor - Todo número natural diferente de zero possui um antecessor. Por exemplo, o antecessor de 5 é 4, de 100 é 99.

Números consecutivos - Sejam n e n+1 dois números naturais. Então eles são chamados de números consecutivos. Analogamente, se extende o conceito de números consecutivos para três ou mais números naturais. Por exemplo, quando se tem os números naturais n, n+1, n+2 , então eles são números consecutivos

Números primos – são números que têm somente dois divisores: 1 e ele mesmo

O único número par que é primo é o 2

Números primos menores que 50:

Critérios de Divisibilidade

2 – números cujo último algarismo da direita é 0, 2, 4, 6 ou 8

3 – a soma dos algarismos que formam o número é divisível por 3. Exemplo: 912 → 9 + 1 + 2 = 12. 12 : 3 = 4, logo, 912 é divisível por 3.

5 – o último algarismo da direita é 0 ou 5.

Termos das operações

Operação Nome dos termos

a + b = c a e b : parcelas c: soma

x – y = z x: minuendo y: subtraendo

z: diferença

m. p = q m e p: fatores q: produto

d : e = f d: dividendo e: divisor

F: quociente

mn^ = p m: base n: expoente

p: potência

Divisores primos destacados: 2, 2 e 5. mdc(420,40) = 2. .2. 5 = 40

mmc(420, 40) = 2. 2 .2. 3. 5. 7 = 420

Observação : Se há somente um divisor primo destacado, ele será o mdc.

Relações entre os termos das operações

Em toda adição tem-se que a diferença entre a soma e uma das parcelas é igual à outra parcela. Exemplo: 7 + 12 = 19 ↔ 19 – 12 = 7 e 19 – 7 = 12

Em toda subtração tem-se que a soma do subtraendo com a diferença é igual ao minuendo. Exemplo: 12 - 5 = 7 ↔ 7 + 5 = 12

Em toda multiplicação, o produto divido por um fator é igual ao outro fator. Exemplo: 16. 3 = 48 ↔ 48 : 3 = 16 e 48 : 16 = 3

Em toda divisão, o produto do quociente pelo divisor, adicionado ao resto é igual ao dividendo. Exemplo: 36 : 9 = 4, resto = 0 → 4. 9 + 0 = 36 45 : 6 = 7, resto = 3 → 7. 6 + 3 = 45.

Exercícios Propostos 1

1. Considere as seguintes afirmativas

I – A soma da diferença com o minuendo é igual ao subtraendo. II – Todo número natural possui um antecessor. III – O número 2 é um número par e primo.

Em relação a elas é correto afirmar que a) Todas as afirmativas são verdadeiras.

d) 7 e) 8

5. (UFMG) A partir das 7 horas, as saídas de ônibus de BH para Itabira, Barbacena e Patos de Minas obedecem ao seguinte horário: Para Itabira, de 20 em 20 minutos Para Barbacena, de 30 em 30 minutos, Para Patos, de 50 em 50 minutos. Depois de quanto tempo, após as 7 horas, saem simultaneamente, pela primeira vez, os três ônibus? a) 1h e 40 min b) 2h e 30 min c) 4h d) 5h e) Nenhuma anterior

6. Adicionando 3 unidades aos dois termos de uma subtração podemos afirmar corretamente que a diferença a) aumenta 3 unidades. b) diminui 3 unidades c) não se altera d) diminui de 6 unidades e) aumenta de 12 unidades.

7. Na divisão de a por b, sendo b>0, encontrou-se resto igual a 12. Multiplicando o dividendo e o divisor por 4, o novo resto será a) 3 b) 16 c) 8 d) 48 e) n.d.a.

8. (UFMG) Três fios têm comprimentos de 36m, 48m e 72m. Deseja-se cortá-los em pedaços menores, cujos comprimentos sejam iguais, expressos em número inteiro de metros e sem que haja perda de material. O menor número possível de pedaços é: a) 7 b) 9 c) 11 d) 13 e) 30

9. A soma dos três termos de uma subtração é 132. Então, é correto afirmar que o minuendo é a) 43 b) 66 c) 89 d) 175 e) n d a

Exemplos: − 3 =+ 3 ; 0 = 0 ; + 5 =+ 5

Números simétricos – são dois números a e b tais que a + b = 0. Exemplo: +6 e -6.

Operações com números inteiros

Adição – Embora haja regras para adicionar dois números inteiros, a maneira mais fácil de fazer essa operação é considerar os negativos como sendo quantidades que eu “devo” e os positivos com quantidades que eu “tenho”. Por exemplo, (+5) + (-8) = +5-8. Portanto, tenho 5 e devo 8, logo devo 3. Sendo assim, (+5) + (-8) = - Analogamente, (-4) + (-3) = -7, pois se devo 4 e devo 3, devo um total de 7.

Subtração – Lembrando que uma subtração pode ser considerada como uma adição algébrica, ou seja, (+7) – (+3) = +7 – 3, (sinal “menos” antes do parênteses muda o sinal de tudo que está dentro dele) temos: (+7) – (+3) = +7 – 3 = +

Multiplicação – o produto de dois números inteiros será positivo se eles tiverem sinais iguais e negativo se tiverem sinais diferentes. Exemplos: (+2). (-5) = -10. (-3). (-7) = +

Divisão – analogamente à multiplicação, o quociente entre dois números será positivo se dividendo e divisor tiverem sinais iguais, e negativo, se tiverem sinais diferentes. Exemplos: (-26) : (-13) = + (+36) : (-4) = -

Potenciação : uma potência cuja base é um número inteiro e o expoente um número natural só será negativa se a base for um número negativo e o expoente um número ímpar. Você pode verificar isso fazendo a multiplicação que corresponde à potenciação dada. Exemplos: (+3)^4 = (+3). (+3). (+3). (+3) = + (-2)^3 = (-2). (-2). (-2) = - (-5)^2 = (-5). (-5) = +

Observações:

• Se adicionarmos uma constante c a um dos fatores, o produto fica adicionado c vezes o outro fator. a. b = d → (a + c). d = d (b. c) Exemplo. 5. 4 = 20 (5 + 2 ). 4 = 28 = 20 + 2. 4
• Se multiplicarmos um dos fatores por uma constante c , o produto será multiplicado por c. m. n = p ↔ mc. n = pc Exemplo: 5. 6 = 30 (5. 3 ). 6 = 90 = 3. 30
• Se multiplicarmos dividendo e divisor por um mesmo número o quociente não se altera. a : b = t → ac : bc = t Exemplo: (+20) : (+5) = + (+20)(-2) : (+5)(-2) = -40 : -10 = +
• Se multiplicarmos o dividendo e o divisor por um mesmo número, o resto ficará multiplicado por esse número (lembre-se que o resto nunca é negativo) Exemplo: (-22) : (+5) = -4; resto = 2

4) Assinale a única afirmativa FALSA

5. Entre as potências (-6)^2 , (+2)^5 , -3^2 , (-1)^10 e (-2)^3 , quantas delas representam números inteiros

• 1 – CONJUNTOS NUMÉRICOS........................................................................................................
  • 1.1 - CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS (N)
  • 1.2 - CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS (Z)
  • 1.3 - CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS (Q)....................................................................
  • 1.4 - CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS (R)
• 2 – PROPORCIONALIDADE
  • 2.1 - RAZÕES E PROPORCÕES
  • 2.1 - DIVISÃO PROPORCIONAL
• 3 – REGRA DE TRÊS......................................................................................................................
• 4 - PORCENTAGEM
• 5 – JURO SIMPLES........................................................................................................................
• 6 – JURO COMPOSTO
• 7 – EQUIVALÊNCIA COMPOSTA DE CAPITAIS
• 8 - RENDAS CERTAS
• 9 - AMORTIZAÇÃO
• 10 - SISTEMA LEGAL DE MEDIDAS
• 11 - EQUAÇÕES DO 1º GRAU.....................................................................................................
• 12 – SISTEMA DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU COM DUAS VARIÁVEIS
• 13 – EQUAÇÃO DO 2º GRAU
• 14 - FUNÇÕES
• 15 - FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU
• 16 - INEQUAÇÃO DO 1º GRAU..................................................................................................
• 17 - FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU
• 18 - INEQUAÇÃO DO 2º GRAU..................................................................................................
• 19 - FUNÇÃO EXPONENCIAL E LOGARÍTMICA
• 20 - PROGRESSÃO ARITMÉTICA E GEOMÉTRICA
• 21 - NOÇÕES DE PROBABILIDADE
• 22 - NOÇÔES DE ESTATÍSTICA
• BIBLIOGRAFIA
• a) -
• b) +
• c) +
• d) +
• e) +
• a) (-5)^2 =
• b) (-4)^3 = -4
• c) − 6 =
• d) − 49 =(− 7 )
• e) -2^4 = (-2)
• a) positivos?
• b)
• c)
• d)
• e)
• a) - 6) Se x = -(-3)^3 – (-2)^6 e y = (-2)^3 – (-3)^2 – (-5)^0 + (-2)^4 , o produto xy vale
• b) -
• c) +

d) + e) n d a

7. Se x = -(-2)^5 e y = -(+2)^5 , o valor correto da expressão x – y é a) - b) - c) 0 d) + e) n d a

8. Se um número inteiro a representa o valor da expressão -2^2 + 2^0 – (-2)^0 , o valor da expressão a^4 + 1 é a) -1 225 b) - c) + d) + e) +1 257

9. Considere a expressão a^3 – 3 a^2 b^2. Qual o seu valor quando a = -1 e b = -2? a) - b) - c) - d) + e) +

1.3 - CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS (Q)

Número racional – dados dois números inteiros a e b , com b ≠ 0, chama-se número racional a

todo número x tal que x = b^ a

Exemplos: − 53 ,

4 (pois 4 = 41 )

Os números racionais podem ser expressos na forma fracionária ( − 53 ) ou decimal (0,6)

Transformação de fração em número decimal e vice-versa

Para transformarmos uma fração decimal (de denominador igual a uma potência de 10) escrevemos o numerador e, a partir da direita contamos tantos algarismos quantos forem os zeros do denominador e colocamos a vírgula.

Exemplos: a ) 1087 =8,7 b) 10058 =0,58 c) 10001365 =1,365 d) 100023 = 0 , 023

Se a fração não for decimal, basta dividir o numerador pelo denominador.

Para transformarmos um número decimal em fração decimal escrevemos o número sem a vírgula no numerador e depois colocamos como denominador 1 seguido de tantos zeros quantos forem as casas decimais.

a) Exemplos: 2,6 = 1026 = 135 b) 0,32 = 10032 = 258 c) 4,007 = 10004007

Para que um número seja um decimal finito o denominador da fração tem que ter como fatores somente potências de 2 e/ou de 5. Se ele é um decimal infinito periódico ou dízima periódica, ela pode ser dízima periódica simples ou composta.

Dízima periódica simples - é quando imediatamente após a vírgula já começa a repetir um padrão. Por exemplo, 2,343434… O número 34 que se repete após a vírgula chama-se período. Nesse exemplo o período tem 2 algarismos, pois para escrevermos 34 precisamos dos algarismos 3 e 4.

Dízima periódica composta - é quando após a virgula há um grupo de algarismos que não se repete para só depois aparecer o período. Por exemplo, 0, 13888…. Nesse exemplo 13 é chamado ante período (formado por 2 algarismos) e 8 é o período (formado por 1 algarismo.)

Determinação da geratriz

Geratriz é o nome que se dá à fração que gerou uma dízima periódica.

Determinação da geratriz de uma dízima periódica simples de parte inteira zero

tantos 9 quantosforemosalgarismosdo periódo

período

Exemplo: 0,345345345… = 999345

Se tivéssemos 2,345345345…. faríamos 2 + 999345 = 1998999 + 999345 =^2343999 = 333781

Determinação da geratriz de uma dízima periódica composta.

detantoszerosquantosforemosalgarismosdoante período

tantos 9 quantosforemosalgarismosdoperíodoseguidos

anteperiódoseguidodoperíodo-anteperíodo