Baixe apostila matematica basica pdf e outras Notas de estudo em PDF para Administração Empresarial, somente na Docsity!
Apostila de Matemática Básica
Esta apostila tem por finalidade auxiliar os
alunos matriculados na disciplina
“Matemática Básica – Nivelamento” do Curso
de Licenciatura em Matemática do Campus
Universitário de Sinop. Nela, estão inseridos
os principais conceitos matemáticos em nível
básico, sendo requisitos necessários para a
compreensão de conteúdos que serão
abordados em outras disciplinas do curso.
Nela, as definições matemáticas aparecem
de forma clara e objetiva, além de apresentar
exemplos e vários exercícios para a fixação
dos conceitos.
Profa. Ms. Luciana M. Elias de Assis
Sumário
Aula 1 ............................................................^2 Exercícios Aula 1 ......................................... 6 Links videoaulas : Aula 1................................ 9 Aula 2 ............................................................ 12 Exercícios Aula 2 ......................................... 15 Links videoaulas : Aula 2 ................................ 18 Aula 3 ............................................................ 19 Exercícios Aula 3 ......................................... 27 Links videoaulas : Aula 3 ................................ 30 Aula 4 ............................................................ 33 Exercícios Aula 4 ......................................... 36 Links videoaulas : Aula 4 ............................... 36 Aula 5 ............................................................ 37 Exercícios Aula 5 ......................................... 41 Links videoaulas : Aula 5 ................................ 43 Aula 6 .................................................... 44 Exercícios Aula 6 ................................. 46 Links videoaulas : Aula 6........................ 49 Aula 7 .................................................... 50 Exercícios Aula 7 ................................. 52 Links videoaulas : Aula 7........................ 54 Aula 8 ..................................................... 55 Exercícios Aula 8 ................................. 57 Links videoaulas : Aula 8......................... 60 Aula 9 .................................................... 61 Exercícios Aula 9 .................................. 64 Links videoaulas : Aula 9........................ 66 Aula 10 ..................................................^68 Exercícios Aula 10................................... 69 Links videoaulas : Aula 10....................... 71 Aula 11 ................................................... 72 Exercícios Aula 11 ................................ 74 Links videoaulas : Aula 11...................... 77
AULA 1
Conjuntos Numéricos
1. Conjunto dos Números Naturais
Os números naturais são usados para indicar uma contagem, uma ordem ou um código. A sequência dos números naturais é: 0, 1, 2, 3, ..., e o conjunto que representa esta sequência de números é denotado por:
= {0,1, 2, 3, 4, 5, 6, }
Conjunto dos Números Inteiros
Com o passar dos tempos os números naturais tornaram-se insuficientes para a resolução de todos os problemas matemáticos e, na busca de suprir essas necessidades, foi criado o conjunto dos números inteiros, que é composto pelos números naturais (inteiros positivos e o zero) e os números inteiros negativos.
O conjunto dos números naturais é denotado por:
= { -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, }
Podemos representar os números inteiros em uma reta numérica. Veja:
Módulo, ou valor absoluto de um número inteiro
Podemos determinar na reta numérica, a distância de qualquer ponto em relação à origem (representada pelo zero).
Assim, a distância entre qualquer ponto e a origem da reta numérica é chamanda de
valor absoluto ou módulo de um número associado a esse ponto.
Por exemplo: o valor absoluto do número + é 4 (a distância do ponto 4 à origem é 4).
Da mesma forma, o módulo de -3 é 3 (a distância do ponto -3 à origem é 3)
Notação de módulo: |-a| = a
Conjunto dos Números Racionais
Os números racionais são todos os números que podem ser colocados na forma de fração, com o numerador e denominador , ou seja, o conjunto dos números racionais é a união do conjunto dos números inteiros com as frações positivas e negativas.
Pode ser representado por:
= {x | x = }
Exemplos: , ,
Conjunto dos Números Irracionais
Os números irracionais são decimais infinitas não periódicas, ou seja, são números que não podem ser escrito na forma de fração.
Exemplos: Os números abaixo têm uma representação decimal não periódica com infinitas ordens decimais.
= 1,
= 1,
= 3,
Intervalo fechado: ou
a b
Intervalo aberto: ou
a b
Intervalo fechado à esquerda e aberto à direita: ou
a b
Intervalo aberto à esquerda e fechado à direita: ou
a b
Intervalo ilimitado à esquerda e fechado à direita: ou
a
Intervalo ilimitado à esquerda e aberto à direita: ou
a
Intervalo fechado à esquerda e ilimitado à direita: ou
a
Intervalo aberto à esquerda e ilimitado à direita: ou
a
OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS
Estudaremos agora, as quatro operações possíveis no conjunto dos números naturais. Praticamente, toda a matemática é construída a partir dessas operações: adição, subtração, multiplicação e divisão.
Adição de Números Naturais
A primeira operação fundamental na matemática é a adição. Onde esta operação esta ligada a ideia de juntar, acrescentar algo.
Exemplo:
Propriedades da Adição
Fechamento: A adição no conjunto dos números naturais é fechada, pois a soma de dois números naturais resulta em um número natural.
a + b = c, onde a, b, c
Exemplo: 19 + 3 = 22
Associativa: A adição no conjunto dos números naturais é associativa, pois na adição de três ou mais parcelas de números naturais quaisquer, é possível
associar de quaisquer modos, conforme ilustrado a seguir.
(a + b) + c = a + (b + c)
Exemplo: (2 + 6) + 1= 9 = 2 + (6 +1)
Elemento Neutro: No conjunto dos números naturais, existe o elemento neutro que é o zero, pois tomando um número natural qualquer e somando com o elemento neutro (zero), o resultado será o próprio número natural. Assim, a + 0 = a
Exemplo: 5 + 0 = 5
Comutativa: No conjunto dos números naturais, a adição é comutativa, pois a ordem das parcelas não altera a soma. Assim:
a + b = b + a
Exemplo: 6 + 10 = 16 = 10 + 6
Subtração de Números Naturais
A subtração é o ato ou efeito de subtrair algo, ou seja, tirar ou diminuir alguma coisa. O resultado obtido através dessa operação e denominado diferença.
Exemplo:
Diante da operação de subtração, são retiradas algumas propriedades.
O conjunto não é fechado em relação à operação de subtração, pois 4 – 5 não pertence a. O conjunto não possui elemento neutro, em relação à operação de subtração: 6 – 0 = 6 Entretanto: 0 – 6 6 Logo: 0 – 6 6 – 0 A subtração no conjunto não admite a propriedade comutativa, pois: 4 – 5 5 -
A subtração no conjunto não aceita a propriedade associativa, pois (10 – 4) – 2 10 – (4 -2)
Multiplicação de Números Naturais
É a operação que tem por finalidade adicionar o primeiro número denominado multiplicador ou parcela, tantas vezes quantas são as unidades do segundo número denominado multiplicador.
Exemplo: 4 vezes 9 é somar o número 9 quatro vezes:
O resultado da multiplicação é denominado produto e os números dados que geram o produto, são chamados fatores. Usamos x ou •, para representar a multiplicação.
Propriedades da Multiplicação
Fechamento: A multiplicação é fechada no conjunto dos números naturais , pois realizando o produto de dois ou mais números naturais, o resultado estará em .
A diferença entre dois números é 103. Quais podem ser esses números? (tente encontrar pelo menos 5)
Um fazendeiro tem 1394 vacas. Se vender 484 delas para seu compadre, ambos ficarão com a mesma quantidade de vacas. Quantas vacas o compadre possui?
Responda: Quantas unidades há em 43 dúzias de bananas? Quantos dias há em 50 meses? (considere um mês com 30 dias)
Em um trem com 8 vagões de passageiros, cada vagão tem 28 poltronas de dois lugares cada uma. Além disso, permite-se que, em cada vagão, até 20 pessoas possam viajar em pé. Qual é a lotação máxima permitida nesse trem?
Compare e escreva igualdades aplicando a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição (ou à subtração): a) 6.(10 + 5) = b) 4.(8 – 7 ) = c) 5.(a + 8) = d) 3.4 + 3. 7 =
Em uma semana, Juca vendeu 65 caixas completas de picolés e 8 picolés avulsos. Cada caixa completa contém uma dúzia de picolés. a) Quantos picolés ele vendeu nessa semana? b) Se sua cota semanal de vendas é de 80 caixas completas, quantos picolés faltam para ele atingi-la?
Marcos pensou em um número e, em seguida, dividiu-o por 8. A divisão foi exata e o quociente foi 15. Em qual número ele pensou?
Numa divisão, o quociente é 18, o resto é 7 e o divisor é 45. Calcule o dividendo.
Uma loja de produtos de limpeza possui em seu estoque 130 caixas de detergente. Cada caixa contém duas dúzias de frascos. Um cliente fez uma encomenda de 1200 frascos. Quantas caixas restaram no estoque dessa loja?
Célia e Maria colecionam papéis de carta. Célia tem o triplo da quantidade de papéis de Maria. As duas juntas possuem 244 papéis de carta. Quanto tem cada uma?
Três amigos brincavam de adivinhar quantas figurinhas havia na coleção de Anne. Seus palpites foram 294, 363 e
- Um deles errou por 33 figurinhas, outro errou por 36 e outro por 29, quantas figurinhas Anne tem? a) 323 b) 261 c) 352 d) 327 e) 341
A professora Daniela deseja presentear os 22 alunos da sua classe com lápis e canetas. Ela dispõe de 49 lápis e 32 canetas. Sabendo que nenhum aluno ficou sem receber presentes e que todos os presentes foram distribuídos, o que podemos afirmar com certeza? (a) Algum aluno ficou sem lápis. (b) Todos os alunos receberam pelo menos duas canetas. (c) Algum aluno recebeu mais de três itens. (d) Nenhum aluno recebeu 10 lápis. (e) todos receberam o mesmo número de itens.
Uma cidade ainda não tem iluminação elétrica, portanto, nas casas usam-se velas à noite. Na casa da Joana, usa-se uma vela por noite, sem queimá-la totalmente, e com quatro desses tocos de velas, Joana fabrica uma nova vela. Durante quantas noites Joana poderá iluminar sua casa dispondo de 39 velas? (a) 10 (b) 48 (c) 51 (d) 39 (e) 50
Responda: a) Qual é o menor número natural? b) Existe o maior número natural? c) Quantos números naturais existem? É possível responder?
Responda: a) Existe o menor número inteiro?
b) Quais os números naturais entre -3 e 5? c) Quais os números inteiros entre -5 e 5?
Pedro pensou em um número inteiro. Multiplicou o valor absoluto por 10 e obteve 250. Em que número Pedro pensou?
O antecessor de -100 é: a) 99 b) 101 c) -
Complete usando ou um número: a) -20 ___ ; b) 67 ___ ; c) -22 ___
O que ocorre com os módulos de dois números opostos ou simétricos?
Responda: a) Qual é o valor de – (-35)? b) Qual é o oposto do oposto de -86?
Qual é o valor destas expressões? a) |+27| + |+35| = b) |-81| + |-35| = c) |-13| - |-15| = d) |-21| - |+35| =
As letras m e n representam números inteiros. Se m = |-49| e n = |+66|, então: a) Qual é o valor de m? E o valor de n? b) Qual é o valor da expressão m – n?
Responda: a) Que número está mais distante da origem: -900 ou -1000? b) Que número está mais próximo da origem: -60 ou 200? Qual deles é o maior?
Calcule: a) (+12) + (-8) = b) (-25) + (-3) = c) (+ 34) – (-56) = d) (-320) – (-320) = e) (+2). (-3) = f) (-4). (-3) =
As letras a, b, x e y represntam números naturais. a) Se o produto (x.y) é 30, então qual é o valor de 2.(x.y)? b) Se a soma (a + b) é 10, então qual é o valor de 7.(a + b)? c) Se a diferença (x – y) é 50, então qual é o valor de 6.(x – y)?
O produto de dois números é 40. a) Multiplicando-se um dos fatores por 3, qual será o novo produto? b) Multiplicando-se os dois fatores por 3, qual será o novo produto? c) Multiplicando-se um dos fatores por 2 e o outro por 5, qual será o novo produto?
A soma de dois números é 80. Multiplicando-se cada um desses números por 6, qual será a nova soma?
Considere que as letras a e b representam números naturais e que a + b = 45 Responda: a) Qual é o valor de (a + b) + 100? b) Qual é o valor de (a + b) - 100?
Quatro números naturais são consecutivos. Um deles é 99. Nessa situação podemos afirmar que a soma desses números: a) Pode ser maior que 400. b) É sempre maior que 400 c) É sempre menor que 400. d) Nenhuma das anteriores é verdadeira.
Nesta figura, as letras x, y e z representam números naturais. Podemos afirmar que:
y 402 x 1000 z
a) x, y e z são escritos com 4 algarismos. b) y< x < 1000 c) x < y < z d) x + y + 402 = z
- Luis tem uma coleção de bolinhas de gude. Ontem ele ganhou 24 bolinhas novas de seu primo e ficou com 150.
Videoaula 2 – Conjuntos Numéricos 1 http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu gues/conjuntos-numericos-
Videoaula 3 – Adição Básica http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu gues/adicao-basica
Videoaula 4 – Adição nível 2 http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu gues/adicao-nivel-2-video- Videoaula 5 – Soma nível 2 http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu gues/soma-nivel-2-video-
Videoaula 6 – Soma nível 3 http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu gues/soma-nivel-
Videoaula 7 – Soma nível 4 http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu gues/soma-nivel-
Videoaula 8 – Somando números negativos http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu gues/somando-numeros-negativos
Videoaula 9 – subtração, método alternativo mental http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu gues/subtracao-metodo-alternativo-mental
Videoaula 10 – subtração Básica http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu gues/subtracao-basica
Videoaula 11 – subtração nível 2 http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu gues/subtracao-nivel-
Videoaula 12 – subtração nível 3 http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu gues/subtracao-nivel-
Videoaula 13 – subtração nível 4 http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu gues/subtracao-nivel-
Videoaula 14 – Método de multiplicação por grades http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu gues/metodo-de-multiplicacao-por-grades
Videoaula 15 – Multiplicação Básica http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu gues/multiplicacao-basica
Videoaula 16 – Multiplicação nível 2 - tabuadas http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu gues/multiplicacao-nivel-2-tabuadas
Videoaula 17 – Multiplicação nível 3 – tabuadas 10, 11 e 12 http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu gues/multiplicacao-nivel-3-tabuadas-do-10- 11-e-
Videoaula 18 – Multiplicação nível 4 – dois dígitos vezes um digito http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu gues/multiplicacao-nivel-4-dois-digitos-vezes- um-digito
Videoaula 19 – Multiplicação nível 5 – dois dígitos vezes dois dígitos http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu gues/multiplicacao-nivel-5-dois-digitos-vezes- dois-digitos
Videoaula 20 – Multiplicação nível 6 – múltiplos dígitos http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu gues/multiplicacao-nivel-6-multiplos-digitos
Videoaula 21 – Multiplicação nível 7 – mais exemplos http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu gues/multiplicacao-nivel-7-mais-exemplos
Videoaula 22 – multiplicação (porque negativo vezes negativo da positivo) http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu gues/por-que-negativo-vezes-negativo-da- positivo
Videoaula 23 – divisão básica http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu gues/divisao-basica
Videoaula 24 – divisão entre números racionais http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu gues/divisao-de-numeros-racionais
Videoaula 25 – divisão nível 2 http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu gues/divisao-nivel-
Videoaula 26 – divisão nível 3 http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu gues/divisao-nivel-
Videoaula 27 – divisão nível 4 http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu gues/divisao-nivel-
Videoaula 28 – divisão parcial de quociente http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu gues/divisao-parcial-de-quociente
Videoaula 29 – propriedade inversa da adição http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu gues/propriedade-inversa-da-adicao
Videoaula 30 – propriedade inversa da multiplicação http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu gues/propriedade-inversa-da-multiplicacao
Videoaula 31 – propriedade do 1 http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu gues/propriedades-do-numero-
Videoaula 32 – propriedade do 1 – segundo exemplo http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu gues/propriedades-do-numero-1-segundo- exemplo
Videoaula 33 – propriedade associativa da adição http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu gues/propriedade-associativa-da-adicao
Videoaula 34 – propriedade associativa da multiplicação http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu gues/propriedade-associativa-da- multiplicacao
Videoaula 35 – propriedade comutativa da adição http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu gues/propriedade-comutativa-da-adicao
Videoaula 36 – propriedade comutativa da multiplicação http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu gues/propriedade-comutativa-da- multiplicacao
Videoaula 37 – a propriedade distributiva http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu gues/a-propriedade-distributiva
Videoaula 38 – propriedade distributiva – exemplo 1
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu gues/propriedade-distributiva-exemplo-
Videoaula 39 – propriedade do zero http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu gues/propriedade-do-zero
Logo, aparecerão nessa sequência números que não serão múltiplos dos anteriores e, portanto, não serão removidos da tabela. Estes números serão os números primos procurados.
Inicialmente, colocamos na tabela, uma sequência de inteiros positivos numerados de 2 a 100 conforme segue:
Aplica-se o conceito de número primo para o inteiro positivo 2. Sabendo-se que o número 2 é um número primo, marca-se na tabela todos os números que sejam múltiplos de 2;
O primeiro número da sequência que aparecer sem estar marcado será um número primo, que neste caso, é o número 3.
Em seguida, marca-se todos os números que sejam múltiplos de 3;
O próximo número que aparecer sem estar marcado, que neste caso, é o número 5, será o nosso terceiro número primo da sequência numérica da tabela.
Seguindo este raciocínio um número finito de vezes, é possível ao final determinar todos os números primos p compreendidos entre 2 e 100 da tabela acima.
Obs: é possível ainda, criar uma sequência de números primos acima de 100 a partir do crivo de Eratóstenes.
Além disso, para saber se um número é primo, podemos utilizar o seguinte algoritmo:
1º) Dado um número natural n , calcule. Se a raiz for exata, significa que temos um número quadrado perfeito e, portanto composto. Se a raiz quadrada não for exata, pegue somente a parte inteira do número obtido.
2º) Divida n por todos os naturais maiores do que 1 até chegar ao número obtido a partir do calculo da raiz quadrada de n.
3º) Se n não for divisível por nenhum dos números da sequência iniciada em 2 e terminada no maior número inteiro menor do que , dizemos que este número n é primo. Caso exista algum divisor nessa sequência, então n será composto.
Por exemplo: Verifique se n=1167 é primo.
1º)
2º) Seja 34 o maior natural menor do que
3º) Dividindo 1167 por 2, 3, 4, 5, 6, ...., 34
temos que 3 é um divisor de 1167.
Portanto, 1167 não é um número primo, pois 389 x 3 = 1167
Decomposição em fatores primos
Um número composto pode ser decomposto em fatores primos. sendo utilizado o método das divisões sucessivas.
Exemplo:
630 = 2 x x 5 x 7
Números primos entre si
Dois números são denominados primos entre si, quando o único divisor comum entre os dois é o número 1.
Exemplo: Determine os divisores comuns de 15 e 16
D(15) = {1, 3, 5, 15}
D(16) = {1, 2, 4, 8, 16}
Portanto o único divisor comum de 15 e 16 é
Máximo divisor comum (m.d.c)
O máximo divisor comum de dois ou mais números, na forma fatorada, é o maior divisor comum entre eles.
Cálculo do m.d.c.
Um dos modos de calcular o m.d.c de dois ou mais números consiste em utilizar a decomposição desses números em fatores primos.
1º) Decompor os números em fatores primos;
2º) Realizar o produto dos fatores primos comuns (os fatores primos comuns são considerados com o menor expoente).
Exemplo:
Acompanhe o calculo do m.d.c entre 84 e 90:
84 = 2 x 2 x 3 x 7 = 36 =
90 = 2 x 3 x 3 x 5 = 90 =
O m.d.c é o produto dos fatores primos comuns com menor expoente (neste caso, os expoentes são iguais nos dois números, então, basta pegar o fator primo de qualquer um dos números). Portanto, m.d.c (84,90) = 2 x 3 = 6
O m.d.c de dois ou mais números, quando fatorados, é o produto dos fatores comuns a eles, cada um elevado ao menor expoente.
Calculo do m.d.c pelo processo das divisões sucessivas.
Neste processo efetuamos sucessivas divisões utilizando o algoritmo da divisão, até chegar a uma divisão exata. O último resto não nulo das sucessivas divisões será o m.d.c. procurado.
Exemplo: Calcule m.d.c (48,30)
- Dividimos o número maior pelo número menor; 48 30 = 1 (com resto 18)
- Realize uma nova divisão entre o divisor 30 com o resto 18 obtido. Repita este processo até que o resto seja zero. Assim:
dividendo = quociente x divisor + resto
48 = 1 x 30 + 18 30 = 1 x 18 + 12 18 = 1 x 12 + 6 12 = 2 x 6 + 0
- O último resto não nulo obtido a partir das sucessivas divisões feitas acima corresponde ao número 6. Portanto, m.d.c (48,30) = 6
Mínimo múltiplo comum (m.m.c)
O mínimo múltiplo comum de dois ou mais números naturais é o menor dos múltiplos comuns a eles, diferentes de zero.
Ou ainda:
O mínimo múltiplo comum de dois ou mais números escritos na forma fatorada, é o produto dos fatores comuns e não comuns desses números. Os fatores comuns são considerados com o maior expoente.
Paulo está doente. O médico receitou-lhe um comprimido de 6 em 6 horas e uma colher de xarope de 4 em 4 horas. Seu pai deu-lhe um comprimido e uma colher de xarope à zero hora (meia noite). Qual é o primeiro horário em que Paulo voltará a tomar comprimido e xarope ao mesmo tempo?
Uma escada tem 30 degraus. Rubinho está subindo essa escada de 3 em 3 degraus e Felício de 2 em 2 degraus. Responda: a) Algum deles vai pisar no 15º degrau? b) Algum deles vai pisar no 23º degrau? c) Algum deles vai pisar no 18º degrau? d) Em quais degraus os dois irão pisar juntos?
Daniel escreveu a lista, em ordem crescente, de todos os números inteiros de 1 a 100 que são múltiplos de 7 ou tem o algarismo 7. Os três primeiro números da lista são 7, 14 e 17. Quantos números possui essa lista? a) 28; b) 29; c) 30; d) 31; e) 32
De que forma explícita podemos escrever o conjunto de todos os múltiplos de um número natural n?
Quantos elementos possui e como é escrito o conjunto dos múltiplos do elemento 0?
Para obter os divisores de um número natural a, basta saber quais os elementos que, multiplicados entre si, têm por resultado o número a. Com base nessa afirmação, obtenha o conjunto de divisores de cada um dos números: 13, 18, 25, 32 e 60.
Conhecendo um método para identificar os números primos, verifique quais dos seguintes números são primos: a) 49; b) 37; c) 12; d) 11
Qual é o menor número primo com dois algarismos?
Qual é o menor número primo com dois algarismos diferentes?
Exiba todos os números primos existentes entre 10 e 20?
Decompondo o número 192 em fatores primos encontramos:
a) três fatores 2 b) cinco fatores 2 c) seis fatores 2 d) dois fatores 3 e) um fator 3
Usando a decomposição em fatores primos calcule: a) mdc ( 28, 70 ) b) mmc ( 49, 15 ) c) mmc ( 32, 56 ) d) mmc ( 48, 72 ) e) mmc ( 28, 70 ) f) mmc ( 12, 14, 16 ) g) mdc ( 60, 46 ) h) mdc ( 64, 80, 52 )
Indique, dentre estas opções, aquela que apresenta todas as informações corretas: a) 12 é múltiplo de 2,3 e de 9; b) 2, 3 e 7 são divisores de 7; c) 2,3 e 6 são divisores de 12; d) 12 é múltiplo de 24 e 39.
Determine apenas o sinal de cada produto: a) (-5).(+2).(-2).(+3).(-3) b) (-1).(+3).(-7).(+2).(+5) c) (-27).(+118).(+76).(-17).(+125)
Qual é o quociente da divisão de - pelo oposto de -12?
Observe este produto: (+14).(-65) = - a) Qual é o valor do quociente (-910) (-65)? b) Qual é o valor do quociente (-910) (+14)?
Calcule mentalmente e anote o resultado: a) (-18) (+6) = b) (-35) (-5) = c) (+70) (+7) = d) (-49) (+7) =
Decomponha -60 em um produto de dois números inteiros. Apresente no mínimo três respostas diferentes.
O produto de dois números inteiros é
- Um deles é -25, qual é o outro?
- Calcule o quociente do oposto do oposto de -768 por -16.
A letra n representa um número inteiro. Descubra o valor de n nesta igualdade: n + (- 25) = - 8
O dobro de um número inteiro é igual a -150. Descubra que número é esse.
Resolva as expressões numéricas:
a) (12 + 37) 5 = b) 5 + 2 4 – 9 : 3 = c) 507 – (123 : 3) = d) [100 + (6² - 23) 7] = e) 80 – 5(57 – 18) : (9 + 4)7 = f) {[ + (50 : 5) – (- 3)] + 45} = g) 91 + 5823 : 647 = h) 6(10000 + 100 + 1) – 6(3 7 13
= i) [(1 + 2) : 3 + 4] : 5 + 6 = j) 25 + {3³ : 9 + [3² 5 – 3(2³ - 5)]} k) (-2)³ + (-3)² - 25 = l) 24 6 + {[89 – 30 7] (5 + 8) 6}= m) [30 (9 – 6)] + [30 : (9 + 6)]= n) 5(8 + 15 – 7 + 23 +3) = o) {20 + [12 + 3(6 – 2) – 8] 7} = p) 3(5 +3) – [(12 + 4²) : 2] =
Dividindo 100 por 9, o resto encontrado é diferente de zero. De acordo com essas informações, responda. a) Qual o resto da divisão de 100 por 9? b) 100 é múltiplo de 9? c) Qual o primeiro múltiplo de 9 antes e após 100?
Um livro tem 190 páginas. Li 78 e quero termina-lo em 4 dias, lendo o mesmo número de páginas em cada dia. Quantas páginas lerei por dia?
Uma quitanda recebeu uma remessa de 25 caixas de ovos. Cada caixa contém 10 dúzias. Quantas cartelas, com 30 ovos cada uma podem ser formadas com essa quantidade?
Ao final de um dia de trabalho de três garçons, um deles contou 24 reais de gorjeta, o segundo 57 reais e o terceiro
recebeu 39 reais. Como eles sempre dividem a gorjeta por igual, quantos reais cada um recebeu nesse dia?
- Resova:
a) 2 + 3 x 5 : 4 – 3 = b) 30. 2 + 5 – (12 : 3) + 5. 4 = c) 4.(5 + 4. 4) – 2.(8 – 3). 12 : 4 =
Coloque V (verdadeiro) ou F (falso). a) ( ) 1000 = 7 x 142 + 4. b) ( ) 200 é múltiplo de 8. c) ( ) 169 = 13 x 13. d) ( )12 x 12 = 144.
Resolva as expressões numéricas:
a) (125 + 85) · 16 = b) 621 − (50 ÷ 5) = c) 5 + 3 · 2 − 6 ÷ 2 = d) (3 · 3 + 4 · 4 + 5 · 5) − 24 ÷ 3 ÷ 4 = e) (10 + 5) · 2 − (5 + 5) ÷ 2 = f) (6 · 3 + 2 · 2 + 5 · 0) + 12 ÷ 3 = g) 2 · {[20 · (3 + 4) − 5 · (1 + 3)] − 3} = h) 1000 − [(2 · 4 − 6) + (2 + 6 · 4)] = i) [6+(9÷3)·(2+2+42)·170·(40÷8−3)]÷1−2 = j) 24 · 6 + {[89 − 30 · 7] · (5 + 8) · 6} = k) 2 · [−3 + (5 − 6)] = l) [−(−3) − 5 − (+1)] · [10 ÷ (−5)] = m) 60 + 2 · {[4 · (6 + 2) − 10] + 12} = n) [(4 + 16 · 2) · 5 − 10] · 100 = o) {10 + [5 · (4 + 2 · 5) − 8] · 2} − 100 = p) 80 − 5 · (28 − 6 · 4) + 6 − 3 · 4 = q) 4 · (10 + 20 + 15 + 30) = r) (10 · 6 + 12 · 4 + 5 · 8) − 40 = s) [6 · (3 · 4−2 · 5)−4]+3 · (4−2)−(10÷2) = t) 67 + {50 · [70 ÷ (27 + 8) + 18 ÷ 2] + 21} = u) [30 · (9 − 6)] + [30 ÷ (9 + 6)] = v) 58 − [20 − (3 · 4 − 2) ÷ 5] = w) 40 + 2 · [20 − (6 + 4 · 7) ÷ 2] =
- Escreva a expressão numérica associada às operações indicadas: a) Adicionei 10 com 18 e multipliquei o resultado por 2. b) Adicionei 10 com 8 e dividi o resultado por
c) Subtraí 20 de 50 e multipliquei a diferença por 3. d) Subtraí 20 de 50 e dividi a diferença por 5.
- Apresente uma expressão numérica que resolva o problema a seguir:
Aula 3
Representações Decimais
Frações Decimais
São frações em que o denominador é uma potência de 10.
Exemplos:
Toda fração decimal pode ser escrita na forma decimal (escrita numérica com vírgula)
Para uma melhor compreensão vamos ver como funciona o nosso sistema de numeração.
O sistema de numeração decimal é posicional, isto é, o valor do algarismo depende da posição que ele ocupa no numeral conforme segue.
.... Unidades de Milhar centena dezena Unidade ....
Cada posição da esquerda para a direita corresponde a um grupo 10 vezes menor que o anterior.
Por exemplo : Numeral descrito com potências positivas de 10:
Se prosseguirmos com o mesmo padrão, criando ordens à direita da unidade, teremos:
.... Unidades , Décimos Centésimos Milésimos ....
Assim:
Registramos a décima parte da unidade como 0,1, que é a forma decimal de.
A centésima parte da unidade corresponde a 0,01:
A milésima parte da unidade corresponde a 0,001:
Assim, se continuarmos uma casa a direita da casa das unidades, ela deve representar uma quantidade 10 vezes menor , ou seja, representar o “décimo”.
Por exemplo : usamos as décimas partes da unidade, , que são potências negativas de 10, para representar as frações.
Exemplo:
Transformando uma fração decimal na forma decimal finita
Coloca-se uma vírgula para
separar a parte inteira da parte
fracionária
A representação decimal de um número racional consiste em escrever o numerador e separar à direita da vírgula, tantas casas quantos são os zeros do denominador.
Exemplos:
a)
b)
c)
OBS: Quando a quantidade de algarismos do numerador não é suficiente para colocar a vírgula, acrescentamos zero à esquerda do número.
Exemplos:
a)
b)
Fique atento....
A fração pode ser escrita na forma mais
simples, como: , onde 1 representa
a parte inteira e 27 representa a parte decimal.
Esta notação subentende que a fração
pode se decomposta na seguinte forma:
Transformando um número na forma decimal finita em uma fração decimal
Para obter um número racional a partir de sua representação decimal basta escrever uma fração em que:
- O numerador é o número decimal sem a vírgula.
- O denominador é o número 1 seguido de tantos zeros quantos forem os algarismos do número decimal depois da vírgula.
Exemplos:
a)
b)
c)
OBS: O número de casas depois da vírgula é igual ao número de zeros do denominador.
Propriedades:
Zeros após o último algarismo significativo: Um número decimal não se altera quando se acrescenta ou se retira um ou mais zeros à direita do último algarismo não nulo de sua parte decimal.
Exemplos:
a) 0,5 = 0,50 = 0,500 = 0,
b) 1,002 = 1,0020 = 1,
Multiplicação por uma potência de 10: Para multiplicar um número decimal por 10, por 100, por 1000, basta deslocar a vírgula para a direita uma, duas, ou três casas decimais.
Exemplos:
a) 7,4 x 10 = 74
b) 7,4 x 100 = 740
c) 7,4 x 1000 = 7400
Divisão por uma potência de 10: Para dividir um número decimal por 10, 100, 1000,
