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MATEMÁTICA FINANCEIRA
PROF. DANIEL DE SOUZA
INTRODUÇÃO:
O PRINCIPAL CONCEITO QUE ORIENTARÁ TODO O NOSSO RACIOCÍNIO AO LONGO
DESTE CURSO É O CONCEITO DO VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO. EMPRÉSTIMOS OU
INVESTIMENTOS REALIZADOS NO PRESENTE TERÃO SEU VALOR AUMENTADO NO
FUTURO. INVERSAMENTE, VALORES DISPONÍVEIS NO FUTURO, SE CONSIDERARMOS OU
AVALIARMOS NO PRESENTE, TERÃO SEUS VALORES REDUZIDOS.
GRAFICAMENTE:
i
DINHEIRO
TEMPO
JUROS SIMPLES:
JURO:
O CONCEITO DE JURO É DADO PELA DIFERENÇA ENTRE O RESGATE DE UM
INVESTIMENTO E O CAPITAL INVESTIDO.
NOTAÇÃO: J
TAXA DE JURO:
É O COEFICIENTE DE PROPORCIONALIDADE ENTRE O JURO E O CAPITAL CEDIDO. A
TAXA DE JURO EXPRESSA A RELAÇÃO DE GRANDEZA EXISTENTE ENTRE O JURO E O
RECURSO FINANCEIRO QUE O MESMO REMUNERA.
NOTAÇÃO: i
A TAXA DE JURO PODE APRESENTAR-SE DE DUAS FORMAS:
CENTESIMAL:
EX: i = 0, OU PERCENTUAL EX: i = 10%
VALOR PRESENTE :
VALOR DISPONÍVEL PARA SER EMPRESTADO. DINHEIRO. CONHECIDO SOB DIVERSAS
FORMAS, TAIS COMO: PRINCIPAL, CAPITAL, VALOR ATUAL, VALOR PRESENTE, VALOR
DISPONÍVEL, VALOR REAL, ETC.
NOTAÇÃO: PV
TAXA PROPORCIONAL:
CONSIDEREMOS DUAS TAXAS DE JUROS ARBITRÁRIAS i1 E i2, RELACIONADAS RESPECTIVAMENTE AOS PERÍODOS n1 e n2, REFERIDOS À UNIDADE COMUM DE TEMPO DAS TAXAS. ESTAS TAXAS SE DIZEM PROPORCIONAIS SE HOUVER A IGUALDADE DE QUOCIENTE DAS TAXAS COM O QUOCIENTE DOS RESPECTIVOS PERÍODOS, OU SEJA, SE:
n
n
i
i =
COMO EM UMA PROPORÇÃO O PRODUTO DOS MEIOS É IGUAL AO PRODUTO DOS
EXTREMOS, TEMOS:
i1. n2 = i2. n
OU SEJA, PODEMOS ESCREVER A FÓRMULA DO SEGUINTE MODO:
n
i
n
i
VEJAMOS DE MODO GRÁFICO:
n1 n
i 1
i 2
TAXA
PERÍODOS
TAMBÉM PODE-SE ANALISAR DA SEGUINTE FORMA:
SENDO i A TAXA DE JUROS CORRESPONDENTE A UM PERÍODO E ADMITINDO-SE QUE
QUEREMOS DETERMINAR A TAXA PROPORCIONAL im, CORRESPONDENTE À FRAÇÃO 1/m DE UM PERÍODO, TEM-SE:
1
1/m 1/m 1/m
OU SEJA, O INTERVALO DE TEMPO UNITÁRIO CORRESPONDENTE À TAXA DE JUROS i
FOI DIVIDIDO EM m PARTES IGUAIS. PORTANTO:
m
i
im =
EXEMPLOS:
1. VERIFICAR SE AS TAXAS DE 5% AO TRIMESTRE E DE 20% AO ANO SÃO
PROPORCIONAIS.
2. SENDO DADA A TAXA DE JUROS DE 24% AO ANO, DETERMINAR A TAXA
PROPORCIONAL MENSAL.
3. SENDO DADA A TAXA DE 10% AO SEMESTRE, ACHAR A TAXA TRIMESTRAL QUE LHE É
PROPORCIONAL.
TAXAS EQUIVALENTES:
DUAS TAXAS SE DIZEM EQUIVALENTES SE, APLICANDO UM MESMO CAPITAL ÀS DUAS
TAXAS E PELO MESMO INTERVALO DE TEMPO, AMBAS PRODUZEM O MESMO JURO.
365
PV.i.n J (^) e =
JURO COMERCIAL: DENOMINA-SE JURO COMERCIAL (OU ORDINÁRIO) O JURO QUE É CALCULADO QUANDO SE ADOTA COMO BASE O ANO COMERCIAL (360 DIAS):
360
PV.i.n J (^) c =
EXEMPLO: QUAL É O JURO EXATO E COMERCIAL DE UM CAPITAL DE $ 10.000,00 QUE É
APLICADO POR 40 DIAS E À TAXA DE 36% A.A.?
FLUXO DE CAIXA:
É COMUM REPRESENTAR AS ENTRADAS E SAÍDAS DE DINHEIRO AO LONGO DO TEMPO
ATRAVÉS DE UM DIAGRAMA, O QUAL, CHAMAREMOS DE FLUXO DE CAIXA.
EXEMPLO:
300 8
(^500 )
6 7
5 1 2 3 4
0
200
ENTRADAS (+)
SAÍDAS (-)
VALOR NOMINAL:
É QUANTO VALE UM TÍTULO NA DATA DE SEU VENCIMENTO.
EXEMPLO: UMA PESSOA QUE APLICOU UMA QUANTIA HOJE E QUE VAI RESGATÁ-LA POR
$ 20.000,00 DAQUI A 12 MESES.
PORTANTO O VALOR NOMINAL DESTA APLICAÇÃO É $ 20.000,00 NO MÊS 12.
NOTAÇÃO: FV
VALOR ATUAL:
TAMBÉM CONHECIDO COMO CAPITAL, É O VALOR QUE UM COMPROMISSO TEM EM UMA
DATA QUE ANTECEDE AO SEU VENCIMENTO.
NOTAÇÃO: PV
EXEMPLO:
1. CONSIDERE QUE UMA PESSOA POSSUI HOJE A QUANTIA DE $ 10.000,00. QUAL SERÁ
O VALOR FUTURO SE A PESSOA APLICAR ESTA IMPORTÂNCIA À TAXA DE 5% AO MÊS,
DAQUI A 3 MESES?
2. QUAL SERÁ O VALOR FUTURO DOS MESMOS $ 10.000,00 SE A TAXA FOR DE 10% AO
MÊS, DAQUI A 6 MESES?
DESCONTOS:
PODE-SE EXEMPLIFICAR DUAS FORMAS DE DESCONTOS:
A PRIMEIRA DIZ RESPEITO À NECESSIDADE DE SE RETIRAR UM VALOR APLICADO ANTES
DE SEU VENCIMENTO. NESTE CASO O APLICADOR DEVE IR JUNTO AO TOMADOR DO
RECURSO E LEVANTAR O PRINCIPAL E OS JUROS JÁ GANHOS.
A SEGUNDA É UMA SITUAÇÃO ONDE UMA EMPRESA QUE VENDE A PRAZO, E NECESSITA
DE CAPITAL IMEDIATAMENTE. ESTA PODE IR A UM BANCO E TRANSFERIR A POSSE DA
DUPLICATA, RECEBENDO DINHEIRO EM TROCA.
DESCONTO RACIONAL OU DESCONTO “POR DENTRO”:
É O DESCONTO OBTIDO PELA DIFERENÇA ENTRE O VALOR NOMINAL E O VALOR ATUAL
DE UM COMPROMISSO QUE SEJA SALDADO EM n PERÍODOS ANTES DO SEU VENCIMENTO.
DESCONTO: É A QUANTIA A SER ABATIDA DO VALOR NOMINAL. VALOR DESCONTADO: É A DIFERENÇA ENTRE O VALOR NOMINAL E O DESCONTO. NOTAÇÃO: FV = VALOR NOMINAL (MONTANTE) PVr = VALOR ATUAL (VALOR DESCONTADO RACIONAL) n = NÚMERO DE PERÍODOS ANTES DO VENCIMENTO
i = TAXA DE DESCONTO Dr = VALOR DO DESCONTO
FORMULAS
FV = PVr (1 + i.n) 1 i.n
FV.i.n D (^) r
=
EXEMPLO: UMA PESSOA PRETENDE SALDAR UM TÍTULO DE $ 5.500,00, 3 MESES ANTES
DE SEU VENCIMENTO. SABENDO-SE QUE A TAXA DE JUROS CORRENTE É DE 40% A.A.,
QUAL O DESCONTO E QUANTO VAI OBTER?
CONCLUSÃO: NO REGIME DE JUROS SIMPLES, O DESCONTO RACIONAL APLICADO AO
VALOR NOMINAL É IGUAL AO JURO DEVIDO SOBRE O CAPITAL (VALOR DESCONTADO)
DESDE QUE AMBOS SEJAM CALCULADOS À MESMA TAXA. OU SEJA, A TAXA DE JUROS
DA OPERAÇÃO É TAMBÉM A TAXA DE DESCONTO.
DESCONTO COMERCIAL OU DESCONTO “POR FORA”:
É O VALOR QUE SE OBTÉM PELO CÁLCULO DO JURO SIMPLES SOBRE O VALOR
NOMINAL DO COMPROMISSO QUE SEJA SALDADO n PERÍODOS ANTES DE SEU VENCIMENTO.
NOTAÇÃO: FV = VALOR NOMINAL (MONTANTE) PVc = VALOR ATUAL (VALOR DESCONTADO COMERCIAL) n = NÚMERO DE PERÍODOS ANTES DO VENCIMENTO i = TAXA DE DESCONTO
Dc = DESCONTO COMERCIAL
TAXA DE JUROS EFETIVA:
É A TAXA DE JUROS QUE APLICADA SOBRE O VALOR DESCONTADO, COMERCIAL OU
BANCÁRIO GERA NO PERÍODO CONSIDERADO UM MONTANTE IGUAL AO VALOR
NOMINAL.
NOTAÇÃO:
FV = VALOR NOMINAL (MONTANTE)
PVb = VALOR ATUAL (VALOR DESCONTADO BANCÁRIO) PVc = VALOR ATUAL (VALOR DESCONTADO COMERCIAL) n = NÚMERO DE PERÍODOS ANTES DO VENCIMENTO if = TAXA EFETIVA
FÓRMULAS
n
PVbFV -^1 if = (^) n PVcFV -^1 if =
EXEMPLO:
Seja o mesmo exemplo anterior, no qual já calculamos: PVc = 4.950, PVb = 4.840, FV = 5.500, n = 3 Pede-se: taxa efetiva para desconto comercial e bancário.
RELAÇÃO ENTRE DESCONTO RACIONAL E COMERCIAL: COMO JÁ VERIFICAMOS ANTERIORMENTE, O DESCONTO COMERCIAL É MAIOR QUE O DESCONTO RACIONAL, SE AMBOS FOREM FEITOS NAS MESMAS CONDIÇÕES. Dc > Dr
DEDUZINDO SUAS FÓRMULAS TEM-SE:
Dc = Dr (1 + i. n)
EXEMPLO: O DESCONTO COMERCIAL DE UM TÍTULO DESCONTADO 3 MESES ANTES DE
SEU VENCIMENTO E À TAXA DE 40% A.A. É DE $ 500,00. QUAL É O DESCONTO
RACIONAL?
VALOR PRESENTE E VALOR FUTURO:
NOTAÇÃO:
FV = VALOR NOMINAL, MONTANTE, VALOR FUTURO
PV = VALOR ATUAL, CAPITAL, VALOR PRESENTE
n = NÚMERO DE PERÍODOS i = TAXA DE JUROS
FV = PV(1 + i)n
EXEMPLO: UMA PESSOA TOMA $ 1.000,00 EMPRESTADO À TAXA DE JUROS DE 2% a.m. PELO PRAZO DE 10 MESES COM CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA. QUAL O MONTANTE A SER DEVOLVIDO?
JURO:
NOTAÇÃO:
J = JURO
PV = VALOR ATUAL, CAPITAL, VALOR PRESENTE
n = NÚMERO DE PERÍODOS i = TAXA DE JUROS
FÓRMULA
J = FV - PV
OU
J = PV [(1 + i)n^ – 1]
EXEMPLO: QUAL O JURO PAGO NO CASO DO EMPRÉSTIMO DE $ 1.000,00 À TAXA DE JUROS COMPOSTOS DE 2% a.m. E PELO PRAZO DE 10 MESES?
EXEMPLOS:
A) POR QUANTO DEVO COMPRAR UM TÍTULO, VENCÍVEL DAQUI A 5 MESES, COM
VALOR NOMINAL DE $ 1.131,40, SE A TAXA DE JUROS COMPOSTOS CORRENTE FOR DE
2,5% a.m.? B) UMA PESSOA POSSUI UMA LETRA DE CÂMBIO QUE VENCE DAQUI A UM ANO, COM VALOR NOMINAL DE $ 1.344,89. FOI-LHE PROPOSTA A TROCA DAQUELE TÍTULO POR OUTRO, VENCÍVEL DAQUI A 3 MESES E NO VALOR DE $ 1.080,00. SABENDO-SE QUE A TAXA CORRENTE DE MERCADO É DE 2,5% a.m., PERGUNTA-SE SE A TROCA PROPOSTA É VANTAJOSA.
TAXAS EQUIVALENTES:
DIZEMOS QUE DUAS TAXAS SÃO EQUIVALENTES SE, CONSIDERADOS O MESMO PRAZO DE APLICAÇÃO E O MESMO CAPITAL, FOR INDIFERENTE APLICAR EM UMA OU EM OUTRA. DE OUTRO MODO, CONSIDERANDO-SE UM MESMO CAPITAL APLICADO POR UM MESMO INTERVALO DE TEMPO A CADA UMA DAS TAXAS, AMBAS AS TAXAS PRODUZIRÃO UM MESMO MONTANTE SE FOREM EQUIVALENTES.
1
1/q 1/q 1/q
Sejam as taxas: i = REFERENTE A UM INTERVALO DE TEMPO q
iq = CORRESPONDENTE A UM INTERVALO DE TEMPO IGUAL À FRAÇÃO PRÓPRIA p^ q=^1 q
NOTAÇÃO: iq = TAXA EQUIVALENTE i = TAXA DE JURO REFERENTE AO PERÍODO MAIOR q = NÚMERO DE PERÍODOS QUE DIVIDEM UM PERÍODO MAIOR EM “q” PARTES IGUAIS
TAXA EFETIVA E TAXA NOMINAL – QUANDO O PERÍODO DE CAPITALIZAÇÃO NÃO
COINCIDE COM O PERÍODO DA TAXA:
TEMOS UMA TAXA DE JUROS NOMINAL QUANDO O PRAZO DE FORMAÇÃO E
INCORPORAÇÃO DE JUROS AO CAPITAL INICIAL NÃO COINCIDE COM AQUELE A QUE A
TAXA SE REFERE. NESTE CASO, É COMUM ADOTAR-SE A CONVENÇÃO DE QUE A TAXA
POR PERÍODO DE CAPITALIZAÇÃO SEJA PROPORCIONAL À TAXA NOMINAL.
NOTAÇÃO:
if = TAXA EFETIVA i = TAXA NOMINAL k = NÚMERO DE CAPITALIZAÇÕES PARA 1 PERÍODO DA TAXA NOMINAL FVnk = MONTANTE, VALOR FUTURO, VALOR NOMINAL PV = PRINCIPAL, CAPITAL, VALOR PRESENTE, VALOR ATUAL
FÓRMULA if = (1 + i/k)k^ - 1 i = [(1 + if)1/k^ – 1] k
PODE-SE, TAMBÉM, CALCULAR DIRETAMENTO O FV
FÓRMULA
FVn,k = V (1 + i/k)k.n
EXEMPLOS:
- UM BANCO FAZ EMPRÉSTIMOS À TAXA DE 5% a.a., MAS ADOTANDO A CAPITALIZAÇÃO SEMESTRAL DOS JUROS. QUAL SERIA O JURO PAGO POR UM EMPRÉSTIMO DE $ 10.000,00, FEITO POR 1 ANO?
- UM CAPITAL DE $1.000,00 FOI APLICADO POR 3 ANOS, À TAXA DE 10% a.a., COM CAPITALIZAÇÃO SEMESTRAL. CALCULAR O MONTANTE E A TAXA EFETIVA DA OPERAÇÃO.
- SABENDO-SE QUE A TAXA NOMINAL DE 12% a.a. É CAPITALIZADA TRIMESTRALMENTE, CALCULAR A TAXA EFETIVA.
EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS:
COMO JÁ FOI VISTO NO CASO DAS OPERAÇÕES DE DESCONTO, É FREQÜENTE A
NECESSIDADE DE ANTECIPAR OU DE PRORROGAR TÍTULOS NAS OPERAÇÕES
FINANCEIRAS. ÀS VEZES QUEREMOS SUBSTITUIR UM TÍTULO POR OUTRO OU POR
VÁRIOS. PODEMOS TAMBÉM TER VÁRIOS TÍTULOS QUE QUEREMOS SUBSTITUIR POR UM
ÚNICO OU POR VÁRIOS.
TAIS QUESTÕES DIZEM RESPEITO, DE MODO GERAL, À COMPARAÇÃO DE VALORES
DIFERENTES, CONSIDERANDO-SE UMA DADA TAXA DE JUROS.
NA PRÁTICA, ESTAS COMPARAÇÕES SÃO FEITAS UTILIZANDO-SE O CRITÉRIO DE JUROS
COMPOSTOS.
DATA FOCAL:
DATA FOCAL É A DATA QUE SE CONSIDERA COMO BASE DE COMPARAÇÃO DOS
VALORES REFERIDOS A DATAS DIFERENTES.
A DATA FOCAL TAMBÉM É CHAMADA DE DATA DE AVALIAÇÃO OU DATA DE REFERÊNCIA.
EXEMPLO:
CERTA PESSOA TEM UMA NOTA PROMISSÓRIA A RECEBER COM VALOR NOMINAL DE $
15.000,00, QUE VENCERÁ EM DOIS ANOS. ALÉM DISTO, POSSUI $ 20.000,00 HOJE, QUE
IRÁ APLICAR À TAXA DE 2% a.m., DURANTE DOIS ANOS. CONSIDERANDO QUE O CUSTO DE OPORTUNIDADE DO CAPITAL HOJE, OU SEJA, A TAXA DE JUROS VIGENTE NO MERCADO, É DE 2% a.m., PERGUNTA-SE: A) QUANTO POSSUI HOJE? B) QUANTO POSSUIRÁ DAQUI A UM ANO? C) QUANTO POSSUIRÁ DAQUI A DOIS ANOS? (RESOLUÇÃO NO QUADRO)
