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MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
UNIVERSIDADE FEDERAL DE PELOTAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSITICA
APOSTILA DE MATRIZES
PROF. VINICIUS
1. Matrizes
1.1 Matrizes Definição (matriz): Dados , chama-se matriz n por m (escreve-se matriz ) toda tabela formada por números reais distribuídos em linhas e colunas. Usualmente, utilizam-se as letras e para representar matrizes, embora outras letras possam ser eventualmente utilizadas.
Exemplos:
(matriz nula)
(matriz identidade)
2.2 Operações entre Matrizes Adição: Dadas duas matrizes e (onde representa o elemento da i-ésima linha e j-ésima coluna em uma matriz ), chama-se soma de A e B (escreve-se ) a matriz tal que.
Exemplos:
Observação: A subtração é inteiramente análoga a operação de adição, resultando na matriz diferença.
Exemplo:
Multiplicação por escalar: A multiplicação por escalar é uma operação que associa a um número e uma matriz , uma matriz tal que . Exemplos:
A transposta de é.
1.4 Matriz Simétrica Definição (matriz simétrica): Chama-se Mariz simétrica toda matriz quadrada ( tal que.
Exemplos:
1.5 Matriz Triangular Definição (matriz triangular inferior): Uma matriz é dita ser uma matriz triangular inferior quando , para todos tais que.
Exemplos:
Definição (matriz triangular superior): Uma matriz é dita ser uma matriz triangular superior quando , para todo tais que.
Exemplos:
1.6 Determinantes Definição (determinante ): Se uma matriz tem dimensões (matriz de ordem , então o determinante de é o seu único elemento. Isto é, . Exemplos:
Definição (determinante ):.
Exemplos:
Definição (cofatores): Consideremos uma matriz de ordem. Seja um elemento de. Definimos como cofator de (e escrevemos ) o número . Exemplo:
Definição (definição geral de determinante): Seja uma matriz de ordem. Definimos o determinante de ( ) de forma recorrente: Fixemos uma coluna. Se , então. Se, porém, , com , então . Exemplos:
1.7 Propriedades dos Determinantes
P1: Se é uma matriz , então. Exemplo:
P2: Se os elementos de uma fila (linha ou coluna) de uma matriz forem todos nulos, então.
Exemplo:
1.9 Matriz Inversa Definição (matriz inversa): Seja uma matriz. Chamamos de matriz inversa a matriz tal que , onde é a matriz identidade (conforme a ordem).
Exemplo: Se , então , pois .
Definição (matriz dos cofatores): Seja uma matriz. Chamamos de matriz dos cofatores de A (escreve-se ) a matriz que se obtém de , substituindo cada elemento de por seu respectivo cofator.
Exemplo: Se , então , , , e .
Definição (matriz adjunta): Seja uma matriz. Chamamos de matriz adjunta ( a matriz.
Exemplo: Se , então e.
Teorema (teorema da matriz inversa): Se é uma matriz e , então a
inversa de é.
Exemplo: Se , então , , e assim,
De fato,.
1.10 Exercícios sobre Matrizes
Dadas e , calcule e também.
Dadas , e
. Calcule.
Dadas e , calcule e também.
Calcule os seguintes produtos de matrizes:
e
- Calcule os determinantes das seguintes matrizes:
, , ,
- Calcule a matriz dos cofatores ( ) da matriz
.
- Encontre a matriz transposta das seguintes matrizes: e.
; 8) e ; 9) e
; 10) ; 11) ; 12) ; 13) ; 14) ; 15).
Vinicius Carvalho Beck
Email: [email protected]
1ºedição
2011
