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ÁLGEBRA LINEAR
CAPÍTULO 1:MATRIZES
1.1 INTRODUÇÃO
examinar-se-ão as matrizes, os determinantes, diversos métodos diretos para resolver sistemas de equações^ A Álgebra Linear é a área da Matemática que estuda os^ espaços vetoriais. Para iniciar esse estudo, lineares, os conceitos básicos de espaços vetoriais, o cálculo de autovalores e a diagonalização. 1.2 MATRIZES Definição 1.1: m linhas e n colunas, como mostra o seguinte esquema Uma matriz numérica A de ordem m × n é um arranjo retangular de números dispostos em
m m mn
n n a a a
a a a a a a L
M M O M
L
L
1 2
21 22 2 11 12 1 A.
De maneira compacta, uma matriz pode ser representada como [ ]
onde os índices (^) i e j denotam, respectivamente, o número da linha e coluna, e o índice A^ = aij^ m × n m × n estabelece a ordem da matriz.
Nomenclatura 1.1: Considere uma matriz [ ]
- Se m = n , a matriz A^^ = A aij^ denomina-se uma m × n. matriz quadrada. Em outro caso, a matriz A denomina-se
- umaSe n^ matriz retangular = 1 , a matriz A .denomina-se um vetor-coluna de ordem n e é comum denotar um vetor- coluna por u , v , w , etc., como foi visto no capítulo anterior. Por exemplo,
u n
u u M^2
1 u.
3. Sepor m u t =, 1 v , a matriz t , w t , etc., como foi visto no capítulo anterior. Por exemplo A denomina-se um vetor-linha de ordem m e é comum denotar um vetor-linha [ ]
- Se m = n = 1 , a matriz A é identificada com o único elemento numérico que possui: u t^^ = u^^1 u^2 A L=[ au ] n.
5. As m linhas da matriz A =[ a ij ] m × n são denotadas por l 1 t , lt 2 , K , ltm , (a letra l deve-se à palavra
linha ), de maneira que lti =[ ai (^) 1 ai 2 L ain ] (ou
i n
i i a
a a M^2
1 l i ) e
tm
t 2 t 1
l
l l A (^) M. Quando houver mais de
uma matriz envolvida, é costume distinguir as linhas da matriz A =[ a ij ] m × n por l1, tA , l t2.A , K , l tm,A.
6. As n colunas da matriz A =[ a ij ] m × n são denotadas por c 1 , c 2 , K , cn , (a letra c deve-se à palavra
coluna ), de maneira que
n j
j j a
a a M^2
1
c j e A = [ c 1 c 2 L cn ]. Quando houver mais de uma matriz
envolvida, é costume distinguir as colunas da matriz A =[ a ij ] m × n por c 1 , A , c 2 , A , K , c n , A.
7. Em uma matriz quadrada A =[ a ij ] n × n , os elementos
da forma aii , i = 1 , 2 ,K, n , da matriz formam a diagonal principal e os elementos a 1 (^) n , a 2 , n − 1 ,K, an 1 formamfigura ao lado a diagonal (1): secundária como mostra a (1) tomado de https://pt.slideshare.net/AulasApoio/matriz-exercicios-resolvidos Exemplo 1.1: Considere a matriz
A. Logo, A = [ c 1 c 2 c 3 c 4 ]onde as 4 colunas da
matriz estão dadas por
c 1 ,
c 2 ,
c 3 e
c 4. Também,
= t 3
t 2 t 1 l l l A onde as 3 linhas da
matriz estão dadas por 3 × 4. Assim, ela é uma matriz retangular. lt 1 =[ − 1 0 2 0 ], l t 2 =[ 2 3 0 1 ]e lt 3 =[ 0 − 2 7 0 ]. A ordem desta matriz é
Exemplo 1.2: Considere a matriz
=^ − −
A. Logo, A = [ c 1 c 2 c 3 ]onde as 3 colunas da matriz
estão dadas por
c 1 ,
c 2 e
c 3. Também,
= t 3
t 2 1 t l l l A onde as 3 linhas da matriz estão dadas
porquadrada. lt 1 =[ − 1 2 3 ], lt 2 =[ 0 1 4 ]e lt 3 =[ 2 4 5 ]. A ordem desta matriz é 3 × 3. Assim, ela é uma matriz
1.3Definição 1.2: ÁLGEBRA MATRICIAL Duas matrizes A e B são iguais se, e somente se, são da mesma ordem e todos seus
correspondentes elementos são iguais. Em símbolos, dadas as matrizes A =[ aij ] m × n e B =[ b ij ] p × q , diz-se que
A = B ⇔ m = p , n = q e aij = bij ,∀ i = 1 , 2 ,K, m ; j = 1 , 2 ,K, n.
Definição 1.3: Dadas as matrizes da mesma ordem, m × n , A =[ a ij ] m × n e B =[ b ij ] m × n ,
1. define-se a soma de A e B como a matriz de ordem m × n
onde l (^) i, A ⋅ cj,B denota o produto escalar dos vetores
i n
i i a
a a M^2
1 li (^) , A e
n j
j j b
b b M^2
1 c (^) j, B , ou seja,
li, A ⋅ cj,B = ai 1 b 1 j + ai 2 b 2 j +L+ ainbnj = k =^ n 1 aikbkj.
Nomenclatura: 2 3 Se A =[ aik ] n × n é uma matriz quadrada de ordem n × n , então podemos definir A A = A^2 ,
A A = A , e assim por diante, A n^ A = A n +^1. Neste caso, Am denomina-se a n-ésima potência da matriz A.
Exemplo 1.4: Considere as matrizes
A e
B. Logo,
= t 3 A
t 2 A 1 tA l l l A , , , e
B = [ c (^) 1 , B c 2 , B ], onde
l 1 , A ,
l (^2) , A ,
l (^) 3 , A ,
c 1 , B ,
c (^2) , B.
Tem-se que:
, , = − ⋅ + ⋅ − + ⋅ + ⋅ =
l 1 A ⋅ c 1 B = ( 1 ) 3 01 2 0 01 3 ;
, , = − ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = −
l 1 A ⋅ c 2 B =
, , = ⋅ + ⋅ − + ⋅ + ⋅ =
l 2 A ⋅ c 1 B = 2 3 31 0 0 11 10 ;
, , = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =
l 2 A ⋅ c 2 B =
, , = ⋅ + − ⋅ − + ⋅ + ⋅ =
l 3 A ⋅ c 1 B = 0 3 ( 2 ) 1 7 0 01 2.
, , = ⋅ + − ⋅ + ⋅ + ⋅ = −
l 3 A ⋅ c 2 B =
Logo,
× 2
3 , 2 , 32 2 , 2 , , 2 , 3 , , 2 , , , , A B A B 1 A B A 1 B A 1 B 1 A 1 B l c l c l c l c l c l c A B.
Exemplo 1.5: Considere a matriz
A e o vetor
u. Escrevendo
= t 3 A
t 2 A t 1 A l l l A , , , , o
produto A u pode ser expresso como
l u l u l u u l l l Au 3 A 2 A 1 A t 3 A t 2 A t 1 A , , , , , , , sendo, como no exemplo anterior,
l 1 , A ,
l (^2) , A ,
l (^) 3 , A. Mas,
( 1 ) 2 0 ( 1 ) 2 ( 1 ) 0 3 4 3
l (^1) A ⋅ u = ,
2 2 3 ( 1 ) 0 ( 1 ) 13 4 3
l (^) A ⋅ u = ,
0 2 ( 2 ) ( 1 ) 7 ( 1 ) 0 3 5 3
l (^) A ⋅ u =.
Enfim,
, , , l u l u l u Au 3 A 2 A
1 A.
Observação 1.1: básica desta outra forma está em construir as colunas desse produto como certas combinações lineares das A seguir, é apresentada uma forma alternativa para obter o produto A B. Aqui, a idéia colunas da matriz A.
A j -ésima coluna do produto [^ ]
m p
mp ×
×
m,A 1,B m,A 2,B m,A p, B
2,A 1,B 2,A 2,B 2,A p,B 1,A 1,B 1,A 2,B 1,A p,B i,A j,B l c l c l c
l c l c l c l c l c l c AB l c L
M M O M
L
L
é
(^ )^ (^ )
= = =
=
= = =
⋅ n k kj
n k kj
n k kj mk
k k n k mk kj
n k k kj
n k k kj b b b a
a a
a b
a b
a b 1 1 , 1 , 2 1
1
1 2
1 1 kA k A m,A j,B
2,A j,B 1,A j,B c c l c
l c l c M M^ M
A i -ésima linha do produto [ ]
m p
mp ×
×
m,A 1,B m,A 2,B m,A p, B
2,A 1,B 2,A 2,B 2,A p,B 1,A 1,B 1,A 2,B 1,A p,B i,A j,B l c l c l c
l c l c l c l c l c l c AB l c L
M M O M
L
L
é
[ ] ( ) ( ) ( )
( [ ])
^ (^ )
=
=
= = =
=
⋅ ⋅ ⋅ =^ ⋅ ⋅ ⋅
n k ik
n k ik k k kp
n k ik kp
n k ik k
n k ik k
a
a b b b
a b a b a b
1
1 1 2
1 1 1 2 1
tk,B
i,A 1,B i,A 2,B i,A p,B
l
l c l c l c L
K L
Assim, outra forma de realizar o produto das matrizes A e B é
=
=
=
× k^ n mk
n k k
n k k
m p a
a
a
1
1 2
1 1
tk,B
k,tB
tk,B
m,A 1,B m,A 2,B m,A p,B
2,A 1,B 2,A 2,B 2,A p,B 1,A 1,B 1,A 2,B 1,A p,B
l
l
l
l c l c l c
l c l c l c l c l c l c AB M L
M M O M
L
L
que dá como resultado
1,tB t2,B^ tn,B
1,tB t2,B tn,B
t1,B t2,B tn,B
l l l
l l l l l l AB m m mn
n n a a a
a a a a a a L
M
L
L
1 2
21 22 2 11 12 1 ;
ou seja, a i -ésima linha de A B é a combinação linear ai (^) 1 ⋅ lt1, (^) B + ai 2 ⋅ lt2,B +L+ ain ⋅ ltn,B , sendo os coeficientes
da combinação formados pelos valores [ a i 1 ai 2 L ain ] = l ti , B , que formam a i -ésima linha de A.
Observação 1.3: Na observação anterior, viu-se que,
t1,B t2,B tn,B
t1,B t2,B tn,B t1,B t2,B tn,B
l l l
l l l l l l AB m m mn
n n a a a
a a a a a a L
M
L
L
1 2
21 22 2 11 12 1 , mas esta
igualdade ainda pode ser expressa como
(^ )
= =
=
=
= kn k^ n mk
k k n k mk
n k k
n k k
m m mn
n n a
a a
a
a
a
a a a
a a a a a a 1 1 , 2 1
1
1 2
1 1
1 2
21 22 2 11 12 1 tk,B kA tk,B tk,B
tk,B
tk,B
1,tB t2,B tn,B
1,tB t2,B tn,B
t1,B t2,B tn,B l c l l
l
l
l l l
l l l l l l A B M M L
M
L
L
Agora, cada termo do último somatório c (^) k , Alk,tB é uma matriz m × n. Com efeito,
[ ]
mk k mk k mk k n
k k k k k kn k k k k k kn k k kn mk
k k a b a b a b
a b a b a b a b a b a b b b b a
a a L
M M O M
L
L
M L
1 2
2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 (^212) 1 ck (^) , Al^ tk,B ;
esta última expressão, que é uma matriz, é chamada, com freqüência, de produto externo dos vetores ck (^) , A e
Exemplo 1.6: (Muito importante)l^ k,^ B.
Considere as matrizes
A e
B.
Vamos realizar o produto1. Por definição (processo também chamado AB de quatro maneiras diferentes: forma linha-coluna ):
= t 3 A
t 2 A t 1 A l l l A , , , 0
, sendo
[ ]
[ ]
[^ ]
,
,
, t 3 A
t 2 A
t 1 A l
l
l ou,
, 0
l 1 A = , 1
l 1 A =
=^ −
l 1 , A.
Também, B [ c 1 , B c 2 , B ]
= − , sendo^ , 3
c 1 B =^ −
c (^2) , B. Já foi visto no exemplo 1.4 que 2 ; l 1 , A ⋅ c 1 , B = 4 ; l 1 , A ⋅ c 2 , B =− 3 ; l 2 , A ⋅ c 1 , B = 16 ; l 2 , A ⋅ c 2 , B = 10 ; l (^3) , A ⋅ c 1 , B = l 3 , A ⋅ c 2 , B =− 2. Logo,
× 2
, , 32 , , , , , , , , , , 3 A 2 B 2 A 2 B 1 A 2 B 3 A 1 B 2 A 1 B 1 A 1 B l c l c l c l c l c l c A B.
- Combinações das linhas de Como foi detalhado na observação 1.2, outra maneira de multiplicar as matrizes B : A e B é formando as linhas do produto A B mediante combinações lineares das linhas da matriz B :
2. 3. AA ++ BO == BO ++ AA ; (propriedade comutativa da adição)= A , (elemento neutro da adição) onde O é a matriz nula m × n ; 4. 5. A r ( (^) s + (^) A (− (^) ) A = )( r = s ()− AA , para quaisquer)+ A = O ; (elemento inverso da adição) onde r , s ∈ R ; O é a matriz nula m × n ; 6. 7. r ( r ( A (^) + (^) + s ) BA ) == rr AA ++ sr AB , para quaisquer, para qualquer rr ∈, s R ∈; R ;
Observação 1.4:^ 8.^^1 A^^ = A. As oito propriedades enunciadas anteriormente, junto com o fato que A + B e r A são matrizes de ordeme multiplicação por um escalar (real), um m × n , fazem do conjunto de matrizes de ordem espaço vetorial (real). m × n , junto com as operações de adição
Observação 1.5: A multiplicação de matrizes não é comutativa. Em geral, se A =[ aij ] m × n e B =[ b ij ] n × p ,
então existe o produto A B mas o produto B A pode não existir (quando m ≠ p ). Mas mesmo no caso de
matrizes quadradas da mesma ordem, ou seja, quando A =[ a^ ij ] n^ × n e B =[ b^ ij ] n^ × n , pode acontecer que
A B ≠ B A , como no caso de (^) A = (^) 31 42 e (^) B = (^) 24 13 , em que (^) A B = (^) 208 135 e (^) B A = (^) ^135208 .
Propriedades 1.2: 1. Dadas as matrizes [ ]
(propriedade distributiva) A^^ = aij^ m × n ,^ B^^ =[ b^ ij^ ] m^ × n e^ C^^ =[ b^ ij^ ] n^ × p , tem-se que^ (^ A^ +^ B )^ ⋅ C = A ⋅ C + B ⋅ C ;
2. Dadas as matrizes A =[ a ij ] m × n , B =[ b ij ] n × p e C =[ b ij ] n × p , tem-se que A ⋅ ( B + C ) = A ⋅ B + A ⋅ C ;
3. (propriedade distributiva).Dadas as matrizes [^ ]^
(propriedade associativa da multiplicação). A^^ = aij^ m × n ,^ B^^ =[ b^ ij^ ] n^ × p e^ C^^ =[ b^ ij^ ]^ p × q , tem-se que^ (^ A^ ⋅^ B )^ ⋅ C = A ⋅( B^ ⋅ C );
Definição 1.5: Dada a matriz A =[ a^ ij ] m^ × n , define-se a matriz transposta de A como a matriz de ordem
n × m [ ]
A matriz transposta da matriz A resulta de trocar as linhas pelas colunas de^ A^ t^ = a^ jin × m. A , ou seja, se
[ 1 A 2 A nA ]
tmA
t 2 A t 1 A c c c l
l l A (^) , , , ,
, , 1 2
21 22 2 11 12 1 M^ L L
M M O M
L
L
m m mn
n n a a a
a a a a a a , então
[ ]
tnA
t 2 A t 1 A t 1 A 2 A mA c
c c A l l l ,
, , , , , 1 2
12 22 2 11 21 1 L M L
M M O M
L
L
n n mn
m m a a a
a a a a a a .
Exemplo 1.7: Seja
A. Então
A t.
Tipos especiais de matrizes considerando a transposição: 1. Matriz Simétrica : é uma matriz A que coincide com a sua matriz transposta A t , ou seja, A = At.
Isto significa que uma matriz A = [^ aij ] m^ × n é simétrica se, e somente se, m = n e aij = aji , para todos
- os Matriz Anti-Simétrica^ i ,^ j. : é uma matriz A que coincide com o oposto de sua matriz transposta A t , ou
seja, A = − At. Isto significa que uma matriz A =[ aij ] m × n é anti-simétrica se, e somente se, m = n e
principal da matriz são todos iguais a zero, ou seja, aij^ =^ − a^ ji , para todos os^ i ,^ j. Em particular, se a matriz =^ A 0^ é anti-simétrica, os elementos da diagonal Propriedades 1.3: aii^ , para todo^ i^.
1. Dada a matriz A = [ aij ] m × n , então ( A t^ ) t = A
2. Dadas as matrizes A =[ a ij ] m × n e B = [ b ij ] m × n , então (A + B)t^ = At + Bt.
3. Dadas as matrizes A =[ a ik ] m × n e B = [ b kj ] n × p , então (A B)t^ = BtAt.
4. Se e m A × (^) m uma matriz de ordem, respectivamente. m × n , então At^ ⋅ A e A ⋅ At são matrizes simétricas de ordens n × n 5. Toda matriz quadradamatriz anti-simétrica: A pode ser decomposta como a soma de uma matriz simétrica e uma
A = 12 ( A + At^ ) + 21 ( A − At ).
Prova de 3.:
Observe que se
u r
uu M^2
1 u e
v r
vv M^2
1 v são vetores coluna de ordem^ r^ , então
u v ut^ v [ ] [ ] = vtu = v ⋅ u
r
r r r r
r u
u u u v u v u v v v v v
v v u u L u M L L M^2
1 (^2112212) 1 1 2.
Dadas as matrizes
[ ] [ 1 A 2 A nA ]
tmA
t 2 A t 1 A c c c l
l l A (^) , , , ,
, , M =^ L
= aik m × n = e [ ] [ 1 B 2 B pB ]
tnB
t 2 B t 1 B c c c l
l l B (^) , , , ,
, , M =^ L
= bkjn × p =
tem-se que [ ]
n^ tA
t 2 A t 1 A t 1 A 2 A mA c
c c A l l l ,
, ,
, , L^ , M ,^ [^ ]
tnB
t 2 B 1 tB t 1 B 2 B nB c
c c B l l l ,
, , , , L^ , M e
m × p
m,A 1,B m,A 2,B m,A p, B
2,A 1,B 2,A 2,B 2,A p,B 1,A 1,B 1,A 2,B 1,A p,B l c l c l c
l c l c l c l c l c l c AB L
M M O M
L
L
Exemplo 1.11: Dada a matriz
A , tem-se que
At^ A e
t^1 A A.
Observe que ambas matrizes são simétricas, como previsto pela propriedade 4. Exemplo 1.12: Aqui, vai ser ilustrada a propriedade 5. Dada a matriz
A , observe que tal matriz não é simétrica nem anti-simétrica. Porém, tem-se que ( )
^ =
^ +
21 A^ At 21 e ( ) (^)
(^12) A At (^12).
Assim,
A , sendo que a primeira parcela é uma matriz simétrica e a segunda, uma matriz anti-simétrica. Outros tipos especiais de matrizes: 1. Matriz nula: é uma matriz de ordem arbitrária, m × n , cujos elementos são todos iguais a zero e é
2. denotada por Matriz identidade^ O^ ou: é uma matriz quadrada de ordem^ O m^ × n. n × n da forma
L
M M O M
L
L
I n , ou seja, uma matriz cujos elementos daiguais a 0. diagonal principal são todos iguais a 1 e os outros são todos
- Matriz Diagonal : é uma matriz quadrada de ordem n × n da forma
d nn
d
d
L
M M O M
L
L
22
11
D .
4. Matriz Triangular Superior : é uma matriz quadrada U =[ u ij ] n × n tal que uij = 0 , quando i > j , ou
seja, da forma:
nn
n n u
u u u u u L
M M O M
L
L
U^011 .
5. Matriz Triangular Inferior : é uma matriz quadrada L =[ l ij ] n × n tal que lij = 0 , quando i < j , ou seja,
da forma:
ln ln l nn
l l l L
M M O M
L
L
1 2
21 22
L.
6. Matriz Tri-Diagonal : é uma matriz A =[ a^ ij ] n^ × n tal que aij = 0 , para todo i , j com | i − j |> 1. Por
exemplo, uma matriz tri-diagonal de ordem 20 × 20 tem o seguinte padrão de esparsidade
- onde as posições sem pontos denotam elementos iguais a zero. Matriz Bloco : é uma matriz cujos elementos são, por sua vez, matrizes de ordens adequadas. Estas matrizes aparecem freqüentemente quando são resolvidos problemas através de métodos numéricos.
Propriedades 1.4:1. Se [ ]
2. A soma e o produto de duas matrizes diagonais de ordens compatíveis é uma matriz diagonal. A^^ = aij^ m × n , então^ I^ m^ × m A = A e^ A^ I n ×^ n = A ; (elemento neutro da multiplicação).
Por exemplo, o produto
dá como resultado uma matriz cujas linhas são os
múltiplos respectivos das linhas de
, ou seja,
Exemplo 1.16: Considere uma matriz [ ]
= × =
m m m n
n n ijmn a a a
a a a a a a a L
M M O M
L
L
1 2
21 22 2 11 12 1 A e a matriz diagonal de ordem
n × n ,
v n
v v L
M M O M
L
L
2 1 D 2. Então
[ ]; 0 0
1 , 2 , , 1 1 2 2
1 21 2 22 2 1 11 2 12 1 2 1 1 2
21 22 2 11 12 1 A D 2 c 1 A c 2 A n cn A m m n mn
n n n n m m mn n
n n v v v va v a v a
va v a v a v a v a v a
v
v v a a a
a a a a a a L L
M M O M
L
L
L
M M O M
L
L
L
M M O M
L
L
ou seja, se uma matriz retangular multiplica uma matriz diagonal de ordem compatível, as colunas doproduto resultante são os múltiplos (considerando o respectivo elemento diagonal) das colunas da matriz
retangular. Por exemplo, o produto
dá como resultado uma matriz cujas
colunas são os múltiplos respectivos das colunas de
, ou seja,
1.4 1 Em cada caso, encontre uma matriz EXERCÍCIOS 6 × 6 cujos elementos são
a. a (^) i j = (^) −^11 ,,sese ii −− j j > ≤^11 ;, b. ai (^) j = ( − 1 ) i + j ; c. a (^) i j = | i − j |, d. aij = 0 se i > j.
2 Sejam A = (^) −^3150 , B = (^) ^04 − 22 31 ,
C , D = − 20 −^31 , E =[ 4 2 ]e F = − 21 . Calcule as
matrizes seguintes (se possível): a. A + 2 D ; b. 3 D − 2 A ; c. B − C ; d. B − Ct ; e. A B ;
f. B D ; g. D + BC ; h. Bt^ B ; i. E ( AF ); j. ( A − D )^2.
3 Dadas as matrizes
A e
=^ − −
B , encontre o produto A B de quatro maneiras diferentes, como ilustra o exemplo 1.6. 4 Determine x , y , z e u de maneira que (^3) zx^ uy = − x 1 2 u^6 + z +^4 u x + 3 y .
5 Sejam
A e B = (^) ^1 3 − 42 − 05 . Calcule os produtos A B e B A.
6 Se A = [ c 1 c 2 ]e A B = [ c 1 − c 2 2 c 1 + 3 c 2 ], determine a matriz B.
7 Sejam A = (^) 12 − 01 −^03 e
B.
a. Sem calcular o produtoescalar de dois vetores. A B , calcule o valor do elemento (2,4) desse produto mediante o produto b. Sem calcular o produtocolunas de A. A B , escreva a terceira coluna de A B como uma combinação linear das c. Sem calcular o produtolinhas de B. A B , escreva a primeira linha de A B como uma combinação linear das
8 Sejam A = (^) − 13 − 26 , B = (^) − 31 41 e C = (^) ^ − 23 −^51 . Verifique que A B = AC mas B ≠ C. 9 Seja A = (^) 41 − 33 . Encontre, se existir, pelo menos um vetor u = (^) yx não nulo tal que a. b. AA u u == (^3) − u 5 u ;; c. A u = 2 u. 10 Diz-se que duas matrizes A e B comutam se A B = BA. Encontre todas as matrizes B = (^) zx wy que comutam com A = (^) 01 11 . 11 Encontre, se houver, todos os valores de a tal que
a. [ ] 0
a a ;
Dep 1 Dep 2
z y x A . O custo de transporte de cada produto por caminhão é R$1,50 para x, R$1,00 para y e R$2,00 para z. Oscustos correspondentes por trem são R$1,75, R$1,50 e R$1,00. Organize estes custos numa matriz B e depois utilize a multiplicação matricial para mostrar como a empresa pode comparar o custo detransporte dos seus produtos a cada um dos depósitos por caminhão e por trem.
1.4 INVERSA DE UMA MATRIZ Observe que, dadas as matrizes (^) A = (^) 00 53 e (^) B = (^) 02 04 , tem-se que (^) A ⋅ B = O. Isto significa que o produto de duas matrizes não nulas pode dar como resultado uma matriz nula. Porém, o produto de doisnúmeros reais não nulos sempre dá um número não nulo. Também, pode-se notar, como já foi dito antes, que o produto não é comutativo. Esta diferença ocasiona um problema fundamental para definir a divisão dematrizes, pois observe que se a é um número real não nulo, então o inverso multiplicativo de a é simplesmente a −^1 = a^1 , mas este processo não pode ser imitado para matrizes não nulas. Este fato implica que a matriz inversa exista só em alguns casos. Definição 1.6: matriz inversa (^) Sejada matriz A uma matriz quadrada. Uma matriz quadrada A se A B = BA = I. Quando é possível encontrar uma matriz B da mesma ordem que B (^) A que seja uma é dita uma inversa de A , a matriz A é dita uma matriz invertível ( ou inversível).
Exemplo 1.17: Sejam as matrizes
A e
B. Então
A B = I = B A
Assim, B é uma matriz inversa de A. Portanto, A é uma matriz invertível.
Exemplo 1.18: Se
E e
F , verifica-se que E F = FE = I. Logo, F é uma matriz inversa de E. Assim, E e F são matrizes invertíveis. Propriedade 1.5: Prova: Sejam as matrizes Seja A (^) uma matriz quadrada. Se existir uma matriz inversa de B e (^) C duas matrizes inversas de A. Então A ⋅ B = B (^) ⋅ AA , então ela é única.= I e (^) A ⋅ C = C ⋅ A = I.
Logo,Logo, pode-se falar de: “a matriz inversa de B = B ⋅ I = B ⋅( A ⋅ C ) =( B ⋅ A ) ⋅ C = I ⋅ CA =”, e esta será denotada por C. Portanto, a inversa da matriz A − 1 . A , se existir, é única.
Propriedade ( A ⋅ B ) − 1 = B − 1 ⋅ 1.6:A − 1. Sejam A e B matrizes quadradas (da mesma ordem) invertíveis. Logo
Por enquanto, com o material desenvolvido até o momento, não tem como saber se existe a matriz inversa deuma matriz quadrada. Mais ainda, sabendo que a matriz inversa existe, resta o problema de calcular tal matriz inversa. Os problemas da existência e do cálculo da matriz inversa são vistos na seção 1.8. 1.5 As (^) operações elementares MATRIZES E OPERAÇÕES ELEMENTARES POR LINHAS realizadas em matrizes podem ser dos seguintes tipos:
- Primeiro tipo: Multiplicação da i -ésima linha de uma matriz por um escalar r. Esta operação é esquematizada pela notação: → r L i Exemplo 1.19: Seja a matriz
^ =
= t 3 A
t 2 A 1 tA l l l A , , , 0
. Se, por exemplo, a segunda linha da matriz é multiplicada por 2, então ter-se-á o esquema
^ ^ →
t 3 A t 2 A t 1 A t^2 3 A
t 2 A t 1 A l l L l l l l , , , , , , (^2 2) , ou seja,
^ →
1 L 2
Pelos termos do exemplo 1.15, observe que se definimos a matriz diagonal
E , então
^ =
^ ⋅
, , , , , , t 3 A t 2 A t 1 A t 3 A t 2 A 1 tA l l l l l l
EA
que é a matriz obtida anteriormente. No caso desta primeira operação elementar, a matriz elementar E associada é igual à matriz que resulta de multiplicar pormatriciais r a i -ésima linha da matriz identidade, ou seja, I → r^^ L i E. Em termos
