Matemática - Aula 28 - Matrizes, Notas de aula de Engenharia Civil

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MATEMÁTICA

Aula 28

Matrizes

Esqueleto Numérico Chinês

Esse esqueleto numérico, corresponde ao sistema de equações abaixo,

tendo sido suprimidas as variáveis. A resolução desse sistema é feita através

da manipulação do esqueleto numérico que hoje chamamos de matriz.

Sistema de equações Lineares Correspondente

3x + 2y + z = 39

2x + 3y + z = 34

x + 2y + 3z = 26

A seguir temos uma tabela dos primeiros colocados em um dos grupos do

campeonato brasileiro. Essa tabela é um a matriz de ordem 4 x 5 (lê-se

quatro por cinco).

Clube PG J V E D

Corínthians 18 7 6 0 1

Vasco 17 7 5 2 0

Grêmio 11 6 3 2 1

Bahia 10 6 2 4 0

Uma matriz pode ser representada de duas formas:

• Pela tabela de m linhas e n colunas:

A =

• Forma abreviada :

A = ( )

ij mxn

a

com

Exemplo de aplicação

Como podemos escrever uma matriz A = ( )

ij 2 x 3 a

definida por Ó

Ì

Ï

1 se i j

i j se i j aij?

Do texto obtemos a ordem:

A = ( )^

ij 2 x 3

a fi ordem 2x

A = ˙

Í

Î

È

21 22 23

11 12 13

a a a

a a a

Í

Í

Í

Í

Í

Í

Î

È

m 1 m 2 mn

31 32 3 n

21 22 2 n

11 12 1 n

a a ... a

a a ... a

a a ... a

a a ... a

j { 1 , 2 , 3 ,...,n}

i 1 , 2 , 3 ,...,m

Calculo dos elementos da primeira linha:

a 11 = 1 + 1 = 2

a 12 = 1 – 2 = -

a 13 = 1 – 3 = -

fi A =^ ˙ ˚

Í

Î

È^2 -^1 -^2

a 21 = 2 – 1 = 1

a 22 = 2 + 2 = 4

a 32 = 3 – 2 = 1

fi A = (^) ˙ ˚

Í

Î

È - -

Ó

Ì

Ï

i j se i j

i j se i j aij fi

Ó

Ì

Ï

i j se i j

i j se i j aij (^) fi

Matriz Quadrada

A (^) n =

A 2 = ˙ ˚

˘

Í Î

È

4 2

1 3

O conjunto dos elementos que tem os dois índices iguais, formam a

diagonal principal.

A 4 =

A 2 = ˙ ˚

˘

Í Î

È

4 2

1 3

{aij | i = j} = Diagonal Principal

O conjunto dos elementos que tem soma dos índices igual a n+1, formam a

diagonal secundária.

A 4 =

A 2 = ˙ ˚

˘

Í Î

È

4 2

1 3

{aij | i+j = n+1} = Diagonal Secundária

˙

˙

˙

˙

˙

˙

˚

˘

Í

Í

Í

Í

Í

Í

Î

È

n 1 n 2 n 3 nn

31 32 33 3 n

21 22 23 2 n

11 12 13 1 n

a a a ... a

: : : ... :

a a a ... a

a a a ... a

a a a ... a

˙

˙

˙

˙

˚

˘

Í

Í

Í

Í

Î

È

a a a a

a a a a

a a a a

a a a a

˙

˙

˙

˙

˚

˘

Í

Í

Í

Í

Î

È

a a a a

a a a a

a a a a

a a a a

Matriz Diagonal

A 4 =

A 3 =

Matriz Identidade

A 4 =

A 2 =

Igualdade de Matrizes

Duas matriz A e B são iguais, se e somente se, o elemento que ocupa a

posição ij de A é igual ao elemento que ocupa a posição ij de B:

Amxn = B (^) mxn ¤ aij = b (^) ij

para todo 1 £i£m e 1 £j£n.

˙

˙

˙

˙

˚

˘

Í

Í

Í

Í

Î

È

0 0 0 a

0 0 a 0

0 a 0 0

a 0 0 0

˙

˙

˙

˚

˘

Í

Í

Í

Î

È

0 0 0

0 0 0

0 0 0

˙

˙

˙

˙

˚

˘

Í

Í

Í

Í

Î

È

0 0 0 1

0 0 1 0

0 1 0 0

1 0 0 0

˙ ˚

˘

Í Î

È

0 1

1 0

Exercício

Três amigos saíram juntos para comer no sábado e no domingo. As

tabelas a seguir resumem quantas garrafas de refrigerante cada um

consumiu e como a despesa foi dividida:

S =

Í

Í

Í

Î

È

e D =

˙

Í

Í

Í

Î

È

S refere-se às despesas de sábado e D às despesas de domingo.

S =

Í

Í

Í

Î

È

e D =

˙

Í

Í

Í

Î

È

Cada elemento a (^) ij das matrizes nos dá o número de refrigerantes que i

pagou a j, sendo Paulo o número 1, Sandra o número 2 e Edna o número 3.

S =

Í

Í

Í

Î

È

e D =

˙

Í

Í

Í

Î

È

No sábado, por exemplo, Paulo pagou 1 refrigerante que ele próprio bebeu,

2 de Sandra e 3 de Edna (primeira linha da matriz S).

Quem bebeu mais no fim de semana?

Matriz Oposta

Dada a matriz A, indica-se como oposta a matriz –A em que cada

elemento é o oposto do correspondente em A.

A = (aij )mxn fi -A = (-aij )mxn

para 1 £i£m e 1 £j£n.

Exemplo de aplicação

A = ˙

Í

Î

È

fi -A = (^) ˙ ˚

Í

Î

È

Subtração de Matrizes

A subtração de matrizes corresponde à adição com a oposta.

Amxn – B (^) mxn = A + (-B) = (aij – bij )mxn

para 1 £i£m e 1 £j£n.

Exemplo de aplicação

A – B = ˙

Í

Î

È

Í

Î

È

Í

Î

È

Respostas

1) Edna com 11 refrigerantes.

Í

Î

È

Í

Î

È

B

A

Ó

Ì

Ï

X Y B

X Y A

2X = A + B (^) fi X = (A B) 2

X = ˙

Í

Î

È

Í

Î

È

X + Y = A (1ª equação)

fi Y = A – X

fi Y =^ ˙ ˚

Í

Î

È

Í

Î

È

Í

Î

È