Universidade Estadual de Maring´a
Centro de Ciˆencias Exatas
Departamento de F´ısica
Projeto de Ensino de F´ısica:
´
OTICA E ONDAS.
Professores participantes:
Wilson Ricardo Weinand
Ester Avila Mateus
Irineu Hibler
Revisado em fevereiro de 2006.
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dpto de Física (UEM)
Tipologia: Notas de estudo
Antes de 2010
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Universidade Estadual de Maring´a
Centro de Ciˆencias Exatas
Departamento de F´ısica
Projeto de Ensino de F´ısica:
OTICA E ONDAS.^ ´
Professores participantes:
Wilson Ricardo Weinand Ester Avila Mateus Irineu Hibler
Revisado em fevereiro de 2006.
Sum´ario
- I CORDA VIBRANTE
- II VELOCIDADE DO SOM
- III CIRCUITO RLC - S´ERIE
- IV ´INDICE DE REFRAC¸ ˜AO
- V ESPELHOS ESF´ERICOS.
- VI LENTES
- VII POLARIZAC¸ ˜AO.
- VIII DIFRAC¸ ˜AO E INTERFERˆENCIA.
- IX Anexo: USO DO OSCILOSC ´OPIO
que ´e a equa¸c˜ao de uma onda estacion´aria. Na onda estacion´aria, cada ponto (cada valor de x ), tem sua amplitude dada por:
y
′ m = 2ymsen kx.^ (5)
Pela equa¸c˜ao(5), observamos que a amplitude ser´a m´axima, e igual a 2ym, para:
kx = π 2
3 π 2
5 π 2
;..., ou
x =
λ 4
3 λ 4
5 λ 4
Esses pontos s˜ao denominados de antinodos ou ventres, estando dis- tanciados entre si de meio comprimento de onda ( λ/2) ,Fig.(1). Tamb´em pela equa¸c˜ao (5), observamos que a amplitude ser´a m´ınima, e igual a zero, para: kx = π, 2π, 3π, ..., ou
x = λ 2
; λ; 3 λ 2
Tais pontos denominam-se nodos, e tamb´em est˜ao distanciados entre si de meio comprimento de onda, Fig.(1).
Ventre
6
N´o
6
Y
6
(k x ± ω t)
- ¾
¾ L -
λ 2
6
λ
6
Figura 1: Ondas estacion´arias.
I.4 ONDAS ESTACION ´ARIAS EM UMA CORDA
Em nosso experimento, usaremos uma corda de comprimento ( L ), fixa em ambas as extremidades. Uma das extremidades ´e presa a um alto–falante que vibra com freq¨uˆencia ( f ) e amplitude pequena e a outra ligada a um peso, ap´os passar por uma polia Fig.(2). As ondas provocadas pelo alto–falante percorrem a corda, s˜ao invertidas pela reflex˜ao fixa, na polia, e retornam `a extremidade inicial com uma varia¸c˜ao
de fase de 180^0. Como a amplitude do alto–falante ´e pequena, ele reflete a onda como se fosse um suporte fixo, e a onda ´e novamente invertida voltando a percorrer a corda no sentido inicial. Como as ondas incidentes e refletidas possuem a mesma freq¨uˆencia e se propagam em sentidos opostos, sob condi¸c˜oes apropriadas, elas podem combinar- se produzindo ondas estacion´arias. Nesse momento a corda e o alto–falante est˜ao em ressonˆancia, sendo o comprimento ( L ) da corda um m´ultiplo inteiro de meios comprimentos de onda, Fig.(1).
Ou seja, na ressonˆancia L = n(
λ 2
onde n = 1, 2, 3, ... representa o n^0 de ventres.
v
¾Alto-falante
m
¾ L -
Figura 2: Configura¸c˜ao do experimento.
Isto quer dizer que, para valores diferentes de ( n ), n´os teremos v´arios modos de vibra¸c˜ao ( ou ressonˆancia ) da corda.
I.5 VELOCIDADE DE ONDA (v)
A velocidade com a qual a onda percorre um meio, ´e determinada pelas propriedades deste. Para o caso de uma corda longa e flex´ıvel, ´e dada por:
v =
F
ρ
sendo, F, a tens˜ao aplicada na corda, e ρ, a massa por unidade de compri- mento (ρ = m L ). O comprimento de onda (λ) de uma onda progressiva, ´e a distˆancia entre dois
Tabela 1: Medidas das freq¨uˆencias em fun¸c˜ao do n´umero de ventres e da tra¸c˜ao aplicada ao fio.
n´umero de ventres m × 10 −^3 (Kg) F ( N ) 1 2 3 4 5
g = 9. 7894 m/s^2 L = m ρ = Kg/m
Anote o valor desta freq¨uˆencia na tabela (1). 04- Obtenha agora as freq¨uˆencias de ressonˆancia para os harmˆonicos n = 2, 3, 4, 5 e anote os valores na tabela (1).
Obs.: Procurar a m´axima amplitude, em cada caso.
05- Repita a experiˆencia para outros 4 valores crescentes da massa ( m ). Re-gistre os resultados obtidos, na tabela(1). 06- Zere a fonte e o amplificador e desligue o sistema. 07- Me¸ca o valor das massas utilizadas e anote na tabela. 08- Determine a densidade linear (ρ = m L ) de trˆes amostras da corda e obtenha o valor mais prov´avel.
III - ATIVIDADES COMPLEMENTARES
Parte 01: Dependˆencia da freq¨uˆencia de ressonˆancia com o n´umero de ventres (modos de vibra¸c˜ao)[1, 3].
01- Utilizando os dados da tabela (1) selecione um valor para ( F ) e con- strua o gr´afico ( f × n ). O que vocˆe conclui? 02- Determine o coeficiente angular da reta( K 1 ), com a respectiva unidade. O que representa esta constante? Escreva a rela¸c˜ao matem´atica (f × n ).
Parte 02: Dependˆencia da freq¨uˆencia com o comprimento da corda.
Em vez de variar o comprimento da corda, e repetir a experiˆencia, pode- mos usar o seguinte artif´ıcio: Considerar como ”corda ”, a parte da mesma compreendida entre dois n´os consecutivos. O novo comprimento ( Ln ) ser´a ent˜ao Ln = L/n.
03 - Com base na mesma linha da tabela utilizada na parte 01, complete a tabela (2).
Tabela 2: Freq¨uˆencia em fun¸c˜ao do comprimento. n f L n L^1 n ( s−^1 ) ( m ) ( m−^1 )
Tabela 3: Freq¨uˆencia em fun¸c˜ao da for¸ca tensora. n= f f^2 F (s−^1 ) ( s−^2 ) ( N )
04- Costrua, agora o gr´afico f × (^) L^1 n. O que vocˆe conclui? 05- Determine a inclina¸c˜ao da reta (K 2 ) e escreva a rela¸c˜ao matem´atica (f × (^) L^1 n ).
Parte 03: Dependˆencia da freq¨uˆencia com a for¸ca tensora.
06- Na tabela (1) escolha um modo de vibra¸c˜ao e complete a tabela(3). 07- Construa o gr´afico f 2 × F. O que vocˆe conclui? 08- Determine o coeficiente angular da reta (K 3 ) e escreva a rela¸c˜ao matem´atica (f × F ).
IV - QUEST ˜OES:
09- Usando as eq.(6), (7) e (8), obtenha a f´ormula de Lagrange, eq.(9). 10 - Utilizando essa equa¸c˜ao e o valor K 1 encontrado, obtenha as freq¨uˆencias dos harmˆonicos (f 1 , f 2 , ..., f 5 ) e compare com os valores tabelados. 11- Desconsiderando os erros experimentais, vocˆe acha que a equa¸c˜ao de Lagrange prevˆe as conclus˜oes tiradas da experiˆencia? 12- Usando a f´ormula de Lagrange e os valores de K 1 , K 2 , e K 3 , obtenha valores para a densidade linear (ρ ) da corda utilizada. Ache o desvio per-
Parte II
VELOCIDADE DO SOM
I - FUNDAMENTAC¸ ˜AO TE ´ORICA
I.1 INTRODUC¸ ˜AO.
As onda sonoras s˜ao ondas mecˆanicas longitudinais, que podem se propa- gar em s´olidos, l´ıquidos e gases.
As part´ıculas do meio oscilam paralelamente `a dire¸c˜ao de propaga¸c˜ao da onda, de modo que, quando a onda sonora se propaga em um meio material, como o ar, ou um g´as qualquer, produzem neste, zonas de compress˜ao e rarefa¸c˜ao[2], enquanto a onda passa.
As ondas sonoras se propagam em todas as dire¸c˜oes a partir da fonte, no entanto, ´e mais f´acil tratar da propaga¸c˜ao em uma dimens˜ao.
I.2 - EQUAC¸ ˜AO DE ONDA SONORA UNIDIMENSIONAL.
Devido as compress˜oes e rarefa¸c˜oes das part´ıculas do meio, durante a propaga¸c˜ao, uma onda sonora, em um g´as, pode ser considerada uma onda de deslocamento das part´ıculas, em rela¸c˜aoa posi¸c˜ao de equil´ıbrio, ou uma onda de varia¸c˜ao de press˜ao, em rela¸c˜ao ao seu valor normal.
Considerando uma onda longitudinal, em um tubo, que cont´em um g´as, se propagando na dire¸c˜ao ( X ), a onda de deslocamento y(x,t) pode ser representada por y(x, t) = ymsen(kx − ωt) (11)
sendo, ym – deslocamento m´aximo das part´ıculas, em rela¸c˜ao `a posi¸c˜ao de equil´ıbrio;
k = (^2) λπ – n´umero de onda;
ω = (^2) Tπ = 2πf – freq¨uˆencia angular;
e a onda de press˜ao por:
p(x, t) = pm sen(kx − ωt − π 2
onde pm = ρωvym (13) ´e o valor m´aximo da press˜ao do g´as, em rela¸c˜ao ao seu valor normal e ρ – densidade de equil´ıbrio do meio; v – velocidade de propaga¸c˜ao ( v = λ f).
Como vemos, a onda de press˜ao Eq.(12), est´a defasada de π/2, em rela¸c˜ao a onda de deslocamento Eq.(77). Ou seja, quando em um ponto ( x ) do meio, o deslocamento das part´ıculas em rela¸c˜aoa posi¸c˜ao de equil´ıbrio, for m´aximo/nulo, o excesso de press˜ao naquele ponto, em rela¸c˜ao ao valor nor- mal, ser´a nulo /m´aximo.
Isto, na pr´atica, corresponde a uma rarefa¸c˜ao/ compress˜ao das part´ıculas do g´as.
I.3 VELOCIDADE DAS ONDAS SONORAS
A velocidade com a qual uma onda sonora percorre um meio, quando a varia¸c˜ao da press˜ao n˜ao ´e muito grande, ´e dada por:
v =
β ρ
onde, ρ, ´e a densidade e β, o m´odulo volum´etrico de elasticidade do meio, que se define como a raz˜ao entre a varia¸c˜ao de press˜ao e a varia¸c˜ao relativa de volume, ou seja:
β = − 4 p 4 V V
A Eq.(14) ´e v´alida para qualquer meio, seja ele um g´as, um l´ıquido ou um s´olido, entretanto, para sua dedu¸c˜ao, ´e assumido que o meio esteja con- finado em um tubo, de modo que a onda se mova em uma s´o dire¸c˜ao. Esta condi¸c˜ao ´e geralmente satisfeita para um g´as ou um l´ıquido. Para um s´olido, ´e necess´ario substituir β por Y – m´odulo longitudinal de Young.
Podemos modificar a Eq.(14), apresentando-a de uma certa forma, que mostra claramente, que a velocidade da onda sonora depende da temperatu- ra absoluta ( Kelvin ) do meio, onde ela se propaga.
A partir da Primeira Lei da Termodinˆamica, aplicada a um g´as ideal, em um estado de equil´ıbrio termodinˆamico, obtemos para a velocidade da onda sonora
v =
γRT M
6
?
L
Gerador de ´audio
Ampli- ficador
- •
Figura 3: Esquema do experimento.
onde n = 1, 2, 3, ... representa o no^ de ventres.
A Eq.(18) nos mostra que s´o estar˜ao presentes os harmˆonicos de ordem ´ımpar e a configura¸c˜ao da onda estacion´aria ( de deslocamento), consiste de um nodo na superf´ıcie da ´agua e de um antinodo pr´oximo `a extremidade aberta, como mostra a Fig.(4).
H 2 O
L 1
H 2 O
L 2
H 2 O
L 3
λ 2
λ 2
Figura 4: Tubos com uma extremidade fechada - Ondas de deslocamento.
Na pr´atica, os antinodos de press˜ao (nodos de deslocamento ) s˜ao perce- bidos pelo aumento da intensidade do som. Assim, se medirmos a distˆancia entre dois antinodos sucessivos, que equivale a meio comprimento de onda ( λ/2 ), e conhecendo-se a freq¨uˆencia ( f ) do gerador, podemos determinar a velocidade do som, `a temperatura ambiente, atrav´es da Eq.(19).
v = λf (19) II.2 - PARTE EXPERIMENTAL
II.2.1 - OBJETIVOS
- Gerar ondas estacion´arias no ar contido em um tubo.
- Determinar a velocidade do som, `a temperatura ambiente, a partir de medidas do comprimento de onda, para uma dada freq¨uˆencia.
- Determinar a velocidade do som a 0o^ C.
II.2.2 - MATERIAL UTILIZADO
Gerador de ´audio, amplificador, alto-falante, tubo de vidro, dipositivo para varia¸c˜ao da coluna de ar, trena, termˆometro.
II.2.3 - PROCEDIMENTO
01 - Ligue o gerador de ´audio, o amplificador e escolha uma freq¨uˆencia entre 700 a 1 000 Hz. 02 - Com o aux´ılio do reservat´orio, eleve o n´ıvel da ´agua no tubo, at´e pr´oximo ao topo. Lentamente, v´a abaixando o n´ıvel da ´agua, procurando identificar os antinodos de press˜ao ( nodos de deslocamento ), atrav´es do aumento da intensidade do som nesses pontos. Com uma caneta ou giz, marque a posi¸c˜ao desses pontos, no tubo.
Obs.: Procure precisar, o melhor poss´ıvel, a posi¸c˜ao dos antinodos, ele- vando e abaixando o n´ıvel da ´agua, v´arias vezes.
03 - Com a trena, me¸ca a distˆancia entre cada par de antinodos consecutivos (λ/2 ) e anote na tabela(4).
Tabela 4: Medidas do comprimento de onda para diferentes freq¨uˆencias.
f 1 ( ± )(Hz) f 2 ( ± )(Hz) f 3 ( ± )(Hz)
λ 2 ( m )
¯λ ( m )
04 - Repita os procedimentos (02) e (03) para mais duas freq¨uˆencias e anote na tabela.
coluna de ar, como mostra a Fig.(5). Na extens˜ao interna inferior do tubo, h´a uma fina camada de p´o de corti¸ca, que nos permitir´a observar a con- di¸c˜ao de ressonˆancia, que ocorrer´a, quando o comprimento ( L ) da coluna de ar, satisfizer a condi¸c˜ao de onda estacion´aria. Nesse instante, observa-se o movimento das part´ıculas do p´o de corti¸ca, como resultado da diferen¸ca de press˜ao da onda estacion´aria, ocorrendo um ac´umulo de part´ıculas nas regi˜oes dos antinodos, que est˜ao separados por zonas de rarefa¸c˜ao ( nodos ), como representado na Fig.(6).
H´a um antinodo de press˜ao, em cada extremidade e a distˆancia entre dois antinodos sucessivos equivale a meio comprimento de onda (λ/2).
Aplicando a Eq.(19), para o c´alculo da velocidade do som no ar e no metal, uma vez que a freq¨uˆencia da onda sonora nos dois meios ´e a mesma, na condi¸c˜ao de ressonˆancia, chegaremos `a express˜ao:
vmetal = var
λmetal λar
Desta forma, conhecendo λmetal, λar e a velocidade do som no ar, pode- mos determinar a velocidade do som na haste de metal, `a mesma temper- atura.
III.2 PARTE EXPERIMENTAL
III.2.1 - OBJETIVOS:
- Gerar ondas estacion´arias no ar contido em um tubo.
- Determinar a velocidade do som em um metal, a partir da velocidade do som no ar.
III.2.2 - MATERIAL UTILIZADO
Haste de lat˜ao com diafragma, feltro, tubo de vidro, p´o de corti¸ca, ˆembolo, trena e p´o de breu.
III.2.3 - PROCEDIMENTO
01-Monte o sistema, conforme a Fig.(5), deixando o ˆembolo, a aproximada- mente 60 cm do diafragma, cuidando para que o diafragma n˜ao encoste no tubo de vidro. Colocar pouco p´o de corti¸ca, para melhor visualizar a for- ma¸c˜ao dos antinodos.
02 - Coloque um pouco de p´o de breu no feltro. V´a aproximando o ˆembolo, de 1,0 cm em 1,0 cm, enquanto se faz vibrar a haste, esfregando-a na sua
Haste met´alica
?
λ 4 l
λ 2
λ 4
Diafragma
?
Embolo^ ˆ
?
Tubo de vidro
?
Corti¸ca
6
Figura 5: Esquema de montagem do experimento.
Haste met´alica
?
λ 4 l
λ 2
λ 4 L
Diafragma
?
Embolo^ ˆ
?
Tubo de vidro
6
Figura 6: Ondas de press˜ao em tubo fechado.
parte m´edia com um feltro, no sentido longitudinal. 03 - Ajuste a posi¸c˜ao do ˆembolo at´e que as part´ıculas, do p´o de corti¸ca, comecem a se levantar, formado um padr˜ao de onda estacion´aria, ao longo do tubo (situa¸c˜ao de ressonˆancia ). Observe a Fig.(6). 04 - Com a trena me¸ca a posi¸c˜ao ( xi ), de cada antinodo de press˜ao, em rela¸c˜ao a uma origem ( por ex., no diafragma ). Construa uma tabela ( xi × i ). 05 - Anote o comprimento (l ) da haste e o comprimento ( L ) da coluna de ar.
III.2.4 - QUEST ˜OES:
01 - Construa o gr´afico xi × i. Ache a inclina¸c˜ao da reta. O que ela repre- senta? 02 - Obtenha o comprimento de onda no ar ( λar ) e na haste de metal ( λmetal ). 03 - Com o aux´ılio da Eq.(21) e da velocidade do som no ar, obtida atrav´es da experiˆencia 1, determine a velocidade do som no lat˜ao, `a temperatura ambiente. 04 - Sabendo que o valor do m´odulo longitudinal de Young e a densidade do lat˜ao para (t' 200 C) s˜ao, respectivamente, Y = 9 , 1 × 1010 N/m^2 e ρ = 8400 Kg/m^3 , encontre o valor te´orico da velocidade do som no lat˜ao
(v =
Y ρ ). 05 - Compare com o valor encontrado, na quest˜ao 03, e ache o desvio per-
Parte III
CIRCUITO RLC - S´ERIE
I - FUNDAMENTAC¸ ˜AO TE ´ORICA
I.1 INTRODUC¸ ˜AO.
O fenˆomeno da ressonˆancia ocorre em in´umeros campos da F´ısica e ´e par- ticularmente importante em situa¸c˜oes t´ecnicas. J´a estudamos a ressonˆancia em dois sistemas mecˆanicos ( a corda vibrante e o tubo sonoro ), sujeitos a oscila¸c˜oes for¸cadas de uma fonte externa. O que caracteriza as situa¸c˜oes de ressonˆancia ´e o seguinte:
- Em termos de freq¨uˆencia - A fonte externa vibra com uma freq¨uˆencia que corresponde a uma das freq¨uˆencias naturais do sistema.
- Em termos de energia - a energia transferida da fonte ao sistema re- ceptor ´e m´axima.
Nesta unidade estudaremos as oscila¸c˜oes el´etricas[1, 3, 7] e o fenˆomeno da ressonˆancia associados a um circuito RLC, que consiste de um resis- tor, de resistˆencia ( R ), um indutor, de indutˆancia ( L ) e um capacitor de capacitˆancia ( C ), ligados em s´erie, a uma fonte de fonte de tens˜ao alternada do tipo:
( ε ) = εm cos ω t).
Observe a Fig.(7) ??
vC
C
∼ v
¾
¾
vL
L ε
vR
6 6
R
Figura 7: Circuito RLC sob tens˜ao alternada.
Uma situa¸c˜ao semelhante `as oscila¸c˜oes el´etricas, ocorre na Mecˆanica para um oscilador mecˆanico constitu´ıdo de uma massa ( m ) e uma mola de con- stante el´astica ( K ) e que ´e posto a oscilar, sob a¸c˜ao de uma for¸ca externa
peri´odica.
I.2 - REPRESENTAC¸ ˜AO VETORIAL DE VARI ´AVEIS EM CORRENTE ALTERNADA
Uma vari´avel ( A ) em corrente alternada ( AC ou CA ) pode ser expressa genericamente por A = A 0 cos(ωt + α) (22)
onde ( A 0 ) ´e o seu valor de pico ( valor m´aximo ) e ( α ) a diferen¸ca de fase entre a vari´avel A e outra vari´avel ( CA ), escolhida arbitrariamente como origem. Usando o m´etodo do vetores girantes ( fasores ), temos para a vari´avel ( A ), dada pela Eq.(22), a representa¸c˜ao vetorial da Fig.(8-a), onde o vetor A^ ~ 0 , que representa o valor m´aximo de A~, que gira com velocidade angular ( ω ).
6
μ
I ω
A 0
A
α ωt
Y
X
( a )
6
I I
R
μ
±
μ φ
ωt
Y
X
VL
VL − VC
VC
V
VR
I
ω
( b )
Figura 8: Vetores girantes - fasores.
Podemos fazer uma representa¸c˜ao semelhante para o circuito RLC da Fig.(7). Na Fig.(8-b) temos o diagrama vetorial para os valores m´aximos das tens˜oes, em cada um dos elementos do circuito, e da corrente. O vetor ( I ) representa o valor m´aximo da corrente no circuito, o vetor VR = RI est´a em fase com I, o vetor VL = XLI est´a adiantado de 90^0 , em rela¸c˜ao a corrente, e o vetor VC = XC I est´a atrasado de 90^0 , em rela¸c˜aoa mesma origem. De acordo com o diagrama vetorial da Fig.(8-b), os valores instantˆaneos da tens˜ao na fonte e da corrente no circuito s˜ao, respectivamente
i = im cos ωt = I cos ωt (23) ε = εm cos(ωt + φ) = V cos(ωt + φ) (24)