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PROBABILIDADES Disciplina de Pós-Graduação – Departamento de Matemática
(Apostila #1)
INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE
“ A Teoria de Probabilidades nada mais é que senso comum transformado em cálculo” Laplace
Exemplos que envolvem conceitos de probabilidade: a) Se de acordo com alguma hipótese, a probabilidade de ocorrer determinada amostra é excepcionalmente pequena, concluímos em estatística clássica pela rejeição desta hipótese. b) Alguém poderá decidir submeter-se a uma cirurgia complicada por considerar que os benefícios esperados compensam os riscos envolvidos.
Definições
D1 : Um experimento é qualquer processo que permite fazer observações. (Exemplos: lançamento de um dado para observar a fase vencedora; captura de um animal para determinar sexo, comprimento e peso; seleção de um eleitor para indicar seu candidato nas próximas eleições)
D2 : Um evento é uma coleção de possíveis resultados do experimento.
D3 : Um evento simples é um evento que não comporta decomposição em coleções menores.
D4 : O espaço amostral de um experimento é a coleção de todos os possíveis eventos simples de um experimento.
Notação
Qualquer evento A é um sub-conjunto do espaço-amostral Ω que, por sua vez é a
coleção de todos os eventos simples w. Este conjunto poderá ser finito, infinito enumerável ou não-enumerável. Por hora, nos restringimos aos espaços amostrais finitos.
P(A) denota a probabilidade da ocorrência do evento A.
A matemática dos eventos está ligada a Teoria dos Conjuntos. Em vista disso estabelecemos notação simplificada para operações com conjuntos. Símbolo Formato em Teoria de conjuntos
A + B União lógica de A e B normalmente simbolizado por A ∪ B
AB Produto lógico de A e B normalmente simbolizado por A ∩ B
~A Negação de A, também denotado por evento complementar de A
∅ Evento logicamente impossível correspondente aso conjunto vazio.
Algumas definições: A – B = A(~B) é a diferença lógica entre A e B
Se AB = ∅ dizemos que A e B são eventos mutuamente excludentes (isto é, A e B não podem
ocorrer simultaneamente)
Definições de Probabilidades Há 3 formas de definir probabilidades é importante destacar que a necessidade prática de estender o cálculo de probabilidades motivou estas extensões no conceito.
1- Probabilidade “Clássica”
P(A) = número de eventos simples em A. = # A. número de eventos simples em Ω #Ω
Esta probabilidade é natural em jogos de azar onde os eventos simples são considerados equiprováveis e o espaço amostral é finito. Permite, por exemplo determinar a probabilidade de obter quatro cartas de copas ao retirar uma mão de pôquer (5 cartas) de um baralho completo ( cartas). Se, no entanto, o interesse está em determinar a probabilidade de que um percevejo lançado ao acaso acabe com a ponta virada para cima, o procedimento acima precisa ser substituído pelo conceito que deriva de estudos empíricos.
2- Probabilidade como Freqüência relativa
P(A) = número de ocorrências de A. = nA. número de repetições do experimento n
A Segunda lei se refere ao cálculo de probabilidade para a união lógica de eventos mutuamente excludentes.
L2 – Se AB = ∅ então P(A+B) = P(A) + P(B)
Há duas conseqüências importantes e imediatas de L1 e L2 :
Como A + (~A) = Ω e A (~A ) = ∅ segue que P(~A) = 1 – P(A)
Se A 1 , A 2 , ..., An satisfazem AiAj = ∅ para todo par de eventos ( i ≠ j ) então P ( A 1 + A 2 + ... + An ) = P(A 1 ) + P(A 2 ) + ...+ P(An )
A terceira e última lei refere-se ao cálculo de probabilidades para a ocorrência simultânea de qualquer par de eventos.
L3 – Para qualquer par de eventos A e B, tem-se P(AB) = P(A)·P(B|A)
Introduziu-se um símbolo novo, P(B|A) que representa a probabilidade de ocorrência do evento B condicionado à ocorrência do evento A. Abreviadamente diz-se “probabilidade de B dado A”. O conceito de probabilidade condicional é fundamental em inferência estatística e será examinado em mais detalhes posteriormente. A lei L3 pode ser facilmente expandida para um conjunto finito de eventos arbitrários A 1 , A 2 , ..., An. (Faça isso como exercício!) P(A 1 , A 2 , ..., An) = P(A 1 ). P(A 2 |A 1 ). P(A 3 |A 1 A 2 ).... P(An|A 1 A 2 ...An-1)
As demais propriedades associadas ao cálculo de probabilidades podem ser deduzidas dessas três leis básicas. Por exemplo, a extensão de L2 para dois eventos quaisquer será: P(A + B) = P(A) + P(B) – P(AB)
Para demonstrar isso basta notar que: a) A + B = (A – B) + AB + (B – A ) b) A = (A – B) + AB c) B = (B – A) + AB ( faça como exercício )
EXEMPLO 1 : Considere o experimento que consiste no lançamento simultâneo de duas moedas honestas e individualmente identificáveis. Estamos interessados em medir a probabilidade do evento A : “ aparecimento de ao menos uma cara”
Se c denota o evento “cara” e k o evento “coroa” então temos: Ω = { (c,c); (c,k); (k,c); (k,k)} A = { (c,c); (c,k); (k,c) } Pela definição clássica tem-se P(A) = ¾ pois trata-se de um espaço amostral equiprovável.
Diagrama de árvore do experimento: Ω Prob ½ c cc ¼ ½ C k
ck ¼
K c kc ¼
½ k kk ¼
EXEMPLO 2 : Ana , Beatriz e Clarisse disputam a rodada final de um torneio de tênis. Seja P(a), P(b) e P(c) as probabilidades de que Ana, Beatriz ou Clarisse vença uma partida, respectivamente. Sem perda de generalidade, vamos admitir que entre elas não há favoritas; isto é, todas as probabilidades de vitória em uma partida são de ½. O torneio declara vencedora a primeira tenista que vencer 2 partidas. Definem-se os seguintes eventos: A - Ana vence o campeonato B - Beatriz vence o campeonato C - Clarisse vence o campeonato D – A rodada final terá exatamente 3 partidas E – A rodada final terá no máximo três partidas Calcule as probabilidades desses eventos e também a condicional P(E|A). Diagrama de árvore (notar que não se trata mais de um espaço amostral equiprovável!) Ω Prob a a aa 1/ b b acba 1/ c c acbb 1/ a acc 1/ b bb 1/ b a bcaa 1/ a b bcab 1/ c c bcc 1/
EXEMPLO 5 (“PORTA DA ESPERANÇA”) Há três portas sendo que uma delas esconde um prêmio. O apresentador (que sabe qual das três portas esconde o prêmio) pede ao candidato que escolha uma das portas. Em seguida o apresentador abre uma das outras duas portas que se revela sem prêmio e dá ao candidato a opção de ficar com sua primeira escolha ou trocar para a outra porta que ainda está fechada. O apresentador então abre a porta escolhida e o candidato leva o prêmio se a porta se revela como premiada. Pergunta : Qual será a melhor estratégia : permanecer com a primeira escolha ou trocar de porta na segunda decisão?
Resolução
Ai : o prêmio está com a porta número (i = 1,2,3) Bj : o apresentador abre a porta número (j = 1,2,3) P(Bj|Ai) = 0 se i=j P(Ai) = 1/3 ( i = 1,2,3) [probabilidades a priori ]
Sem perda de generalidade, vamos supor que o candidato inicie escolhendo a porta i = 1 e que o apresentador, em seguida abra a porta j=2. O que o candidato deverá fazer agora: ficar com 1 ou trocar pela porta 3? Para definir a melhor das duas estratégias, precisa-se determinar P(A 1 |B 2 ) e P(A 3 |B 2 ). Somente faz sentido trocar de porta se P(A 3 |B 2 ) > P(A 1 |B 2 ).
Fica como exercício mostrar que P(A 1 |B 2 ) = 1/3 e portanto P(A 3 |B 2 ) = 1 - P(A 1 |B 2 ) = 2/3 indicando que trocar de porta é uma estratégia com maiores chances de sucesso.
Nota : este exercício exemplifica como o cálculo de probabilidades pode orientar ações em presença de incerteza. Mas note: tomar a melhor decisão não é garantia de sucesso num caso isolado; apenas a consistência trará os frutos esperados.
TÉCNICAS DE CONTAGEM
- Regra fundamental da contagem: para dois eventos que podem ocorrer respectivamente de m e n maneiras distintas, há m. n maneiras pelas quais pares desses eventos podem ocorrer.
Exemplo: a) número de bytes com 8 bits b) tipo de sangue e fator Rh
- Regra do Fatorial (Permutações): Uma coleção de n objetos pode ser ordenada de n! maneiras distintas. [ n! = n (n-1) (n-2)...1 ]
Exemplo: a) colocação de 5 bandeiras com cores distintas b) ordenação de questões de prova
- Regra dos arranjos (com elementos distintos): O número de arranjos (= seqüências) de r elementos escolhidos entre n elementos (sem permitir repetição) é
n r
P n n
r = −
Exemplos: a) Quantas programações noturnas de TV com 6 shows podem ser feitas a partir de um plantel de 20 seriados. b) Quantas chapas eletivas distintas (presidente, vice-presidente, 1º e 2º secretários, 1º e 2º tesoureiros) podemos formar a partir de um grupo de 10 pessoas.
- Regra dos arranjos (com elementos não-distintos): Se há n elementos categorizáveis em k grupos de formas que ni elementos se enquadram na i -ésima categoria ( i = 1, 2, ..., k ), então o número de permutações distintas do conjunto de n elementos é
1 2
1 , 2 ,... k
n
n n nk n n n
P = n
Exemplos: a) Número de permutações das letras da palavra “SOCORRO” b) Número de sinais possíveis com 5 bandeiras sendo 2 azuis e 3 vermelhas
- Regra das combinações: O número de sub-conjuntos (=combinações) de r elementos que podem ser formados a partir de um conjunto com n elementos (distintos) é
r n r
n
r
n
C rn
Exemplos: a) Número de comitês (ou de amostras s/ reposição) de 5 elementos que podem ser formados a partir de um conjunto de 10 elementos b) Número de mãos de pocker (5 cartas) que podem ser retiradas de um baralho completo (52 cartas) c) Número de resultados possíveis na “Megasena”
