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Logaritmo
Ao estudarmos a exponenciação ou potenciação aprendemos que, por exemplo, o produto de 3 por 3 , que é igual a 9 , pode ser representado na forma de uma potência pela seguinte sentença matemática:
Utilizando a notação dos logaritmos também podemos representá-la assim:
Pela nomenclatura dos logaritmos nesta sentença temos: 2 é o logaritmo de 9 na base 3 ; 3 é a base do logaritmo; 9 é o logaritmando. Genericamente de forma simbólica temos a seguinte definição de logaritmo:
Para os números reais positivos a e b , com b ≠ 1 , denomina-se logaritmo de a na base b o expoente real x , tal que bx^ = a Vejamos a sentença abaixo:
O expoente desta potência, no caso 3 , é o logaritmo de 1000 que podemos representar assim:
Como você já sabe, na representação de alguns símbolos matemáticos, alguma parte muito utilizada em geral é omitida. Como exemplo temos que pode, de forma simplificada, ser expresso como , com a omissão do expoente 1. Um outro exemplo pode ser uma raiz quadrada qualquer, que em vez de a expressarmos como , utilizamos apenas. Ao trabalharmos com logaritmos na base 10 normalmente a omitimos, então em vez
de , utilizamos , que como você pode notar, teve a base 10 omitida. Estas simplificações têm por objetivo simplificar tanto a escrita, quanto a leitura de tais símbolos, facilitando assim a compreensão de tais expressões.
Assim sendo a expressão em geral é escrita como
Propriedades dos Logaritmos
Considerando a , b , c , M e N números reais positivos, com b ≠ 1 e c ≠ 1 , temos as seguintes propriedades dos logaritmos:
Para qualquer logaritmo cujo logaritmando seja igual a base , o logaritmo será igual a 1. Isto fica claro no exemplo abaixo, já que todo número real elevado a 1 é igual a ele próprio:
Qualquer logaritmo cujo logaritmando seja igual a 1 , o logaritmo será igual a 0. Veja abaixo um exemplo onde arbitramos 6 para um dos possíveis valores de b :
O logaritmo na base b do produto de M por N é igual à soma do logaritmo na base b de M com o logaritmo na base b de N.
Vamos tomar como exemplo o.
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Pela propriedade do logaritmo de um produto temos:
Como vimos acima o , pois a base 3 elevada ao expoente 2 é igual a 9 :
Claramente o , já que devemos elevar a base 3 ao expoente 3 para obtermos 27 :
Realizando a substituição destes logaritmos na expressão original temos:
Então chegamos a:
O logaritmo de 243 na base 3 é igual a 5 , pois este é o expoente ao qual 3 precisa ser elevado para obtermos 243.
O logaritmo na base b do quociente de M por N é igual à diferença entre o logaritmo na base b de M e o logaritmo na base b de N.
Agora vamos utilizar o neste outro exemplo. Segundo a propriedade do quociente de um logaritmo temos:
Já que como visto o e temos que:
O logaritmo de 3 na base 3 é igual a 1 , já que este é o expoente ao qual a base 3 é elevada para 3 ser obtido.
Para qualquer valor real M , o logaritmo na base b da potência NM^ é igual ao produto do expoente M pelo logaritmo na base b de N , a base da potência.
Calculemos o logaritmo de. Ao decompormos 15625 em fatores primos iremos obter 56 :
De acordo com a propriedade do logaritmo de uma potência temos:
O log 5 5 é igual a 1 , pois 51 = 5 , portanto:
O logaritmo de 15625 na base 5 é igual a 6 , visto que este é o expoente ao qual 5 deve ser elevado para obtermos 15625.
Para qualquer valor natural M , não nulo, o logaritmo na base b da raiz é igual ao produto do inverso do índice M pelo logaritmo na base b de N , o radicando da raiz. Vamos calcular o logaritmo da raiz cúbica de 343 na base 7. Pela propriedade do logaritmo de uma raiz, temos que:
O log 7 343 é igual a 3 , pois 73 = 343 , logo:
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Se você tem dúvidas quanto a isto, também pode decompor o número 27 em fatores primos como fizemos com o Log 5 625. Realizando as substituições na expressão original temos:
Log 5 625 + Log 100 - Log 3 27 = 3.
2) Considerando-se Log 7 10 = 1,1833. Qual é o Log 7 70? Para a solução deste problema vamos recorrer à propriedade do logaritmo de um produto. Utilizaremos esta propriedade, pois através dela podemos montar uma outra expressão com dois logaritmos conhecidos. Um é o Log 7 10 , obtido do enunciado e o outro é o Log 7 7 que como sabemos é igual a 1. É sabido que 70 é o produto de 7 por 10. Então temos que:
Através da propriedade do logaritmo de um produto podemos assim expressar o Log 7 70 :
O Log 7 7 = 1 pois:
Conforme o enunciado, o Log 7 10 = 1,1833 , então substituindo tais valores na expressão, temos:
Log 7 70 = 2,1833.
3) Calcule o Log 3 5 sabendo que o Log 3 45 = 3,464974? Novamente, para solucionarmos este problema vamos recorrer a uma das propriedades dos logaritmos. O Log 3 45 é fornecido pelo enunciado. Precisamos de algum outro logaritmo fácil de calcular, que nos permita do Log 3 45 chegar ao Log 3 5. Uma forma de partindo de 45 chegarmos a 5 , é dividirmos 45 por 9. Como podemos facilmente calcular o Log 3 9 , vamos recorrer à propriedade do logaritmo de um quociente para solucionarmos esta questão. A partir do explicado acima podemos escrever que:
Então, recorrendo à propriedade do logaritmo de um quociente temos:
O , visto que 3 elevado ao quadrado é igual a 9 :
Portanto, ao substituirmos os valores conhecidos chegamos ao resultado desejado:
Log 3 5 = 1,464974.
4) -1,494850 é um logaritmo decimal na forma negativa. Qual é a sua forma preparada? Obtemos a característica subtraindo 1 da parte inteira ( - 1 ), resultando em - 2 e a escrevemos utilizando o traço sobre a mesma, sem o sinal de negativo:
A mantissa obtemos subtraindo de 1 o número formado por " 0, " seguido da parte decimal 494850 :
Logo a mantissa é igual a 505150. Já que a característica é igual a 2 e a mantissa é igual a 505150 , o logaritmo decimal na forma preparada é igual a 2,. Na forma preparada o logaritmo decimal é 2,505150.
5) Qual é a forma negativa do logaritmo decimal 1,511883? Vamos realizar a conversão separando o número em duas partes.
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A primeira parte é obtida somando-se 1 à característica 1 ( - 1 ):
Para a segunda parte subtraímos o 0,511883 , referente à mantissa precedida de " 0, ", de 1 :
Concluindo subtraímos as partes obtidas:
A forma negativa deste logaritmo decimal é - 0,488117.
6) O logaritmo decimal de 0,2 é igual a -0,698970 na sua forma negativa. Qual é o logaritmo decimal de 200? Já que Log 0,2 está na sua forma negativa, devemos primeiramente obter a sua mantissa, visto que ela não é a parte decimal do logaritmo informado. Já vimos que isto sempre acontece quando o logaritmando é maior que 0 e menor que 1 e no caso deste exercício o logaritmando é igual a 0,. Para a obtenção da mantissa do Log 0,2 , simplesmente vamos subtrair 0,698970. Estamos considerando apenas os algarismos da parte decimal ( 698970 ) do logaritmo informado no enunciado, acrescentando o " 0, " na frente:
Portanto a mantissa do Log 0,2 é igual a 301030. Visto que os logaritmos decimais de dois números que diferem entre si somente pela posição da vírgula, possuem a mesma mantissa, então ambos os logaritmos decimais de 0,2 e 200 possuem a mantissa 301030. O que difere neles é a característica. Para obtermos a característica do Log 200 , basta subtrairmos 1 do número de algarismos da parte inteira de 200 :
Com característica igual a 2 e mantissa igual a 301030 , o logaritmo decimal de 200 é igual a 2,. Log 200 = 2,301030.
7) Utilizando a tábua de logaritmos calcule a raiz quadrada de 961. Atribuindo à variável x a raiz quadrada de 961 , podemos escrever a seguinte equação:
Recorrendo a logaritmos chegamos a esta equação equivalente:
Agora vamos recorrer à propriedade dos logaritmos que diz que para qualquer valor
de M natural, diferente de zero, o logaritmo da raiz na base b é igual ao produto do inverso do índice M pelo logaritmo de N , também na base b :
Aplicando a propriedade temos:
Chegamos então à seguinte equação:
Recorrendo à tábua de logaritmos vamos obter o log 961. Para isto vamos começar procurando pela mantissa do log 9,61 que se encontra no cruzamento da linha 96 com a coluna 1 , que é 982723. Na linha 96 se encontram as mantissas dos números de três algarismos de 9,61 a 9,69 , ou de 961 a 969 se você preferir. A mantissa do log 961 é igual a 982723 , já a sua característica é igual a 2 , visto que este é o número de algarismos da sua parte inteira reduzida em uma unidade:
Portanto, o log 961 = 2,. Desconsiderando-se os erros de arredondamento, 2,982723 é o expoente ao qual 10 deve ser elevado para obtermos 961 :
Voltando à equação temos:
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Já que o Log 27 6 = x e o Log 27 4 = y , vamos realizar estas substituições na equação:
Portanto:
.
10) Se o Log 60 3 = x que o Log 60 6 = y, qual é o Log 18 2? O objetivo desta questão é escrevermos o Log 18 2 em função de x e y. Para alcançarmos tal objetivo faremos algumas operações para que partindo do Log 18 2 , passemos pelos Log 60 3 e de Log 60 6. Para começar vamos passar o Log 18 2 para a base 60. Para isto vamos recorrer à propriedade da mudança de base de um logaritmo:
Então para a = 2 , b = 18 e c = 60 , temos:
O logaritmando 2 , no numerador da fração pode ser escrito como a razão de 6 para 3 , assim como o logaritmando 18 , no denominador da fração pode ser escrito como produto de 6 por 3. O motivo disto é nos direcionarmos aos logaritmos no enunciado:
No numerador vamos aplicar a propriedade do logaritmo de um quociente e no denominador a propriedade do logaritmo de um produto, quando aí sim, iremos obter os logaritmos no enunciado:
Pronto, agora chegamos a um ponto no qual só precisamos trocar o Log 60 3 e o Log 60 6 por x e y respectivamente:
