Álgebra Linear - Apostila, Notas de estudo de Geometria Analítica e Álgebra Linear

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ÍNDICE

MATRIZES

Definição

Conjunto de números reais (ou complexos) dispostos em forma de tabela, isto é, distribuídos em m linhas e n colunas, sendo m e n números naturais não nulos. Notação: com

• elemento genérico da matriz A i - índice que representa a linha do elemento j - índice que representa a coluna do elemento
• ordem da matriz. Lê-se “ m por n ”. Representações: Exemplos:

1. A representação de um tabuleiro de xadrez pode ser feita por meio de uma matriz.
2. A matriz onde é.
3. A matriz abaixo fornece (em milhas) as distâncias aéreas entre as cidades indicadas: cidade A cidade B cidade C cidade D Esta é uma matriz (quatro por quatro).
4. A matriz abaixo representa a produção (em unidades) de uma confecção de roupa feminina distribuída nas três lojas encarregadas da venda. shorts blusas saias jeans Esta é uma matriz (três por quatro) pois seus elementos estão dispostos em 3 linhas e 4 colunas.

Igualdade Duas matrizes de mesma ordem e são iguais quando para todo e para todo. Matrizes Especiais

1. Matriz Linha Uma matriz A é denominada matriz linha quando possuir uma única linha. Notação: Exemplo: 2. Matriz Coluna Uma matriz A é denominada matriz coluna quando possuir uma só coluna. Notação: Exemplo: 3. Matriz Nula Uma matriz A é denominada matriz nula quando todos os seus elementos forem nulos, isto é, para todo e para todo. Notação: Exemplo: 4. Matriz Quadrada Uma matriz A é uma matriz quadrada quando possuir o mesmo número de linhas e de colunas, isto é,. Notação: Diagonal Principal : são os elementos da matriz A onde para todo. Diagonal Secundária : são os elementos da matriz A onde para todo. Traço : é o somatório dos elementos da diagonal principal da matriz A , denotado por trA. Exemplo: Elementos da diagonal principal: 2, 7 e 9. Elementos da diagonal secundária: 4, 7 e 10.

2. Um laboratório farmacêutico produz um certo medicamento. Os custos relativos à compra e transporte de quantidades específicas da substância necessárias para a sua elaboração, adquiridas em dois fornecedores distintos são dados (em reais) respectivamente pelas seguintes matrizes. preço custo preço custo compra transporte compra transporte Fornecedor 1 Fornecedor 2 A matriz que representa os custos totais de compra e de transporte de cada uma das substâncias A, B e C é dada por: Propriedades da Operação de Adição A1. Associativa : para quaisquer matrizes A , B e C de mesma ordem,. A2. Comutativa : para quaisquer matrizes A e B de mesma ordem,. Dem.: Considere matrizes de ordem , e. para todo e para todo. Assim,. Logo, a operação de adição é comutativa. A3. Elemento Neutro : para toda matriz A,. A4. Elemento Simétrico :para toda matriz A de ordem existe uma matriz S de mesma ordem tal que. Sendo tem-se. Notação: Assim,. Além disso,. A5. Para quaisquer matrizes quadradas A e B de mesma ordem,. Dem: Considere as matrizes de ordem n.

2. Multiplicação por Escalar Sejam uma matriz e um escalar, define-se a matriz produto por escalar tal que e para todo e para todo. Exemplos: 1) Sejam. Então 2) O quadro abaixo mostra a produção de trigo, cevada, milho e arroz em três regiões, em uma determinada época do ano. TRIGO CEVADA MILHO ARROZ REGIÃO I (^1200 800 500 ) REGIÃO II (^600 300 700 ) REGIÃO III (^1000 1100 200 ) Com os incentivos oferecidos, estima-se que a safra no mesmo período do próximo ano seja duplicada. A matriz que representa a estimativa de produção para o próximo ano é: Propriedades da Operação de Multiplicação por Escalar E1. Para toda matriz A e para quaisquer escalares ,. E2. Para toda matriz A e para quaisquer escalares ,. E3. Para quaisquer matrizes A e B de mesma ordem e para qualquer escalar , . Dem.: Considere matrizes de ordem , e. , para todo e para todo. Assim,. Logo, vale a propriedade. E4. Para toda matriz A de ordem ,. E5. Para toda matriz A de ordem ,. E6. Para toda matriz quadrada A e para todo.

M2. Distributiva da Multiplicação em relação à Adição : para quaisquer matrizes A e B de ordem , para toda matriz C de ordem e para toda matriz D de ordem , e. M3. Elemento Neutro : para toda matriz quadrada A de ordem n , M4. Para quaisquer matrizes quadradas A e B de mesma ordem,. M5. Para quaisquer matrizes quadradas A e B de mesma ordem e para todo , M6. Para toda matriz quadrada A de ordem n , Em geral, não vale a propriedade comutativa para a operação de multiplicação. Assim,. Quando , diz-se que A e B são matrizes comutáveis , ou ainda que A e B são matrizes que comutam entre si. Por M6, qualquer matriz quadrada comuta com a matriz quadrada nula de mesma ordem. Exemplos:

1. Sejam as matrizes e. .
2. Sejam as matrizes e. e a matriz produto não é definida.
3. Sejam e.
4. Sejam e. Assim,. Logo, as matrizes A e B comutam entre si. Potência de uma Matriz Quadrada de Ordem n. ..................................... Toda matriz quadrada A comuta com qualquer potência natural de A.

Exemplos:

1. Seja. Então.
2. Sejam o polinômio e a matriz. Determinando o valor : A matriz A é uma raiz do polinômio, já que. Matriz Idempotente Uma matriz quadrada A é idempotente quando. Exemplo: A matriz é idempotente. (Verifique!)

4. Transposição Seja a matriz , define-se a matriz transposta B tal que e , isto é, é a matriz obtida a partir da matriz A pela troca de suas linhas pelas colunas correspondentes. Notação: Propriedades da Operação de Transposição T1. Involução : para toda matriz A,. T2. Para quaisquer matrizes A e B de mesma ordem,. Dem.: Considere matrizes de ordem , e. para todo e para todo. Assim,. T3. Para toda matriz A e para todo escalar ,. T4. Para toda matriz A de ordem e para toda matriz B de ordem ,. T5. Para toda matriz quadrada A ,.

Verifica-se também que. Então a matriz inversa da matriz A é.

3. A matriz não possui inversa. Propriedades das Matrizes Invertíveis I1. Involução :. I2.. dem.:. Analogamente,. Logo, o produto é invertível. I3.. Semelhança de Matrizes Duas matrizes são semelhantes quando existe uma matriz invertível tal que. Exemplo: As matrizes e são semelhantes. Considere e. Assim,.

4. Matriz Ortogonal Uma matriz quadrada A de ordem n invertível é denominada ortogonal quando. Exemplo: 5. Matriz Normal Uma matriz quadrada A de ordem n é dita normal quando comuta com sua matriz transposta, isto é, . Exemplo:

Operações Elementares São operações realizadas nas linhas de uma matriz. São consideradas operações elementares: OE1. A troca da linha i pela linha j. OE2. A multiplicação da linha i por um escalar não nulo. OE3. A substituição da linha i por ela mesma mais k vezes a linha j , com não nulo_._ Exemplo: L 1 L 3 L 2 L 2 L 2 L 2 +(-1)L 1 Matriz Equivalente por Linha Sejam A e B matrizes de mesma ordem. A matriz B é denominada equivalente por linha a matriz A , quando for possível transformar a matriz A na matriz B através de um número finito de operações elementares sobre as linhas da matriz A. Exemplo: A matriz é equivalente a matriz , pois usando somente operações elementares nas linhas da primeira matriz foi possível transformá-la na segunda. Matriz na Forma Escalonada Uma matriz está na forma escalonada quando o número de zeros, que precede o primeiro elemento não nulo de uma linha, aumenta linha a linha. As linhas nulas, se existirem, aparecem abaixo das não nulas. Exemplos:

Justificativa do Método para o Cálculo da Matriz Inversa Teorema: Uma matriz quadrada A de ordem n é invertível se e somente se a matriz A é equivalente por linha a matriz. Desta forma, a seqüência de operações elementares que reduz a matriz A na matriz , transforma a matriz na matriz. Exemplo: Considere a matriz. A redução da matriz A à matriz identidade é: Aplicando em a mesma seqüência de operações: Assim, a matriz é a inversa da matriz A.

2. Cálculo do Determinante A qualquer matriz quadrada A podemos associar um certo número real denominado determinante da matriz. Notação: É importante observar que: a) Quando trocamos duas linhas de uma matriz A , seu determinante troca de sinal. b) O determinante da matriz fica multiplicado pelo escalar não nulo k quando todos os elementos de uma certa linha forem multiplicados por k. c) O determinante não se altera quando utilizamos a operação elementar do tipo. (Teorema de Jacobi). d) O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da diagonal principal. O cálculo do determinante de uma matriz quadrada, utilizando-se operações elementares nas linhas da matriz, consiste em encontrar uma matriz triangular equivalente por linha à matriz dada, respeitando-se as propriedades de determinantes acima. Exemplos: 1) 2) Outras informações sobre este tópico encontram-se no Apêndice A. 3. Resolução de Sistemas Outra aplicação de operações elementares é na resolução de sistemas, que será visto com detalhes no próximo capítulo.

12. Mostre que se a matriz quadrada A for invertível e então. (Lei do Corte)
13. Sejam e. É possível calcular X, na equação?
14. Sejam A , B, C e X matrizes quadradas de mesma ordem e invertíveis. Resolva as equações, considerando X a variável. a) b) c) d) e)
15. Seja A uma matriz de ordem n tal que a matriz é invertível. A matriz é simétrica? E idempotente?
16. Mostre que a matriz é uma matriz ortogonal.
17. Determine a, b e c de modo que a matriz seja ortogonal.
18. Mostre que a soma de duas matrizes simétricas é também uma matriz simétrica.
19. Mostre que o mesmo vale para matrizes anti-simétricas.
20. Se A e B são matrizes simétricas que comutam entre si então a matriz também é simétrica? Justifique.
21. Toda matriz ortogonal é também uma matriz normal? Justifique.
22. O produto de duas matrizes ortogonais é uma matriz ortogonal? Justifique.
23. Em uma pesquisa onde foram consideradas 3 marcas de refrigerante, Gelato, Delícia e Suave, o elemento da matriz abaixo indica a possibilidade de uma pessoa que consuma o refrigerante i passar a consumir o refrigerante j. O elemento da diagonal principal representa a possibilidade de uma pessoa que consuma um determinado refrigerante permaneça consumindo o mesmo refrigerante.

Gelato Delícia Suave a) Qual a possibilidade de uma pessoa que consumia o refrigerante Gelato passar a consumir o refrigerante Suave? E a de quem consumia Suave passar a consumir Gelato? b) Escreva a matriz que indica a possibilidade de se mudar de marca após duas pesquisas.

24. Verifique se a matriz é invertível. Em caso afirmativo, indique a matriz inversa.
25. Para que valores de a a matriz admite inversa?
26. Dada a matriz. Indique a matriz e determine.
27. Dada a matriz. Indique a matriz A.
28. Determinar o valor de a a fim de que a matriz seja invertível.
29. Calcule o determinante das matrizes e.
30. Sabendo que A é uma matriz quadrada de ordem n e que , determine: a) b) c) d)
31. Encontre todos os valores de a para os quais.