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Material sobre vigas torção em vigas
Tipologia: Notas de estudo
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FACULDADE DE ENGENHARIA Departamento de Engenharia Civil
Disciplina: 1309 - ESTRUTURAS DE CONCRETO II
Notas de Aula
Prof. Dr. PAULO SÉRGIO DOS SANTOS BASTOS ([email protected])
Bauru Maio/
APRESENTAÇÃO
Esta apostila tem o objetivo de servir como notas de aula na disciplina 1309 – Estruturas de Concreto II, do curso de Engenharia Civil da Faculdade de Engenharia, da Universidade Estadual Paulista (UNESP), Campus de Bauru/SP. O texto apresenta as prescrições contidas na nova NBR 6118/03 (“ Projeto de estruturas de concreto – Procedimento ” – versão corrigida de março/2004) para o projeto e dimensionamento de vigas de concreto armado submetidas à torção. Procurou-se desenvolver a apostila de forma a mais completa possível. Inicialmente são apresentadas diversas informações teóricas, como os casos e os valores mais comuns do momento de torção, a torção de equilíbrio e de compatibilidade, noções da torção simples, comportamento das vigas de concreto armado sob torção, analogia e formulação para a treliça espacial generalizada, formas de ruptura por torção, etc. Por último são apresentados três exemplos numéricos de aplicação. Os exemplos são completos e abrangem todos os cálculos necessários para o projeto de uma viga, como o dimensionamento à flexão e ao esforço cortante, a ancoragem nos apoios e a disposição da armadura longitudinal com o cobrimento do diagrama de momentos fletores. Quaisquer críticas e sugestões serão muito bem-vindas, pois assim a apostila poderá ser melhorada. Agradecimento especial ao técnico Éderson dos Santos Martins, pela confecção de vários desenhos.
TORÇÃO EM VIGAS DE CONCRETO ARMADO
Um conjugado que tende a torcer uma peça fazendo-a girar sobre o seu próprio eixo é denominado “momento de torção”, momento torçor ou torque. O caso mais comum de torção ocorre em eixos de transmissão. A torção simples, torção uniforme ou torção pura (não atuação simultânea com M e V), excetuando os eixos de transmissão, ocorre raramente na prática. Geralmente a torção ocorre combinada com momento fletor e força cortante, mesmo que esses esforços sejam causados apenas pelo peso próprio do elemento estrutural. De modo aproximado, os princípios de dimensionamento para a torção simples são aplicados às vigas com atuação simultânea de momento fletor e força cortante (LEONHARDT & MÖNNIG, 1982). Nas estruturas de concreto, a ligação monolítica entre as vigas e as lajes e entre vigas apoiadas em outras vigas, dá origem a momentos de torção, que, de modo geral, podem ser desprezados por não serem essenciais ao equilíbrio. Entretanto, no caso da chamada “torção de equilíbrio”, como se verá adiante, a consideração dos momentos torçores é imprescindível para garantir o equilíbrio do elemento estrutural. Desde o início do século passado numerosos estudos experimentais foram realizados em vigas de concreto armado sob solicitação de torção simples. Os resultados dos estudos justificaram o dimensionamento simplificado à torção, considerando-se as vigas com seção vazada (oca) e de parede fina, segundo as equações clássicas da Resistência dos Materiais, formuladas por BREDT. Assim como feito no dimensionamento das vigas ao esforço cortante na torção será feita também a analogia com uma treliça, espacial porém. A Treliça Generalizada, com ângulo θ variável de inclinação das diagonais comprimidas, é o modelo atualmente mais aceito internacionalmente. Como no dimensionamento para outros tipos de solicitação, as tensões de compressão serão absorvidas pelo concreto e as tensões de tração pelo aço, na forma de duas diferentes armaduras, uma longitudinal e outra transversal (estribos). A análise da torção em perfis abertos de paredes finas, com aplicação da torção de Vlassov ou Flexo-Torção, não será apresentada nesta apostila por não fazer parte do programa da disciplina na graduação em engenharia civil.
Um caso comum de torção em vigas de concreto armado ocorre quando existe uma distância entre a linha de ação da carga e o eixo longitudinal da viga, como mostrado nas Figuras 1 e 2. Na Figura 1, a viga AB, estando obrigatoriamente engastada na extremidade B da viga BC, aplica nesta um momento de torção, que deve ser obrigatoriamente considerado no equilíbrio da viga BC. Na viga mostrada na Figura 2 a torção existirá se as cargas F 1 e F 2 forem diferentes. Essa situação pode ocorrer durante a fase de construção ou mesmo quando atuarem os carregamentos permanentes e variáveis, se estes forem diferentes nas estruturas que se apóiam na viga em forma de T invertido. O caso mais comum de torção ocorre com lajes em balanço, engastadas em vigas de apoio, como por exemplo lajes (marquises) para proteção de porta de entrada de barracões, lojas, galpões, etc. (Figuras 3 e 4). O fato da laje em balanço não ter continuidade com outras lajes internas à construção faz com que a laje deva estar obrigatoriamente engastada na viga de apoio, de modo que a flexão na laje passa a ser torção na viga. A torção na viga torna-se flexão no pilar, devendo ser considerada no seu dimensionamento.
Um outro caso de torção em viga, de certa forma também comum nas construções, ocorre em vigas com mudança de direção, como mostrado na Figura 5. No ponto de mudança de direção um tramo aplica sobre o outro um momento de torção. A torção também ocorre em vigas curvas, com ou sem mudança de direção, como mostrado na Figura 6. Se a torção for necessária ao equilíbrio da viga e não for apropriadamente considerada no seu dimensionamento, intensa fissuração pode se desenvolver, prejudicando a segurança e a estética da construção.
Figura 5 – Torção em viga devido à mudança de direção.
Figura 6 – Vigas curvas e com mudança de direção são solicitação por torção.
Apresentam-se nas Figuras 7 a 11 os valores dos momentos de torção para alguns casos mais comuns na prática das estruturas, onde m representa o momento torçor externo aplicado, T o momento de torção solicitante e F a força concentrada.
m
T = - m
Figura 7 – Momento de torção concentrado aplicado na extremidade de viga em balanço.
T = - m
l
m (^) m
T = m
a a
Figura 8 – Momento de torção aplicado à distância a das extremidades de viga biengastada.
m
T = m
l
l 2
2 T = m^ l
Figura 9 – Momento de torção uniformemente distribuído em viga biengastada.
f
(Laje)
m^ T(Viga de borda)
(Viga de bordo)
T
m (^) E(Laje)
Momento de dimensionamento da laje
T Mf
m (^) T= m (^) E(Laje)
m^ (Laje)
M (Pilar)
Figura 12 – Torção de compatibilidade de laje com a viga de apoio. (LEONHARDT & MÖNNIG, 1982).
Um outro exemplo de torção de compatibilidade é aquele mostrado nas Figuras 13 e 14. Como se observa na Figura 14, a viga AB apóia-se nas vigas CD e EF.
Figura 13 – Esquema das vigas com os pilares.
A Figura 15 mostra o caso das vigas de apoio CD e EF com rigidez à torção elevada. Neste caso não existe total liberdade de rotação para a viga AB nas suas extremidades, o que faz surgir os momentos de engastamento MA e M (^) B , que, por outro lado, passam a ser momentos torçores concentrados e aplicados em A e B.
Figura 14 – Esquema estrutural (SÜSSEKIND, 1985).
Figura 15 – Caso das vigas de apoio com elevada rigidez à torção.
A intensidade dos momentos fletores e torçores depende das rigidezes relativas das vigas, ou seja, da rigidez à torção das vigas CD e EF e da rigidez à flexão da viga AB. Se a rigidez à torção das vigas CD e EF for zero, a viga AB fica livre para girar em A e B, levando a zero os momentos fletores M (^) A e M (^) B , e conseqüentemente também os momentos torçores (Figura 16). Nesta análise percebe-se que a torção é conseqüência da compatibilidade de deformações das vigas, daí a chamada “torção de compatibilidade”. Neste caso há o equilíbrio, embora sem se considerar a ligação monolítica da viga AB com as vigas CD e EF.
Numa barra de seção circular, como a indicada na Figura 17, submetida a momento de torção, com empenamento permitido (torção livre), surgem tensões principais inclinadas de 45° e 135 ° com o eixo longitudinal da barra. As trajetórias das tensões principais desenvolvem-se segundo uma curvatura helicoidal, em torno da barra. A trajetória das tensões principais de tração ocorre na direção da rotação e a compressão na direção contrária, ao longo de toda o perímetro da seção.
Figura 17 – Trajetórias das tensões principais na seção circular.
Se considerado um estado de tensão segundo a direção dos eixos longitudinal e transversal da seção, o momento de torção provoca o surgimento de tensões de cisalhamento em planos perpendiculares ao eixo da barra circular e em planos longitudinais, simultaneamente, como mostrado nas Figuras 18, 19 e 20.
Figura 18 – Tensões de cisalhamento numa barra de seção circular sob torção.
Figura 19 – Tensões devidas à torção: a) tensões de cisalhamento; b) tensões principais de tração e compressão; c) trajetória helicoidal das fissuras. (MACGREGOR, 1997).
T
T
II^ I
I II
Figura 20 – Tensões de cisalhamento e tensões principais na seção circular.
A distribuição das tensões de cisalhamento em seções transversais circulares e quadradas ocorre como indicado na Figura 21. A tensão de cisalhamento é máxima nas superfícies externas da seção e zero nos vértices e no eixo que passa pelo centro de gravidade.
Figura 21 – Variação da tensão de cisalhamento na seção transversal.
a)
b)
c)
t
Ae
Figura 23 – Área Ae da seção vazada.
LEONHARDT & MÖNNIG (1982) descrevem os resultados de ensaios realizados por MÖRSCH, entre 1904 e 1921. Foram estudados cilindros ocos à torção simples, sem armadura, com armadura longitudinal, com armadura transversal, com ambas as armaduras e com armadura em forma de hélice, como mostrado na Figura 24. Os ensaios confirmaram que nas seções de concreto armado as tensões principais de tração e de compressão são inclinadas de 45° e com traçado helicoidal. Após o surgimento das fissuras de torção que se desenvolvem em forma de hélice, apenas uma casca externa e com pequena espessura colabora na resistência da seção à torção. Isso ficou evidenciado em ensaios de seções ocas ou cheias com armaduras idênticas, que apresentaram as mesmas deformações e tensões nas armaduras.
10,
10,
φ 10
40 40 10,
34 34
φ 10
40
34
10,
40
34
φ 10 10, 10, 10, 10,
φ 10
φ 10
Figura 24 – Seções estudadas por MÖRSCH (LEONHARDT & MÖNNIG, 1982).
A Tabela 1 apresenta os resultados experimentais obtidos, para o momento fletor de fissuração (momento fletor correspondente à primeira fissura) e para o momento fletor de ruptura.
Tabela 1 – Momentos fletores de primeira fissura e de ruptura (MPm) de seções ocas ensaiadas por MÖRSCH.
Seção Momento Fletor de Primeira fissura
Momento Fletor de Ruptura Sem armaduras 2,33 2, Com armadura longitudinal 2,33 2, Com armadura transversal 2,50 2, Com armaduras longitudinal e transversal
Com armadura helicoidal 2,70 > 7,00*
Os ensaios demonstraram que: na seção oca sem armadura as fissuras são inclinadas a 45° e em forma de hélice; com somente uma armadura, seja longitudinal ou transversal, o aumento de resistência é muito pequeno e desprezível; com duas armaduras a resistência aumentou e, com armadura helicoidal, segundo a trajetória das tensões principais de tração, o aumento de resistência foi muito efetivo. Os valores contidos na Tabela 1 demonstram as observações. Fissuras inclinadas podem se desenvolver quando a tensão principal de tração alcança a resistência do concreto à tração, levando uma viga não armada à ruptura. Se a viga for armada com barras longitudinais e estribos fechados transversais, a viga pode resistir a um aumento de carga após a fissuração inicial.
Existem hoje basicamente duas teorias muito diferentes com o intuito de explicar o comportamento de uma viga sob torção. Uma delas é chamada de “Flexão Esconsa” ( skew bending theory ), e foi desenvolvida por LESSIG (1959) e atualizada por HSU (1968). A segunda teoria baseia-se na analogia da seção vazada (Teoria de Bredt) com uma treliça espacial, chamada de “Treliça Generalizada”. A teoria foi inicialmente elaborada por RAUSCH em 1929, estando em uso por diversas normas até os dias de hoje. Como apresentado no item anterior os ensaios experimentais realizados mostraram que as seções cheias de concreto podem ser calculadas como seções vazadas de paredes finas. A Figura 25 mostra o modelo de uma seção cheia fissurada, sob torção simples. As tensões de compressão são resistidas pelo concreto da casca e as tensões de tração são resistidas pelo conjunto armadura longitudinal e armadura transversal (estribos).
R (^) sl
R (^) sl
R (^) sl R (^) sl
C d Cd
Cd Cd (^) Cd
Cd
Cd Cd
Cd
R (^) s,e
R (^) s,e
Fissuras
Figura 25 – Modelo resistente para a torção simples em viga de concreto fissurada. (LEONHARDT & MÖNNIG, 1982).
Quando o valor do momento fletor é elevado comparativamente ao momento de torção, a zona comprimida pelo momento fletor fica isenta de fissuras, como mostrado na Figura 28.
Figura 28 – Modelo para vigas com altos momentos fletores (LEONHARDT & MÖNNIG, 1982).
No caso da força cortante elevada, uma face vertical deverá ficar isenta de fissuras, sendo aquela onde as tensões de cisalhamento da torção e do esforço cortante têm sentidos contrários. Isso fica demonstrado nos modelos de treliça adotados, onde as diagonais comprimidas da treliça para o cortante opõem-se às diagonais tracionadas da treliça espacial da torção. As fissuras nesses casos apresentam-se contínuas, em forma de hélice e em três das quatro faces da viga. Numa face, onde as tensões de compressão superam a de tração, não surgem fissuras (Figura 29).
Figura 29 – Modelo para vigas com altas forças cortantes (LEONHARDT & MÖNNIG, 1982).
Após a fissuração, a ruptura de uma viga sob torção pura pode ocorrer de alguns modos: escoamento dos estribos, da armadura longitudinal, ou escoamento de ambas as armaduras. No caso de vigas superarmadas à torção, o concreto comprimido compreendido entre as fissuras inclinadas pode esmagar pelo efeito das tensões principais de compressão, antes do escoamento das armaduras. Outros modos de ruptura podem também ocorrer, estando descritos a seguir.
10.1 Ruptura por Tração
A ruptura brusca também pode ocorrer por efeito de torção, após o surgimento das primeiras fissuras. A ruptura brusca pode ser evitada pela colocação de uma armadura mínima, para resistir às tensões de tração por torção. Segundo LEONHARDT & MÖNNIG (1982) sendo as armaduras longitudinal e transversal diferentes, a menor armadura determinará o tipo de ruptura. Uma pequena diferença nas armaduras, pode, no entanto, ser compensada por uma redistribuição de esforços.
Ao contrário do esforço cortante, onde a inclinação do banzo comprimido pode diminuir a tração na alma da viga, na torção essa diminuição não pode ocorrer, dado que na analogia de treliça espacial não existe banzo comprimido inclinado.
10.2 Ruptura por Compressão
Com armaduras colocadas longitudinalmente e transversalmente pode surgir forte empenamento das faces laterais, ocasionando tensões adicionais ao longo das bielas comprimidas, podendo ocorrer o seu esmagamento (Figura 30).
T
Compressão Tração
R (^) c R (^) s
c
tT
C^ d
45°
Superfície de dupla curvatura
Figura 30 – Empenamento da viga originando tensões adicionais de flexão. (LEONHARDT & MÖNNIG, 1982).
10.3 Ruptura dos Cantos
A mudança de direção das tensões de compressão nos cantos, como indicado na Figura 31, origina uma força que pode levar ao rompimento dos cantos da viga. Os estribos e as barras longitudinais dos cantos contribuem para evitar essa forma de ruptura. Vigas com tensões de cisalhamento da torção muito elevadas devem ter o espaçamento dos estribos limitados a 10 cm para evitar essa forma de ruptura.
R (^) c Rc
R (^) c
Rc U U
U
Estribo
Rc
R (^) c
U
Rompimento do canto
Engastamento à torção
Figura 31 – Possível ruptura do canto devida à mudança de direção das diagonais comprimidas. (LEONHARDT & MÖNNIG, 1982).
