UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO
ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE ESTRUTURAS
Concreto Armado:
vigas submetidas a ação de momento torçor
José Samuel Giongo
São Carlos, novembro de 2010
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Dimensionamento à Torção, Notas de estudo de Engenharia Civil
Dimensionamento à Torção-2010
Tipologia: Notas de estudo
2011
1 / 23
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ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE ESTRUTURAS
Concreto Armado: vigas submetidas a ação de momento torçor
José Samuel Giongo
São Carlos, novembro de 2010
USP - EESC - SET - Disciplina SET 410 - Estruturas de Concreto Armado II - Turma 2 - 2010 Dimensionamento de elementos estruturais fletidos submetidos à ação de momento torçor - ELU
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a.- as tensões nas barras das armaduras, calculadas supondo o concreto fissurado (Estádio II), não podem ultrapassar a resistência de cálculo das barras da armadura (f (^) yd ) limitada a 435MPa;
b.- as tensões de compressão no concreto, no Estádio II, devem ser limitadas a valores pequenos, restringindo-se a uma parcela da resistência à compressão do concreto, pois nas diagonais comprimidas surgem tensões secundárias elevadas.
Quando as tensões geradas pela torção forem elevadas, em função das ações atuantes na viga, há necessidade de se verificar as deformações, considerando as hipóteses do Estádio II - concreto fissurado, pois os deslocamentos podem ser incompatíveis com o fim ao qual se destina a estrutura. Lembra-se que a rigidez no Estádio II é bem menor que a rigidez no Estádio I, ou seja, situação em que se considera o concreto não fissurado. Nos casos em que os deslocamentos não forem satisfeitos há que se modificarem as dimensões da peça. Como já foi dito os momentos torçores surgem nas estruturas de barras por causa do efeito de coação, ou seja, em virtude do impedimento às deformações longitudinais. Esta situação é denominada de torção de compatibilidade. Como exemplos podem ser citados as vigas de borda dos pavimentos de edifícios, que por conta da ação do momento fletor de engastamento da laje, tende a provocar o giro na viga. Como a rigidez à flexão dos pilares se contrapõe a esse giro, aparecem na viga tensões tangenciais que por sua vez provocam torção. A figura 1, apresentada em Leonhardt (1977), mostra a situação da ligação da laje com viga de borda. O momento fletor uniformemente distribuído que atua na ligação da laje com a viga e, que provoca tração nas fibras superiores da laje, é transferido, por equilíbrio, para a viga. Este momento uniformemente distribuído atuante na viga, gera reações nos pilares que são momentos atuantes na ligação da viga com o pilar. O plano de ação destes momentos é perpendicular ao eixo da viga, gerando nos pilares uma situação de flexão normal composta. Na viga há a ação de uma força uniformemente distribuída vertical representada pela reação de apoio na laje. Esta ação provoca na viga efeitos de flexão (momento fletor e força cortante). Em função das pequenas rigidezes à torção das vigas dos pavimentos de edifícios o efeito da torção é desprezado, isto se dá pela consideração de apoio das lajes nas vigas de borda e não de engastamento. As armaduras nas vigas para absorver as tensões de tração por ação de momento torçor, são constituídas por estribos verticais e barras longitudinais por questão de facilidade de montagem e de otimização de trabalho na obra. Este tipo de armação leva a uma diminuição da rigidez à torção de 5 a 8 vezes em relação à rigidez de flexão, justificando o fato de serem desprezados por ocasião do dimensionamento das vigas de pavimento. Define-se torção de equilíbrio aquela em que há necessidade de sua consideração para satisfazer as condições de equilíbrio estático da estrutura. A não consideração pode levar a estrutura à ruína, por falta de capacidade resistente à torção. Como exemplo apresenta-se o caso das marquises ou de lajes onde não é possível considerar a sua continuidade com laje contígua. Na estrutura da figura 2 que representa o caso de uma marquise constituída por laje em balanço, isto é, laje com três bordas livres vinculada à viga e esta, por sua vez vinculada aos pilares. A única situação possível de vinculação è considerar a laje engastada na viga o que gera na viga, além das ações verticais uniformemente distribuídas, um momento uniformemente distribuído que para ser equilibrado mobiliza a ação de momentos nos pilares. A ação do momento uniformemente distribuído na
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viga e dos momentos gerados pelos pilares leva ao aparecimento de momentos torçores nas seções transversais da viga, cujo valor máximo ocorre junto aos pilares. A viga precisa ser dimensionada para absorver integralmente os momentos de torção.
Figura 1 - Laje maciça de pavimento ligada a viga de extremidade [Leonhardt, 1977]
Figura 2 - Laje maciça engastada em viga - Laje em balanço
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A variação da tensão tangencial t na seção transversal é indicada na figura 4,
para diversos tipos de seções transversais, observando-se que ao longo das seções transversais as tensões tangenciais trocam de sinal. Ao longo do eixo longitudinal e nos
cantos da barra a tensão tangencial é igual a zero (t = 0).
Na tabela 1 indicam-se os valores da tensão tangencial máxima (t,max) e dos
momentos de inércia à torção I (^) t para as seções transversais usuais. A tabela 1 foi
adaptada de Leonhardt (1977).
Tabela 1 - Tensão de torção e momento de inércia à torção
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1.3 Torção com empenamento impedido
Como já foi dito a deformação das fibras da barra na direção do eixo que surge em função das rotações é denominada empenamento. O empenamento de uma barra de seção retangular sob ação de uma rotação pode ser representado pela figura 5. Este fenômeno fica mais visível se for desenhado um reticulado nas faces do prisma. O plano da seção transversal, depois do empenamento se transforma em uma superfície curva espacial.
Figura 5 - Barra solicitada à torção [Süssekind, 1985]
As tensões longitudinais de empenamento são variáveis ao longo do comprimento da barra, sendo que os valores máximos ocorrem nos pontos onde o empenamento é impedido. Nestes pontos as tensões diminuem com maior ou menor intensidade em função da rigidez e esbeltez da barra. As regiões onde ocorrem as perturbações têm
comprimentos menores que aqueles onde ocorre o efeito de t (St. Venant), isto é, com
comprimento igual à altura da seção transversal. Para uma viga de seção retangular, com vínculo de engastamento nas extremidades para as ações horizontais, a variação das tensões pode ser vista na figura 6. O impedimento ao empenamento ocorre na região dos vínculos, no ponto de aplicação do momento torçor e, no caso de vigas contínuas, entre os apoios intermediários.
Figura 6 - Distribuição das tensões de empenamento [Leonhardt, 1977]
O valor e a variação das tensões longitudinais de empenamento são calculados com as hipóteses da Teoria da Elasticidade, sendo que para peças de concreto armado as hipóteses só têm validade quando as tensões de tração no concreto são menores (Estádio I) do que aquelas que provocam o aparecimento de fissuras. As vigas que tenham seções com suficiente rigidez à torção, e que em função das ações aplicadas estejam fissuradas, foi observado que as tensões por causa do empenamento decrescem com a fissuração do concreto. Desse modo as peças ficam com sua segurança garantida, quando convenientemente dimensionadas à torção e, com
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O mecanismo resistente da viga é tal que as forças de tração são absorvidas pela armadura transversal, pois as treliças, que se formam nas faces da viga, não possuem banzos comprimidos inclinados e também não possuem diagonais comprimidas com ângulo de inclinação (θ) entre 30° e 45°, a exemplo do que se fez para o mecanismo resistente para força cortante,no caso de Modelo II, e ângulo de inclinação (θ) de 45° no caso de se adotar no dimensionamento o Modelo I. As barras da armadura transversal podem ter ângulo de inclinação () de 45 ou de 90. Os estribos inclinados de 45 são mais eficientes em termos de resistência mecânica, porém acarretam maiores custo e trabalho de mão de na obra. Nos casos de elementos estruturais de seção circular pode ser conveniente adotar estribos contínuos helicoidais.
3 Tipos de ruína em vigas submetidas à torção
Os elementos estruturais precisam ter a suas seguranças verificadas para as composições dos esforços solicitantes considerando os estados limites últimos, o que se faz usando as expressões já deduzidas para calcular as áreas das barras das armaduras e verificar as tensões nas regiões da viga onde o concreto está comprimido. É necessário, portanto, conhecer as maneiras como as barras de concreto armado submetidas à ação de momento torçor podem atingir a ruína, como a seguir se expõem.
3.1 Escoamento das barras da armadura
A ruína brusca de vigas submetidas a tensões oriundas da torção precisa ser evitada e, para que isto ocorra uma armadura mínima, para absorver as tensões de tração, tem que ser considerada no projeto. A área das barras da armadura é dimensionada de tal modo que, se a peça for à ruína, esta ocorre por escoamento da armadura e não por ruptura do concreto. Assim procedendo as fissuras típicas do efeito de torção aparecem na peça e medidas de proteção precisam ser adotadas. As tensões de tração precisam ser absorvidas exclusivamente pelas armaduras convenientemente ancoradas não havendo, portanto, possibilidade de redução como feita no modelo adotado para verificação da segurança com relação à força cortante. Leonhardt (1977) indica que assim deve ser o procedimento, pois no modelo de treliça espacial, adotado para o mecanismo interno resistente, não há nenhum banzo comprimido inclinado.
3.2 Ruptura por compressão do concreto
Nas peças de concreto armado submetidas a tensões relativas aos efeitos de torção as tensões no concreto são elevadas. E, as intensidades dependem do tipo de armadura adotada no projeto. Nos casos usuais a armação adotada é constituída por estribos perpendiculares ao eixo e por barras longitudinais dispostas no perímetro dos estribos. Neste caso, ocorrem, no meio das diagonais comprimidas, junto as faces da peça, tensões da ordem de cinco vezes a tensão de torção dada pela fórmula de Bredt, ou seja, mais elevadas do que as avaliadas pela analogia da treliça espacial. Isto ocorre em virtude do empenamento das faces laterais, sendo as comprimidas solicitadas com grande excentricidade.
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Leonhardt (1977) indica que para as tensões oriundas da torção há necessidade de limitá-las a valores menores que os adotados para o caso de solicitação de força cortante. Quando se adota armadura inclinada de 45 as tensões de compressão são cerca de quarenta por cento menores que as que ocorrem no caso de armadura perpendicular e paralela ao eixo, por causa dos empenamentos serem menores.
3.3 Ruína das quinas
Em virtude da mudança de direção das forças de compressão nas bielas inclinadas junto aos cantos de vigas de seção retangular, surgem forças de tração que podem provocar ruptura. Isto ocorre para valores tais que suplantem a resistência à tração do concreto. Para evitar isto é indicado um espaçamento máximo de estribos de l0cm. Além disto, há que se adotarem diâmetros elevados para as barras longitudinais posicionadas nas quinas dos estribos. Leonhardt (1977) indica que a tensão de torção determinada pela fórmula de Bredt, supondo seção fissurada ( Estádio II ) e, calculada com o valor do momento torçor de cálculo (TSd), não deve ser maior do que 4% da
resistência característica à compressão determinada por meio de corpos-de-prova cúbicos com 20cm de lado. Para utilizar esta indicação é preciso considerar a relação entre as resistências do concreto determinadas em corpos-de-prova cúbicos e cilíndricos.
3.4 Ruína das ancoragens
Para evitar o escoamento das barras da armadura na região das ancoragens, tanto as barras longitudinais quanto os estribos devem estar convenientemente ancorados. Os estribos precisam ser convenientemente ancorados em ganchos e as barras longitudinais precisam ter comprimentos de ancoragens suficientes para transferir as tensões de tração para o concreto que as envolve.
4 Expressões para a verificação da segurança estrutural no Estado Limite Último
Os elementos estruturais lineares podem ser submetidos simultaneamente aos esforços solicitantes de momento fletor, força cortante e momento torçor. Lembrando que para os casos usuais é possível considerar-se a superposição dos efeitos, pode- se dimensionar o elemento estrutural considerando cada efeito em separado. As tensões tangenciais por causa da força cortante e do momento torçor se somam e, portanto, a verificação da capacidade resistente das diagonais comprimida precisa levar em conta este fato. Nas regiões tracionadas as áreas das barras das armaduras, tanto transversal quanto as longitudinais precisam ser somadas e convenientemente detalhadas, ou seja, o arranjo das barras precisa ser feito de modo a atender as distribuições dos esforços solicitantes e as condições indicadas em norma própria. Assim as armaduras longitudinais são dimensionadas para absorver as tensões de tração oriundas da ação do momento fletor de cálculo e tensões de tração em virtude da ação do momento torçor. Quando se fizer o dimensionamento das armaduras longitudinais para absorver as tensões de tração por causa do efeito do momento torçor, é preciso lembrar que as barras são distribuídas ao longo do perímetro dos estribos. Portanto, na região tracionada da viga pela ação de momento fletor, as áreas das barras das armaduras são somadas. As áreas das armaduras transversais são determinadas separadamente para os efeitos da força cortante e do momento torçor. As áreas mínimas de armadura para
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TRd,3 representa o limite definido pela parcela resistida pelos estribos normais ao eixo do elemento estrutural;
TRd,4 representa o limite definido pela parcela resistida pelas barras longitudinais, paralelas ao eixo do elemento estrutural.
4.1.3 Geometria da seção resistente
4.1.3.1 Seções poligonais convexas cheias
A seção vazada equivalente se define a partir da seção cheia com espessura da parede equivalente he calculada por:
he A/ [08]
he 2 c 1 [09]
sendo:
A é a área da seção cheia;
é o perímetro da seção cheia;
c 1 é a distância entre o eixo da armadura longitudinal do canto e a face lateral do elemento estrutural.
4.1.3.2 Seção composta de retângulos
O momento de torção total deve ser distribuído entre os retângulos conforme sua rigidez elástica linear. Cada retângulo deve ser verificado isoladamente com a seção equivalente definida em A. Assim, o momento de torção que cabe ao retângulo i (T Sdi ) é dado por:
i
3 i
i
3 i Sdi Sd b Σa
a^ b T T
[10]
sendo que:
a é o menor lado do retângulo;
b é o maior lado do retângulo.
4.1.3.3 Seções vazadas
No caso de elementos estruturais de seção vazada por exemplo as vigas caixão de pontes e os pilares de edifícios pré-fabricados, a espessura da parede equivalente (he ) é considerada a menor entre:
- a espessura real da parede;
- a espessura equivalente calculada supondo a seção cheia de mesmo contorno externo da seção vazada.
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4.1.4 Verificação da compressão diagonal do concreto
A resistência decorrente das diagonais comprimidas de concreto deve ser obtida por :
TRd2 = 0,50 v fcd Ae he sen 2 [11]
sendo:
v = 1 - f (^) ck / 250, com f (^) ck em megapascal. [12]
sendo que:
é o ângulo de inclinação das diagonais de concreto, arbitrado no intervalo 30 45 ;
Ae é a área limitada pela linha média da parede da seção vazada, real ou equivalente, incluindo a parte vazada;
he é a espessura equivalente da parede da seção vazada, real ou equivalente, no ponto considerado.
4.1.5 Cálculo das áreas das barras das armaduras
Devem ser consideradas efetivas as armaduras contidas na área correspondente à parede equivalente, quando:
a) a resistência decorrente dos estribos normais ao eixo do elemento estrutural atende à expressão:
TRd3 = (A 90 / s) f (^) ywd 2 Ae cotg [13]
sendo:
f (^) ywd é a resistência de cálculo do aço da armadura passiva, limitada a 435 MPa.
b) a resistência decorrente das armaduras longitudinais atende à expressão:
TRd4 = (As/ u). 2 Ae f (^) ywd tg [14]
sendo que:
As é a soma das áreas das seções das barras longitudinais;
u é o perímetro de Ae.
A armadura longitudinal de torção de área total A (^) s pode ter arranjo distribuído ou
concentrado, mantendo-se obrigatoriamente constante a relação As /u, onde u é o trecho de perímetro, da seção efetiva, correspondente a cada barra ou feixe de barras
de área As.
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Figura 8 - Flexo-torção de perfil com paredes opostas [ABNT NBR 6118:2003]
4.2.3 Resistência à flexo-torção
A resistência à flexo-torção de todo o elemento estrutural pode ser calculada a partir da resistência à flexão das paredes opostas, pela expressão seguinte:
TRd = FRd, mín. z [17]
sendo:
FRd, mín = (FRd - FSd ) (^) mín [18]
sendo que:
FRd é a força transversal que esgota a resistência da parede isolada, sem o efeito da torção;
FSd é a parcela da força transversal total aplicada ao elemento estrutural, que cabe à parede isolada, sem o efeito da torção;
O valor FRd, mín é o menor entre as duas paredes consideradas.
5 Estado limite de fissuração inclinada da alma - Força cortante e torção
Usualmente não é necessário verificar a fissuração diagonal da alma de elementos estruturais de concreto. Em casos especiais em que isso for considerado importante deve-se limitar o espaçamento da armadura transversal a 15 cm.
6 Solicitações combinadas
6.1 Ação de momento fletor e momento torçor
Nos elementos estruturais submetidos a torção e a flexão simples ou composta, as verificações podem ser efetuadas separadamente para a torção e para as solicitações normais, devendo ser atendidas complementarmente as prescrições de 6.1.1 a 6.1.3.
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6.1.1 Armadura longitudinal
Na zona tracionada pela flexão, a armadura de torção deve ser acrescentada à armadura necessária para solicitações normais, considerando-se em cada seção os esforços que agem concomitantemente.
6.1.2 Armadura longitudinal no banzo comprimido por flexão
No banzo comprimido pela flexão, a armadura longitudinal de torção pode ser reduzida em função as tensões de compressão que atuam na espessura efetiva h e no trecho de comprimento u correspondente à barra ou feixe de barras consideradas.
6.1.3 Resistência de banzo comprimido
Nas seções em que a torção atua simultaneamente com solicitações normais intensas, que reduzem excessivamente a profundidade da linha neutra, particularmente em vigas de seção celular, o valor de cálculo da tensão principal de compressão não deve superar o valor 0,85 fcd. Esta tensão principal deve ser calculada como em um estado plano de tensões, a partir da tensão normal média que age no banzo comprimido de flexão e da tensão tangencial de torção calculada por:
e e
d Td (^2) A h
T
[19]
6.2 Momento torçor e força cortante
Na combinação de momento torçor com força cortante, o projeto deve prever ângulos de inclinação das bielas de concreto coincidentes para os dois esforços. Quando for utilizado o modelo I para a força cortante, que subentende = 45º, esse deve ser o valor considerado também para a torção. A resistência à compressão diagonal do concreto deve ser satisfeita atendendo à expressão:
T
T
V
V
Rd
Sd Rd
Sd (^) [20]
sendo que:
VSd e TSd são os esforços solicitantes de cálculo que agem simultaneamente na seção.
A área das barras da armadura transversal pode ser calculada pela soma das áreas das barras calculadas separadamente para VSd e TSd.
7 Critérios para detalhamento da barras da armadura para torção
A armadura destinada a resistir as forças de tração provocados pela ação de momento torçor deve ser constituída por estribos normais ao eixo da viga, combinados com barras longitudinais paralelas ao mesmo eixo, e deve ser projetada de acordo com as prescrições anteriormente estudadas.