Arvores Binárias: Conceitos, Implementação e Aplicações em Java, Slides de Direito

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Arvores Bin´´ arias

Pedro Ribeiro

DCC/FCUP

(baseado e/ou inspirado parcialmente nos slides de Lu´ıs Lopes e de Fernando Silva)

Estruturas n˜ao lineares

Os arrays e as listas s˜ao exemplos de estruturas de dados lineares. Cada elemento tem: um predecessor ´unico (excepto o primeiro elemento da lista); um sucessor ´unico (excepto o ´ultimo elemento da lista).

Existem outros tipos de estruturas? um grafo ´e uma estrutura de dados n˜ao-linear, pois cada um dos seus elementos, designados por n´os, podem ter mais de um predecessor ou mais de um sucessor.

Arvores - Exemplos´

As ´arvores s˜ao estruturas particularmente adequadas para representar informa¸c˜ao organizada em hierarquias: Alguns exemplos: I (^) a estrutura de direct´orios (ou pastas) de um sistema de ficheiros I (^) uma ´arvore geneal´ogica de uma fam´ılia I (^) uma ´arvore da vida

Arvores - Visualiza¸´ c˜ao

Muitas vezes n˜ao se incluem as ”setas” nos arcos (ou liga¸c˜oes) pois fica claro pelo desenho quais n´os descendem de quais:

Arvores - Terminologia´

Os arcos que ligam os n´os, chamam-se ramos Chama-se caminho `a sequˆencia de ramos entre dois n´os I (^) Exemplo: A-B-D ´e o caminho entre A e D O comprimento de um caminho ´e o n´umero de ramos nele contido; I (^) Exemplo: A-B-D tem comprimento 2 A profundidade de um n´o ´e o comprimento do caminho desde a ra´ız at´e esse n´o (a profundidade da raiz ´e zero); I (^) Exemplo: B tem profundidade 1, D tem profundidade 2 A altura de uma ´arvore ´e a profundidade m´axima de um n´o da ´arvore I (^) Exemplo: A ´arvore da figura tem altura 2

Arvores Bin´´ arias

A aridade de uma ´arvore ´e o grau m´aximo de um n´o Uma ´arvore bin´aria ´e uma ´arvore de aridade 2, isto ´e, cada n´o possui no m´aximo dois filhos, designados por filho esquerdo e direito.

Arvores Bin´´ arias - Implementa¸c˜ao

Vamos agora definir a ´arvore em si Do mesmo modo que uma lista ligada tem uma referˆencia para o primeiro n´o da lista, uma ´arvore deve ter uma referˆencia para... a ra´ız!

p u b l i c c l a s s BTree { p r i v a t e BTNode root; // ra´ız da ´arvore // Construtor BTree () { root = n u l l ; } // Getter e Setter para a ra´ız p u b l i c BTNode getRoot () { r e t u r n root ;} p u b l i c v o i d setRoot (BTNode r) {root = r;} // Verificar se ´arvore est´a vazia p u b l i c boolean isEmpty () { r e t u r n root == n u l l ; } }

Arvores Bin´´ arias - N´umero de n´os

Vamos criar alguns m´etodos para colocar na classe BTree Um primeiro m´etodo tem como objectivo contar o n´umero de n´os de uma ´arvore. Por exemplo, a ´arvore bin´aria seguinte tem 6 n´os:

Vamos criar um m´etodo recursivo: I (^) Caso base: quando a ´arvore est´a vazia... tem 0 n´os! I (^) Caso recursivo: o no^ ´arvore ´e igual a 1 mais o no^ n´os da sub´arvore esquerda, mais o no^ n´os da sub´arvore direita F (^) Exemplo fig.: num n´os = 1 + num nos({B,D,E}) + num nos({C,F})

Arvores Bin´´ arias - Altura de uma ´arvore

Vamos calcular a altura de uma ´arvore (profundidade m´axima de um n´o). Por exemplo, a ´arvore da figura tem altura 2 (a vermelho a profundidade de cada n´o).

Vamos criar um m´etodo recursivo muito parecido com o anterior: I (^) Caso recursivo: a altura de uma ´arvore ´e igual 1 mais o m´aximo entre as alturas das sub´arvores esquerda e direita F (^) Exemplo fig.: altura = 1 + max(altura({B,D,E}), altura({C,F})) Qual dever´a ser o caso base? Duas hip´oteses: I (^) Podemos parar numa folha: tem altura zero (0) I (^) Se pararmos numa ´arvore nula, a altura tem de ser... - F (^) Ex: altura ´arvore de 1 n´o = 1 + max(null, null) = 1 + max(-1, -1) = 0

Arvores Bin´´ arias - Altura de uma ´arvore

Concretizando, com caso base da recurs˜ao do m´etodo auxiliar a ser a ´arvore nula (como no m´etodo do n´umero de n´os):

p u b l i c i n t depth () { r e t u r n depth(root ); } p r i v a t e i n t depth(BTNode n) { i f (n == n u l l ) r e t u r n -1; r e t u r n 1 + Math.max(depth(n. getLeft ()), depth(n. getRight ())); }

Arvores Bin´´ arias - Procura de um elemento

Concretizando, e recordando que para comparar objectos devem usar o .equals() e n˜ao o ==:

p u b l i c boolean contains (T value) { r e t u r n contains (root , value ); } p r i v a t e boolean contains (BTNode n, T value) { i f (n== n u l l ) r e t u r n f a l s e ; i f (n. getValue (). equals(value )) r e t u r n t r u e ; r e t u r n contains (n. getLeft (), value) || contains (n. getRight (), value ); }

Arvores Bin´´ arias - Escrita dos n´os de uma ´arvore

Como escrever o conte´udo (os n´os) de uma ´arvore? Temos de passar por todos os n´os. Mas por qual ordem? Vamos distinguir entre duas ordens diferentes:

Pesquisa em Profundidade (DFS: depth-first-search): visitar todos os n´os da sub´arvore de um filho antes de visitar a sub´arvore do outro filho Pesquisa em Largura (BFS: breadth-first-search): visitar n´os por ordem crescente de profundidade

Arvores Bin´´ arias - Pesquisa em profundidade

Concretizando em c´odigo o que foi dito no slide anterior:

p u b l i c v o i d printPreOrder () { System .out.print(" PreOrder :"); printPreOrder (root ); System .out. println (); } p r i v a t e v o i d printPreOrder (BTNode n) { i f (n== n u l l ) r e t u r n ; System .out.print(" " + n. getValue () ); printPreOrder (n. getLeft ()); printPreOrder (n. getRight ()); }

Para a ´arvore anterior, iria ser escrito ”PreOrder: A B D E C F” Chamamos a esta ordem PreOrder, porque escrevemos a ra´ız antes das duas sub´arvores

Arvores Bin´´ arias - Pesquisa em profundidade

Para al´em da PreOrder, podemos considerar tamb´em mais duas ordens em profundidade: I (^) InOrder: ra´ız escrita entre as duas sub´arvores I (^) PostOrder: ra´ız escrita depois das duas sub´arvores

Para a ´arvore da figura: I (^) PreOrder: A B D E C F I (^) InOrder: D B E A F C I (^) PostOrder: D E B F C A