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MATEMÁTICA:
Números inteiros e racionais: operações (adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação);expressões numéricas; múltiplos e divisores de números naturais; problemas. Fra- ções e operações com frações. Números e grandezas proporcionais: razões e proporções; divisão em partes proporcionais; regra de três; porcentagem e problemas. Estatística descritiva; distribuição de probabilidade discreta. Juros simples e compostos: capitalização e descontos. Taxas de juros: nominal, efetiva, equivalentes, proporcio- nais, real e aparente. Planos ou Sistemas de Amortização de Empréstimos e Finan- ciamentos. Cálculo financeiro: custo real efetivo de operações de finan- ciamento,empréstimo e investimento. Taxas de Retorno.
TEORIA DOS CONJUNTOS
CONJUNTO
Em matemática, um conjunto é uma coleção de elementos. Não interessa a ordem e quantas vezes os elementos estão listados na coleção. Em contraste, uma coleção de elementos na qual a multiplicidade, mas não a ordem, é relevante, é chamada multiconjunto.
Conjuntos são um dos conceitos básicos da matemática. Um conjunto é apenas uma coleção de entidades, chamadas de elementos. A notação padrão lista os elementos separados por vírgulas entre chaves (o uso de "parênteses" ou "colchetes" é incomum) como os seguintes exemplos:
{1, 2, 3}
{1, 2, 2, 1, 3, 2}
{ x : x é um número inteiro tal que 0<x<4}
Os três exemplos acima são maneiras diferentes de representar o mesmo conjunto.
É possível descrever o mesmo conjunto de diferentes maneiras: listando os seus elementos (ideal para conjuntos pequenos e finitos) ou definindo uma propriedade de seus elementos. Dizemos que dois conjuntos são iguais se e somente se cada elemento de um é também elemento do outro, não importando a quantidade e nem a ordem das ocorrências dos elementos.
Conceitos essenciais
Conjunto : representa uma coleção de objetos, geralmente representado por letras maiúsculas ;
Elemento : qualquer um dos componentes de um conjunto, geralmente representado por letras minúsculas ;
Pertinência : é a característica associada a um elemento que faz parte de um conjunto;
Pertence ou não pertence
Se é um elemento de , nós podemos dizer que o elemento pertence ao conjunto e podemos escrever
. Se não é um elemento de , nós podemos dizer que o elemento não pertence ao conjunto e
podemos escrever.
1. Conceitos primitivos
Antes de mais nada devemos saber que conceitos primitivos são noções que adotamos sem definição.
Adotaremos aqui três conceitos primitivos: o de con- junto, o de elemento e o de pertinência de um elemento a um conjunto. Assim, devemos entender perfeitamente a frase : determinado elemento pertence a um conjunto, sem que tenhamos definido o que é conjunto, o que é elemento e o que significa dizer que um elemento per- tence ou não a um conjunto.
2 Notação
Normalmente adotamos, na teoria dos conjuntos, a seguinte notação:
- os conjuntos são indicados por letras maiúsculas: A, B, C, ... ;
- os elementos são indicados por letras minúsculas: a, b, c, x, y, ... ;
- o fato de um elemento x pertencer a um conjunto
C é indicado com x ∈ C;
- o fato de um elemento y não pertencer a um
conjunto C é indicado y ∉ C.
3. Representação dos conjuntos
Um conjunto pode ser representado de três maneiras:
- por enumeração de seus elementos;
- por descrição de uma propriedade característica do conjunto;
- através de uma representação gráfica. Um conjunto é representado por enumeração quando todos os seus elementos são indicados e colocados dentro de um par de chaves.
Exemplo:
a) A = ( 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 ) indica o conjunto formado pelos algarismos do nosso sistema de numeração.
b) B = ( a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, x, z ) indica o conjunto formado pelas letras do nosso alfabeto. c) Quando um conjunto possui número elevado de elementos, porém apresenta lei de formação bem clara, podemos representa-lo, por enumeração, indicando os primeiros e os últimos elementos, intercalados por reticências. Assim: C = ( 2; 4; 6;... ; 98 ) indica o conjunto dos números pares positivos, menores do que100. d) Ainda usando reticências, podemos representar, por enumeração, conjuntos com infinitas elementos que tenham uma lei de formação bem clara, como os seguintes:
D = ( 0; 1; 2; 3; ... ) indica o conjunto dos números inteiros não negativos; E = ( ... ; -2; -1; 0; 1; 2;. .. ) indica o conjunto dos números inteiros; F = ( 1; 3; 5; 7;... ) indica o conjunto dos números ímpares positivos.
A representação de um conjunto por meio da des- crição de uma propriedade característica é mais sintéti- ca que sua representação por enumeração. Neste ca- so, um conjunto C, de elementos x, será representado da seguinte maneira:
C = { x | x possui uma determinada propriedade }
que se lê: C é o conjunto dos elementos x tal que possui uma determinada propriedade:
Exemplos
O conjunto A = { 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 } pode ser representado por descrição da seguinte maneira: A = { x | x é algarismo do nosso sistema de numeração }
O conjunto G = { a; e; i; o, u } pode ser representado por descrição da seguinte maneira G = { x | x é vogal do nosso alfabeto }
O conjunto H = { 2; 4; 6; 8;... } pode ser representado por descrição da seguinte maneira:
H = { x | x é par positivo }
A representação gráfica de um conjunto é bastante cômoda. Através dela, os elementos de um conjunto são representados por pontos interiores a uma linha fechada que não se entrelaça. Os pontos exteriores a esta linha representam os elementos que não perten- cem ao conjunto.
Exemplo
Por esse tipo de representação gráfica, chamada
diagrama de Euler-Venn, percebemos que x ∈ C, y ∈
C, z ∈ C; e que a ∉ C, b ∉ C, c ∉ C, d ∉ C.
4 Número de elementos de um conjunto
Consideremos um conjunto C. Chamamos de núme- ro de elementos deste conjunto, e indicamos com n(C), ao número de elementos diferentes entre si, que per- tencem ao conjunto. Exemplos
a) O conjunto A = { a; e; i; o; u } é tal que n(A) = 5. b) O conjunto B = { 0; 1; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 } é tal que n(B) = 10. c) O conjunto C = ( 1; 2; 3; 4;... ; 99 ) é tal que n (C) = 99.
5 Conjunto unitário e conjunto vazio
Chamamos de conjunto unitário a todo conjunto C, tal que n (C) = 1.
Exemplo: C = ( 3 )
E chamamos de conjunto vazio a todo conjunto c, tal que n(C) = 0.
Exemplo: M = { x | x 2 = -25}
O conjunto vazio é representado por { } ou por
Exercício resolvido
Determine o número de elementos dos seguintes com juntos :
a) A = { x | x é letra da palavra amor } b) B = { x | x é letra da palavra alegria } c) c é o conjunto esquematizado a seguir d) D = ( 2; 4; 6;... ; 98 ) e) E é o conjunto dos pontos comuns às relas r e s, esquematizadas a seguir :
c) {a;b;c} U {a;c}={a;b;c}
2 Intersecção de conjuntos
Dados dois conjuntos A e B, chamamos de interse-
ção de A com B, e indicamos com A ∩ B, ao conjunto
constituído por todos os elementos que pertencem a A e a B.
Usando os diagramas de Euler-Venn, e representando com hachuras a intersecção dos conjuntos, temos:
Exemplos
a) {a;b;c} ∩ {d;e} = ∅
b) {a;b;c} ∩ {b;c,d} = {b;c}
c) {a;b;c} ∩ {a;c} = {a;c}
Quando a intersecção de dois conjuntos é vazia, como no exemplo a, dizemos que os conjuntos são disjuntos.
Exercícios resolvidos
- Sendo A = ( x; y; z ); B = ( x; w; v ) e C = ( y; u; t ), determinar os seguintes conjuntos:
a) A ∪ B f) B ∩ C
b) A ∩ B g) A ∪ B ∪ C
c) A ∪ C h) A ∩ B ∩ C
d) A ∩ C i) (A ∩ B) U (A ∩ C)
e) B ∪ C
Resolução
a) A ∪ B = {x; y; z; w; v }
b) A ∩ B = {x }
c) A ∪ C = {x; y;z; u; t }
d) A ∩ C = {y }
e) B ∪ C={x;w;v;y;u;t}
f) B ∩ C= ∅
g) A ∪ B ∪ C= {x;y;z;w;v;u;t}
h) A ∩ B ∩ C= ∅
i) (A ∩ B) ∪ u (A ∩ C)={x} ∪ {y}={x;y}
- Dado o diagrama seguinte, represente com hachuras os conjuntos: :
a) A ∩ B ∩ C
b) (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
.Resolução
- No diagrama seguinte temos: n(A) = 20 n(B) = 30
n(A ∩ B) = 5
Determine n(A ∪ B). Resolução
Se juntarmos, aos 20 elementos de A, os 30 elementos de B, estaremos considerando os 5 elementos de A n B duas vezes; o que, evidentemente, é incorreto; e, para corrigir este erro, devemos subtrair uma vez os 5 elementos de A n B; teremos então:
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B) ou seja:
n(A ∪ B) = 20 + 30 – 5 e então:
n(A ∪ B) = 45.
4 Conjunto complementar
Dados dois conjuntos A e B, com B ⊂ A,
chamamos de conjunto complementar de B em relação a A, e indicamos com C (^) A B, ao conjunto A - B.
Observação: O complementar é um caso particular de diferença em que o segundo conjunto é subconjunto do primeiro.
Usando os diagramas de Euler-Venn, e representando com hachuras o complementar de B em relação a A, temos:
Exemplo: {a;b;c;d;e;f} - {b;d;e}= {a;c;f}
Observação: O conjunto complementar de B em relação a A é formado pelos elementos que faltam para "B chegar a A"; isto é, para B se igualar a A.
Exercícios resolvidos:
- Sendo A = { x; y; z } , B = { x; w; v } e C = { y; u; t }, determinar os seguintes conjuntos:
A – B B – A A – C
C - A
B – C
C – B
Resolução
a) A - B = { y; z } b) B - A= {w;v} c) A - C= {x;z} d) C – A = {u;t} e) B – C = {x;w;v} f) C – B = {y;u;t}
Exemplos de conjuntos compostos por números
Nota: Nesta seção, a , b e c são números naturais, enquanto r e s são números reais.
- Números naturais são usados para contar. O símbolo usualmente representa este conjunto.
- Números inteiros aparecem como soluções de equações como x + a = b. O símbolo usualmente representa este conjunto (do termo alemão Zahlen que significa números ).
- Números racionais aparecem como soluções
de equações como a + bx = c. O símbolo usualmente representa este conjunto (da palavra quociente).
- Números algébricos aparecem como soluções de equações polinomiais (com coeficientes inteiros) e envolvem raízes e alguns outros números irracionais. O
símbolo ou usualmente representa este conjunto.
- Números reais incluem os números algébricos e os números transcendentais. O símbolo usualmente representa este conjunto.
- Números imaginários aparecem como soluções de equações como x^2 + r = 0 onde r > 0. O símbolo usualmente representa este conjunto.
- Números complexos é a soma dos números reais e dos imaginários:. Aqui tanto r quanto s podem ser iguais a zero; então os conjuntos dos números reais e o dos imaginários são subconjuntos do conjunto dos números complexos. O símbolo usualmente representa este conjunto.
NÚMEROS NATURAIS, INTEIROS, RACIONAIS,
IRRACIONAIS E REAIS.
Conjuntos numéricos podem ser representados de diversas formas. A forma mais simples é dar um nome ao conjunto e expor todos os seus elementos, um ao lado do outro, entre os sinais de chaves. Veja o exem- plo abaixo: A = {51, 27, -3}
Esse conjunto se chama "A" e possui três termos, que estão listados entre chaves.
Os nomes dos conjuntos são sempre letras maiús- culas. Quando criamos um conjunto, podemos utilizar qualquer letra.
Vamos começar nos primórdios da matemática.
- Se eu pedisse para você contar até 10, o que você me diria?
- Um, dois, três, quatro, cinco, seis, sete, oito, nove e dez.
Pois é, estes números que saem naturalmente de sua boca quando solicitado, são chamados de números NATURAIS, o qual é representado pela letra.
Foi o primeiro conjunto inventado pelos homens, e tinha como intenção mostrar quantidades. *Obs.: Originalmente, o zero não estava incluído neste conjunto, mas pela necessidade de representar uma quantia nula, definiu-se este número como sendo pertencente ao conjunto dos Naturais. Portanto: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}
Obs.2: Como o zero originou-se depois dos outros números e possui algumas propriedades próprias, al- gumas vezes teremos a necessidade de representar o conjunto dos números naturais sem incluir o zero. Para isso foi definido que o símbolo * (asterisco) empregado ao lado do símbolo do conjunto, iria representar a au- sência do zero. Veja o exemplo abaixo: N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}*
Conjunto dos Números Reais É formado por todos os conjuntos citados anterior- mente (união do conjunto dos racionais com os irracio- nais).
Representado pela letra R.
Representação geométrica de A cada ponto de uma reta podemos associar um ú- nico número real, e a cada número real podemos asso- ciar um único ponto na reta. Dizemos que o conjunto é denso, pois entre dois números reais existem infinitos números reais (ou seja, na reta, entre dois pontos associados a dois números reais, existem infinitos pontos).
Veja a representação na reta de :
Fonte: http://www.infoescola.com/matematica/conjuntos- numericos/
CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS (N)
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO
Veja a operação: 2 + 3 = 5. A operação efetuada chama-se adição e é indicada escrevendo-se o sinal + (lê-se: “mais") entre os núme- ros.
Os números 2 e 3 são chamados parcelas. 0 núme- ro 5, resultado da operação, é chamado soma.
2 → parcela
+ 3 → parcela
5 → soma
A adição de três ou mais parcelas pode ser efetua- da adicionando-se o terceiro número à soma dos dois primeiros ; o quarto número à soma dos três primeiros e assim por diante.
Veja agora outra operação: 7 – 3 = 4
Quando tiramos um subconjunto de um conjunto, realizamos a operação de subtração, que indicamos pelo sinal -.
7 → minuendo
- 3 → subtraendo
4 → resto ou diferença
0 minuendo é o conjunto maior, o subtraendo o sub- conjunto que se tira e o resto ou diferença o conjunto que sobra.
Somando a diferença com o subtraendo obtemos o minuendo. Dessa forma tiramos a prova da subtração.
EXPRESSÕES NUMÉRICAS
Para calcular o valor de uma expressão numérica envolvendo adição e subtração, efetuamos essas ope- rações na ordem em que elas aparecem na expressão.
Exemplos: 35 – 18 + 13 = 17 + 13 = 30 Veja outro exemplo: 47 + 35 – 42 – 15 = 82 – 42 – 15= 40 – 15 = 25
Quando uma expressão numérica contiver os sinais de parênteses ( ), colchetes [ ] e chaves { }, procede- remos do seguinte modo: 1º Efetuamos as operações indicadas dentro dos parênteses; 2º efetuamos as operações indicadas dentro dos colchetes; 3º efetuamos as operações indicadas dentro das chaves.
35 +[ 80 – (42 + 11) ] = = 35 + [ 80 – 53] = = 35 + 27 = 62
18 + { 72 – [ 43 + (35 – 28 + 13) ] } = = 18 + { 72 – [ 43 + 20 ] } = = 18 + { 72 – 63} = = 18 + 9 = 27
CÁLCULO DO VALOR DESCONHECIDO
Quando pretendemos determinar um número natu- ral em certos tipos de problemas, procedemos do se- guinte modo:
- chamamos o número (desconhecido) de x ou qualquer outra incógnita ( letra )
- escrevemos a igualdade correspondente
- calculamos o seu valor
Exemplos:
- Qual o número que, adicionado a 15, é igual a 31?
Solução: Seja x o número desconhecido. A igualdade cor- respondente será: x + 15 = 31
Calculando o valor de x temos: x + 15 = 31 x + 15 – 15 = 31 – 15 x = 31 – 15 x = 16
Na prática , quando um número passa de um lado para outro da igualdade ele muda de sinal.
- Subtraindo 25 de um certo número obtemos 11. Qual é esse número?
Solução:
Seja x o número desconhecido. A igualdade corres- pondente será: x – 25 = 11 x = 11 + 25 x = 36
Passamos o número 25 para o outro lado da igual- dade e com isso ele mudou de sinal.
Qual o número natural que, adicionado a 8, é i- gual a 20? Solução: x + 8 = 20 x = 20 – 8 x = 12
Determine o número natural do qual, subtraindo 62, obtemos 43. Solução: x – 62 = 43 x = 43 + 62 x = 105
Para sabermos se o problema está correto é sim- ples, basta substituir o x pelo valor encontrado e reali- zarmos a operação. No último exemplo temos: x = 105 105 – 62 = 43
MULTIPLICAÇÃO
Observe: 4 X 3 =
A operação efetuada chama-se multiplicação e é in- dicada escrevendo-se um ponto ou o sinal x entre os números.
Os números 3 e 4 são chamados fatores. O número 12, resultado da operação, é chamado produto.
3 X 4 = 12
3 fatores X 4 12 produto
Por convenção, dizemos que a multiplicação de qualquer número por 1 é igual ao próprio número.
A multiplicação de qualquer número por 0 é igual a 0.
A multiplicação de três ou mais fatores pode ser efe- tuada multiplicando-se o terceiro número pelo produto dos dois primeiros; o quarto numero pelo produto dos três primeiros; e assim por diante.
3 x 4 x 2 x 5 =
12 x 2 x 5
24 x 5 = 120
EXPRESSÕES NUMÉRICAS
Sinais de associação O valor das expressões numéricas envolvendo as operações de adição, subtração e multiplicação é obti- do do seguinte modo:
- efetuamos as multiplicações
- efetuamos as adições e subtrações, na ordem em que aparecem.
- 4 + 5. 8 – 2. 9 = =12 + 40 – 18 = 34
- 6 – 4. 12 + 7. 2 = = 54 – 48 + 14 = = 20
Não se esqueça: Se na expressão ocorrem sinais de parênteses col- chetes e chaves, efetuamos as operações na ordem em que aparecem: 1º) as que estão dentro dos parênteses 2º) as que estão dentro dos colchetes 3º) as que estão dentro das chaves.
Exemplo: 22 + {12 +[ ( 6. 8 + 4. 9 ) – 3. 7] – 8. 9 } = 22 + { 12 + [ ( 48 + 36 ) – 21] – 72 } = = 22 + { 12 + [ 84 – 21] – 72 } = = 22 + { 12 + 63 – 72 } = = 22 + 3 = = 25
DIVISÃO
Observe a operação: 30 : 6 = 5
Também podemos representar a divisão das se- guintes maneiras:
30 6 ou 5
O dividendo (D) é o número de elementos do con- junto que dividimos o divisor (d) é o número de elemen- tos do subconjunto pelo qual dividimos o dividendo e o quociente (c) é o número de subconjuntos obtidos com a divisão.
Essa divisão é exata e é considerada a operação inversa da multiplicação. SE 30 : 6 = 5, ENTÃO 5 x 6 = 30
observe agora esta outra divisão:
32 6 2 5 32 = dividendo 6 = divisor 5 = quociente 2 = resto
Essa divisão não é exata e é chamada divisão apro- ximada.
ATENÇÃO:
- Na divisão de números naturais, o quociente é sempre menor ou igual ao dividendo.
- O resto é sempre menor que o divisor.
EXPRESSÕES NUMÉRICAS ENVOLVENDO AS
QUATRO OPERAÇÕES
Sinais de associação: O valor das expressões numéricas envolvendo as quatro operações é obtido do seguinte modo:
- efetuamos as multiplicações e as divisões, na ordem em que aparecem;
- efetuamos as adições e as subtrações, na ordem em que aparecem;
Exemplo 1) 3. 15 + 36 : 9 = = 45 + 4 = 49 Exemplo 2) 18 : 3. 2 + 8 – 6. 5 : 10 = = 6. 2 + 8 – 30 : 10 = = 12 + 8 – 3 = = 20 – 3 = 17
POTENCIAÇÃO
Considere a multiplicação: 2. 2. 2 em que os três fatores são todos iguais a 2.
Esse produto pode ser escrito ou indicado na forma 2 3 (lê-se: dois elevado à terceira potência), em que o 2 é o fator que se repete e o 3 corresponde à quantidade desses fatores.
Assim, escrevemos: 2 3 = 2. 2. 2 = 8 (3 fatores)
A operação realizada chama-se potenciação. O número que se repete chama-se base. O número que indica a quantidade de fatores iguais a base chama-se expoente. O resultado da operação chama-se potência. 2 3 = 8 3 expoente
base potência
Observações: 1) os expoentes 2 e 3 recebem os nomes especi- ais de quadrado e cubo, respectivamente.
2) As potências de base 0 são iguais a zero. 02 =
3) As potências de base um são iguais a um.
Exemplos: 13 = 1. 1. 1 = 1
4) Por convenção, tem-se que:
- a potência de expoente zero é igual a 1 (a^0 = 1,
a ≠ 0)
30 = 1 ; 5^0 = 1 ; 12^0 = 1
- a potência de expoente um é igual à base (a 1 = a)
PROPRIEDADES DAS POTÊNCIAS
1ª) para multiplicar potências de mesma base, conserva-se a base e adicionam-se os expoen- tes.
a
m
. a
n
= a
m + n
Exemplos: 32. 3^8 = 32 + 8^ = 3^10
5. 5 6 = 51+6^ = 5^7
2ª) para dividir potências de mesma base, conser- va-se a base e subtraem-se os expoentes.
a
m
: a
n
= a
m - n Exemplos:
37 : 3^3 = 3 7 – 3^ = 3^4
510 : 5^8 = 5 10 – 8^ = 5^2
3ª) para elevar uma potência a um outro expoente, conserva-se base e multiplicam-se os expoen- tes.
Exemplo: (3^2 ) 4 = 32. 4^ = 3^8
4ª) para elevar um produto a um expoente, eleva- se cada fator a esse expoente.
(a. b) m^ = am^. bm
Exemplos: (4. 7) 3 = 4^3. 7^3 ; (3. 5) 2 = 3^2. 5^2
RADICIAÇÃO
Suponha que desejemos determinar um número que, elevado ao quadrado, seja igual a 9. Sendo x esse número, escrevemos: X^2 = 9
De acordo com a potenciação, temos que x = 3, ou
seja: 32 = 9
A operação que se realiza para determinar esse número 3 é chamada radiciação, que é a operação inversa da potenciação.
Indica-se por:
2 9 = 3 (lê-se: raiz quadrada de 9 é igual a 3)
Daí , escrevemos:
Na expressão acima, temos que:
- o símbolo chama-se sinal da raiz
- o número 2 chama-se índice
- o número 9 chama-se radicando
- o número 3 chama-se raiz,
- o símbolo 2 9 chama-se radical
As raízes recebem denominações de acordo com o índice. Por exemplo:
2 36 raiz quadrada de 36
3 125 raiz cúbica de 125
4 81 raiz quarta de 81
5 32 raiz quinta de 32 e assim por diante
No caso da raiz quadrada, convencionou-se não es- crever o índice 2.
Exemplo : 2 49 = 49 = 7 , pois 7 2 = 49
EXERCÍCIOS
- Calcule:
a) 10 – 10 : 5 = b) 45 : 9 + 6 = c) 20 + 40 : 10 = d) 9. 7 – 3 = e) 30 : 5 + 5 = f) 6. 15 – 56 : 4 = g) 63 : 9. 2 – 2 = h) 56 – 34 : 17. 19 = i) 3. 15 : 9 + 54 :18 = j) 24 –12 : 4+1. 0 =
Respostas: a) 8 c) 24 e) 11 g) 12 i) 8
b) 11 d) 60 f) 76 h) 18 j) 21
- Calcule o valor das expressões: a) 23 + 3^2 = b) 3. 5^2 – 7^2 = c) 2. 3^3 – 4. 2^3 = d) 53 – 3. 6^2 + 2^2 – 1 = e) (2 + 3) 2 + 2. 3 4 – 15^2 : 5 = f) 1 + 7^2 – 3. 2^4 + (12 : 4) 2 =
Respostas: a) 17 c) 22 e) 142
b) 26 d) 20 f) 11
Uma indústria de automóveis produz, por dia, 1270 unidades. Se cada veículo comporta 5 pneus, quantos pneus serão utilizados ao final de 30 dias? (Resposta: 190.500)
Numa divisão, o divisor é 9,o quociente é 12 e o resto é 5. Qual é o dividendo? (113)
Numa divisão, o dividendo é 227, o divisor é 15 e o resto é 2. Qual é o quociente? (15)
Numa divisão, o dividendo é 320, o quociente é 45 e o resto é 5. Qual é o divisor? (7)
Num divisão, o dividendo é 625, o divisor é 25 e o quociente é 25. Qual ê o resto? (0)
Numa chácara havia galinhas e cabras em igual quantidade. Sabendo-se que o total de pés des- ses animais era 90, qual o número de galinhas? Resposta: 15 ( 2 pés + 4 pés = 6 pés ; 90 : 6 = 15).
O dobro de um número adicionado a 3 é igual a
- Calcule o número.(5)
Subtraindo 12 do quádruplo de um número ob- temos 60. Qual é esse número (Resp: 18)
Num joguinho de "pega-varetas", André e Rena- to fizeram 235 pontos no total. Renato fez 51 pontos a mais que André. Quantos pontos fez cada um? ( André-92 e Renato-143)
Subtraindo 15 do triplo de um número obtemos
- Qual é o número? (18)
- Distribuo 50 balas, em iguais quantidades, a 3 amigos. No final sobraram 2. Quantas balas
coube a cada um? (16)
A diferença entre dois números naturais é zero e a sua soma é 30. Quais são esses números? (15)
Um aluno ganha 5 pontos por exercício que a- certa e perde 3 pontos por exercício que erra. Ao final de 50 exercícios tinha 130 pontos. Quantos exercícios acertou? (35)
Um edifício tem 15 andares; cada andar, 30 sa- las; cada sala, 3 mesas; cada mesa, 2 gavetas; cada gaveta, 1 chave. Quantas chaves diferen- tes serão necessárias para abrir todas as gave- tas? (2700).
Se eu tivesse 3 dúzias de balas a mais do que tenho, daria 5 e ficaria com 100. Quantas balas tenho realmente? (69)
A soma de dois números é 428 e a diferença entre eles é 34. Qual é o número maior? (231)
Pensei num número e juntei a ele 5, obtendo 31. Qual é o número? (26)
Qual o número que multiplicado por 7 resulta 56? (8)
O dobro das balas que possuo mais 10 é 36. Quantas balas possuo? (13).
Raul e Luís pescaram 18 peixinhos. Raul pescou o dobro de Luís. Quanto pescou cada um? (Raul-12 e Luís-6)
PROBLEMAS
Vamos calcular o valor de x nos mais diversos ca- sos:
x + 4 = 10 Obtêm-se o valor de x, aplicando a operação inver- sa da adição: x = 10 – 4 x = 6
5x = 20 Aplicando a operação inversa da multiplicação, te- mos: x = 20 : 5 x = 4
x – 5 = 10 Obtêm-se o valor de x, aplicando a operação inver- sa da subtração: x = 10 + 5 x =
x : 2 = 4 Aplicando a operação inversa da divisão, temos: x = 4. 2 x = 8
Conhecemos o conjunto N dos números naturais: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, .....,}
Assim, os números precedidos do sinal + chamam- se positivos, e os precedidos de - são negativos.
Exemplos: Números inteiros positivos: {+1, +2, +3, +4, ....} Números inteiros negativos: {-1, -2, -3, -4, ....}
O conjunto dos números inteiros relativos é formado pelos números inteiros positivos, pelo zero e pelos nú- meros inteiros negativos. Também o chamamos de CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS e o represen- tamos pela letra Z, isto é: Z = {..., -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, ... }
O zero não é um número positivo nem negativo. To- do número positivo é escrito sem o seu sinal positivo.
Exemplo: + 3 = 3 ; +10 = 10 Então, podemos escrever: Z = {..., -3, -2, -1, 0 , 1, 2, 3, ...}
N é um subconjunto de Z.
REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA Cada número inteiro pode ser representado por um ponto sobre uma reta. Por exemplo:
... C’ B’ A’ 0 A B C D ...
Ao ponto zero, chamamos origem, corresponde o número zero.
Nas representações geométricas, temos à direita do zero os números inteiros positivos, e à esquerda do zero, os números inteiros negativos.
Observando a figura anterior, vemos que cada pon- to é a representação geométrica de um número inteiro.
Exemplos: ponto C é a representação geométrica do núme- ro + ponto B' é a representação geométrica do núme- ro -
ADIÇÃO DE DOIS NÚMEROS INTEIROS
- A soma de zero com um número inteiro é o pró- prio número inteiro: 0 + (-2) = -
- A soma de dois números inteiros positivos é um número inteiro positivo igual à soma dos módulos dos números dados: (+700) + (+200) = +
- A soma de dois números inteiros negativos é um número inteiro negativo igual à soma dos módu- los dos números dados: (-2) + (-4) = -
- A soma de dois números inteiros de sinais contrá- rios é igual à diferença dos módulos, e o sinal é o da parcela de maior módulo: (-800) + (+300) =
-
ADIÇÃO DE TRÊS OU MAIS NÚMEROS INTEIROS
A soma de três ou mais números inteiros é efetuada adicionando-se todos os números positivos e todos os negativos e, em seguida, efetuando-se a soma do nú- mero negativo.
Exemplos: 1) (+6) + (+3) + (-6) + (-5) + (+8) = (+17) + (-11) = +
2) (+3) + (-4) + (+2) + (-8) = (+5) + (-12) = -
PROPRIEDADES DA ADIÇÃO A adição de números inteiros possui as seguintes propriedades:
1ª) FECHAMENTO A soma de dois números inteiros é sempre um nú-
mero inteiro: (-3) + (+6) = + 3 ∈ Z
2ª) ASSOCIATIVA
Se a, b, c são números inteiros quaisquer, então: **a
Exemplo: (+3) +[(-4) + (+2)] = [(+3) + (-4)] + (+2) (+3) + (-2) = (-1) + (+2) +1 = +
3ª) ELEMENTO NEUTRO Se a é um número inteiro qualquer, temos: a+ 0 = a e 0 + a = a
Isto significa que o zero é elemento neutro para a adição.
Exemplo: (+2) + 0 = +2 e 0 + (+2) = +
4ª) OPOSTO OU SIMÉTRICO Se a é um número inteiro qualquer, existe um único número oposto ou simétrico representado por (-a), tal que: (+a) + (-a) = 0 = (-a) + (+a)
Exemplos: (+5) + ( -5) = 0 ( -5) + (+5) = 0
5ª) COMUTATIVA Se a e b são números inteiros, então: a + b = b + a
Exemplo : (+4) + (-6) = (-6) + (+4) -2 = -
SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS Em certo local, a temperatura passou de -3ºC para 5ºC, sofrendo, portanto, um aumento de 8ºC, aumento esse que pode ser representado por: (+5) - (-3) = (+5) + (+3) = +
Portanto: A diferença entre dois números dados numa certa ordem é a soma do primeiro com o oposto do segundo.
Exemplos: **1) (+6) - (+2) = (+6) + (-2 ) = +
- (-8 ) - (-1 ) = (-8 ) + (+1) = -
- (-5 ) - (+2) = (-5 ) + (-2 ) = -**
Na prática, efetuamos diretamente a subtração, eli-
minando os parênteses
**- (+4 ) = -
Observação: Permitindo a eliminação dos parênteses, os sinais podem ser resumidos do seguinte modo: ( + ) = + + ( - ) = -
- ( + ) = - - ( - ) = +
Exemplos: - ( -2) = +2 +(-6 ) = -
- (+3) = -3 +(+1) = +
PROPRIEDADE DA SUBTRAÇÃO
A subtração possui uma propriedade.
FECHAMENTO: A diferença de dois números intei- ros é sempre um número inteiro.
MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS 1º CASO: OS DOIS FATORES SÃO NÚMEROS INTEIROS POSITIVOS
Lembremos que: 3. 2 = 2 + 2 + 2 = 6 Exemplo: (+3). (+2) = 3. (+2) = (+2) + (+2) + (+2) = + Logo: (+3). (+2) = +
Observando essa igualdade, concluímos: na multi- plicação de números inteiros, temos: (+). (+) =+
2º CASO: UM FATOR É POSITIVO E O OUTRO É NEGATIVO Exemplos: 1) (+3). (-4) = 3. (-4) = (-4) + (-4) + (-4) = - ou seja: (+3). (-4) = -
- Lembremos que: -(+2) = - (-3). (+5) = - (+3). (+5) = -(+15) = - 15 ou seja: (-3). (+5) = -
Conclusão: na multiplicação de números inteiros, temos: ( + ). ( - ) = - ( - ). ( + ) = - Exemplos : (+5). (-10) = - (+1). (-8) = - (-2 ). (+6 ) = - (-7). (+1) = -
3º CASO: OS DOIS FATORES SÃO NÚMEROS IN- TEIROS NEGATIVOS Exemplo: (-3). (-6) = -(+3). (-6) = -(-18) = + isto é: (-3). (-6) = +
Conclusão: na multiplicação de números inteiros, temos: ( - ). ( - ) = + Exemplos: (-4). (-2) = +8 (-5). (-4) = +
As regras dos sinais anteriormente vistas podem ser resumidas na seguinte: ( + ). ( + ) = + ( + ). ( - ) = - ( - ). ( - ) = + ( - ). ( + ) = -
Quando um dos fatores é o 0 (zero), o produto é i-
gual a 0: (+5). 0 = 0
PRODUTO DE TRÊS OU MAIS NÚMEROS IN- TEIROS Exemplos: 1) (+5 ). ( -4 ). (-2 ). (+3 ) = (-20). (-2 ). (+3 ) = (+40). (+3 ) = +
- (-2 ). ( -1 ). (+3 ). (-2 ) = (+2 ). (+3 ). (-2 ) = (+6 ). (-2 ) = -
Podemos concluir que:
- Quando o número de fatores negativos é par, o produto sempre é positivo.
- Quando o número de fatores negativos é ímpar, o produto sempre é negativo.
PROPRIEDADES DA MULTIPLICAÇÃO No conjunto Z dos números inteiros são válidas as seguintes propriedades:
1ª) FECHAMENTO
Exemplo: (+4 ). (-2 ) = - 8 ∈ Z
Então o produto de dois números inteiros é inteiro.
2ª) ASSOCIATIVA Exemplo: (+2 ). (-3 ). (+4 ) Este cálculo pode ser feito diretamente, mas tam- bém podemos fazê-lo, agrupando os fatores de duas maneiras: (+2 ). [(-3 ). (+4 )] = [(+2 ). ( -3 )]. (+4 ) (+2 ). (-12) = (-6 ). (+4 ) -24 = -
De modo geral, temos o seguinte: Se a, b, c representam números inteiros quaisquer, então: a. (b. c) = (a. b). c
3ª) ELEMENTO NEUTRO Observe que: (+4 ). (+1 ) = +4 e (+1 ). (+4 ) = +
Qualquer que seja o número inteiro a, temos: a. (+1 ) = a e (+1 ). a = a
O número inteiro +1 chama-se neutro para a multi- plicação.
4ª) COMUTATIVA Observemos que: (+2). (-4 ) = - 8 e (-4 ). (+2 ) = - 8 Portanto: (+2 ). (-4 ) = (-4 ). (+2 )
Se a e b são números inteiros quaisquer, então: a. b = b. a, isto é, a ordem dos fatores não altera o pro- duto.
5ª) DISTRIBUTIVA EM RELAÇÃO À ADIÇÃO E À SUBTRAÇÃO Observe os exemplos: (+3 ). [( -5 ) + (+2 )] = (+3 ). ( -5 ) + (+3 ). (+2 ) (+4 ). [( -2 ) - (+8 )] = (+4 ). ( -2 ) - (+4 ). (+8 )
Conclusão: Se a, b, c representam números inteiros quaisquer,
mos a base da primeira potência e multiplicamos os expoentes.
POTÊNCIA DE UM PRODUTO [( -2 ). (+3 ). ( -5 )] 4 = ( -2 ) 4. (+3 ) 4. ( -5 ) 4
Para calcular a potência de um produto, sendo n o expoente, elevamos cada fator ao expoente n.
POTÊNCIA DE EXPOENTE ZERO
5
5
5-
0 e (+2 ) 5 : (+2 ) 5 = 1
Consequentemente: (+2 ) 0 = 1 ( -4 ) 0 = 1
Qualquer potência de expoente zero é igual a 1.
Observação: Não confundir -3^2 com ( -3 ) 2 , porque -3^2 significa -( 3 ) 2 e portanto
2
2
enquanto que : ( -3 ) 2 = ( -3 ). ( -3 ) = +
Logo : -3 2 ≠ ( -3 ) 2
CÁLCULOS
O EXPOENTE É PAR
Calcular as potências (+2 ) 4 = (+2 ). (+2 ). (+2 ). (+2 ) = +16 isto é, (+2) 4 = + ( -2 ) 4 = ( -2 ). ( -2 ). ( -2 ). ( -2 ) = +16 isto é, (-2 ) 4 = +
Observamos que: (+2) 4 = +16 e (-2) 4 = +
Então, de modo geral, temos a regra: Quando o expoente é par, a potência é sempre um número positivo.
Outros exemplos: (-1) 6 = +1 (+3) 2 = +
O EXPOENTE É ÍMPAR
Exemplos: Calcular as potências: **1) (+2 ) 3 = (+2 ). (+2 ). (+2 ) = + isto é, (+2) 3 = + 8
- ( -2 ) 3 = ( -2 ). ( -2 ). ( -2 ) = - ou seja, (-2) 3 = -**
Observamos que: (+2 ) 3 = +8 e ( -2 ) 3 = -
Daí, a regra: Quando o expoente é ímpar, a potência tem o mesmo sinal da base.
Outros exemplos: (- 3) 3 = - 27 (+2) 4 = + PROPRIEDADES PRODUTO DE POTÊNCIAS DE MESMA BASE Exemplos: (+2 ) 3. (+2 ) 2 = (+2 ) 3 +2^2 = (+2 ) 5 ( -2 ) 2. ( -2 ) 3. ( -2 ) 5 = ( -2 ) 2 + 3 + 5^ = ( -2 ) 10
Para multiplicar potências de mesma base, mante- mos a base e somamos os expoentes.
QUOCIENTE DE POTÊNCIAS DE MESMA BASE
(+2 ) 5 : (+2 ) 2 = (+2 ) 5-2^ = (+2 ) 3
( -2 ) 7 : ( -2 ) 3 = ( -2 ) 7-3^ = ( -2 ) 4
Para dividir potências de mesma base em que o ex- poente do dividendo é maior que o expoente do divisor, mantemos a base e subtraímos os expoentes.
POTÊNCIA DE POTÊNCIA [( -4 ) 3 ] 5 = ( -4 ) 3. 5^ = ( -4 ) 15 Para calcular uma potência de potência, conserva- mos a base da primeira potência e multiplicamos os expoentes.
POTÊNCIA DE UM PRODUTO [( -2 ). (+3 ). ( -5 )] 4 = ( -2 ) 4. (+3 ) 4. ( -5 ) 4 Para calcular a potência de um produto, sendo n o expoente, elevamos cada fator ao expoente n.
POTÊNCIA DE EXPOENTE ZERO (+2 )^5 : (+2 )^5 = (+2 )5-5^ = (+2 )^0 e (+2 )^5 : (+2 )^5 = 1 Consequentemente: (+2 )^0 = 1 ( -4 )^0 = 1 Qualquer potência de expoente zero é igual a 1.
Observação: Não confundir-3^2 com (-3)^2 , porque -3^2 significa -( 3 )^2 e portanto: -3^2 = -( 3 )^2 = - enquanto que : ( -3 )^2 = ( -3 ). ( -3 ) = +
Logo: -3 2 ≠ ( -3 )^2
NÚMEROS PARES E ÍMPARES
Os pitagóricos estudavam à natureza dos números, e baseado nesta natureza criaram sua filosofia e modo de vida. Vamos definir números pares e ímpares de acordo com a concepção pitagórica:
- par é o número que pode ser dividido em duas par- tes iguais, sem que uma unidade fique no meio, e ímpar é aquele que não pode ser dividido em duas partes iguais, porque sempre há uma unidade no meio
Uma outra caracterização, nos mostra a preocupação com à natureza dos números:
- número par é aquele que tanto pode ser dividido em duas partes iguais como em partes desiguais, mas de forma tal que em nenhuma destas divisões haja uma mistura da natureza par com a natureza ímpar, nem da ímpar com a par. Isto tem uma úni- ca exceção, que é o princípio do par, o número 2, que não admite a divisão em partes desiguais, por- que ele é formado por duas unidades e, se isto po- de ser dito, do primeiro número par, 2.
Para exemplificar o texto acima, considere o número 10, que é par, pode ser dividido como a soma de 5 e 5, mas também como a soma de 7 e 3 (que são ambos ímpares) ou como a soma de 6 e 4 (ambos são pares); mas nunca como a soma de um número par e outro ím- par. Já o número 11, que é ímpar pode ser escrito como soma de 8 e 3, um par e um ímpar. Atualmente, definimos números pares como sendo o número que ao ser dividido por dois têm resto zero e números ímpares aqueles que ao serem divididos por dois têm resto diferente de zero. Por exemplo, 12 dividido por 2 têm resto zero, portanto 12
é par. Já o número 13 ao ser dividido por 2 deixa resto 1, portanto 13 é ímpar.
MÚLTIPLOS E DIVISORES
DIVISIBILIDADE
Um número é divisível por 2 quando termina em 0, 2, 4, 6 ou 8. Ex.: O número 74 é divisível por 2, pois termina em
Um número é divisível por 3 quando a soma dos valo- res absolutos dos seus algarismos é um número divisível por 3. Ex.: 123 é divisível por 3, pois 1+2+3 = 6 e 6 é divi- sível por 3
Um número é divisível por 5 quando o algarismo das unidades é 0 ou 5 (ou quando termina em o ou 5). Ex.: O número 320 é divisível por 5, pois termina em 0.
Um número é divisível por 10 quando o algarismo das unidades é 0 (ou quando termina em 0). Ex.: O número 500 é divisível por 10, pois termina em 0.
NÚMEROS PRIMOS
Um número natural é primo quando é divisível apenas por dois números distintos: ele próprio e o 1.
Exemplos:
- O número 2 é primo, pois é divisível apenas por dois números diferentes: ele próprio e o 1.
- O número 5 é primo, pois é divisível apenas por dois números distintos: ele próprio e o 1.
- O número natural que é divisível por mais de dois números diferentes é chamado composto.
- O número 4 é composto, pois é divisível por 1, 2, 4.
- O número 1 não é primo nem composto, pois é divi- sível apenas por um número (ele mesmo).
- O número 2 é o único número par primo.
DECOMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS (FATORA- ÇÃO)
Um número composto pode ser escrito sob a forma de um produto de fatores primos.
Por exemplo, o número 60 pode ser escrito na forma: 60 = 2. 2. 3. 5 = 2^2. 3. 5 que é chamada de forma fato- rada.
Para escrever um número na forma fatorada, devemos decompor esse número em fatores primos, procedendo do seguinte modo:
Dividimos o número considerado pelo menor número primo possível de modo que a divisão seja exata. Dividimos o quociente obtido pelo menor número pri- mo possível.
Dividimos, sucessivamente, cada novo quociente pelo menor número primo possível, até que se obtenha o quo- ciente 1.
Exemplo:
Portanto : 60 = 2. 2. 3. 5
Na prática, costuma-se traçar uma barra vertical à di- reita do número e, à direita dessa barra, escrever os divi- sores primos; abaixo do número escrevem-se os quocien- tes obtidos. A decomposição em fatores primos estará terminada quando o último quociente for igual a 1.
Exemplo: 60 30 15 5 1
Logo: 60 = 2. 2. 3. 5
DIVISORES DE UM NÚMERO
Consideremos o número 12 e vamos determinar todos os seus divisores Uma maneira de obter esse resultado é escrever os números naturais de 1 a 12 e verificar se cada um é ou não divisor de 12, assinalando os divisores. 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9 - 10 - 11 - 12 = = = = = == Indicando por D(12) (lê-se: "D de 12”) o conjunto dos divisores do número 12, temos: D (12) = { 1, 2, 3, 4, 6, 12}
Na prática, a maneira mais usada é a seguinte: 1º) Decompomos em fatores primos o número consi- derado. 12 6 3 1
2º) Colocamos um traço vertical ao lado os fatores primos e, à sua direita e acima, escrevemos o nume- ro 1 que é divisor de todos os números.
12 6 3 1
3º) Multiplicamos o fator primo 2 pelo divisor 1 e es- crevemos o produto obtido na linha correspondente.
12 6 3 1
x 2
4º) Multiplicamos, a seguir, cada fator primo pelos divisores já obtidos, escrevendo os produtos nas linhas correspondentes, sem repeti-los. x
O símbolo 25 significa a raiz quadrada de 25, isto
é 25 = +
Como 25 = +5 , então: − 25 =− 5
Agora, consideremos este problema.
Qual ou quais os números inteiros cujo quadrado é - 25? Solução : (+5 )^2 = +25 e (-5 )^2 = + Resposta: não existe número inteiro cujo quadrado
seja -25, isto é, − 25 não existe no conjunto Z dos
números inteiros.
Conclusão: os números inteiros positivos têm, como raiz quadrada, um número positivo, os números inteiros negativos não têm raiz quadrada no conjunto Z dos nú- meros inteiros.
RADICIAÇÃO
A raiz n-ésima de um número b é um número a tal que an^ = b.
5 índice 32 radicando pois 2^5 = 32 raiz 2 radical
Outros exemplos : 3 8 = 2 pois 2 3 = 8
3 − 8 = - 2 pois ( -2 ) 3 = -
PROPRIEDADES (para a ≥ 0, b ≥ 0)
m n m^ p np
a a
: (^) :
15 10 3 2
2ª) n^ a ⋅ b = na ⋅ nb 6 = 2 ⋅ 3
3ª) n^ a : b = na : nb
4
4 4
4ª) ( ) m n m^ n a = a ( ) 3 5 3 5
x = x
5ª) m n^ a = m ⋅ na^6 3 =^123
EXPRESSÕES NUMÉRICAS COM NÚMEROS IN-
TEIROS ENVOLVENDO AS QUATRO OPERAÇÕES
Para calcular o valor de uma expressão numérica com números inteiros, procedemos por etapas.
1ª ETAPA: a) efetuamos o que está entre parênteses ( ) b) eliminamos os parênteses
2ª ETAPA: a) efetuamos o que está entre colchetes [ ]
b) eliminamos os colchetes
3º ETAPA: a) efetuamos o que está entre chaves { } b) eliminamos as chaves
Em cada etapa, as operações devem ser efetuadas na seguinte ordem: 1ª) Potenciação e radiciação na ordem em que apa- recem. 2ª) Multiplicação e divisão na ordem em que apare- cem. 3ª) Adição e subtração na ordem em que aparecem.
Exemplos: 1) 2 + 7. (-3 + 4) = 2 + 7. (+1) = 2 + 7 = 9
2) (-1 )^3 + (-2 )^2 : (+2 ) = -1+ (+4) : (+2 ) = -1 + (+2 ) = -1 + 2 = +
3) -(-4 +1) – [-(3 +1)] = -(-3) - [-4 ] = +3 + 4 = 7
4) –2( -3 –1)^2 +3. ( -1 – 3)^3 + 4 -2. ( -4 )^2 + 3. ( - 4 )^3 + 4 = -2. (+16) + 3. (- 64) + 4 = -32 – 192 + 4 = -212 + 4 = - 208
5) (-288) : (-12)^2 - (-125) : ( -5 )^2 = (-288) : (+144) - (-125) : (+25) = (-2 ) - (- 5 ) = -2 + 5 = +
6) (-10 - 8) : (+6 ) - (-25) : (-2 + 7 ) = (-18) : (+6 ) - (-25) : (+5 ) = -3 - (- 5) =
- 3 + 5 = +
7) –5 2 : (+25) - (-4 ) 2 : 2^4 - 1^2 = -25 : (+25) - (+16) : 16 - 1 = -1 - (+1) –1 = -1 -1 –1 = -
8) 2. ( -3 ) 2 + (-40) : (+2) 3 - 2^2 **=
- (+9 ) + (-40) : (+8 ) - 4 = +18 + (-5) - 4 =
CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS (Q)
Os números racionais são representados por um
numeral em forma de fração ou razão,
a
b
, sendo a e b
números naturais, com a condição de b ser diferente de zero.
- NÚMERO FRACIONARIO. A todo par ordenado
(a, b) de números naturais, sendo b ≠ 0, corresponde
um número fracionário
b
a
.O termo a chama-se nume-
rador e o termo b denominador.
b a a b n n = ⇒ =
- TODO NÚMERO NATURAL pode ser represen- tado por uma fração de denominador 1. Logo, é possí- vel reunir tanto os números naturais como os fracioná- rios num único conjunto, denominado conjunto dos números racionais absolutos, ou simplesmente conjun- to dos números racionais Q.
Qual seria a definição de um número racional abso- luto ou simplesmente racional? A definição depende das seguintes considerações: a) O número representado por uma fração não mu- da de valor quando multiplicamos ou dividimos tanto o numerador como o denominador por um mesmo número natural, diferente de zero.
Exemplos: usando um novo símbolo: ≈
≈ é o símbolo de equivalência para frações
×
×
×
×
b) Classe de equivalência. É o conjunto de todas as frações equivalentes a uma fração dada.
(classe de equivalência da fra-
ção:
Agora já podemos definir número racional : número racional é aquele definido por uma classe de equiva- lência da qual cada fração é um representante.
NÚMERO RACIONAL NATURAL ou NÚMERO NATURAL:
0 (definido pela classe de equiva-
lência que representa o mesmo número racional 0)
1 (definido pela classe de equiva-
lência que representa o mesmo número racional 1) e assim por diante.
NÚMERO RACIONAL FRACIONÁRIO ou NÚME-
RO FRACIONÁRIO :
(definido pela classe de equivalên-
cia que representa o mesmo número racional 1/2).
NOMES DADOS ÀS FRAÇÕES DIVERSAS Decimais: quando têm como denominador 10 ou uma potência de 10
etc.
b) próprias: aquelas que representam quantidades menores do que 1.
etc.
c) impróprias: as que indicam quantidades iguais ou maiores que 1.
etc.
d) aparentes: todas as que simbolizam um número natural.
, etc.
e) ordinárias: é o nome geral dado a todas as fra- ções, com exceção daquelas que possuem como de- nominador 10, 10 2 , 10^3 ...
f) frações iguais: são as que possuem os termos i-
guais
, = , etc.
g) forma mista de uma fração: é o nome dado ao numeral formado por uma parte natural e uma parte
fracionária;
2 A parte natural é 2 e a parte fracio-
nária
h) irredutível: é aquela que não pode ser mais sim- plificada, por ter seus termos primos entre si.
, etc.
- PARA SIMPLIFICAR UMA FRAÇÃO, desde que não possua termos primos entre si, basta dividir os dois ternos pelo seu divisor comum.
5. COMPARAÇÃO DE FRAÇÕES.
Para comparar duas ou mais frações quaisquer pri- meiramente convertemos em frações equivalentes de mesmo denominador. De duas frações que têm o mesmo denominador, a maior é a que tem maior nume- rador. Logo:
(ordem crescente)
De duas frações que têm o mesmo numerador, a maior é a que tem menor denominador.
Exemplo:
OPERAÇÕES COM FRAÇÕES
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO
A soma ou a diferença de duas frações é uma outra fração, cujo calculo recai em um dos dois casos seguin- tes :
