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ASSUNSTOS FUNDAMENTAIS SOBRE MATEMATICA
Tipologia: Resumos
1 / 64
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CENTRO DE EDUCAÇÃO DO PLANALTO NORTE - CEPLAN Planalto Norte
Planalto Norte
CENTRO DE EDUCAÇÃO DO PLANALTO NORTE - CEPLAN Planalto Norte
e) 2 + 3 – 1 – 2 = 5 – 3 = 2 f) – 1 – 3 + 2 – 4 + 21 – 5 – 32 = 23 – 45 = – 22
Multiplicação e Divisão
Sinais iguais resposta positiva Sinais diferentes resposta negativa
Isto é:
Exercícios resolvidos:
a) 12. 3 = 36 e) 4 : 2 = 2 b) (-12). (-3) = 36 f) 20 : ( - 5) = - 4
c) 2. (-2) = -4 g) 5
20
d) (-2). 3 = -6 h) 5
Potências
Existe uma forma abreviada de escrever uma multiplicação de fatores iguais. No caso
Nessa operação, que é denominada potenciação , temos: a potência , indica um produto de fatores iguais; a base , o fator que se repete; o expoente , indica quantas vezes a base se repete como fator. Assim: 2³ = 2. 2. 2 = 8 2³ = 8 (- 1)^4 = (- 1). (- 1). (- 1). (- 1) = 1 (- 1)^4 = 1
CASOS PARTICULARES:
a) A potência de expoente 1 (1º grau) é igual à base: a^1 = a 21 = 2
Expoente
3 fatores iguais a 7^ Base
7. 7. 7 = 7 3
CENTRO DE EDUCAÇÃO DO PLANALTO NORTE - CEPLAN Planalto Norte
b) Toda potência de base 1 é igual a 1: 1² = 1 117 = 1
c) Toda potência de base 0 é igual a 0: 0² = 0 09 = 0
d) Toda potência de expoente par é positiva: (- 2)^4 = 16 24 = 16 (- 3)² = 9 3² = 9
e) Toda potência de expoente ímpar mantém o sinal da base: 3³ = 27 (- 3)³ = - 27 ( +2)^5 = 32 (- 2)^5 = - 32
f) Toda potência de base diferente de zero e expoente zero é igual a uma unidade. a^0 = 1, com a ≠ 0 50 = 1 ( - 72)^0 = 1
Realmente: a^1 a :a 1
a :a a a 0 4 4
4 4 4 - 4 0
g) Toda potência de expoente negativo é igual ao inverso da base :
2
2 a
a ^1 25
1 5
5 1 (^2) 2
25
49 5
7 7
(^5 2) ^2
7
(^1) ^2 (^2)
^
h) Toda potência de base 10 , escrevemos à direita da unidade tantos zeros quantas forem às unidades do expoente. 10² = 100 200 = 2. 100 = 2. 10² 300 000 = 3. 100000 = 3. 10^5
Propriedades da Potenciação:
n n
n b
a b
a (^)
(com b≠ 0)
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Assim: 16 ^4 porque 4² = 16 3 8 ^2 porque 2³ = 8 ^4 -^81 IR
1.3.2. Expressões numéricas
Para resolver expressões numéricas realizamos primeiro as operações de multiplicação e divisão, na ordem em que estas estiverem indicadas, e depois adições e subtrações. Em expressões que aparecem sinais de reunião: ( ), parênteses, [ ], colchetes e { }, chaves, efetuam-se as operações eliminando-se, na ordem: parênteses, colchetes e chaves, isto é, dos sinais interiores para os exteriores. Quando à frente do sinal da reunião eliminado estiver o sinal negativo, trocam-se todos os sinais dos termos internos.
Exercícios Resolvidos:
c) { 2 – [ 3. 4 : 2 – 2 ( 3 – 1 ) ] } + 1 = { 2 – [ 12 : 2 – 2. 2 ] } + 1 = { 2 – [ 6 – 4] } + 1 = { 2 – [ +2 ] } + 1 = { 2 – 2 } + 1 = 0 + 1 1
1.3.3 Valor absoluto ou Módulo
Observe a reta numérica, onde estão representados alguns números inteiros:
25 5
Radicando
Raiz quadrada
Índice a) 2 + [ 2 – ( 3 + 2 ) – 1 ] = 2 + [ 2 – 5 – 1 ] = 2 + [ 2 – 6 ] = 2 + [ - 4 ] = 2 – 4 =
- 2
b) 2 + {3 – [ 1 + ( 2 – 5 + 4 ) ] + 8 } = 2 + {3 – [ 1 + ( 6 – 5 ) ] + 8 } = 2 + {3 – [ 1 + ( + 1 ) ] + 8 } = 2 + {3 – [ 1 + 1 ] + 8 } = 2 + {3 – [ +2 ] + 8 } = 2 + {3 – 2 + 8 } = 2 + {11 – 2 } = 2 + 9 = 11
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À distância entre um número e o zero na reta chamamos de módulo ou valor absoluto do número. Indicamos o módulo de um
número pelo símbolo.
Por exemplo, a distância do – 4 até a origem é 4 unidades, ou seja, o módulo do – 4 é 4. Exercícios Resolvidos:
a) 9 9
b) 5 5
c) 0 0
d) 4 4
1.4 Conjunto dos números Racionais
São todos os números que podem ser escrito sob a forma de fração
b
a , com a eb Z e b 0.
^ a , b Z , b 0 b Q a
onde
denominado r
numerador b
a (^)
É mais comum encontrarmos números racionais escritos na forma de número decimal do que na forma de fração. Observe alguns exemplos:
1.4.1. Decimais exatos
10075 0 , 75 (lê-se: setenta e cinco centésimos)
4 , 5 2
9 (lê-se: quatro inteiros e cinco décimos)
^9 (lê-se: um inteiro e cento e vinte e cinco milésimos
negativos)
1.4.2. Decimais infinitos com dízima periódica
__ 97 ^0 ,^7777 ^0 ,^7
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1) 6
1 6
5 1 7 6
7 6
1 6
(^5)
2) Joaquim gasta 94 do seu salário com aluguel e 91 com alimentação.
a) Que fração do salário ela gastou no total? b) depois de pagas essas despesas, que fração do salário sobrou?
Resolução
a) Adicionando os gastos, temos: 9
5 9
1 9
(^4)
b) O salário de Joaquim corresponde a um inteiro
(^) 1 9
9
9
4 9
5 9
9 9
1 ^5
Portanto, Joaquim gastou 9
5 do salário e sobraram 9
1.4.4 Fatoração.
A decomposição de um número em um produto de fatores primos é feita por meio do dispositivo prático que será mostrado nos exemplos a seguir.
Exercícios resolvidos:
OBS: Número primo é um número que possui apenas dois divisores: o próprio número e o número 1. Veja os primeiros números primos:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ...
1.3.5. Mínimo múltiplo comum (m.m.c.).
O mínimo múltiplo comum de vários números é o menor número divisível por todos eles.
30 15 5 1
2 3 5
45 3 15 3 5 5 1
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Exercício resolvido:
1) Calcular o m.m.c. (12, 16, 8) = 48
Exercícios Resolvidos
3
16 6
32 6
27 5 6
5 2
^9 mmc (2, 6) = 6
2) (^) 41 + 32 + 51 = 15 6040 ^12 = 6067
6
5 6
3 2 6
2 6
3 3
1 2
(^1)
3
2 6
4 6
3 5 - 4 6
-^4 6
5 6
3 3
-^2 6
5 2
(^1)
5) Joaquim e Francisco estão pintando um muro. Joaquim já pintou
4
(^3) do muro, e Francisco 8
a) Que parte do muro eles já pintaram no total? b) Quanto que Joaquim pintou a mais que Francisco?
Resolução a) 43 81 ^68 ^1 87
b) 8
5 8
6 1 8
1 4
(^3)
Portanto, eles pintaram juntos 8
7 do muro e Joaquim pintou 8
5 a
mais que Francisco.
Multiplicação:
Para multiplicar as frações, devemos multiplicar numeradores com numeradores e denominadores com denominadores.
CENTRO DE EDUCAÇÃO DO PLANALTO NORTE - CEPLAN Planalto Norte Radiciação:
Exercícios Resolvidos
5
3 25
9 25
(^9)
1.4.5 Operações com os números decimais:
Adição e Subtração:
Exercícios Resolvidos
1) 4,32 + 2,3 + 1,429 = 8,
1 , 429
2 , 3
4 , 32
2) Calcular o perímetro do retângulo abaixo:
P = 3,23 + 3,23 + 1,572 + 1,572 = 9,604 cm
Multiplicação:
Exercícios Resolvidos
1) 7,32. 12,5 = 91,500 = 91,
3,23 cm
1,572 cm
CENTRO DE EDUCAÇÃO DO PLANALTO NORTE - CEPLAN Planalto Norte
91 ,5 0 0
732
1464
3660
12 ,
7 , 5
32 x
2) Calcular a área do retângulo abaixo:
A = 3,23. 1,572 = 5,07756 cm^2 5,08 cm^2
Divisão:
Exercícios Resolvidos
3,23 cm
1,572 cm
- 1 8
CENTRO DE EDUCAÇÃO DO PLANALTO NORTE - CEPLAN Planalto Norte
j) 28 : 4. 7 = l) 45 : 5 – 45 : 9 = m) 48 : 16 + 3. 2 = n) 98 : 7 – 6 : 3 = o) 42 : 6 – 5 = p) 27 : 3 : 3 : 3. 10 = q) 45 – 15 : 5. 3 = r) 100 – 0 : 4. 10 = s) 0 : 12 + 3. 9 =
2) Calcule:
a) 9(10 + 2 ) = b) 9(2 + 5) – 10(6 – 2) = c) 54 : (9. 3 – 3. 3) + 3. 1 = d) 6(42 : 7 – 4) – 0 : 3 = e) (4. 8 : 2) : 8 + 2. 5 = f) 256 : (32 : 2 : 2 : 2) : 4 = g) [15 + 2(3 + 4)] = h) [45 – (3. 5 – 2)] : 8 = i) 6[(36 : 9 – 3). (8 : 2)] : 3 = j) 6. 8 + [48 : 12 – 48 : (4 + 12)] = l) 48 – 2[125 : 5 – (8 – 36 : 6)] : 2 =
m) 100 – {2[25 – (27 : 9 + 24 – 7)]} : 2 = n) 6{48 : [6. 6 – (16 : 4 + 8)]5} = o) 200 : {3[3. 10 : 30] + (2. 1)} = p) {54 + [72 : 2 + (7. 9 – 6 : 2)] + 3} : 9 =
3) Simplifique as expressões numéricas: a) 30^2 : [2^3. 2^2 – (9^2 : 3^2 ) + 2. 16 - 1] = b) 4^4 – [96 : (2^2. 9 ) + 8^2 : 64 ]2^4 = c) 16. 3^3 – [11^2 – ( 9. 49 )1^100 ] + 2^3 = d) 12^2 – 122 : [(9^2 - 3 1 ) : 100 ]7 = e) 6^3 : 81 : 2^2 - 3 8 = f) 4 16 [10^3 : 5^2 – (7^2 – 32 ) : 100 ] : 9 =
4) Calcule o valor de cada expressão numérica:
a) 4 81 b)^81 ^72 c) 100 64 d) 100 64 e) 132 122
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f) 52 42
g) 52 122
h) 100 2
i) 3 81 4
j) 52 3 2 64
l) 42 23 32 31
m) 100 : 10 1
n) 81 ^2
o) 49 ^2
p) 52 32
q) ( 4 )^2 ( 3 )^2
r) ( 10 )^2 ( 8 )^2
s) 52 ( 4 )^2
t) ( 3 )^2 4 ( 7 )( 4 )
5) Simplifique as expressões numéricas: a) 2 + 3 – 1 =
b) – 2 – 5 + 8 = c) – 1 – 3 – 8 + 2 – 5 = d) – 15 + ( - 25) – ( - 81) = e) 18 + ( - 29) – (+ 45) = f) 104 – 45 – 28 = g) ( - 73) + ( - 98) = h) + ( + 9 – 5 + 1) – ( - 4 – 3 + 2) = i) – ( + 10 – 20) + ( - 40 + 50 – 60) =
6) Calcule: a) – 8 – ( 2 + 3) = b) – 20 – ( 5 – 1 ) = c) – 16 – 9 – ( 4 + 3) – ( -12 + 7) = d) ( - 3 + 6 – 11) – ( - 1 2 – 15 + 16) + ( 17 – 20 + 3) = e) – (- 8 + 1) – ( - 9 – 3) = f) ( -1 – 2 – 3) – ( +7 -6 +8) = g) (-5 + 3 – 10) – ( -16 + 8 - 9) =
7) Calcule: a) o triplo de – 2: b) o quádruplo de -1: c) o dobro de – 4 adicionado a – 5: d) o triplo de + 2 adicionado a – 10:
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r) 1
( 1 3 - 5).(2-7)
s) (^2 ^3.^4 - 12.^5 - 3) =
10) Calcule: a) a metade de – 80: b) a terça parte de 60: c) a quarta parte de – 20: d) a quinta parte de 100: e) a metade de -10 multiplicado por 4: f) o dobro de - 8 dividido por - 4: g) a terça parte de + 60 dividida por -10: h) a quarta parte de – 100 adicionada à metade de – 18:
11) Calcule as potências: a) 1³ = b) 0^4 = c) (- 2)³ = d) (- 4)³ = e) (- 2)^4 = f) (- 4)^4 = g) 2³. 2^5 =
h) 2. 3-1^ = i) 3^5 : 34 = j) 3^4 : 3². 3^5 = l) 2^4. 5^4 = m) (2. 3²)^0 = n) 15^3 : 33 = o) (- 4)^6 : 26 = p) (3³)^2 = q) (-2^2 )^5 = r) (- 3³)^2 = s) 4 3
2 (^) =
t) (2. 3)³ = u) (3². 5. 2)-1^ =
v)
5 3
(^5)
x)
2 34
(^2)
z) 4-2^ =
12) Calcule: a) o quadrado de – 9: b) o cubo de – 1:
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c) a quarta potência de – 2: d) a quinta potência de zero: e) o quadrado de – 5 adicionado ao cubo de -1: f) a terça parte do cubo de – 3: g) o cubo de – 1 multiplicado pelo quadrado de 6: h) a quarta parte do quadrado de – 6:
13) Use os símbolos de > (maior), < (menor) ou = (igual) e compare as potências:
a) – 53 ___ (- 5)^3 b) (- 2)^2 ___ - 2^2 c) – 43 ___ (- 4)^3 d) – 14 ___ ( - 1)^4 e) (- 3)^2 ___ (- 3)^3 f) ( - 4)^1 ___ (- 4)^0 g) – 42 ___ (- 2)^3 h) – 52 ___ - 5- 2
i) 3 3
1 (^) ___ 3
14) O produto dos resultados das três expressões representa o número de anos que durou a construção de um castelo. Se ele começou a ser construído no ano 250 a.C., em que ano terminou a construção?
15) Escreva como uma única potência de base – 3. Depois, efetue a potenciação.
a) [(- 3)^5 ]^2 : (- 3)^8 = b) [(- 3)^1 ]^2 (-3)^3 : (- 3)^4 = c) (- 3)^10 (- 3)^6 : [(- 3)^2 ]^8 = d) (- 3)^6 : (- 3)^2 : [(- 3)^1 ]^0 =
e)
0 3
8 3 6 3 ( 3 ) ( 3 )
[( 3 )] :[( 3 ) ]
f) 25
10 5 [( 3 ) ]
( 3 ) ( 3 )
16) Determine o mínimo múltiplo comum de 8 e 12.
17) Qual é o mmc do 10 e 18?
18) Calcule as operações com as frações: 1ª
2ª
3 ª
Fique atento aos sinais e parênteses. s
