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Nome: DIEGO CABRAL TERRA FONSECA RU: 4349191
RESOLUÇÃO - ATIVIDADE PRÁTICA
Cálculo Numérico / Métodos Numéricos Aplicados
QUESTÃO 1: Raízes reais de Funções
Determine a raiz da função 𝑓(𝑥)=−3𝑥 2 +2𝑥+5 contida no intervalo [1; 2]. Utilize os métodos:
a. Método da Bissecção com 10 iterações.
Para o método da bissecção, com 10 iterações, considerando a função:
f
x
=− 3 x
2
No intervalo [ a ; b ] =[ 1 ; 2 ].
No método da bissecção, temos que:
x =
a + b
Aplicando o método da bissecção, obtém os seguintes dados organizados na tabela abaixo.
n a b F (a) F (b) x F (x) Erro (%)
1 1 2 4 -3 1,5 1,25 33,33%
2 1,5 2 1,25 -3 1,75 -0,6875 14,29%
3 1,5 1,75 1,25 -0,6875 1,625 0,328125 7,69%
4 1,625 1,75 0,328125 -0,6875 1,6875 -0,16797 3,70%
5 1,625 1,6875 0,328125 -0,16797 1,65625 0,083008 1,89%
6 1,65625 1,6875 0,083008 -0,16797 1,671875 -0,04175 0,93%
7 1,65625 1,671875 0,083008 -0,04175 1,664063 0,020813 0,47%
8 1,664063 1,671875 0,020813 -0,04175 1,667969 -0,01042 0,23%
9 1,664063 1,667969 0,020813 -0,01042 1,666016 0,005207 0,12%
10 1,666016 1,667969 0,005207 -0,01042 1,666992 -0,0026 0,06%
Tabela 1 – Resultados obtidos para a determinação da raiz pelo método da bissecção.
Assim, a raiz da função, após 10 iterações, de acordo com o método de bissecção é:
x =1,
b. Método da Posição falsa com 10 iterações.
Para o método da posição falsa, com 10 iterações, considerando a função:
f ( x )=− 3 x
2
No intervalo [ a ; b ] =[ 1 ; 2 ].
No método da posição falsa, temos que:
x =
a ∙ f ( b ) + b ∙ f ( a )
f ( b )− f ( a )
Aplicando o método da posição falsa, obtém os dados organizados na tabela a seguir.
n a b F (a) F (b) x F (x) Erro (%)
1 1 2 4 -3 1,571429 0,734694 27,27%
2 1,571429 2 0,734694 -3 1,655738 0,087073 5,09%
3 1,655738 2 0,087073 -3 1,665448 0,009746 0,58%
4 1,665448 2 0,009746 -3 1,666531 0,001084 0,07%
5 1,666531 2 0,001084 -3 1,666652 0,00012 0,01%
6 1,666652 2 0,00012 -3 1,666665 1,34E-05 0,00%
7 1,666665 2 1,34E-05 -3 1,666666 1,49E-06 0,00%
8 1,666666 2 1,49E-06 -3 1,666667 1,65E-07 0,00%
9 1,666667 2 1,65E-07 -3 1,666667 1,84E-08 0,00%
10 1,666667 2 1,84E-08 -3 1,666667 2,04E-09 0,00%
Tabela 2 – Resultados obtidos para a determinação da raiz pelo método da posição falsa.
Então, a raiz da função, após 10 iterações, de acordo com o método de posição falsa é:
x =1,
c. Método Iterativo Linear com 10 iterações.
Para o método iterativo linear, com 10 iterações, considerando a função:
f
x
=− 3 x
2
No intervalo [ a ; b ] =[ 1 ; 2 ].
Para o método iterativo linear, consideramos a seguinte função iterativa:
f
x
=− 3 x
2
φ ( x )= x −
f ( x )
f
'
( x )
Onde:
f
x
=− 3 x
2
f
'
x
=− 6 x + 2
Aplicando o método Newton-Raphson, obtém os seguintes dados organizados em tabela.
n x F (x) f' (x) φ ( x ) Erro (%)
1 1,5 1,25 -6 1,708333 12,20%
2 1,708333 -0,33854 -6,83333 1,658791 2,99%
3 1,658791 0,062822 -6,63516 1,668259 0,57%
4 1,668259 -0,01274 -6,67303 1,666349 0,11%
5 1,666349 0,002541 -6,6654 1,66673 0,02%
6 1,66673 -0,00051 -6,66692 1,666654 0,00%
7 1,666654 0,000102 -6,66662 1,666669 0,00%
8 1,666669 -2E-05 -6,66668 1,666666 0,00%
9 1,666666 4,07E-06 -6,66666 1,666667 0,00%
10 1,666667 -8,1E-07 -6,66667 1,666667 0,00%
Tabela 4 – Resultados obtidos para a determinação da raiz pelo método Newton-Raphson
Portanto, a raiz da função, após 10 iterações, de acordo com o método de Newton-Raphson é:
x =1,
e. Determine a raiz real da função de forma algébrica, e determine o erro relativo dos valores
estimados pelos diferentes métodos.
A partir da fórmula de Bhaskara, resolve-se de forma algébrica da equação de grau 2.
f
x
=− 3 x
2
− 3 x
2
a =− 3 ; b = 2 ; c = 5
x =
− b ± √
b
2
− 4 ac
2 a
√
2
− 4 × (− 3 ) × 5
2 × (− 3 )
x =
√
√
x =
x
1
x
2
= 1 , 6 ou 1,
Considerando o intervalo [ 1 , 2 ], a raiz real da função dada será:
x =1,
Para o cálculo do erro relativo, utiliza-se a seguinte expressão:
Erro
relativo
|
x
método
− x
algébrico
x
algébrico
|
× 100 %
Comparando com os valores estimados de raízes pelos métodos utilizados nos itens anteriores, obtém-
se a tabela abaixo.
Método Raiz Erro relativo (%)
Algébrico 1,666667 -
Bissecção 1,666992 0,0195 %
Posição falsa 1,666667 0
Iterativo linear 1,666667 0
Newton-Raphson 1,666667 0
Tabela 5 – Respostas das raízes da função e respectivas comparações em relação ao valor da
resposta algébrica.
A fórmula para o cálculo da integral pelo método dos retângulos, com a altura determinada pela
esquerda, é dada pela expressão:
∫
0
3
f ( x ) dx = h×
{
f
0
( x ) + f
1
( x ) + f
2
( x ) + … + f
n − 1
( x ) + f
n
( x )
}
Onde:
h =
b − a
h =0,
O resultado da integral pelo método dos retângulos tomados à esquerda, com 12 subintervalos, é:
∫
0
3
x e
x
b. Método dos Retângulos com a altura tomada pela direita.
Aplicando o método dos retângulos, com a altura tomada pela direita, com 12 subintervalos, para
determinar a integral da função:
f ( x )= x e
x
Para o intervalo de integração:
I =[ 0 ; 3 ]
A tabela com os dados calculados segue abaixo.
n x F (x)
0 0 1
1 0,25 1,
2 0,5 1,
3 0,75 2,
4 1 3,
5 1,25 5,
6 1,5 7,
7 1,75 11,
8 2 15,
9 2,25 22,
10 2,5 31,
11 2,75 44,
12 3 61,
Tabela 7 – Resultados para determinação da integral pelo método dos retângulos, com a altura
tomada pela direita
A fórmula para o cálculo da integral pelo método dos retângulos, com a altura tomada pela direita, é
dada pela expressão:
∫
0
3
f ( x ) dx = h×
{
f
0
( x ) + f
1
( x ) + f
2
( x ) + … + f
n − 1
( x ) + f
n
( x )
}
Onde:
h =0,
O resultado da integral pelo método dos retângulos (à direita), com 12 subintervalos, é:
∫
0
3
x e
x
c. Método dos Trapézios.
Aplicando o método dos trapézios (composto), com 12 subintervalos, para determinar a integral da
função:
f
x
= x e
x
+ 1 , I =
[
]
n x f(x)
0 0 1
1 0,25 1,
2 0,5 1,
3 0,75 2,
4 1 3,
5 1,25 5,
6 1,5 7,
7 1,75 11,
8 2 15,
9 2,25 22,
10 2,5 31,
11 2,75 44,
12 3 61,
Tabela 9 – Resultados para determinação da integral pelo método de 1/3 de Simpson.
A fórmula para o cálculo da integral pelo método de 1/3 de Simpson é:
∫
0
3
f ( x ) dx =
h
×
{
f
0
( x )+ 4
[
f
1
( x ) + f
3
( x ) + f
5
( x ) + … + f
n − 1
( x )
]
[
f
2
( x ) + f
4
( x ) + f
6
( x ) + … + f
n − 2
( x )
]
n
( x )
}
Onde:
h =0,
O resultado da integral pelo método de 1/3 de Simpson, com 12 subintervalos, é:
∫
0
3
x e
x
e. Regra 3/8 de Simpson.
Aplicando o método de 3/8 de Simpson, com 12 subintervalos, para determinar a integral da função:
f
x
= x e
x
+ 1 , I =
[
]
A tabela com os dados calculados segue abaixo:
n x F (x)
0 0 1
1 0,25 1,
2 0,5 1,
3 0,75 2,
4 1 3,
5 1,25 5,
6 1,5 7,
7 1,75 11,
8 2 15,
9 2,25 22,
10 2,5 31,
11 2,75 44,
12 3 61,
Tabela 10 – Resultados para determinação da integral pelo método de 3/8 de Simpson.
A fórmula para o cálculo da integral pelo método de 3/8 de Simpson é:
∫
0
3
f ( x ) dx =
h {
f
0
( x ) + 3 [
f
1
( x ) + f
2
( x )+ f
4
( x ) + … + f
n − 1
( x ) ]
[
f
3
( x ) + f
6
( x ) + … + f
n − 2
( x ) ]
n
( x ) }
Onde:
h =0,
O resultado da integral pelo método de 3/8 de Simpson, com 12 subintervalos, é:
∫
0
3
x e
x
Os resultados calculados de acordo com o método de integração numérica utilizado podem ser
organizados na tabela abaixo:
Método Resultados
Retângulos (à esquerda) 37,
a. Regra de Cramer.
A matriz ampliada correspondente ao sistema de equações lineares é:
[
|
]
O determinante da matriz A é:
det ( A )=
|
|
det ( A )= [
7 × 10 × (− 2 ) + 2 × 4 × (− 2 ) + 1 × 3 × 1
]
[
1 × 10 × (− 2 )+ 2 × 3 × (− 2 ) + 7 × 4 × 1
]
det ( A )=− 149
Para a matriz Ax1, tem-se:
det ( A
x 1
|
|
det (
A
x 1
)
[
12 × 10 × (− 2 )+ 2 × 4 × (− 15 ) + 1 × (− 8 ) × 1
]
[
1 × 10 × (− 15 ) + 2 × (− 8 ) × (− 2 )+ 12 × 4 × 1
]
det (
A
x 1
)
Para a matriz Ax2, tem-se:
det ( A
x 2
|
|
det (
A
x 2
)
=[ 7 × (− 8 ) × (− 2 )+ 12 × 4 × (− 2 )+ 1 × 3 × (− 15 ) ]−[ 1 × (− 8 ) × (− 2 ) + 12 × 3 × (− 2 ) + 7 × 4 × (− 15 ) ]
det (
A
x 2
)
Para a matriz Ax3, tem-se:
det ( A
x 3
|
|
det (
A
x 3
)
[
7 × 10 × (− 15 ) + 2 × (− 8 ) × (− 2 ) + 12 × 3 × 1
]
[
12 × 10 × (− 2 )+ 2 × 3 × (− 15 ) + 7 × (− 8 ) × 1
]
det
(
A
x 3
)
Assim, temos que as respostas são:
x
1
det (
A
x 1
)
det ( A )
x
1
x
2
det
(
A
x 2
)
det
A
x
2
x
3
det
(
A
x 3
)
det
A
x
3
A solução para o sistema de equação linear, pelo método de Cramer, é:
x
1
= 2 ; x
2
=− 3 ;x
3
b. Gauss-Jacobi com 10 iterações.
O método iterativo de Gauss-Jacobi é dado pela fórmula abaixo:
O método iterativo de Gauss-Seidel é dado pela fórmula abaixo:
x
1
( k + 1 )
12 − 2 x
2
( k
)
− x
3
( k
)
x
2
( k + 1 )
− 8 − 3 x
1
( k + 1 )
− 4 x
3
( k )
x
3
( k + 1 )
− 15 + 2 x
1
( k + 1
)
− x
2
( k + 1
)
Considerando o chute inicial:
x
1
= 12 ;x
2
=− 8 ; x
3
A tabela com os dados calculados segue abaixo.
n x1 x2 x
0 12 -8 -
1 6,142857 3,357143 3,
2 0,321429 -2,11071 6,
3 1,442602 -3,68207 4,
4 2,163967 -3,13574 3,
5 2,071901 -2,92884 3,
6 1,984856 -2,98093 4,
7 1,991026 -3,00718 4,
8 2,001282 -3,00254 3,
9 2,00109 -2,99931 3,
10 1,999908 -2,99968 4,
Tabela 13 – Resultados para determinação da solução do sistema linear pelo método de Gauss-
Seidel.
A solução para o sistema de equação linear, pelo método de Gauss-Seidel com 10 iterações, é:
x
1
=1,9999 ; x
2
=−2,9997 ; x
3
Os resultados calculados de acordo com o método numérico utilizado para resolução de sistema de
equações lineares podem ser organizados na tabela abaixo.
Método x1 x2 x
Regra de Cramer 2 -3 4
Gauss-Jacobi 1,9972 -3,0011 4,
Gauss-Seidel 1,9999 -2,9997 4,
Tabela 14 – Resultados obtidos para a resolução numérica de sistema de equações lineares por
diferentes métodos.
Para tais dados:
a. Elabore o diagrama de dispersão dos dados.
A partir dos dados apresentados na tabela abaixo, obtém-se o gráfico.
n Ano
Taxa de natalidade
(por mil habitantes)
1 2000 20,
2 2001 20,
3 2002 19,
4 2003 19,
5 2004 18,
6 2005 18,
7 2006 17,
8 2007 17,
9 2008 16,
10 2009 16,
11 2010 15,
12 2011 15,
13 2012 15,
14 2013 14,
15 2014 14,
16 2015 14,
Tabela 15 – Dados referentes à taxa de natalidade, por mil habitantes, a cada ano no Brasil.
2000 2002 2004 2006 2008 2010 2012 2014 2016
0
5
10
15
20
25
TAXA DE NATALIDADE X ANO
Ano
taxa de natalidade, por mil habitantes
Gráfico 1 – Representação gráfica do diagrama de dispersão dos dados da taxa de natalidade, por mil
habitantes, por ano no Brasil.
b. Determine o polinômio de 2º grau que melhor se ajusta aos dados utilizando os métodos de
regressão numérica.
De acordo com o método de regressão numérica, o polinômio de 2º grau que melhor se ajusta aos
dados é dado pela matriz abaixo.
p
2
( x ) = a x
2
[
∑
x
4
∑
x
3
∑
x
2
∑
x
3
∑
x
2
∑
x
∑
x
2
∑
x n
]
[
a
b
c
]
[
∑
x
2
y
∑
xy
∑
y
]
A tabela com os dados calculados segue abaixo:
n x y x^2 x^3 x^4 x.y x^2.y
