Métodos Numéricos Aplicados, Notas de aula de Engenharia Humana

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CÁLCULO NUMÉRICO

AULA 1

Profª Fernanda Fonseca

CONVERSA INICIAL

Iniciaremos nosso estudo compreendendo como se desenvolveu o que constituem os métodos numéricos aplicados e o raciocínio envolvido na resolução de um problema, no qual utilizaremos os métodos numéricos para modelamento e tratamento dos dados. A facilidade de acesso e uso de recursos computacionais proporcionou que os métodos numéricos aplicados na solução de problemas da engenharia tenham crescido muito nas últimas décadas, possibilitando que sejam resolvidos de forma mais eficiente e cada vez mais rápida. O estudo dos métodos numéricos permite trabalhar com grandes sistemas de equações que seriam impossíveis de resolver analiticamente, bem como com grandes conjuntos de dados. O estudo dos métodos numéricos também permite o desenvolvimento de programas de computador que viabilizam o desenvolvimento de processos que continuam impulsionando a evolução tecnológica, que permeia o cotidiano da sociedade como um todo nos dias atuais (Chapra; Canale, 2002).

TEMA 1 – O QUE É O CÁLCULO NUMÉRICO?

O que denominamos como cálculo numérico , ou métodos numéricos , é um conjunto de técnicas que permitem encontrar soluções para problemas cujos métodos analíticos da matemática básica, do cálculo diferencial e integral e da álgebra linear, por exemplo, não são viáveis devido à extensão do cálculo com número de dígitos muito grande, ou que não apresentam técnicas para resolução do caso em específico (Chapra; Canale, 2002; Jarletti, 2018). Dessa forma, o cálculo numérico permite a resolução dos problemas juntamente com ferramentas computacionais.

1.1 Etapas para resolução de um problema

A resolução de problemas utilizando os recursos oferecidos pelos métodos numéricos ocorre em seis etapas: caracterização do problema real; levantamento de dados; modelamento matemático; escolha do método numérico adequado; implementação computacional do modelo matemático; obtenção e análise dos resultados.

conjunto de equações, que descreve o fenômeno em estudo e que relacione as grandezas envolvidas. É com base no modelo matemático e nas condições/limitações impostas pela própria situação-problema que o método numérico é selecionado e implementado utilizando recursos computacionais que viabilizem a implementação do método. Ao adquirir os resultados dessa implementação, eles devem ser avaliados para verificar se atendem às demandas do problema real, propiciando uma interpretação que direciona para a solução do problema.

TEMA 2 – APROXIMAÇÕES E ERROS DE PRECISÃO

Essa disciplina lida principalmente com aproximações. Por isso, os resultados por aproximação podem carregar desvios de precisão de diversas origens.

2.1 Erros inerentes

São imprecisões em valores decorrentes da coleta de dados. Esses erros podem ter origem na calibração do equipamento, na precisão do próprio equipamento de medição, na leitura de medições em equipamentos analógicos, no conjunto de respostas a questionários e censos não verdadeiras (nos quais algumas pessoas mentem ao responder às perguntas do questionário), entre outras fontes de imprecisão. Veja o exemplo da Figura 2, em que o diâmetro do círculo é de aproximadamente 52 mm. Esse valor não é preciso, pois o diâmetro é um pouco menor do que isso, mas próximo desse valor. A adoção do valor de 52 mm acarreta uma imprecisão na medida, ou seja, há um erro de medição que se propagará por todo o cálculo.

Figura 2 – Erros de precisão de medição

Erros decorrentes de proveniente de transformação entre bases numéricas de dados em máquinas também podem resultar em desvios devido à conversão dos dados para bases diferentes (como números da base decimal que utilizamos para base binária dos computadores). A base binária utilizada por algumas máquinas não permite a representação de todos os valores numéricos representados na base decimal. Essa conversão para armazenamento de dados pode causar uma aproximação e um desvio de medidas nos dados.

2.2 Erros de arredondamento, de truncamento e de discretização

Ao trabalharmos com valores com um número infinito de dígitos (como o número π, por exemplo) ou com um número muito grande de dígitos, que inviabiliza o uso de todos eles nos cálculos, esses valores são arredondados ou truncados. O arredondamento de valores numéricos leva a uma aproximação de valores maiores ou menores próximos. Por exemplo, para utilizarmos o número π com 6 casas decimais, esse valor deverá ser arredondado:

𝜋𝜋 = 3,1415926535898 … ⇒ 𝜋𝜋 = 3,

De forma semelhante, podemos mensurar a magnitude dessa discrepância em relação ao valor real por meio da normalização do erro absoluto, como mostra a Equação 2, a seguir.

𝜀𝜀𝑟𝑟 = (^) |𝜀𝜀𝑥𝑥𝑎𝑎| ⇒ 𝜀𝜀𝑟𝑟 = |𝑥𝑥 − 𝑥𝑥̅|𝑥𝑥| |(2)

Esse desvio recebe o nome de erro relativo. É sempre representado em percentual, por isso podemos multiplicar o resultado da equação apresentada por 100% para encontrarmos esse valor em formato percentual.

Exemplo 1 Um engenheiro civil faz a medição de uma ponte e registra o valor de 299,98 m, quando o valor real é de 300 m. Veja que, nesse caso, o erro absoluto entre as medidas dado pela Equação 1 é:

𝜀𝜀𝑎𝑎 = |300 − 299,98|

𝜀𝜀𝑎𝑎 = 0,02 𝑚𝑚

Veja que o erro relativo dado pela Equação 2 nesse caso é:

𝜀𝜀𝑟𝑟 = 0,02 300

𝜀𝜀𝑟𝑟 = 0,000067 ×��^100 �� 𝜀𝜀𝑟𝑟 = 0,0067%

Exemplo 2 Um físico, em seu laboratório, detecta uma partícula subatômica que descreve uma trajetória circular cujo raio aferido tem 2,56 cm. Entretanto, o valor real previsto para o raio da trajetória dessa partícula é de 2,47 cm. Nesse caso, o erro absoluto entre o valor medido e o valor real previsto determinado pela Equação 1 é:

𝜀𝜀𝑎𝑎 = |2,47 − 2,56|

𝜀𝜀𝑎𝑎 = |−0,09|

𝜀𝜀𝑎𝑎 = 0,09 𝑐𝑐𝑚𝑚

Veja que o erro relativo dado pela Equação 2 nesse caso é:

𝜀𝜀𝑟𝑟 = 0,036437 ×��^100 �� 𝜀𝜀𝑟𝑟 = 3,6437%

Normalmente, o erro relativo é medido em relação ao valor real, entretanto, há situações em que não possuímos esse valor real. Nesses casos, da mesma forma como o erro absoluto é determinado em relação à aproximação prévia, o processo de normalização para determinarmos o erro relativo também será sobre a aproximação prévia. Essa é uma situação comum na aplicação de métodos numéricos. Em situações como essas, é definido um critério que estipula qual a tolerância de precisão da medida, isto é, define-se a precisão da aproximação (Chapra; Canale, 2002).

Exemplo 3 Algumas funções matemáticas podem ser representadas pela soma de infinitos termos, o que caracteriza uma série. Falaremos mais sobre isso futuramente. Esse é o caso desta função exponencial:

𝑒𝑒 𝑥𝑥^ = 1 + 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 2 ²+ 𝑥𝑥3! ³+ ⋯ + 𝑥𝑥^

𝑛𝑛 𝑛𝑛! Ao abreviarmos inicialmente a função para 𝑒𝑒 𝑥𝑥^ = 1 + 𝑥𝑥, podemos estimar o valor aproximado de 𝑒𝑒 𝑥𝑥^ para determinado valor de 𝑥𝑥. Por exemplo, se adotarmos 𝑥𝑥 = 0,4, o valor estimado será:

𝑒𝑒 0 ,^4 = 1 + 0,

𝑒𝑒 0 ,^4 = 1,

Se abreviarmos a função para 𝑒𝑒 𝑥𝑥^ = 1 + 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 2 ² , podemos estimar o valor

aproximado de 𝑒𝑒 𝑥𝑥^ para determinado valor de 𝑥𝑥. Por exemplo, se adotarmos 𝑥𝑥 = 0,4, o valor estimado será:

𝑒𝑒 0 ,^4 = 1 + 0,4 + 0,4² 2

𝑒𝑒 0 ,^4 = 1,

Figura 3 – Gráfico de uma função real 𝒇𝒇(𝒙𝒙)

Mas nem todas as funções permite a determinação de suas raízes de forma simples como uma função quadrática, ou linear (𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎𝑥𝑥 + 𝑏𝑏). Há problemas cuja equação modeladora é muito complexa, exigindo métodos de determinação das raízes também complicados, ou mesmo desconhecidos. Essas funções são denominadas transcendentes ou transcendentais , e exigem métodos numéricos para determinação dos zeros da função. Contudo, os métodos numéricos apresentam valores aproximados, cuja precisão é definida previamente, buscando atender às necessidades do contexto do problema em questão (Jarletti, 2018). Esses métodos consistem em processos repetitivos (iterativos) para os quais há um aumento da precisão à medida que se aumenta o número de interações.

4.1 Determinação do domínio da função

É sempre importante conhecer o domínio da função 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) para que possamos identificar o intervalo que contém a raiz da função no conjunto dos números reais, ]−∞; +∞[, excluindo os valores das possíveis restrições características de cada função real. “A determinação do domínio da função permitirá a construção de uma tabela de valores de forma ordenada (crescente ou decrescente) para a variável independente (𝑥𝑥) e o cálculo dos correspondentes valores de 𝑦𝑦 ou 𝑓𝑓(𝑥𝑥)” (Jarletti, 2018, p. 33). Com base nessa tabela, poderemos identificar em qual intervalo está a raiz da função que atende

aos critérios definidos pelo contexto do problema que gerou a função modeladora em questão. A raiz (ou as raízes) da função encontra-se no intervalo entre os valores de x para os quais há uma mudança de sinal dos valores de y. Esses valores de x formam os extremos do intervalo que contém a raiz da função [𝑎𝑎; 𝑏𝑏].

Exemplo 4 Para determinar o domínio da função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = √𝑥𝑥−2𝑥𝑥−2 − 3 , consideramos as

seguintes condições:

• É preciso que o denominador seja um valor diferente de zero:

𝑥𝑥 − 2 ≠ 0

𝑥𝑥 ≠ 2

• A raiz quadrada deve ser aplicada em um valor positivo ou nulo:

𝑥𝑥 − 2 ≥ 0

𝑥𝑥 ≥ 2

Veja que como a primeira condição exige que 𝑥𝑥 seja deferente de 2, esse valor deve ser excluído do domínio da função. Dessa forma, a partir da segunda condição, adotamos como domínio da função apenas os valores reais de 𝑥𝑥 maiores do que 2.

𝐷𝐷 = {𝑥𝑥 ∈ ℜ|𝑥𝑥 > 2}

Exemplo 5 Vamos fazer a mesma análise para a função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = ln (3𝑥𝑥 − 1). Para determinar o domínio dessa função, consideramos as seguintes condições:

• A função logarítmica pode ser aplicada apenas em valores positivos e não nulos, ou seja:

3 𝑥𝑥 − 1 > 0

𝑥𝑥 >^13 ⇒ 𝑥𝑥 > 0,

intervalos permite que haja uma convergência do valor de 𝑥𝑥̅ ao valor da raiz da função até que o critério de parada seja atendido.

Figura 4 – Gráficos representando a convergência do Método da Bissecção

Veja que a Figura 4 (a) apresenta o intervalo [𝑎𝑎; 𝑏𝑏]^ que contém a raiz da função 𝑓𝑓(𝑥𝑥), e o valor médio 𝑥𝑥 1 que está à direita do valor real da raiz. Por esse motivo, adota-se um novo intervalo menor [𝑎𝑎; 𝑏𝑏] = [𝑎𝑎; 𝑥𝑥 1 ] na Figura 4 (b). O valor médio 𝑥𝑥 2 desse intervalo encontra-se a esquerda do valor da raiz da função, por isso adota-se um novo intervalo menor [𝑎𝑎; 𝑏𝑏] = [𝑥𝑥 2 ; 𝑥𝑥 1 ] na Figura 4 (c), o que permite determinar um valor médio 𝑥𝑥 3 ainda mais próximo do valor real da raiz da função 𝑓𝑓(𝑥𝑥). Dessa forma, percebe-se graficamente que a quebra de intervalo permite uma convergência para o valor desejado do zero da função.

Exemplo 6 Vamos utilizar o Método da Bissecção para determinar a raiz real da

função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = √𝑥𝑥−2𝑥𝑥−2 − 3 , para a qual já conhecemos o domínio no Exemplo 4. A

partir do domínio, podemos identificar o intervalo que contém a raiz da função, determinando a função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) para valores de 𝑥𝑥 > 2.

x 2,001 2,010 2,500 3, f(x) 28,622777 7 -1,585786 -

Observe que f(x) troca de sinal entre os valores 2,010 e 2,500 para 𝑥𝑥. Isso significa que a função cruza o eixo x entre esses valores, por isso podemos definir que a raiz da função está contida no intervalo [2,010; 2,500]. Sendo 𝑎𝑎 = 2,010 e 𝑏𝑏 = 2,500, temos que

𝑓𝑓(𝑎𝑎) = 7 → 𝑓𝑓(𝑥𝑥) > 0

𝑓𝑓(𝑏𝑏) = −1,585786 → 𝑓𝑓(𝑥𝑥) < 0

Pelo Método da Bissecção, o valor estimado da raiz da função será dado pela Equação 5.

𝑥𝑥̅ = 2,010 + 2,500 2

𝑥𝑥̅ = 2,

A função para esse valor é de:

𝑓𝑓(2,255) = �2,2552,255 −^ − 2 2 − 3

Observe que o valor de 𝑓𝑓(𝑥𝑥̅) é negativo da mesma forma que 𝑓𝑓(𝑏𝑏). Nesse caso, 𝑏𝑏 assume o valor de 𝑥𝑥̅.

𝑏𝑏 = 2,

O intervalo adotado para a próxima iteração passa a ser [2,010; 2,255]. Vamos continuar o processo iterativo até atingir o critério de parada dado por |𝑓𝑓(𝑥𝑥)| ≤ 10 −2.

k a f(a) b f(b) 𝒙𝒙� 𝒇𝒇(𝒙𝒙�) 1 2,01 7 2,5 - 1,58579 2,255 - 1, 2 2,01 7 2,255 - 1,0197 2,1325 - 0, 3 2,01 7 2,1325 - 0,25279 2,07125 0, 4 2,07125 0,746343 2,1325 - 0,25279 2,101875 0, 5 2,101875 0,133042 2,1325 - 0,25279 2,117188 - 0, 6 2,101875 0,133042 2,117188 -0,07881 2,109531 0, 7 2,109531 0,021558 2,117188 -0,07881 2,113359 -0, 8 2,109531 0,021558 2,113359 -0,0299 2,111445 -0,

Na oitava iteração, estimamos que a raiz da função é 𝑥𝑥̅ = 2,111445, valor para o qual a função atende ao critério de parada imposto, uma vez que:

|𝑓𝑓(𝑥𝑥̅)| = |−0,0045|

|𝑓𝑓(𝑥𝑥̅)| = 0,0045 < 10−

k a f(a) b f(b) 𝒙𝒙� 𝒇𝒇(𝒙𝒙�) 1 0,333334 - 13,122363 1,000000 0,693147 0,666667 0, 2 0,333334 - 13,122363 0,666667 0,000001 0,500001 - 0, 3 0,500001 - 0,693144 0,666667 0,000001 0,583334 - 0, 4 0,583334 - 0,287680 0,666667 0,000001 0,625000 - 0, 5 0,625000 - 0,133530 0,666667 0,000001 0,645834 - 0, 6 0,645834 - 0,064537 0,666667 0,000001 0,656250 - 0, 7 0,656250 - 0,031748 0,666667 0,000001 0,661459 - 0, 8 0,661459 - 0,015747 0,666667 0,000001 0,664063 - 0, Na oitava iteração, estimamos que a raiz da função é 𝑥𝑥̅ = 0,664063, valor para o qual a função atende ao critério de parada imposto, uma vez que:

|𝑓𝑓(𝑥𝑥̅)| = |−0,007842|

|𝑓𝑓(𝑥𝑥̅)| = 0,007842 < 10−

Por isso, adotamos o valor 0,664063 como a raiz da função.

4.2.2 Método da Posição Falsa

De forma semelhante ao Método da Bissecção, um intervalo [𝑎𝑎; 𝑏𝑏] que contém a raiz de uma função 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) real é quebrado, gerando dois novos intervalos [𝑎𝑎; 𝑥𝑥̅] e [𝑥𝑥̅; 𝑏𝑏]. A diferença entre esses dois métodos é que o Método da Posição Falsa não adota o valor médio do intervalo como raiz da função, mas adota 𝑥𝑥̅ como uma média ponderada dada pela Equação 6.

𝒙𝒙� = 𝑎𝑎 ∙ 𝑓𝑓 𝑓𝑓((𝑏𝑏𝑏𝑏))^ − 𝑏𝑏 ∙ 𝑓𝑓− 𝑓𝑓(𝑎𝑎)( 𝑎𝑎)(6)

Os limites do novo intervalo devem atender à condição dada na Equação

4. A repetição desse processo de quebra de intervalos permite que haja uma convergência do valor de 𝑥𝑥̅ ao valor da raiz da função até que o critério de parada seja atendido.

Exemplo 8 Vamos utilizar o Método da Posição Falsa para determinar a raiz real da

função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = √𝑥𝑥−2𝑥𝑥−2 − 3. Adotaremos que a raiz está contida no intervalo

[2,010; 2,500]. Utilizaremos como critério de parada o erro absoluto entre os valores das estimativas |𝑥𝑥 − 𝑥𝑥̅| ≤ 10 −2.

Sendo 𝑎𝑎 = 2,010 e 𝑏𝑏 = 2,500, temos que:

𝑓𝑓(𝑎𝑎) = 7 → 𝑓𝑓(𝑥𝑥) > 0

𝑓𝑓(𝑏𝑏) = −1,585786 → 𝑓𝑓(𝑥𝑥) < 0

Pelo Método da Posição Falsa, o valor estimado da raiz da função será dado pela Equação 6.

𝑥𝑥̅ = (2,010)^ ∙^ ((−−1,585786)1,585786)^ −−^ (2,500)(7)^ ∙^ (7)

𝑥𝑥̅ = 2,

A função para esse valor é de:

𝑓𝑓(2,409497) = √2,4094972,409497 −^ − 2 2 − 3

Observe que o valor de 𝑓𝑓(𝑥𝑥̅) é negativo da mesma forma que 𝑓𝑓(𝑏𝑏). Nesse caso, 𝑏𝑏 assume o valor de 𝑥𝑥̅.

𝑏𝑏 = 2,

O intervalo adotado para a próxima iteração passa a ser [2,010; 2,409497]. Vamos continuar o processo iterativo até atingir o critério de parada definido.

k a f(a) b f(b) 𝒙𝒙� 𝒇𝒇(𝒙𝒙�) |𝒙𝒙 − 𝒙𝒙�| 1 2,010 7 2,500 - 1,585786 2,409497 - 1,437304 - 2 2,010 7 2,409497 - 1,437304 2,341443 - 1,288641 0, 3 2,010 7 2,341443 - 1,288641 2,289913 - 1,142768 0, 4 2,010 7 2,289913 - 1,142768 2,250630 - 1,002514 0, 5 2,010 7 2,250630 - 1,002514 2,220485 - 0,870338 0, 6 2,010 7 2,220485 - 0,870338 2,197208 - 0,748161 0, 7 2,010 7 2,197208 - 0,748161 2,179132 - 0,637271 0, 8 2,010 7 2,179132 - 0,637271 2,165019 - 0,538311 0, 9 2,010 7 2,165019 - 0,538311 2,153949 - 0,451342 0,

O intervalo adotado para a próxima iteração passa a ser [0,333334; 0,966552]. Vamos continuar o processo iterativo até atingir o critério de parada definido.

k a f(a) b f(b) (^) 𝒙𝒙� 𝒇𝒇(𝒙𝒙�) |𝒙𝒙 − 𝒙𝒙�| 1 0,333334 - 13,122363 1 0,693147 0,966552 0,641673 - 2 0,333334 - 13,122363 0,966552 0,641673 0,937032 0,593932 0, 3 0,333334 - 13,122363 0,937032 0,593932 0,910891 0,549665 0, 4 0,333334 - 13,122363 0,910891 0,549665 0,887671 0,508631 0, 5 0,333334 - 13,122363 0,887671 0,508631 0,866986 0,470603 0, 6 0,333334 - 13,122363 0,866986 0,470603 0,848511 0,435369 0, 7 0,333334 - 13,122363 0,848511 0,435369 0,831967 0,402729 0, 8 0,333334 - 13,122363 0,831967 0,402729 0,817120 0,372501 0, 9 0,333334 - 13,122363 0,817120 0,372501 0,803766 0,344509 0, 10 0,333334 - 13,122363 0,803766 0,344509 0,791731 0,318595 0, 11 0,333334 - 13,122363 0,791731 0,318595 0,780866 0,294606 0, 12 0,333334 - 13,122363 0,780866 0,294606 0,771039 0,272404 0, Na décima segunda iteração, estimamos que a raiz da função é 𝑥𝑥̅ = 0,771039, valor para o qual a função atende ao critério de parada imposto, uma vez que:

|𝑥𝑥 − 𝑥𝑥̅| = |0,771039 − 0,780866|

|𝑥𝑥 − 𝑥𝑥̅| = 0,009827 < 10−

Por isso, adotamos o valor 0,771039 como a raiz da função.

4.3 Métodos de Ponto Fixo

Os Métodos de Ponto Fixo consistem em procedimentos iterativos que buscam a raiz de uma função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) quando essa é reescrita como 𝑥𝑥 = 𝜑𝜑(𝑥𝑥) a partir da definição de que a raiz atende ao critério 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 0. Esse tipo de solução dever atender a duas condições: I. 𝜑𝜑(𝑥𝑥) deve ser contínua no intervalo [𝑎𝑎; 𝑏𝑏] que contém a raiz da função. II. Deve existir 𝑥𝑥 ∈ [𝑎𝑎; 𝑏𝑏] de forma que 𝑥𝑥 = 𝜑𝜑(𝑥𝑥), de maneira que haja pelo menos um ponto fixo no intervalo [𝑎𝑎; 𝑏𝑏].

4.3.1 Método Iterativo Linear (MIL)

Esse método consiste em reescrever 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 0 como uma equação equivalente 𝑥𝑥 = 𝜑𝜑(𝑥𝑥). A partir de um valor inicial 𝑥𝑥 0 que pode ser conhecido, ou pode ser adotado o valor médio do intervalo [𝑎𝑎; 𝑏𝑏] que contém a raiz da função, determinamos o valor de 𝑥𝑥 pela Equação 7, repetindo o processo até que o critério de parada seja atendido.

𝑥𝑥𝑘𝑘 = 𝜑𝜑(𝑥𝑥𝑘𝑘−1) (7)

Uma função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) pode permitir a definição de várias funções de iteração 𝜑𝜑(𝑥𝑥), que podem gerar valores de 𝑥𝑥 que convergem ou divergem no intervalo [𝑎𝑎; 𝑏𝑏]. Assim, se os valores de 𝑥𝑥 determinados pela Equação 7 estão no intervalo [𝑎𝑎; 𝑏𝑏], a função de iteração é convergente; se os valores de 𝑥𝑥 determinados pela Equação 7 estão fora do intervalo [𝑎𝑎; 𝑏𝑏], a função de iteração é divergente.

Exemplo 10 Vamos utilizar o Método Iterativo Linear para determinar a raiz real da

função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = √𝑥𝑥−2𝑥𝑥−2 − 3. Adotaremos que a raiz da função está contida no

intervalo [2,010; 2,500]. Utilizaremos como critério de parada o erro absoluto entre os valores das estimativas |𝑥𝑥 − 𝑥𝑥̅| ≤ 10 −2. Nesse método, definimos inicialmente as possibilidades de funções que derivam de 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 0 ⇒ 𝑥𝑥𝑘𝑘 = 𝜑𝜑(𝑥𝑥𝑘𝑘−1).

• Primeira possibilidade:

√𝑥𝑥 −^2

3 = (𝑥𝑥 −^ 2)

√𝑥𝑥 −^2

3 + 2 =^ 𝑥𝑥