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Etapa 1
Passo 1. Relação de livros pesquisados
Álgebra linear e suas Aplicações / David C.Lay – 2ºEdição
Álgebra linear/ Boldrini / Costa Figueiredo/ Wetzler – 3ºEdição
Álgebra linear/ Terry Lawson/ tradução: Elza F. Gomide/ Editora Edgard Blucher LTDA.
Livro escolhido: Álgebra linear e suas Aplicações / David C.Lay – 2ºEdição
Passo 2.
Foram feitas pesquisas sobre empresas e descobrimos que o uso de matrizes são uteis no planejamento. Para explicar utilizamos os exemplos:
1)Uma montadora( na região existem algumas General Motors, Wolkswagem) produz três modelos de veículos, standard ( A), luxo (B) e superluxo( C ), neles podem ser instalados três modelos de pneus F(aro13”), X(aro14”) e Y(aro15”), air bag(D) e direção hidráulica(E) conforme o modelo. A matriz β mostra a quantidade de equipamentos montados em conforme o modelo.
A B C
β (^) = F 4 0 0
X 0 4 0 Y 0 0 4 D 2 4 6 E (^0 1 1) 5x
Na matriz α temos o número de veículos produzidos em uma semana:
α (^) = A 600 B 500 C (^150) 3x
O resultado quantidade de equipamentos utilizados na produção de veículos pela montadora foi:
β. α (^) = F 2400
X 2000 Y 600 D 4100 E (^650) 5x
Passo 3.
Site: http://pt.wikipedia.org/wiki/Determinante
Com o resultado do estudo percebemos que precisamos calcular a determinante de uma matriz para se obter um numero real chamada determinante da matriz A.
Definição de determinante: Seja A o conjunto das matrizes com m linhas e n colunas sobre um corpo K. Pode-se provar que existe uma única função F com as seguintes propriedades:
1. F é n-linear e alternada nas linhas das matrizes; 2. F(ln) = 1, onde ln é a matriz identidade Esta função chama-se determinante.
O Determinante de uma matriz A representa-se por [A] ou por det(A)
Propriedades
1. O determinante também é uma função n -linear e alternada nas colunas
da matriz;
2. O determinante de uma matriz é igual ao determinante da sua
transposta: det( A ) = det( AT );
3. Se uma fila (linha ou coluna) da matriz é composta de zeros, então o
determinante desta matriz será zero;
4. Se escrevermos cada elemento de uma linha ou coluna de A como soma
de duas parcelas então det( A ) é a soma de dois determinantes de ordem
n cada um considerando como elemento daquela linha ou coluna uma
das parcelas, e repetindo as demais linhas ou colunas;
Propriedades:
1 - Se a matriz tiver coluna ou uma linha com todos os números zero seu determinante será "0"
Exemplo:
Ex 1 3 0 1
2 0 4 = Det. = 0 (^8 0 5) 3x
2 - Se a matriz tiver duas linhas ou colunas que repete o seu determinante será "0".
Exemplo:
Ex 1 1 2 1
5 3 5 = Det. = 0 (^4 4 4) 3x
3 - Se a matriz tiver uma coluna ou linha formada pela combinação de outras duas linhas ou colunas o seu determinante será "0".
Exemplo:
Ex 1 2 2 1
1 4 5 = Det. = 0 (^3 6 6) 3x
OBS: a primeira linha + a segunda linha = terceira linha.
4 - Se a matriz possui dois triângulos de zero ou seja só a diagonal principal for diferente de zero seu determinante será o resultado da multiplicação da diagonal principal.
Exemplo:
Ex 1 1 0 0
0 2 0 = Det. = 0 (^0 0 3) 3x
5 - O determinante de uma matriz será igual a da sua matriz transposta.
Exemplo:
Ex 1 A = 2 3 At^ = 2 5
(^5 1) 2x2 (^3 1) 2x -15 + 2 = -13 -15 + 2 = -
6 - Det(A. B) = Det A. Det B.
Exemplo:
Ex 1 A = 1 2 = 1 0. B = 2 3
(^0 3) 2x2 (^2 3) 2x2 1 0
(0. 2 + 3. 1) (0. 3 + 3. 0) (^3 0) 2x
4 3 A = 1 2 B = 2 3
(^3 0) 2x2 (^0 3) 2x2 (^1 0) 2x -9 + 0 = -9 0 + 3 = 3 -3 + 0 = -
Det A = 3 * Det B = (-3) = -9.
Etapa 2.
Passo 1 e 2.
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
EQUAÇOES LINEARES
DEFINIÇÃO: Chamamos de equação linear, nas incógnitas x 1 , x 2 ,...xn toda equação do tipo a (^) 1 x 1 a 2 x 2 ... an xn b , onde a (^) 1 , a 2 ,..., an são os coeficientes (reais ou complexos) e b é o termo independente da equação. Exemplos:
- 2x 1 – 6x 2 + 4x 3 = 2
- -3x + 4y – 5z + w/4 = 8
SOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO LINEAR
Dizemos que a sequencia ordenada ( 1 , 2 ,..., n ) é uma solução da equação
linear a 1 x 1 a 2 x 2 ... an xn b , se a 1 x 1 a 2 x 2 ... an xn b for uma sentença verdadeira. Exemplo:
Seja a equação linear x 1 + 2x 2 + x 3 – x 4 = -1. A seqüência (1, 0, 3, 5) é uma solução da equação, pois 1+2.0+3-5 = -1 é uma sentença verdadeira. Por outro lado, a seqüência (1, 3, 0, 1) não é solução, pois 1+2.3+0-1 = -1 é uma sentença falsa.
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
Um sistema de equações lineares com m equações e n incógnitas é um conjunto
de equações do tipo:
m m mn n m
n n
n n
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
...
11 2 2
211 22 2 2 2
111 12 2 1 1 (^) , onde os coeficientes aij, 1
i m e 1 j n, são números reais (ou complexos).
Exemplo:
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4 x x x x
x x x x
x x x x
OBS. : 1) se no sistema (A) m = n, diremos simplesmente que o sistema é linear de ordem n;
- Se os termos independentes bi, 1 i m, forem todos nulos, o sistema (A) recebe o nome de sistema linear homogêneo. Assim, um sistema linear homogêneo é um sistema do tipo:
1 1 2 2
211 22 2 2
111 12 2 1
m m mn n
n n
n n
a x a x a x
a x a x a x
a x a x a x
SOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR
Dizemos que uma sequencia de números ( 1 , 2 ,..., n ) é uma solução do
sistema (A) se for solução de cada uma das m equações deste sistema. Exemplo: Dado o sistema S : (^) ^2 xx 2 yy z 6 ^1 , uma solução de S é (0, 3, 4).
Notaremos que essa solução não é única: a terna (8/5, 11/5, 0) também é uma solução de S. OBS. : No sistema linear homogêneo, a sequencia (0, 0, 0, ..., 0) é sempre uma solução do mesmo. Assim, um sistema homogêneo tem sempre pelo menos uma solução.
CLASSIFICAÇÃO DOS SISTEMAS
Determinado (Solução única) POSSIVEL
SISTEMA Indeterminado (múltiplas soluções)
IMPOSSIVEL (não tem solução, equações incopativeis)
Exemplos: 1) O sistema
x y z w
x y z w
x y z w S é possível e indeterminado.
O sistema S : (^) ^ ^4 x 61 x 1 ^2 x 32 x 2 ^51 é impossível.
O sistema S : (^) 5 2 xx 73 yy ^13 é possível e determinado
SISTEMAS EQUIVALENTES Dois sistemas S 1 e S 2 do tipo (A) são chamados equivalentes (S 1 ~ S 2 ) se
possuem a(s) mesma(s) solução(ões). Exemplo: Sejam
z
y z
x y S e
x y z
x y z
x y z S , a terna (1, 2, -3) é solução única de S 1 e também de S 2. Logo, S 1 e S 2 são sistemas equivalentes.
Passo 3.
Modele a situação problema escrevendo-a em forma de um sistema de equações lineares fazendo uso da lei de Kirchhoff.
Solução: Nó ponto A= I2 + I3=I Malha BCDAB -10+8.I1-4.I2-2.I3= Malha CEFDC 10.I2-2.I3-4.I1= Malha FGHADF -4+10.I3-2.I1-2.I2=
Passo 4.
Determine a matriz dos coeficientes das variáveis e a matriz ampliada desse sistema linear.
Etapa 3.
Passo 1. Leia sobre o método de resolução de sistemas lineares: Regra de Cramer no livro auxiliar que você escolheu no Passo 2 da Etapa 1. Discuta com o grupo qual a restrição desse método de resolução de sistemas lineares.
Passo 2. Discuta com o grupo qual a condição sobre o determinante da matriz incompleta do sistema linear para que ele possua solução única.
Passo 3. Calcule o determinante da matriz incompleta do sistema linear que descreve a situação- problema e conclua se esse sistema linear possui ou não solução única.
Conclusão: O sistema linear da situação problema possui solução única.
- 2 .I₁ - 2 .I₂ + 10 .I₃= 4
- 4.I₁+10.I₂ - 2.I₃= 0
8 .I₁ - 4 .I₂ - 2 .I₃= 10
Etapa 4.
Aula-tema: Sistemas de Equações Lineares: Gauss-Jordan.
Passo 1.
Leia o tópico do Capítulo – Inversão de Matrizes do livro-texto que aborda operações elementares sobre as linhas de uma matriz e leia no Capítulo – Sistemas de Equações Lineares do livro-texto (citado no Passo 2 da Etapa 1) o método de resolução de sistemas lineares: Gauss-Jordan.
Passo 2.
Descreva as operações elementares sobre as linhas de uma matriz. Defina Sistemas Equivalentes.
Definição. Uma operação elementar sobre as linhas de uma matriz é uma das seguintes operações:
- Troca da posição de duas linhas;
- Multiplicação de uma linha da matriz por um escalar (número) diferente de zero;
- Somar a uma linha da matriz um múltiplo de outra linha.
Exemplo. Considere o seguinte sistema
A sua matriz aumentada é:
1a. eliminação: Vamos procurar para pivô da 1a. linha um elemento não nulo da primeira coluna (podemos usar a troca de linhas para ``trazê-lo'' para a primeira linha). Como temos que fazer o pivô igual a um, escolhemos para pivô o elemento de posição 2
- Precisamos ``colocá-lo'' na primeira linha, para isto, trocamos a 2a. linha com a 1a.
1a.
Agora, precisamos ``zerar'' os outros elementos da 1a. coluna, que é a coluna do pivô, para isto, adicionamos à 2a. linha, -2 vezes a 1a. linha e adicionamos à 3a. linha, - vezes a 1a. linha.
2a. eliminação: Olhamos para a sub-matriz obtida eliminando-se a 1a. linha. Escolhemos para pivô um elemento diferente de zero na 1a. coluna não nula desta sub- matriz. Pela mesma razão que na 1a. eliminação vamos escolher o elemento de posição 3 2. Precisamos ``colocá-lo'' na 2a. linha, para isto, trocamos a 3a. linha com a 2a.
2a.
Agora, precisamos zerar os outros elementos da 2a. coluna, que é a coluna do pivô, para isto, somamos à 3a. linha, -2 vezes a 2a. e somamos à 1a. linha, -1 vezes a 2a.
2a.
2a.
2a.
2a.
2a.
2a.
2a.
2a.
Solução: I = 2 amp.; I₂= 1 amp. e I₃= 1 amp.
L₂=L₂. ( 141 )
L₃=L₃. L₂. 12
L₃=L₃ ÷ (^1347)
L₃=L₂+L₃. (^117)
L₁=L₁+L₂. (-1)
L₁=L₁+L₃. 5
Passo 4.
Elabore um relatório com a solução do desafio proposto e o entregue ao professor.
Relatório:
Observamos que tanto no método de Cramer quanto no método de Gauss-Jordan obtivemos os mesmos resultados ao realizarmos os cálculos das matrizes da situação- problema.
Ambos os métodos são eficazes na solução de sistemas lineares.
