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Sumário
- Introdução..........................................................................................................
- Integração Indefinida........................................................................................
- Integração definida............................................................................................
- Desafio A,B.........................................................................................................
- Desafio C,D.........................................................................................................
- Integração por Substituição..............................................................................
- Integração por Partes........................................................................................
- Desafio A.............................................................................................................
- Desafio B.............................................................................................................
- Calculo de Área..................................................................................................
- Calculo de Área..................................................................................................
- Desafio................................................................................................................
- Volume de Solido de Revolução.......................................................................
- Desafio................................................................................................................
- Conclusão...........................................................................................................
- Bibliografia.........................................................................................................
O Calculo de Integrais, assim como qualquer outra matéria no curso de Engenharia, apresenta grande ênfase e destaque, por ser a única que ao longo do curso seus conhecimentos são aplicados à outras áreas para a resolução de problemas e na construção de ideias para esses problemas. Sendo uma vasta área que abrange por todo o curso em que um engenheiro estuda, não se limita apenas na engenharia, mas também em outras. Para se obter certo resultado em um processo, há varias fases que abrangem muitas áreas do conhecimento, sendo elas inseridas no estudo do Calculo. O Cálculo, essencialmente, serve para que um engenheiro como e porque aquilo que ele esta projetando ou produzindo funciona, quais os princípios que regem seu sistema.
Integral Indefinida
Como já visto, a taxa f(x) = dF/dx, em que uma determinada grandeza F encontra-se variando e é objetivado encontrar a quantidade que a grandeza F irá variar entre x = a e x = b. Encontrando assim, por antiderivação F e então a diferença da variação resultando em f(b) – f(a) Logo,
Torna-se o resultado do calculo, chamado de integral definida da função f.
O Símbolo é lido como a integral definida de f de a ate b. Os números a e b são chamados de limites de integração. Nos cálculos que envolvem as integrais definidas, é frequentemente conveniente usar o símbolo: F(x)|ªb para a diferença F(b) – F(a)
Definição: Seja f uma função contínua no intervalo [a, b]. Suponha que este intervalo seja dividido em n partes iguais de largura Δx = (b – a)/n e seja x j um número pertencente ao j- ésimo intervalo, para j = 1,2, ..., n. Neste caso, a
, se este limite existir. Logo, demonstra-se que se a função y = f(x) é continua em um intervalo [a, b], então ela é integrável em [a, b].
A Soma de Riemann
Considerando a função: f : [a, b] -> R Escolha uma partição P de [a, b] com n sub-intervalos de comprimentos Δxi. Observe na Figura 1 os valores xi no eixo horizontal. Escolher em cada [xi-1, xi ] um valor ci tal que xi- ≤ ci ≤ xi. Para cada ci podemos calcular f(ci). Define-se a Soma de Riemann de uma função f com partição P do intervalo [a, b ] por:
Teorema do Valor Médio Considerando a função f: [a, b] -> R. Se f é continua em [a, b]. Se f é continua b f ( x) dx em [a, b] , logo existe um valor x, com α < x < x e tal queF 0 F 2 F 0 3 Df ( x). a b F 0 2 D a Se f(x) ≥ 0 em [a, b], a integral do numerador é a área da região sobre a curva e o denominador é a base dessa figura. O quociente é igual à altura de um retângulo cuja base e área são as mesmas dessa região. O Teorema garante que existe um valor x tal que f(x*) é o valor da altura do retângulo.
Teorema Fundamental do Cálculo Considerando a função f: I -> R ,onde I é um intervalo fechado e limitado, e f é contínua em I. Presumindo que f é uma função continua no intervalo fechado e limitado I, logo f admite uma função primitiva ou antiderivada. Uma primitiva de f é F ( x) F 0 3 D F 0 F 2f (t )dt , onde α é uma constante, α € I.
Desafio A:
Qual das alternativas abaixo representa a integral definida de:
Resolução:
Resposta: Portanto a resposta correta da integração acima, é correto afirmar com a resolução
acima, que a opção (B) corresponde a função, número associado a questão (3).
Desafio B.
Suponha que o processo de perfuração de um poço de petróleo tenha um custo fixo de U$
10.000 e um custo marginal de C´ (q)=1000+50q dólares por pé, onde q é a profundidade em
pés. Sabendo que C(0)=10.000, a alternativa que expressa C(q), 0 custo total para se perfurar
q pés, é:
Resolução:
C(q)=10.000+
Resposta: Portanto a resposta correta da integração acima, é correto afirmar com a resolução
acima, que a opção (A) corresponde a função, número associado a questão (0).
Desafio C.
No início dos anos 90, a taxa de consumo mundial de petróleo cresceu exponencialmente.
Seja C(t) a taxa de consumo de petróleo no instante t, onde t é o número de anos contados a
partir do inicio de 1990. Um modelo aproximado para a quantidade de petróleo consumida
entre 1992 e 1994?
Resolução:
Resposta: Portanto a resposta correta da integração acima, é correto afirmar com a resolução
acima, que a opção (C) corresponde a função, número associado a questão (1).
por outra variável. deriva essa expressão (ex: du/dx = d(x²-1)/dx= 2x) e ache uma relação entre o du e o dx (ex: du = 2xdx) expressão inicial e substitui todos os x e o dx
Integração por Partes
No cálculo integral, integração por partes é um método que permite expressar a integral de um produto de funções em outra integral. A integração por partes pode ser vista como uma versão integrada da regra do produto
, a fórmula típica é a sequinte, onde e são funções de classe C^1 no intervalo , ou seja, são diferenciáveis e suas derivadas são contínuas entre a e b.
A fórmula canônica é dada pela seguinte expressão:
ou, ainda, de forma mais enxuta:
Demonstração
Um demonstração simples pode ser obtida atráves da regra do produto
integrando esta expressão entra a e b , temos:
Concluímos a demonstração, através do teorema fundamental do cálculo:
Desafio
Considerem as seguintes igualdades:
I.
U=t²-6t
Du=2.(t-3)
II. = -=-
U=t V=2.
Du=1.dt Du=
Resposta: Portanto a resposta correta da integração acima, é correto afirmar com a resolução
acima, que a opção (A) corresponde a função, número associado a questão (4).
Calculo de Área
A área está abaixo e acima do eixo x, ou seja f(x) 0 e f(x) 0 para todo x [a, b]. Então se calcula a(s)
raiz(es) de f(x) e se estas estão no interior do intervalo de integração teremos:
X 1 é a raiz da f(x) neste exemplo.
A região cuja área queremos calcular, está situada entre duas curvas.
Como se vê, f(x) g(x), x [a, b], logo f(x) – g(x) 0.
Portanto, a função F(x) = f(x) – g(x) encaixa–se no 1.º caso:
3.º caso F : [a, b] R , e f(x) assume valores positivos,
a negativos e nulos para todo x [a, b].X
x 1 b
y X
a b
f(x)
g(x)
y (^) 4.º caso
Desafio
Considerem as seguintes regiões S1 ( Figura 1) e S2( Figura 2). As áreas de S1 e S2 são,
respectivamente 0,6931 u.a. e 63863 u.a.
Podemos afirmar que:
Desafio 1.
Resolução:
Desafio 2.
Resolução:
Resposta: Portanto a resposta correta da integração acima, é correto afirmar com a resolução
acima, que a opção (C) corresponde a função, número associado a questão (8).
Desafio A
A área da superfície de revolução obtida pela rotação, em torno do eixo x, da curva dada por
y=4 de -17) u.a.. Está correta essa afirmação?
Resolução: V=
Resposta: Portanto a resposta da integração acima, é correto afirmar com a resolução acima,
conclui se que a resposta está errada, número associado a questão (9).
Desafio B
Qual é o volume do sólido de revolução obtido pela rotação, em torno da reta y=2, de região
R delimitada pelos gráficos das equações: y=sem x, y=(sem x)³ de x=0 até x=?
V=
V=π
V=π.
V=π.
V=
V=
Resposta: Portanto a resposta correta da integração acima, é correto afirmar com a resolução
acima, que a opção (A) corresponde a função, número associado a questão (8).
Sequência: 30194898
Poderão ser extraídos 30.194.898 m³ de petróleo do poço de petróleo recém descoberto.
Conclusão
Importância do cálculo Integral nos problemas de Engenharia O engenheiro é um agente
transformador na natureza e no âmbito das áreas de tecnologia e teorias para solução de problemas e
construção de equipamentos e processos que envolvem series de cálculos. Todas as ciências exatas
necessitam da ferramenta de Cálculo pela importância na resolução de problemas que são relativos a
grandes ou minuciosos cálculos e técnicas. Um exemplo é a necessidade dele em se calcular a área de
um poliedro solido e que este seja um condutor elétrico submetido a forças magnéticas variáveis e
você precise calcular a corrente elétrica induzida e perdida como calor na massa desse elemento. O
Calculo Integral esta em todas as áreas da engenharia, como no calculo do eletromagnetismo, na
