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BC-0201 Funções de Uma Variável (F.U.V.)
Aula 2 – 22/02/
Professora: Gisele Cristina Ducati [email protected] Home: http://gducati.googlepages.com http://fuv1tri2008.googlepages.com
Funções Exponenciais e Logarítmicas
Def.: A função f definida em ℝ^ é dada por f^ ^ x^ = a^ x , a ≠1, a 0, (^) denomina-se FUNÇÃO EXPONENCIAL DE BASE a. Propriedades: Sejam a, b > 0, x , y ∈ ℝ Então (i) (^) a ^ x ^ y = ax^ a y^ a ^ x −^ y = a^ x a y (ii) (^) a x y = a xy (iii) (^) ab x = a x^ bx a b x = a x b x (iv) (^) a 1, x y ⇒ a x a y (v) (^) 0 a 1, x y ⇒ a x a y A função exponencial de base e e ≈2,718281... f x = e x , desempenhará um papel bastante importante em todo o nosso curso.
Se e > 1, para um x y , e x e y. Se a 0,^ a ≠1,^ f^ ^ x = a x é crescente ou descrecente e bijetora, portanto possui inversa e sua inversa é chamada de FUNÇÃO LOGARÍTMICA com base a , denotada por log a ^ x^ .^ Sejam a > 0, a ≠ 1 e 0 ∈ ℝ. O único real tal que a = b (^) denomina-se LOGARÍTMO de na base a e indica-se =log a . (^) Então, =log a ⇔ a = Propriedades: (i) log a ^ xy^ =log a ^ x^ log a ^ y^ (ii) log a x y =log a x −log a y (iii) log a ^ x = log a x Naturalmente, temos log a a x = x log a a = x ∀^ x ∈ℝ a log a x = x ∀^ x ^0 a > 1
Funções Trigonométricas e Inversas
As funções trigonométricas são funções de um ângulo. Tais funções são muito importantes devido à sua periodicidade, podendo assim representar vários fenômenos na natureza. Existem seis funções trigométricas básicas que são a função seno, cosseno, tangente, cossecante, secante e cotangente, sendo que as quatro últimas são obtidas em função do seno e cosseno. D (^) f Im Seno sen^ ^ x ^ ℝ [−1,1] Cosseno cos^ ^ x^ ^ ℝ^ [−1,1] Tangente tg x ou^ tan x ℝ−
k
, ∀ k ∈ℕ
Secante sec ^ x^ =^
cos x (^) ℝ−
k
, ∀ k ∈ℕ
Cossecante cossec^ ^ x^ =^
sen x
ℝ−{ k } , ∀ k ∈ℕ ℝ
Cotangente cotan x ou^ cotg x ℝ−{ k } , ∀ k ∈ℕ ℝ
Def.: Uma função f (x) é periódica se existe um numero positivo T tal que f x T = f x , ∀ x ∈ D (^) f.
T é chamado período da função. Note que: sen x 2 = sen x cos x 2 =cos x tg x = tg x seno e cosseno são funções periódicas de período 2π. Tangente é periódica de período π. Prop. sen x − y = sen x cos y − sen y cos x cos x − y =cos x cos y sen y sen x logo, cos t − t =cos t cos t sen t sen t (^1) =cos^2 t sen^2 t e, sen 0 − y = sen 0 cos y − sen y cos 0 sen − y =− sen y ou seja, sen ( x ) é uma função ímpar. cos x x =cos x cos x − sen x sen x (^) cos2x =cos^2 x − sen^2 x
Funções Trigonométricas Inversas
- seno não é uma função injetora, pois possui dois valores iguais de y para dois valores diferentes de x. As funções trigonométricas não são injetoras, portanto, não possuem inversas. Entretanto, em cada caso, podemos restringir o domínio de modo que a função, restrita a esse domínio, seja bijetora e possua inversa. Por exemplo, a função seno não é bijetora, pois sem − = sen =0 , no entanto, se restringirmos o domínio ao intervalo − / 2, / 2 , a função passa a possuir inversa.
