Calculo de Limites: Funções Logarítmicas, Exponenciais e Trigonométricas, Notas de estudo de Engenharia Civil

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2. Calcule os limites:

a)     

lim (^341 )

2 2 x x x

b)     

lim (^22 x x x

c)   

lim (^2)

2

t t

t t

t

d)   

lim (^2)

5 3

x

x x

x

e)  

lim (^2) t

t

t

f)  

  2

5 2

lim x

x x

x

g)       

lim (^11 )

2 2 x x x

h)  

lim 2 x

x

x

i) 



lim 2 x

x

x

Obs.: Para o cálculo da questão h, devemos dividir o numerador e o denominador por x,

no denominador tomamos x =

2 x. Já que os valores de x podem ser considerados

positivos ( x ). E para o cálculo da questão i, como x  , os valores de x

podem ser considerados negativos. Então, para o numerador devemos dividir por x e

para o denominador tomamos x = -

2 x.

j)  

lim

2

x

x

x

k)  

lim

2

x

x

x

l)  

lim

2

x

x

x

m)  

lim y

y

y

Funções Logarítmicas

Lembre-se da Álgebra, em que um logaritmo é um expoente. Mais precisamente,

se b>0 e b≠ 1, para um valor positivo de x a expressão logbx ( que se lê: “o logaritmo

de x na base b”) denota aquele expoente ao qual devemos elevar b para obter x. Assim,

por exemplo:

log 10 100 = 2, pois 10

2 = 100

log10(1/1000) = -3 , pois 10

• = 1/

log 2 16 = 4

A função f(x) = logbx é denotada função logarítmica de base b.

O logaritmo mais importante nas aplicações é o de base e, que é denominado

logaritmo natural , já que a função logex é a inversa da função exponencial natural e

x

. É

comum denotar o logaritmo natural de x por lnx em vez de logex. Por exemplo:

ln1 = 0 , uma vez que e

0 =

ln e = 1, uma vez que e

1 = e

ln1/ e = -1, uma vez que e

- = 1/ e

Em geral y = lnx se, e somente se, x = e

y

c)  



 

x

x (^) x

(^) lim 1 d)   

x

x (^) x

x

1

lim

e)  



lim

2

(^2) x

x

x

f) cox x

cox

1

2

3

lim (^1 ^ ) 

g)

tgx

x tgx^

lim (^1

2





Comportamento Final de Funções Trigonométricas, Exponenciais e Logarítmicas

Para a função f(x) = senx, os limites quando x  e x  deixam de

existir, não porque f(x) cresça ou decresça sem cota, mas porque esses valores variam

entre -1 e 1 sem aproximar de um número real específico. Em geral as funções

trigonométricas deixam de possuir limites quando x  e x  por causa da

periodicidade. Não existe notação para denotar esse tipo específico de comportamento.

As funções e

x e lnx crescem sem cota quando x . Assim, na notação de

limite, temos:

 

x x

lim^ ln   

x

x

lim^ e lim ^0  

x

x

e  ^ 

x x

lim^ ln 0

lim  ^0  

x

x

e 





x

x

lim^ e

c)   x

sen x

x

lim 0

d)   x

sen x

x 3

lim 0

e)   sen x

sen x

x 7

lim 0

f)   (^) x

tgax

x

lim 0

g)lim , 0 0



b senbx

senax

x

h)   3

3

0

lim x

x sen

x

Referência Bibliográfica:

Anton, Howard, Davis S., Bivens, Irl. Cálculo, volume I, editora Bookman, 8ª ed.

Flemming, Diva M., Gonçalves, M. Buss. Cálculo A Funções Limite Derivação

Integração. 5ª ed, editora Pearson.

Guidorizzi, Hamilton Luiz. Um Curso de Cálculo. Volume 1. 5ª ed. Editora LTC.