Introdução a Funções Exponenciais e Logarítmicas, Manuais, Projetos, Pesquisas de Fundição

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AP#01: Conceitos Introdut´orios Fundamentais

Bartolomeu Joaquim Ubisse

Instituto Superior de Ciˆencias de Sa´ude (ISCISA)

(Aulas preparadas para estudantes de Radiologia)

6 de Dezembro de 2021

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Conte´udos

4/

Fun¸c˜oes exponencial e logar´ıtmicas

Para se determiar a magnitude do expoente usa-se a fun¸c˜ao logar´ıtmica.

Seja f (x) ≡ y = a

x , ent˜ao, x = log

y

a

Onde, a denomina-se base e y ´e logaritmando.

Para que haja unicidade de log

y

a

, a e y tem algumas restri¸c˜oes, a saber:

a (base) ´e positivo e 6 = 1

y (logaritmando) est´a contido no conjunto dos reais positivos sem

zero (y ∈ R

∗

Algumas propriedades dos logaritmos:

1 log a

(^2) log a

(bc) = log a

b + log a

c

3 log a

b

c

) = log a

b − log a

c

(^4) log a

b

x = x log a

b

(^5) log a

b =

log c

b

log c

a

5/

Fun¸c˜oes exponencial e logar´ıtmicas

Existem dois n´umeros mais usados como base de fun¸c˜oes logaritmicas que

s˜ao 10 e e.

O logar´ıtmo de base 10 (log 10

) ´e usualmente escrito por lg, i.´e.,

log 10

b ≡ lg b

O logaritmo de base e

1 ´e chamado logaritmo natural e escreve-se ln;

log e

x ≡ ln x

lg x = 0.4343 ln x ou ln x = 2.3026 lg x

1 e = 2.

7/

GRANDEZAS F

ISICAS. OPERAC¸

OES

SOBRE VECTORES

8/

Grandezas f´ısicas (escalares e vectoriais).

Qualquer propriedade mensur´avel de um fen´omeno, corpo e/ou substˆancia

´e uma grandeza.

Grandeza f´ısica

Escalar

caracteriza-se pelo

m´odulo. Ex.

temperatura, massa,

etc.

Vectorial

caracteriza-se por

ter m´odulo, direc¸c˜ao

e sentido. Ex.

velocidade, for¸ca,

acelera¸c˜ao e mais.

Existem diferentes maneiras de representar vectores dependendo da

comodidade de cada autor. Nas nossas sess˜oes usaremos uma letra

min´uscula com uma seta em cima, por ex., ~a.

10/

Opera¸c˜ao sobre vectores

Adi¸c˜ao e subtra¸c˜ao

A adi¸c˜ao e subtra¸c˜ao de vectores pode-se efectuar mediante dois m´etodos:

Anal´ıtico e geom´etrico.

Anal´ıtico

Dados dois vectores ~a e

b de forma anal´ıtica, o vector soma ~c = ~a +

b ´e

dado por:

~c = (ax + bx)

i + (ay + by)

j + (az + bz )

k (1)

e o vector diferen¸ca

d = ~a −

b ´e dado por:

d = (a x

− b x

i + (a y

− b y

j + (a z

− b z

k (2)

11/

Opera¸c˜ao sobre vectores - Cont.

Geom´etrico

Sejam dados dois vectores ~a e

b, o vector soma ~c e o vector diferen¸ca

d

s˜ao expressos conforme se ilustra nos diagramas ii) e iii) respectivamente.

13/

Opera¸c˜ao sobre vectores - Cont.

Produto vectorial

O produto vectorial de ~a e

b, (~a ×

b), ´e um terceiro vector ~c definido por:

~c = ~a ×

b = |~a| · |

b|sinϑ · ˆn (5)

Onde, ˆn- vector unit´ario ⊥ ao plano formado por ~a e

b; ϑ– ´e o menor

ˆangulo entre ~a e

b.

~a ×

b = 0 - condi¸c˜ao de paralelismo

~a ×

b =

i

j

k

a x

a y

a z

b x

b y

b z

~a ×

b = (a y

b z

− a z

b y

i + (a z

b x

− a x

b z

j + (a x

b y

− a y

b x

k (6)

14/

Opera¸c˜ao sobre vectores - Cont.

i ×

j =

k ;

j ×

i = −

k

j ×

k =

i ;

k ×

j = −

i

k ×

i =

j ;

i ×

k = −

j

i ×

i =

j ×

j =

k ×

k = 0