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Aula sobre o conceito de limites de funções de uma variável (f.u.v.) com exemplos e resoluções de exercícios. O documento aborda a definição de limite, indeterminações, limites infinitos e as leis de limite.
Tipologia: Notas de aula
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Professora: Gisele Cristina Ducati [email protected] Home: http://gducati.googlepages.com http://fuv1tri2008.googlepages.com
f x = x 2 − 1 x − 1 ]* Há uma indeterminação em x = 1. lim x 1 x 2 − 1 x − 1 x 2 − 1 = x 1 x− 1 lim x 1 x 2 − 1 x− 1 =lim x 1 x− 1 x 1 x− 1 =lim x 1 x 1 = 2
Seja f (x) definida em intevalo aberto em torno de a (a função não deve necessariamente estar definida em x=a). Se f (x) fica arbitrariamente próxima de L, para todos os valores de x suficientemente próximos de a, dizemos que f tem limite L quando x tende a a e escrevemos lim x a f x= L Definição: Seja f (x) definida em um intervalo I contendo a, então dizemos que o limite de f (x) quando x tende a a é L, isto é, lim x a f x= L dado qualquer (^) 0 , existe um (^) 0 tal que ∣ f x −L∣ se ∣x−a∣
∣ f x −L∣=∣3x− 5 − 1 ∣= 3 ∣x− 2 ∣ ∣ f x −L∣/ 3 = 2) Encontre: lim xo sen x x
H x 1 x 0 0 x 0 lim xo H x =? O limite de H(x) é 0 se nos aproximarmos de x = 0 pela esquerda é 1 se nos aproximarmos de x = 0 pela direita.
Escrevemos lim xa −. f x= L (^) e dizemos que f (x) tende a L quando x tende a a pela esquerda se pudermos tornar o valor de f (x) arbitrariarmente próximo de L, tornando-se x suficientemente próximo de a para x < a. Def.: lim x a −. f x=L ⇔∀0,∃ 0 tal que a −xa ⇒∣ f x −L∣ Limite de f (x) quando x tende a a pela esquerda ou LIMITE LATERAL À ESQUERDA DE f (x) em a.
xa .
pudermos tornar o valor de f (x) arbitrariarmente próximo dele, tornando-se x suficientemente próximo de a para x > a. Def.: lim xa . f x= L⇔ ∀ 0, ∃ 0 tal que axa⇒∣ f x−L∣ Limite de f (x) quando x tende a a pela direita ou LIMITE LATERAL À DIREITA DE f (x) em a.
x a
iguais. Então lim x a f x= L⇔ lim x a −. f x =L= lim x a . f x lim x 0 ∣x∣ x Não existe ∣x∣=x , x 0 ∣x∣=−x , x 0 Limite para x à direita é 1 e -1 para x à esquerda.
lim x a f x=∞ lim xa . f x=∞ lim x a f x=−∞ lim x a f x=−∞ lim xa . f x=−∞ lim x a −. f x=−∞ Ex.: Encontrar: lim x 3 . 2x x− 3
lim x 3 −. 2x x− 3
Quando x > 3 mas estiver próximo de 3 temos (x-3) > 0 e 2x está próximo de 6. Portanto o quociente é um número grande e positivo infinitamente, lim x 3 . 2x x − 3
De modo análogo, lim x 3 −. 2x x− 3
Seja c uma constante e supondo que (^) lim x a f x e^ lim x a g x existem. Então i) (^) lim x a [ f x ±g x ]=lim x a f x ±lim x a g x ii) (^) lim x a [cf x ]=c lim x a f x iii) (^) lim x a [ f x g x]=lim x a f x lim x a g x iv) (^) lim x a [ f x /g x ]=lim x a f x/lim x a g x se lim x a g x ≠o v) r, s inteiros positivos (^) s≠ 0 lim x a [ f x ] r / s =[lim x a f x ] r / s vi) Se f for uma função polinomial ou racional e a^ ∈Df^ então lim x a f x=lim x a f a
Se f x g xh x quando x está próximo de a (exceto possivelmente em a) e lim x a f x=lim x a h x =L então lim x a g x =L Exemplo: Mostre que lim x 0 x 2 sen
− 1 sen
−x 2 x 2 sen
x 2 Como lim x 0 −x 2 =lim x 0 x 2 =0, então lim x 0 x 2 sen
