mat--i_aula-2_limite-e-cont.pdf, Notas de estudo de Matemática

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MATEMÁTICA I

LIMITES E CONTINIDADE

Prof. Dr. Nelson J. Peruzzi Profa. Dra. Amanda L. P. M. Perticarrari

Parte 1

• Limites Infinitos
  • Definição de vizinhança e limite
  • Limites laterais
  • Limite de função real com uma variável real
  • Teorema da existência do limite
  • Limite de funções elementares (polinomiais,potência, n-ésima raiz, exponencial, logarítmica e trigonométrica)
  • Propriedades de limites
  • Indeterminações

Parte 2

• Continuidade de Funções
  • Definição
  • Tipos de Descontinuidade
  • Propriedades
• Limites Infinitos
  • Definição
  • Assíntotas: horizontal e vertical
  • Limites Fundamentais

Sejam 𝑎 ∈ ℝ e 𝛿 > 0 (suficientemente pequeno).

• Dizemos que x está na vizinhança (próximo) de a se 𝑥 − 𝑎 < 𝛿.
• O valor a é dito limite da variável x.
• Notação: 𝑥 → 𝑎. Exemplo. 0,999 … ≅ 1 ⇒ 0,999 … ⟶ 1 então, 1 − 0,999 … < 𝛿

DEFINIÇÃO DE VIZINHANÇA E LIMITE

No caso de uma variável real x , a aproximação do número 𝑎 pode ser feita de duas maneiras: à direita e à esquerda.

• Limite à direita de 𝒂 (valores maiores que 𝒂 ).
• Limite à esquerda de 𝒂 (valores menores que 𝒂 ).

DEFINIÇÃO DE VIZINHANÇA E LIMITE

Notação. 𝑥 ⟶ 𝑎+

Notação. 𝑥 ⟶ 𝑎−

LIMITE DE FUNÇÃO REAL COM

UMA VARIÁVEL REAL

Note que na função 𝑓 𝑥 = −𝑥 + 4,  quanto mais aproximamos 𝑥 do valor 2 as diferenças 𝑥 − 2 e 𝑓 𝑥 − 𝐿 se tornam suficientemente pequenas.  Neste caso, (^) 𝑥→2lim 𝑓 𝑥 = 𝑓 2 ⇒ (^) 𝑥→2lim −𝑥 + 4 = 2 𝑦

𝑥

Se a variável 𝒙 se aproxima de 𝒂 e os valores 𝑦 = 𝑓 𝑥 se aproximam de um valor real 𝑳 , dizemos que: a função 𝑦 = 𝑓 𝑥 tem limite 𝑳 ou “tende a” 𝑳 , quando 𝑥 tende para 𝑎.

Notação: (^) 𝑥→𝑎lim𝑓 𝑥 = 𝐿

Note que, dado 𝜖 > 0, existe 𝛿 > 0 tal que 𝑥 − 𝑎 < 𝛿 e 𝑥 ≠ 𝑥 0 ⇒ 𝑓 𝑥 − 𝐿 < 𝜖

𝑎

𝐿 𝑓 𝑥 1 𝑥 1

𝑦 𝑦 = 𝑓 𝑥

𝑥

LIMITE DE FUNÇÃO REAL COM

UMA VARIÁVEL REAL

Exemplo 2. Considere a função 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 3.

Determine, caso exista, (^) 𝑥→0lim 𝑓 𝑥.

LIMITE DE FUNÇÃO

𝑥→0^ lim−^ 𝑓 𝑥^ = lim 𝑥→0−^ 2𝑥 + 3 = 3

𝑥→0^ lim+^ 𝑓 𝑥^ = lim 𝑥→0+^ 2𝑥 + 3 = 3 Portanto

𝑥→0^ lim 𝑓 𝑥^ = 3

𝑥

𝑦

Se 𝑚, 𝑎 𝜖 ℝ, então (^) 𝑥→𝑎lim 𝑚𝑥 + 𝑏 = 𝑚 ∙ 𝑎 + 𝑏

• Portanto, para calcular o limite da função linear, 𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑏, quando 𝑥 → 𝑎, basta substituir a variável 𝑥 pelo valor aproximado 𝑎.
• Observações: a) Fixando 𝒎 = 𝒄 uma constante e 𝒃 = 𝟎 temos: 𝑥→𝑎^ lim 𝑐𝑥 + 0^ = lim 𝑥→𝑎 𝑐𝑥^ = 𝑐 ∙ 𝑎^ ⇒^ 𝑥→𝑎lim 𝑐𝑥^ = 𝑐 ∙ 𝑎 b) Fixando 𝒎 = 𝟎 e 𝒃 = 𝒌, 𝒌 é uma constante, temos: 𝑥→𝑎^ lim 0𝑥 + 𝑘^ = lim 𝑥→𝑎 𝑘^ = 𝑘^ ⇒^ 𝑥→𝑎lim 𝑘^ = 𝑘 “o limite da constante é a própria constante”.

LIMITE DAS FUNÇÕES ELEMENTARES

Dada a função 𝑦 = 𝑛^ 𝑓 𝑥 , se 𝑛 é par e 𝑓 𝑎 > 0, ou

𝑛 é ímpar, então:

𝑥→𝑎^ lim 𝑛^ 𝑓 𝑥 =^ 𝑛 𝑓 𝑎

• Exemplos: a) Seja 𝑓 𝑥 = 𝑥^2 + 5, quando 𝑥 → −2 temos que: 𝑥 → −2^ lim 𝑥^2 + 5^ =^ −2^2 + 5 =^ 4 + 5 =^ 9 = 3 b) Seja 𝑓 𝑥 = 3 3𝑥^2 − 1, quando 𝑥 → 0 temos que : 𝑥 → 0^ lim 3 3𝑥^2 − 1 =^3 3 ∙ 0^2 − 1 =^3 −1 = −

LIMITE DA N-ÉSIMA RAIZ

Seja 𝑏 ∈ ℝ+^ e 𝑏 ≠ 1, então:

𝑥→𝑎^ lim 𝑏𝑓 𝑥^ = 𝑏𝑓 𝑎

• Em particular, se 𝑏 = 𝑒 = 2,71 …, temos:

𝑥→𝑎^ lim 𝑒𝑓 𝑥^ = 𝑒𝑓 𝑎

• Exemplos: a) Seja 𝑓 𝑥 = 23𝑥−1, quando 𝑥 → 1 temos que: 𝑥 → 1^ lim 2 3𝑥−1^ = 23∙1−1^ = 23−1^ = 2^2 = 4 b) Seja 𝑓 𝑥 = 𝑒3𝑥−1, quando 𝑥 → 13 temos que : 𝑥 →1/3^ lim 𝑒3𝑥−1^ = 𝑒3∙^13 −1^ = 𝑒1−1^ = 𝑒^0 = 1

LIMITE DA EXPONENCIAL

Função Seno:

𝑥→𝑎^ lim sen 𝑓 𝑥^ = sen 𝑓 𝑎

Função Cosseno:

𝑥→𝑎^ lim cos 𝑓 𝑥^ = cos 𝑓 𝑎

Função Tangente:

𝑥→𝑎^ lim tg 𝑓 𝑥^ = tg 𝑓 𝑎^ , com^ 𝑓 𝑎^ ≠^ 𝜋^2 + 𝑘𝜋

LIMITE DAS TRIGONOMÉTRICAS

Para o polinômio de grau 𝑛, 𝑛 ∈ ℕ, dado por:

𝑝𝑛 𝑥 = 𝑎𝑛𝑥𝑛^ + 𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1^ + ⋯ + 𝑎 2 𝑥^2 + 𝑎 1 𝑥 + 𝑎 0

temos que:

𝑥→𝑎^ lim 𝑝𝑛^ 𝑥^ = 𝑝𝑛^ 𝑎

LIMITE DE POLINÔMIOS

INDETERMINAÇÕES

Calcule o limite da função 𝑓 𝑥 = 2𝑥−2𝑥−1 quando 𝑥 → 1.

Solução:

𝑥→1^ lim^ 2𝑥 − 2𝑥 − 1 = lim 𝑥→1^ 2 𝑥 − 1𝑥 − 1 = 2

Para tratar as indeterminações, pode-se mani- pular algebricamente e simplificar as expressões eliminando as indeterminações.

Parte 1

• Limites Infinitos
  • Definição de vizinhança e limite
  • Limites laterais
  • Limite de função real com uma variável real
  • Teorema da existência do limite
  • Limite de funções elementares (polinomiais,potência, n-ésima raiz, exponencial, logarítmica e trigonométrica)
  • Propriedades de limites
  • Indeterminações

Parte 2

• Continuidade de Funções
  • Definição
  • Tipos de Descontinuidade
  • Propriedades
• Limites Infinitos
  • Definição
  • Assíntotas: horizontal e vertical
  • Limites Fundamentais