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4. Escoamento de um Fluido Real
O escoamento de um fluido real é mais complexo que o de
um fluido ideal. A viscosidade dos fluidos reais é responsável pelas
forças de atrito entre as partículas fluidas, bem como entre estas e os
contornos sólidos. Para que o escoamento ocorra, um trabalho deve ser
realizado contra as forças de atrito e, durante este processo, parte da
energia mecânica se transforma em calor.
4.1 A experiência de Reynolds
Devido ao efeito da viscosidade, o escoamento de fluidos
reais pode ocorrer de dois modos distintos. As características destes dois
regimes foram inicialmente observadas por Reynolds (1883) em um
dispositivo semelhante ao esquematizado abaixo:
Filamento estreito e
paralelo ao eixo do tubo
( Regime laminar)
Filamento torna-se
ondulado ( Regime
crítico)
Ondulação aumenta
rompendo-se o
filamento que se
difunde na água
(Regime turbulento)
Abrindo o registro
(aumento da velocidade)
Tanque de água com
paredes de vidro
Tinta Tubo de vidro
Registro
FLUXO
Reynolds generalizou os resultados do seu experimento
com a introdução do termo adimensional Re.
Exemplo 4.1.1 : Calcular o número de Reynolds no interior de uma
tubulação de 50mm de diâmetro interno que conduz água a uma temperatura
de 20 0 C ( ν = 1,003x 10 -6^ m^2 /s ) com velocidade média de 0,9m/s.
- 000001003 m/s
m 1000
0 , 9 m/s V D R (^) e 2 =
ν
υ
⋅
V LT R e
Onde:
Viscosidade
Cinemática
(m
/s)
Viscosidade
Dinâmica (kg /m s)
Massa
Específica (kg/m
)
Velocidade
Média de Fluxo
(m/s)
V = =^ = A
Q Vazão (m
/s)
Área de fluxo (m
)
R Número de Reynolds ( ) e
=
LT = Dimensão Linear Típica (m) equivalente a quatro vezes
o raio hidráulico do conduto ( 4R h
),
para o caso dos condutos circulares :
LT = 4R h
= D , onde D = diâmetro interno (m)
O tipo de fluxo não se prende exclusivamente ao valor da
velocidade, mas ao valor do Número de Reynolds. Para encanamentos
comerciais se o escoamento se verificar com Re superior a 4000, o regime
é Turbulento. O escoamento em regime Laminar ocorre, e é estável, para
valores do número de Reynolds inferiores a 2000. Entre este valor e 4000,
encontra-se uma zona crítica, na qual não se pode determinar com
segurança as condições de escoamento.
Obs: valores de ν da água , em diferentes temperaturas, são mostrados na tabela 4.
4.2 Equações fundamentais do escoamento de fluidos
incompressíveis em tubos
Conforme visto anteriormente, a equação de Bernoulli para
o escoamento de fluidos reais incompressíveis é representada por:
As primeiras experiências (por volta de 1850) sobre o
escoamento da água em tubos longos retos e cilíndricos, indicam que a
perda de carga varia (aproximadamente) diretamente com a carga
cinética ( V^2 /2g ) e com o comprimento do tubo (L) , e inversamente com
o diâmetro do tubo (D). Usando um coeficiente de proporcionalidade (f),
denominado de fator de atrito, Darcy, Weisback e outros propuseram
a seguinte equação para cálculo da perda de carga h
f :
Observações experimentais indicavam que o fator de
atrito depende não só do (i) material do tubo mas, também do (ii)
diâmetro do tubo , da (iii) velocidade do fluxo e (iv) da viscosidade
cinemática do fluido.
Onde, hf 1-2 representa a perda de carga ( E1 – E2 = dissipação da
energia mecânica da água) entre os pontos 1 e 2.
2 g
V
D
L hf f
2
= ⋅ ⋅
g
V 2 ⋅
2 2
γ
P 1
Linha de energia
Plano de carga efetivo
Direção do Fluxo:
Maior energia Menor Energia
γ
P 2
2 g
V 12 ⋅
Z 1
Linha piezométrica
Z 2
12
2 2 2 2
2 1 1 (^1 2) g hf
P V Z 2 g
P V Z + − ⋅
γ
= + ⋅
γ
hf 1 − 2
4.3.1 As experiências de Nikuradse
Para avaliar o efeito da rugosidade relativa (k/D) das
paredes dos tubos sobre o fator de atrito (f), Nikuradse, em 1933, decidiu
colar grãos de areia de tamanho uniforme na parede de tubos lisos de
vidro. Desta forma, Nikuradse pode determinar o fator de atrito, sob
condições controladas e bem determinadas de k/D. Os resultados obtidos
nesta experiência são ilustrados abaixo:
4.3 Experiências de atrito em tubos.
A análise dimensional do problema do atrito em tubos
indica que o fator da atrito (f) depende de dois fatores
adimensionais (i) do Número de Reynolds (que engloba o diâmetro
do tubo, D , a velocidade, V , e a viscosidade cinemática, ν, do fluido)
e (ii) da denominada rugosidade relativa do tubo (k/D), que
representa a razão entre os tamanhos das protuberâncias das
rugosidades nas paredes dos tubos e o seu diâmetro interno.
1014
1
D
k
504
1 D
k
252
1
D
k
120
1
D
k
61 , 2
1
D
k
30
1
D
k
Número de Reynolds - R e
Coeficiente de atrito - f
) D
K ;
V D Fator deatritof Função(Re ν
⋅ = =
10 6
Coeficiente de atrito f
Regime Lâminar
10 3 10 4 10 5 Número de Reynolds
Linha dos Tubos Lisos
Turbulência de transição
Turbulência completa
2000 4000
A série de curvas de diferentes rugosidades relativas diverge da
cuva dos tubos lisos à medida em que Re aumenta. Isto se explica pela
espessura de uma subcamada viscosa, que se forma junto às paredes
dos tubos, que decresce a medida em que Re aumenta. Na porção
referente a linha dos tubos lisos, a rugosidades paredes fica submersa na
subcamada viscosa, de tal forma que a rugosidade não tem efeito
significativo sobre o módulo do fator de atrito. A medida que o Número
de Reynolds aumenta, causando um decréscimo na espessura da camada
viscosa, ocorre uma exposição maior das rugosidades das paredes fazendo
que o tubo se comporte como um tubo rugoso.
Na zona de turbulência completa , na qual as curvas correspondentes as
diferentes rugosidades relativas são praticamente horizontais, o fator f é
calculado pela chamada fórmula de Nikuradse:
Infelizmente, os resultados excelentes de Nikuradse não podem ser
diretamente aplicados aos problemas de Engenharia por as configurações
das rugosidades dos tubos comerciais são inteiramente diferentes, mais
variáveis e muito menos identificáveis do que as rugosidades artificiais
usadas por Nikuradse.
D
k
1 , 14 2 log
f
ou
K/D
2 log
f
4.3.2 As experiências de Colebrook e White
Colebrook e White (1939) apresentaram os resultados de testes
efetuados para verificar se os valores de f obtidos por Nikuradse, com
grãos de areia, podiam ser aplicados aos tubos comerciais.
As diferentes curvas de f versus Re apresentadas por Nikuradse
foram agrupadas ao redor de uma única curva, quando plotadas em um
gráfico de 2 log(k/r)-1/f 1/2^ versus Re f 1/2/(r/k), sendo r o raio interno
do tubo:
(^10 100 1000 )
0
Os testes de Colebrook e White com tubos comerciais indicaram que a
seguinte equação semi-empírica pode ser utilizada no regime turbulento:
(^110 100 )
0
`
Tubos comerciais
Rugosidade artificial: areia uniforme (Nikuradse) Rugosidade artificial: areia não uniforme (Nikuradse)
Valores observados por Nikuradse (areia)
Turbulência completa
Linha dos tubos Lisos
R f
D 3 , 715
K
2 log
f
e
R f
2 , 512 D 3 , 715
K 2 log f
1
e
⋅
⋅
=− ⋅
R f
2 , 512 2 log f
1
e
⋅
=− ⋅
D 3 , 715
k 2 log f
1
⋅
=− ⋅
Deve ficar claro que os valores de rugosidade equivalente (k) dos
diversos materiais utilizados para fabricação de tubos comerciais
apresentados em textos de Hidráulica (tabela acima) representam o
diâmetro dos grãos de areia que, quando colados uniformemente em um
tubo de vidro, com o mesmo diâmetro interno do tubo comercial
considerado, resultaria no mesmo fator de atrito f observado no tubo
comercial (f = (hf 2g D) /(L V 2 )).
Tabela 4.2: Valores de rugosidade equivalente (k em metros) dos diversos
materiais utilizados na fabricação de tubos comerciais (Azevedo Neto):
Plástico Menor que 1,0 x10 -5 Menor que 1,0 x10 -
Vidro Menor que 1,0 x10 -5 Menor que 1,0 x10 -
Manilhas cerâmicas 6,0x10 -4 3,0 x10 -
Madeiras em aduelas 2,0x10 -4^ até 1,0x10 -
1,2x10 -4 2,1 x10 --
Fero Fundido com
revestimento asfáltico
Ferro Fundido 2,5 x10 -4^ até 5,0x 10 -4 3,0x10 -3^ até 5x10 -
Ferro Forjado 4,0 x 10 -4^ até 6,0 x 10 -4 2,4 x 10 -
Concreto ordinário 1,0x10 --3^ até 2,0x10 -
Concreto bem acabado 3,0x10 -4^ até 1,0x10 -
Cobre ou Latão Menor que 1,0 x10 -5 Menor que 1,0 x10 -
Cimento Amianto 2,5x10 -
Chumbo Menor que 1,0 x10 -5 Menor que 1,0 x10 -
Aço soldado 4,0 x10 -5^ até 6,0x10 -5 2,4 x10 -
Aço revestido 4,0x10 -4 5,0x10 -4^ até 1,2x10 -
Aço Rebitado 1,0x10 -3^ até 3,0x10 -3 6,0 x10 -
Aço Galvanizado 1,5x10 -4^ até 2,0x10 -4 4,6 x10 -
Material Tubos novos Tubos velhos **
Exemplo4.4.1 : Calcule a perda de carga ao longo de um tubo de aço
rebitado, com rugosidade absoluta (k) de 3,0x10-3^ m , diâmetro interno
(D) de 0,30m e 300m de comprimento (L), que conduz 130L/s de
água com viscosidade cinemática (ν) de 1,127x 10 -6^ m^2 /s.
Número de Reynolds
0.
0.
1E+03 1E+04 1E+05 1E+06 1E+07^ 1E+
Fator de atrito (f)
Tubo liso
0.
0.
0.
0.
0.
Crítico Turbulento
k/D
ZonaCrítica
Diagrama de Moody
Laminar
4.89 x 10 5
Rugosidade relativa (k/D)
6 , 55 m 2 9 , 81 m/s
( 1 , 839 m/s)
0 , 30 m
300 m 0 , 038 2 g
V
D
L
hf f 2
2 2
⋅
( )
f noDiagramadeMOODYcomRe 4,9 10 ek/D 0,
0 , 30 m
0 , 003 m
D
k 4 , 896 10 1 , 127 10 m /s
V D 1 , 839 m/s 0 , 30 m Re
1 , 839 m/s 0 , 30 m
4 0 , 130 m /s
D
4 Q
A
Q
V
5
5 6 2
2
3
= × =
= × = =
×
ν
π⋅
π⋅
−
Número de Reynolds
0.
0.
1E+03 1E+04^ 1E+05^ 1E+06^ 1E+07^ 1E+
Fator de atrito (f)
Tubo liso
0.
0.
0.
0.
0.
Crítico Turbulento
k/D
ZonaCrítica
Diagrama de Moody
Laminar
5, x 10 4
Rugosidade relativa (k/D)
0,
Exemplo 4.4.3 : Calcule a perda de carga ao longo de um tubo de ferro
fundido, com rugosidade absoluta (k) de 3,0x10 -4^ m , diâmetro interno
(D) de 0,025m e 200m de comprimento (L), que conduz 1L/s de água
com viscosidade cinemática (ν) de 1,0x 10 -6^ m^2 /s.
( )
fnoDiagramadeMOODYcomRe 5,1 10 ek/D 0,
0 , 025 m
0 , 0003 m
D
k 5 , 093 10 1 , 0 10 m /s
V D 2 , 037 m/s 0 , 025 m Re
2 , 037 m/s 0 , 025 m
4 0 , 001 m /s
D
4 Q
A
Q
V
4
4 6 2
2
3
= × =
= × = =
×
ν
π⋅
π⋅
−
69 , 37 m 2 9 , 81 m/s
( 2 , 037 m/s)
0 , 025 m
200 m 0 , 041 2 g
V
D
L
hf f 2
2 2
⋅
(4.4.6) Calcule a perda de carga (hf em m) ao longo da tubulação descrita no
exemplo anterior (ex.4.4.5), considerando uma redução de apenas 25% no
diâmetro interno (D = 0,75m).
Respostas: Re = 1,3x10^6 ; k/D= 0.0004; f = 0,016; hf = 5,2m
(4.4.5) Calcule a perda de carga (hf em m) ao longo de uma tubulação de 1,
km de comprimento (L), com 1,0m de diâmetro interno (D), de concreto, com
rugosidade k= 3x10-4^ m, que conduz uma vazão (Q) de 790 L/s de um líquido
com uma viscosidade cinemática (ν) de 1,01 x10-6^ m 2 /s.
Respostas: Re = 1x10^6 ; k/D= 0,0003; f = 0,016; hf = 1,2m.
(4.4.8) Calcule a taxa de perda de carga (J = em m/100m) ao longo de uma
tubulação com 100mm de diâmetro interno (D), em material com rugosidade
k= 0,15mm, que conduz uma vazão (Q) de 57 m^3 /h de um líquido que
apresenta uma viscosidade cinemática (ν) de 1,0 x10-6^ m 2 /s.
Respostas: Re = 2,0x10^5 ; k/D= 0.0015; f = 0,023; J =4,8 m/100m.
(4.4.9) Calcule a perda de carga (hf em m) ao longo de uma tubulação com 500
mm de diâmetro interno (D) , em material com rugosidade k= 2 x10-4^ m, com 1
km de comprimento (L), que conduz uma vazão (Q) de 190L/s de água na
temperatura de 30 o^ C.
Respostas=Re=6,0x10^5 ; k/D=0.0004; f= 0.017; hf=0,8m
(4.4.10) Calcule a perda de carga (hf em m) ao longo de uma tubulação com 7
mm de diâmetro interno (D) , em material com rugosidade k= 1 x10-6^ m, com 5
m de comprimento (L), que conduz água com viscosidade cinemática (ν) de
1 x10-6^ m 2 /s a uma velocidade de (V) de 0,18m/s.
Respostas= Re = 1,26 x 103; f=0.051, hf = 0.06m
(4.4.7) Calcule a perda de carga (hf em m) ao longo da tubulação descrita no
exemplo anterior (ex.4.4.5), considerando o dobro da vazão dada (Q =.1580L/s)
Respostas: Re = 2x10^6 ; k/D= 0.0003; f = 0,015; hf = 4,6m
Mais alguns exemplos :
(4.4.4) Calcule o fator de atrito (f), para as seguintes situações: (a)Re=3 x10^5 e
k/D= 0,00001; (b) Re=3 x10^5 e k/D= 0,0001; (c) Re=3 x10^5 e k/D= 0,001; (d)
Re=3 x10^5 e k/D= 0.
Rerspostas:f = 0,015; f =0,015; f =0,021; f =0,
4.6 Outros métodos para cálculo da perda de
carga em tubos: As Fórmulas Práticas.
Apesar da fórmula de Darcy-Weisbach ser o
método recomendado para cálculo de perda de carga em
tubulações, é muito comum encontrar na literatura especializada
referências às chamadas FÓRMULAS PRÁTICAS.
Dentre as centenas, ou milhares, de fórmulas práticas
encontradas na literatura, estudaremos apenas três delas: (i) a fórmula
de Hazen-Williams, (ii) a fórmula de Flamant, e (iii) a Fórmula de
Blasius.
4.6.1 A fórmula de Hazen-Williams (1913)
É uma Fórmula que pode ser satisfatóriamente aplicada em
qualquer tipo de conduto e material. Resultou de um estudo estatístico
cuidadoso no qual foram considerados dados dos experimentais de diversas
fontes e observações feitas pelos próprios autores. Os seus limites de
aplicação são os mais largos : diâmetros de 50 a 300mm e velocidades de até
3m/s. De acordo com Azevedo Neto, no Sistema Internacional de Unidades
a fórmula de Hazen-Williams tem a seguinte apresentação:
Onde: hf = perda de carga , em metros de coluna de água, entre dois pontos da
tubulação;
K HW=Constante empírica para ajuste das unidades de tempo e
comprimento utilizadas, com valor 10,643s1,85^ m-0,68;
Q = Vazão em m 3 /s;
C = Coeficiente admensional que depende da natureza (material e
estado) das paredes dos tubos (ver Tabela 4.3);
L = é comprimento , em metros, entre os dois pontos da tubulação em
que se deseja calcular a perda de carga hf;
D = diâmetro interno da tubulação (m );
4 , 87
1 , 85
HW D
L
C
Q hf K ⋅
= ⋅
Tabela 4.3- Valores do Coeficiente C sugeridos para a fórmula de Hazen -Williams
MATERIAL do TUBO
NOVOS
USADOS Cerca de 10 Anos
USADOS Cerca de 20 Anos
Aço corrugado (chapa ondulada) 60 - -
Aço galvanizado roscado 125 100 -
Aço rebitado novos 110 90 80
Aço soldado, comum ( revestido c/
betume)
Aço soldado com revestimento epoxi 140 130 115
Chumbo 130 120 120
Cimento amianto 140 130 120
Cobre 130 135 130
Concreto, bom acabamento 130 - -
Concreto acabamento comum 130 120 110
Ferro fundido , revestido com epoxi 140 130 120
Ferro fundido revestido com cimento 130 120 105
Grés ceramico,vidrado (manilhas) 110 110 110
Latão 130 130 130
Madeira em aduelas 120 120 110
Tijolos, conduto bem executado 100 95 90
Vidro 140 - -
Plástico ou PVC 140 135 135
4.6.3 A fórmula de Blasius (1913)
Em tubos de polietileno de pequeno diâmetro, onde se espera a
ocorrência de um regime de fluxo do tipo turbulento liso, pode-se utilizar
a fórmula de Blasius, para o fator f da fórmula universal, e um valor fixo
da viscosidade cinemática da água (ν = 1,0 x10 -6^ m^2 /s), para desenvolver
uma fórmula simplificada que tem a seguinte representação:
Onde: hf = perda de carga , em metros, entre dois pontos da tubulação
kv = 0,000 5101 s
1,
/ m
0,
ou 5,101 x 1 0
-
s
1,
/ m
0,
kQ = 0,000 7785 s1,75^ / m0,5^ ou 7,785 x 1 0 -4^ s 1,75^ / m0,5;
Q = vazão da água em m 3 /s;
V= Velocidade média da água em m/s;
L = é comprimento , em metros, entre os dois pontos da tubulação em
que se deseja medir a perda de carga;
D = diâmetro interno da tubulação (m )
4 , 75
1 , 75
1 , 25 Q
1 , 75
v D
Q L ou hf K D
V hf (^) =k ⋅ ⋅ = ⋅
O valor da constante k v= 5,101x10 -4^ s 1,75^ / m0,5^ pode ser deduzido através da
combinação das 3 fórmulas dadas abaixo (i, ii e iii) e assumindo, para a
viscosidade cinemática e para a aceleração da gravidade, os seguintes valores:
ν = 1,0 x10 -6^ m^2 /s e g = 9,80665m^2 /s.
( )
( )
0 , 5
1 , 75 4
2
- 25
2 x 0 , 25 4
2
0 , 25 6 2 0.^25
1 , 25
2 0 , 25 1 , 75
0 , 25
0, e
e
2
m
s 5 , 101 x 10 m
s
s
m Kv 5 , 101 x 10
2 9 , 80665 m/s
0 , 3164 1 x 10 m /s
2 g
0 , 3164 Kv
L D
V
2 g
0 , 3164 hf 2 g
V
D
L
V D
0 , 3164 hf
(iii) R
0, (ii) f
V D (i) R 2 g
V
D
L hf f
− −
−
= ⋅ ⋅ =
⋅
⋅ ⋅
⋅
⋅ν
⋅ ⋅ ⋅
⋅ν
⋅
⋅ ⋅
ν
⋅
=
= ν
⋅
⋅
= ⋅ ⋅
4.6.3 A fórmula de Blasius (cont.)
Note que a Fórmula de Blasius tem validade apenas para tubos lisos na faixa
de número de Reynolds maior que 4000 e menor que 80 000 (4000
